Giáo trình Nguyên lý máy - Trần Ngọc Nhuần

và có khối lượng phân bố 
đều trong hệ toa độ cố định được thiết lập dựa theo hệ thức : 
 IV IV
 E.J.X = qx E.J.Y = q y (14.62) 
 (Xem “Dao động trong kỹ thuật” của Nguyễn Văn Khang ). 
 Trong trường hợp dao động các tải trọng phân bố qx ,qy là các lực quán tính của các khối 
lượng phân bố của roto : 
 2
 ì d 2
 ïqx = -m ( x + r( S )cos[Wt +y( S )])= -m.&x& + mW r( S )cos[Wt +y( S )]
 ï dt 2
 (14.63) 
 í 2
 ï d
 q = -m ( y + r( S )sin[Wt +y( S )] = -m.&y& + mW2 r( S )sin[Wt +y( S )]
 ï y 2
 î dt
 Trong đó : m là khối lượng trên một đơn vị độ dài của dầm. 
 r(s) là độ lớn của lệch tâm theo chiều dài của dầm. 
 y(s) là góc xác định vị trí lượng mất cân bằng. 
Từ đó ta viết được phương trình vi phân dao động uốn của roto : 
 EJ
 z IV + &z& = W 2 r( S )ei[ Wt+y ( S )] (14.64) 
 m
 Trong đó z = x + iy 
 Giả thiết rằng hàm r( S )e iy ( S ) là hàm liên tục theo độ dài của roto, và có thể khai triển thành 
chuỗi theo dạng dao động riêng của roto. Đối với các roto có ổ đỡ cứng, các dao động riêng là hàm 
sin: 
 -17- 
 ¥
 iy ( S ) npS
 r( S )e = å( An + iBn )sin (14.65) 
 n=1 l
 ¥
 EJ IV 2 iWt npS
 => z + &z& = W e å( An + iBn )sin (14.66) 
 m n=1 l
 Nghiệm phương trình (14.66) có dạng : 
 ¥
 iWt npS
 z = e åCn sin (14.67) 
 n=1 l
 Để tính hằng số phức Cn ta thế (14.67) vào (14.66) : 
 4
 ¥ éEJ æ np ö ù ¥
 ê ç ÷ - W2 úC = W2 ( A + iB ) 
 å m l n å n n
 n=1 ëê è ø ûú n=1
 W2 ( A + iB )
 => C = n n (n = 1, 2, 3...) (14.68) 
 n 2 2
 w n - W
 4
 2 EJ æ np ö
 Với : w n = ç ÷ 
 m è l ø
 Thế Cn vào (14.67) ta tìm được độ võng của roto : 
 W2 ( A + iB ) npS
 z = eiWt n n sin( ) (14.69) 
 å 2 2
 w n - W l
 Rõ ràng độ võng roto phụ thuộc vào số vòng quay của roto, 
vào tính chất các ổ đỡ và vào các tham số khác của roto. 
 Nghiệm (14.69) biểu thị dao động cưỡng bức của roto. Như 
vậy roto bị uốn theo các đường cong không gian (hình 14.16) 
Đường cong uốn của roto theo (14.69) là tổng của các điều hoà. 
Mặt phẳng của các điều hoà nói chung khác nhau. 
 Từ (14.69) dễ dàng xác định được biểu thức momen uốn và 
lực cắt. 
 ¶ 2 z Hình 14.16 
 M( S ) = -EJ 
 ¶S 2 
 ¶ 3 z
 Q( S ) = -EJ 
 ¶S 3
 W 2p 2 ¥ æ A + iB ö npS
 => M( S ) = EJeiWt n 2 ç n n ÷ sin( ) (14.70) 
 2 å ç 2 2 ÷ l
 l n=1 èw n - W ø
 W2p 3 ¥ æ A + iB ö npS
 Q( S ) = EJeiWt n3 ç n n ÷cos( ) (14.71) 
 3 å ç 2 2 ÷ l
 l n=1 èw n - W ø
 Từ (14.71) ta tính được biểu thức phaœn lực ơœ 2 gối đỡ Q(0), Q(l) : 
 W2p 3 ¥ æ A + iB ö
 Q( 0 ) = EJeiWt n3 ç n n ÷ 
 3 å ç 2 2 ÷
 l n=1 è w n - W ø
 W2p 3 ¥ æ A + iB ö
 Q( l ) = EJeiWt n 3 ç n n ÷( -1 )n 
 3 å ç 2 2 ÷
 l n=1 èw n - W ø
 (do cos( np ) = ( -1)n ) 
 -18- 
 Các phản lực động phụ ở các gối đỡ có thể phân thành các thành phần với các điều hoà. 
 Ví dụ khi n = 1 : 
 p 3 w 2
 Q ( 0 ) = EJ ( A + iB )eiWt 
 1 3 2 2 1 1
 l w1 - W
 3
 æ p ö w 2
 Q ( l ) = - EJ ( A + iB )eiWt 
 1 ç ÷ 2 2 1 1
 è l ø w1 - W
 Như vậy với n lẻ các thành phần phản lực ở 2 ổ đỡ là hai lực song song ngược chiều và cùng 
trị số, ứng với n chẵn thì hai lực song song cùng chiều và cùng trị số. Như vậy ứng với mỗi điều hoà, 
ta phải có cách bố trí khối lượng cân bằng khác nhau. 
IV/ CÂN BẰNG KHỐI LƯỢNG CƠ CẤU NHIỀU KHÂU: 
 Mỗi cơ cấu là hệ các vật rắn có liên kết. Việc cân bằng động lực cơ cấu được phân thành 3 bài 
toán : cân bằng khối lượng, cân bằng công suất và cân bằng lực khớp động. 
 Khi cơ cấu làm việc, ở mỗi khâu động đều có lực quán tính và momen lực quán tính. Các 
lực quán tính và momen lực quán tính còn được gọi là các lực khối lượng, momen khối lượng. Tất 
cả chúng tác động lên giá đỡ cơ cấu gây ra những tác hại cho cơ cấu và sản phẩm gia công. 
 Mục đích cân bằng khối lượng là làm giảm đến mức thấp nhất các lực khối lượng và momen 
khối lượng của cơ cấu. 
 Mục đích của bài toán cân bằng công suất là đưa ra biện pháp nhằm làm minimum công suất 
động cơ trong quá trình mở máy cũng như trong quá trình làm việc bình ổn. Để giải quyết vấn đề này 
cần xét đến điều khiển tối ưu quá trình chuyển động của khâu dẫn, minimum momen khối lượng. 
 Mục đích của việc cân bằng lực khớp động là đưa ra các biện pháp nhằm làm giảm ảnh hưởng 
của khe hở ở các khớp gây ra dao động và va đập. 
 Thông thường các bài toán trên được giải quyết bằng cách thay đổi sự phân bố khối lượng của 
các khâu hoặc đưa vào các khối lượng phụ ở các khâu của cơ cấu chính. 
 1) Các điều kiện cân bằng : 
 Mỗi khâu của cơ cấu phẳng là một vật rắn chuyển động phẳng. Thu gọn hệ lực quán tính của 
mỗi khâu về khối tâm của khâu, ta được một lực và một ngẫu lực. 
 Thu gọn hệ lực quán tính của cơ cấu về một điểm O nào đó ta được một lực và một ngẫu lực: 
 n
 Pqt = -å mi ai (14.72) 
 i=1
 n
 qt &&
 M0 = -å ri Ù mi ai - Jiji k (14.73) 
 i=1
 Trong đó : 
 mi là khối lượng của khâu thứ i. ai là gia tốc khối tâm Si của khâu thứ i. 
 n: số khâu động được đánh số từ 1 đến n. 
 k : vectơ đơn vị trên trục z. 
 Ji là momen quán tính khâu thứ i đối với trục đi qua Si , vuông góc với mặt phẳng cơ cấu. 
 qt
 Hình chiếu của vectơ Pqt trên các trục toạ độ là Px, Py, Pz và của M o là Mx, My, Mz. 
 ì n
 &&
 ïPx = -åmi xi
 ï i=1
 ï
 ï n
 íPy = -åmi &y&i (14.74) 
 ï i=1
 ï n
 ïP = - m &z&
 ï z å i i
 î i=1
 -19- 
 ì n
 ï
 M x = -å mi ( yi &z&i - zi &y&i )
 ï i=1
 ï
 ï n
 &&
 íM y = -å mi ( zi xi - xi &z&i ) (14.75) 
 ï i=1
 ï
 ïM = - [m ( x &y& - y &x& ) + J j&& ]
 ï z å i i i i i i i
 î
 Do cơ cấu phẳng nên zi = zS = const, và &z&i = 0 , biểu thức (14.74) và (14.75) thu gọn : 
 n
 M x = zS åmi &y&i = -zS Py (14.76) 
 i=1
 n
 M y = z S å mi &x&i = -z S Px (14.77) 
 i=1
 && && &&
 M z = -å [mi ( xi yi - yi xi ) + J ij i ] (14.78) 
 Theo định nghĩa, một cơ cấu được gọi là cân bằng 
khối lượng toàn phần, nếu vectơ chính của các lực quán Hình 14.17 
tính và momen chính đối với một tâm của các lực quán 
tính của cơ cấu đều triệt tiêu: 
 qt
 Pqt = 0 và M o = 0 
 Cơ cấu phẳng được cân bằng khối lượng toàn phần : 
 Px = 0 , Py = 0 , M z = 0 (14.79) 
 Nếu Px = 0 và Py = 0 thì cơ cấu được gọi là cân bằng tĩnh. 
 Xét chi tiết hơn (cơ cấu một bậc tự do) : 
 Gọi toạ độ suy rộng của cơ cấu là q : 
 x = x ( q ) ; y = y ( q ) ; j =j ( q ) 
 i i i i i i
 => x& = x¢.q& ; y& = y¢.q& ; j& = j¢.q& 
 i i i i i i
 2 2 2
 &x&i = xi¢¢.q& + xi¢.q&&; &y&i = yi¢¢.q& + yi¢.q&&; j&&i = j i¢¢.q& + j i¢.q&& (14.80) 
 (Dấu chấm chỉ đạo hàm theo thời gian, dấu phẩy chỉ đạo hàm theo q). 
 Từ (14.74), (14.75) và (14.80) ta viết được biểu thức: 
 ìP = -q& 2 m x¢¢ - q&& m x¢ = 0
 ï x å i i å i i
 ï 2
 íPy = -q& å mi yi¢¢ - q&&å mi yi¢ = 0 (14.81) 
 ï
 M = -q& 2 m ( x y¢¢ - y x¢¢) + J j¢¢ - q&& m ( x y¢ - y x¢ ) + J j¢
 îï z å[ i i i i i i i ] å[ i i i i i i i ]
 Do tính độc lập của q, từ (14.81) suy ra 6 điều kiện cân bằng của cơ cấu phẳng một bậc tự do 
như sau : 
 ¢ ¢¢
 å mi xi = 0 ; å mi xi = 0 (14.82a) 
 ¢ ¢¢
 å mi yi = 0 ; å mi yi = 0 (14.82b) 
 ¢ ¢ ¢
 å mi ( xi yi - yi xi ) + Jij i = 0 (14.82c) 
 ¢¢ ¢¢ ¢¢
 å mi ( xi yi - yi xi ) + Jij i = 0 (14.82d) 
 4 Điều kiện đầu là 4 điều kiện cân bằng tỉnh. 
 -20- 
 Từ định nghĩa khối tâm của cơ hệ trong cơ học : 
 m.xS = å mi xi ; m.yS = å mi yi 
 => S có vị trí không đổi khi : 
 xS = const, yS = const (14,83) 
thì các điều kiện cân bằng tĩnh của cơ cấu được thoả mãn. 
 2) Cân bằng cơ cấu 4 khâu : 
 Hình 14.18 
 Xét cơ cấu như hình vẽ (hình 14.18), Si là trọng tâm các khâu động. 
 Điều kiện ràng buộc có dạng : 
 l1 + l2 - l3 - l4 = 0 (14.83) 
 Hay được biểu diễn bởi một dạng khác: 
 ij1 ij2 ij3
 l1e + l2e - l3e - l4 = 0 (14.84) 
 Vectơ xác định vị trí trọng tâm các khâu động có dạng : 
 ìr = x + iy = (x + ih )eij1
 ï 1 1 1 11 11
 ï ij1 ij2
 ír2 = x2 + iy2 = l1e + (x 22 + ih22 )e (14.85) 
 ï
 r = x + iy = l + (x + ih )eij3
 îï 3 3 3 4 33 33
 Khối tâm S của cơ cấu được xác định theo phương trình : 
 ( m1 + m2 + m3 )rS = m1 r1 + m2 r2 + m3 r3 (14.86) 
 Từ (14.84) người ta suy ra 
 ij3 1 ij1 ij2
 e = (l1e + l2e - l4 ) (14.87) 
 l3
 Thay (14.85) và (14.87) vào (14.86) : 
 ij1 ij1 ij2
 ( m1 + m2 + m3 )rS = m1(x11 + ih11 )e + m2 [l1e + (x 22 + ih22 )e ]+ 
 é ù
 ij1 ij2 1
 + m3 êl4 + (x33 + ih33 )(l1e + l2e - l4 ) ú 
 ë l3 û
 Sắp xếp theo thứ tự các số hạng : 
 é ù
 ij1 l1
 ( m1 + m2 + m3 )rS = e êm1(x11 + ih11 ) + m2l1 + m3(x33 + ih33 ) ú + 
 ë l3 û
 -21- 
 é ù
 ij2 l2
 + e êm2 (x 22 + ih22 ) + m3(x33 + ih33 ) ú + 
 ë l3 û
 é l4 ù
 + m3 êl4 - (x33 + ih33 ) ú (14.88) 
 ë l3 û
 Khối tâm của cơ cấu sẽ có vị trí không đổi, nếu như các biểu thức hệ số của eij1 ; eij2 bằng 0. 
Nếu ta chọn khối tâm các khâu nằm trên trục của khâu (h11` =h22 =h33 = 0) thì từ các điều kiện cân 
bằng tĩnh sẽ dẫn đến hai phương trình : 
 ì x33
 ïm1x11 + m2l1 + m3 l1 = 0
 ï l3
 í (14.89) 
 x
 ïm x + m 33 l = 0
 ï 2 22 3 2
 î l3
 Đây là một hệ hai phương trình chín ẩn số (l1 ,l2 ,l3 ,m1 ,m2 ,m3 ,x11 ,x 22 ,x33 ) nên chúng ta 
có điều kiện lựa chọn các tham số của cơ cấu một cách thích hợp để đảm bảo điều kiện cân bằng tĩnh. 
 * Nếux33 > 0 thì x 22 < 0 tức là trọng tâm S2 của khâu 2 nằm bên trái BC về phía B, đồng thời 
x33 > 0 thì x11 < 0 tức là trọng tâm S1 nằm trên đoạn AB kéo dài về phía A (hình 14.19.a.). 
 * Nếu x33 0 ta có hai trường 
hợp : 
 + x11 > 0 thì có thể chọn sao cho x11 < l2 . 
 + x11 < 0 , S1 nằm ngoài đoạn AB về phía A. 
 (a) (b) (c) 
 Hình 14.19 
 Trong trường hợp x 22 > 0 , có thể S2 nằm ngoài BC về phía C (hình 14.19b.). 
 (a) 
 Hình 14.20 
 (b) 
 -22- 
 Ngoài biện pháp trên, trong thực tế người ta đưa ra nhiều biện pháp cân bằng cơ cấu bằng cách 
lắp đặt các thiết bị tự lựa (hình 14.20). 
 * Tạo ra chuyển động ngược tương đương. Thiết bị tự lựa là một cơ cấu khác có khả năng tạo 
lực khối lượng ngược lại. 
 * Cân bằng mỗi thành phần điều hoà bằng cơ cấu cân bằng. 
 * Trong các máy nhiều xylanh, người ta thường sử dụng biện pháp sắp xếp các đối tượng thích 
hợp, chọn các góc quay khác nhau, điều chỉnh mặt phẳng cơ cấu đối với trục quay, chọn độ lớn chiều 
dài tay quay, khối lượng con trượt... 
 3) Cân bằng khối lượng cơ cấu tay quay con trượt : 
 Xét cơ cấu tay quay con trượt như hình vẽ ( hình 14.21). Vị trí khối tâm được xác định theo hệ 
thức : 
 ( m1 + m2 + m3 )rS = m1 r1 + m2 r2 + m3 r3 (14.90) 
 Hình 14.21 
 ìr = x eij1
 ï 1 11
 ï ij1 ij2
 Với ír2 = l1 + x 22e (14.91) 
 ï
 r = l eij1 + l eij2
 îï 3 1 2
 Thế vào (14.90) ta suy ra : 
 ij1 ij2
 ( m1 + m2 + m3 )rS = ( m1x11 + m2l1 + m3l1 )e + ( m2x 22 + m3l2 )e (14.92) 
 Vị trí khối tâm sẽ không thay đổi, nếu 2 điều kiện sau đây thoả mãn : 
 m + m
 x = - 2 3 l
 m x + m l + m l = 0 11 m 1
 1 11 2 1 3 1 => 1 (14.93) 
 m2x 22 + m3l2 == m3
 x 22 = - l2
 m2
 Các hệ thức trên tương ứng với điều kiện khối tâm chung của khâu 2 và 3 đều nằm ở khớp B 
thuộc cơ cấu. Khi chỉ có x11 thoả mãn thì khối tâm của cơ cấu sẽ chuyển động trên một quỹ đạo tròn 
và cơ cấu sẽ gây ra lực kích động điều hoà. Nếu khối tâm của các khâu 2 và 3 nằm ở khớp B, cơ cấu sẽ 
được cân bằng nếu đặt đối trọng m1 ở điểm A. 
 Việc cân bằng theo cách trên trong thực tế hầu như không được dùng. Trong thực tế người ta 
thường cân bằng một phần các lực khối vì như thế sẽ thực hiện dễ dàng. Các lực Px, Py và momen Mz 
bao gồm nhiều thành phần điều hoà. Thành phần điều hoà thứ nhất được gọi là lực khối bậc1. Thành 
phần điều hoà thứ hai trong khai triển Furie được gọi là lực khối bậc 2. 
 Lực khối bậc 1 của lực Px sẽ được cân bằng nếu như điều kiện x11 thoả mãn. Lực khối bậc 1 
của Py sẽ được cân bằng nếu : 
 x22
 m11x11 + m2l1(1 - ) = 0 
 l2
 -23- 
 Còn Mz không thể cân bằng hoàn toàn được. 
 Như vậy so sánh ta thấy rằng các lực khối bậc cao hơn một được cân bằng khi x22 được thoả 
mãn. 
 4) Cân bằng các khối lượng chuyển động tịnh tiến : 
 Lực quán tính trên những khâu chuyển động tịnh tiến thường được cân bằng nhờ những đối 
trọng đặt trên các bánh răng : 
 Xét cơ cấu tay quay con trượt chính tâm (hình 14.22): 
 S = r(cosj + l cosy ) (14.94) 
 Trong đó 
 l
 l = và r sinj = l siny 
 r
 1
 => siny = sinj 
 l
 1 1
 và cosy = 1 - sin 2 j ¹ 1 - sin2 j 
 l2 2l2 
 Hình 14.22 
 1 - cos 2j
 và vì : sin2 j = 
 2
 1 1 - cos 2j
 => cosy ¹ 1 - 
 2l2 2
 1 1
 => cosy ¹ 1 - + cos 2j (14.95) 
 4l2 4l2
 Thế giá trị tính được từ (14.95) vào (14.94), ta được công thức sau đây : 
 1 1
 S » lr(1 - ) + r(cosj + cos 2j ) (14.96) 
 4l2 4l2
 Vận tốc con trượt và gia tốc được tính: 
 dS dS 1
 V = = w = -w.r(sinj + sin 2j ) (14.97) 
 B dt dt 2l
 1
 a = -w 2r(cosj + cos 2j ) (14.98) 
 B l
 Do đó lực quán tính tác dụng lên con trượt: 
 1
 P = m.a = mw 2r(cosj + cos 2j ) 
 qt B l
 mw 2
 Hay: P = P I + P II = mw 2r cosj + cos 2j (14.99) 
 qt qt qt l
 Để cân bằng lực quán tính này ta lắp thêm một hệ thống bánh răng có các khối lượng không 
cân bằng. Lực quán tính do các khối lượng không cân bằng này tạo ra sẽ bằng và ngược chiều với (lực 
quán tính cấp I) và (lực quán tính cấp II). 
 Chu kỳ của lực quán tính cấp I bằng thời gian quay một vòng của tay quay OA. Do đó dùng 
 ' I
hai khối lượng m1 lắp trên hai bánh răng z 2 có thể cân bằng được Pqt theo điều kiện hai bánh răng 
 '
 z2 , z2 có cùng vận tốc góc với tay quay OA và : 
 I 2 2
 - 2P1 cosj1 = Pqt Þ - 2m1rw cosj1 = mw r cosj 
 0 r
 Từ đó suy ra cosj1 = - cosj , j = -180 và m1 = m 
 2r1
 -24- 
 Chọn trước bán kính r1 ta xác định được vị trí của đối trọng m1 và khối lượng cần thiết của nó. 
 Chu kỳ lực quán tính cấp 2 bằng thời gian nửa vòng quay của tay quay OA nên hai đối trọng 
m2 sẽ được lắp trên bánh răng z3 có tốc độ quay gấp đối tốc độ quay của tay quay. Khối lượng m2 
được xác định : 
 P II = -2P cosj 
 qt 2 2 
 Hình 14.23 
 m
 Hay : w 2 r cos 2j = -2m .4w 2 r cosj 
 l 2 2 2
 0 r
 => j 2 = 2j - 180 và m2 = m 
 8r2 l
 Trong trường hợp động cơ có 2 xy lanh, các pittong làm việc với góc lệch pha bằng p , khi đó 
lực quán tính cấp I là: 
 I 2 2
 Pqt = m.r.w cosj + m.r.w (j + p ) = 0 
 Lực quán tính cấp II: 
 m.r.w 2 m.r.w 2 m.r.w 2
 P II = cos 2j + cos 2(j + p ) = 2 cos 2j 
 qt l l l
 Như vậy lực quán tính loại I sẽ tự triệt tiêu còn lực quán tính loại II tăng gấp đôi so với trường hợp một 
xylanh. Tương tự như vậy đối với động cơ 4 xylanh, lực quán tính cấp I tự triệt tiêu, còn lực quán tính cấp II 
tăng lên gấp 4 lần 
 -25- 
 TÀI LIỆU THAM KHẢO 
1) Design of machinery – An Introduction to the Synthesis & Analysis of Mechanisms & Machines 
 Robert L.Norton – McGraw – Hill - 1992 
2) Đinh Gia Tường - Nguyễn Xuân Lạc - Trần Doãn Tiến 
 Nguyên lý máy - NXB Đại học và THCN - 1970. 
3) Đinh Gia Tường – Tạ Khánh Lâm: Nguyên lý máy NXB Khoa học và Kỹ thuật 1999 
4) Nguyên lý máy - NXB Nông nghiệp. 
5) Nguyên lý máy - Bùi Xuân Liêm. 
6) Cơ sở dao động trong kỹ thuật - Trần Doãn Tiến. 
7) Dao động trong kỹ thuật - Nguyễn Văn Khang 
8) GS, TS Nguyễn Thiện Phúc 
 Người máy công nghiệp và sản xuất tự động linh hoạt NXB& KHKT 1991