Xây dựng một hàm nghịch đảo trong lân cận của một điểm bất thường với độ trơn yếu

dụng nhiều 
trong toán học ứng dụng và được ứng dụng nhiều trong công nghệ thông tin một cách rất rõ 
nét, như: trong lập trình đồ họa máy tính, ánh xạ nghịch đảo được sử dụng làm kĩ thuật để 
tổ chức bản đồ 2D và 3D với ánh xạ kết cấu (texture mapping); còn trong mạng máy tính, 
người ta lại sử dụng ánh xạ ngược trong kĩ thuật quét mạng để thu thập thông tin địa chỉ IP 
không hoạt động để xác định xem địa chỉ IP nào đang hoạt động và được liên kết với máy 
chủ (Talukda, 2020). 
 Lí thuyết ánh xạ nghịch đảo cổ điển phát biểu rằng, nếu đạo hàm của một ánh xạ liên 
tục f : nk→ ở điểm 0 thuộc n không suy biến, f (0)= 0 thì với bất kì y k đủ nhỏ 
tồn tại một nghiệm x= R( y) của phương trình f( x) = y , hơn nữa ánh xạ R liên tục tại 
không điểm (zero). Ngoài ra, nếu f khả vi liên tục thì liên tục. 
Cite this article as: Vu Thi Phuong, & Le Anh Nhat (2021). Build an inverse function in a neighbourhood 
of an abnormal point under weak smoothness assumptions. Ho Chi Minh City University of Education Journal 
of Science, 18(6), 1076-1084. 
 1076 
Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Vũ Thị Phương và tgk 
 Trong trường hợp f '(0) suy biến thì điều kiện đủ để mở rộng phương trình đã được 
đưa ra trong bài báo của A. V. Arutyunov (Arutyunov, 2006), trong bài báo đó, tác giả đã 
chỉ ra kết quả trong trường hợp f '(0) 0. Cho một ánh xạ f : nk→ khả vi liên tục hai 
lần trong vùng lân cận của không điểm, f (0)= 0 sao cho f '(0)= 0. Nếu tồn tại một véctơ 
v n sao cho f''(0)[ v , v ]= 0 và fv''(0).[ ,nk ] = thì tồn tại một lân cận V tại không 
điểm, một ánh xạ liên tục RV: → n và một hằng số C sao cho: 
 (i) f[ R ( x )]= x ,  x V ; 
 (ii) R(0)= 0; 
 (iii) R( x ) C x ,  x V . 
 Trong bài báo này, chúng tôi sẽ nghiên cứu sự tồn tại của ánh xạ nghịch đảo được khảo 
sát trong trường hợp . Như đã nêu ở trên, nhưng với giả thiết suy yếu về độ trơn 
của ánh xạ f , chúng tôi sẽ xây dựng một định lí về ánh xạ nghịch đảo được áp dụng cho 
bài toán ánh xạ ngược. 
2. Nội dung 
2.1. Các kiến thức cơ bản 
Định nghĩa 1. (Nguyen, Phi, & Nong, 2003) Cho VR, là hai không gian tuyến tính thực. 
Ta có các định nghĩa sau: 
 1) Ánh xạ f: V → V được gọi là song tuyến tính trên V nếu: 
 (i) f(,)(,)(,) x1+ x 2 u = f x 1 u + f x 2 u , f( x , u1+ u 2 ) = f ( x , u 1 ) + f ( x , u 2 ); 
 (ii) fkxu( , )== kfxu ( , ) fxku ( , ), 
với mọi x,,,,, x1 x 2 u u 1 u 2 thuộc V và k . 
 2) Dạng song tuyến tính f được gọi là đối xứng nếu: 
 f( x , u )= f ( u , x ),  x , u V . 
 3) Ánh xạ f: V → V được gọi là song tuyến tính đối xứng, thì ánh xạ 
 f: V→ , x f ( x ) = f [ x , x ], x V 
được gọi là bậc hai, tương ứng với một ánh xạ đối xứng song tuyến tính f: V → V . Ảnh 
của điểm xV dưới ánh xạ bậc hai kí hiệu là f(x), ảnh của điểm (,)x u V dưới ánh xạ 
song tuyến tính kí hiệu f(x,u). 
Bổ đề 1. Cho fV: → là ánh xạ bậc hai, khi đó: 
 (i) fxuxu(− , + ) = fxx ( , ) − fuu ( , ); 
 (ii) fxuxu(+ , + ) = fxx (,)2(,) + fxu + fuu (,); 
 (iii) f( kx )= k2 f ( x ), 
với bất kì x, u V và  k . 
 1077 
Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Tập 18, Số 6 (2021): 1076-1084 
 Chứng minh. Do f là ánh xạ bậc hai nên ánh xạ fV: → vừa là song tuyến tính 
vừa là đối xứng, nên ta áp dụng định nghĩa 1, ta có: 
 (i) fxuxu(,)(,)(,)− + = fxxu + − fuxu + 
 =fxx(,)(,)(,)(,) + fxu − fux + fuu  
 =−f( x , x ) f ( u , u ); 
 (ii) fxuxu(,)(,)(,)+ + = fxxu + + fuxu + 
 =fxx(,)(,)(,)(,) + fxu + fux + fuu 
 =f(,)2(,) x x + f x u + f (,); u u 
 (iii) fkx()= fkxkx (,) = kfxkx (,) = kfxx22 (,) = kfx (). 
Định nghĩa 2. Véctơ v được gọi là không điểm chính quy của ánh xạ bậc hai 
f : nk→ nếu f( v , v )= 0 và fv(,).nk= 
 Nhận xét: 
 a. Bất kì ánh xạ bậc hai f : nn→ không có không điểm chính quy. Thật vậy, với mỗi 
véctơ v 0 có đẳng thức fv(,)nn= . Do đó, dimf ( v ,n ) = n . Ngoài ra, 
dimf ( v ,n )+= dimker f ( v , ) n , thì ker(v ,n )= {0} . Có nghĩa là f( v )= f ( v , v ) 0 . Vì 
vậy, ánh xạ f không tồn tại không điểm chính quy. 
 b. Ánh xạ dạng bậc hai f : n → , với n 1 và f ()n = luôn tồn tại không điểm 
chính quy v . Thật vậy, với ánh xạ bậc hai f được biết đến dưới dạng chính tắc: 
 n
 2 n 
 f( x )= ki x i ,  x = ( x12 , x ,..., x n ) .
 i
 n
 Nếu ki 0, in=1,2,..., thì fx( ) 0 với  x , điều này mâu thuẫn với giả định 
 . Vì thế, tồn tại i, j= 1,2,..., n với ij sao cho kkij 0, 0 . 
 Chọn v= 0,0,...,0, 1 k ,0,..., 1 k ,0,...,0 . Khi đó 
 ( ij)
 2 2
 f( v )= k 1 k + k 1 k = k k + k k . 
 i( i) j( j) i i j j
 Ngoài ra f(,) x=( k1 x 1 , k 2 x 2 ,..., knn x) ,  x , hay 
 k k
 fx( , )= 0,0,...,0,i ,0,...,j ,0,...,0 0. 
 k k
 i j
 Do fv(,)n = , thế nên fv( )= 0 , vì vậy v là không điểm chính quy của ánh xạ 
dạng bậc hai f . 
 1078 
Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Vũ Thị Phương và tgk 
2.2. Đạo hàm và vi phân 
 nk n
Định nghĩa 3. (Nguyen, & Nguyen, 2018) Cho ánh xạ f : → và điểm x0 . Ánh 
 nk
xạ f gọi là khả vi Fréchet tại điểm 0 nếu có một toán tử tuyến tính →: và ánh xạ 
 nk
g : → sao cho f()()()() x00+ = f x +   + g  và g( )→ 0 nếu  →0 . Toán tử 
tuyến tính  được xác định duy nhất và được gọi là đạo hàm Frechet của ánh xạ f tại điểm 
x0 và kí hiệu là fx'(0 ) . 
 Cho f( x )= ( f12 ( x ), f ( x ),..., fk ( x )) , ma trận toán tử tuyến tính được xác định 
bởi đẳng thức 
 f1()()() x 0  f 1 x 0  f 1 x 0
 x  x  x
 1 2 1
 f2()()() x 0  f 2 x 0  f 2 x 0
 fx'( ) = x  x  x 
 0 1 2 2
 fn()()() x0  f n x 0  f n x 0
 x12  x  xn
 nk
 Nếu ánh xạ f khả vi tại điểm x0 và tồn tại ánh xạ bậc hai f : → và ánh xạ 
 fv() 2
 : nk→ sao cho f( x+ ) = f ( x ) +  f '( x ) + + ( v ) và (vv ) /→ 0 nếu 
 0 0 0 2
v → 0. Ánh xạ được gọi là khả vi hai lần tại điểm x0 , còn ánh xạ bậc hai f(,) x x được 
gọi là đạo hàm bậc hai của ánh xạ f tại điểm x0 và kí hiệu fx''(0 ) . 
Bổ đề 2. Cho ánh xạ bậc hai fV: → . Khi đó f'( x )= 2 f ( x , ), f''( x )= 2 f , với mọi 
xV . 
 Chứng minh. Với  xV chúng ta có: 
 1
 fx(+ ) − fxfxx () = ( +  , +  ) − fxxfx (,)2(,) =  + f (,)2(,)   = fx  + 2(,). f   
 2
Vì vậy, f'( x )= 2 f ( x , ) và f''( x )= 2 f . 
2.3. Hàm nghịch đảo trong vùng lân cận các điểm thông thường 
Định lí 1 (Nguyên lí điểm bất động Brouwer). (Hoang, 2003) Cho X  n là tập hợp 
compact lồi không rỗng, ánh xạ f: X→ X liên tục. Khi đó, tồn tại điểm xX sao cho 
x= f() x . 
Định lí 2. (Arutyunov, Magaril-Ilyaev, & Tikhomirov, 2006) Cho ánh xạ f : nk→ liên 
tục trên một lân cận của không điểm, khả vi tại không điểm, f (0)= 0 và điều kiện chính quy 
 1079 
Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Tập 18, Số 6 (2021): 1076-1084 
f '(0). nk→ được thỏa mãn. Khi đó tồn tại V  k lân cận của không điểm, một hằng 
số C 0 và ánh xạ RV: → n sao cho: 
 (i) f[ R ( y )]= y ,  y V ; 
 (ii) R(0)= 0; 
 (iii) R( y ) C y ,  y V . 
Định lí 3. (Spivak, 1995) Cho ánh xạ f : nk→ khả vi liên tục trên một lân cận của không 
điểm, f (0)= 0 và điều kiện chính quy f '(0). nk→ được thỏa mãn. Khi đó tồn tại 
 lân cận của không điểm, một hằng số và một ánh xạ liên tục sao 
cho: 
 (i) f[ R ( y )]= y ,  y V ; 
 (ii) 
 (iii) R( y ) C y ,  y V . 
Bổ đề 3. Nếu một ánh xạ bậc hai f : nk→ trên một lân cận v của không điểm thì tồn tại 
một ánh xạ liên tục R : kn→ và hằng số C 0 sao cho: 
 (i) f[ R ( y )]= y ,  y k ; 
 (ii) 
 (iii) R( y ) C y ,  y k . 
 Chứng minh. Chúng ta có 
 • Do f( v , v )= 0 nên fv( )= 0 ; 
 • f khả vi liên tục trong các vùng lân cận điểm v ; 
 • fv'( ).nk= , bởi vì f'( v )= 2 f ( v , ) và fv(,).nk= 
 k
 Theo Định lí 3, tồn tại V  lân cận của không điểm, hằng số C0 0 và ánh xạ liên 
tục →:V n sao cho: 
 (i) f[ P ( y )]= y ,  y V ; 
 (ii) P(0)= 0; 
 (iii) P( y )− v C0 y ,  y V . 
Từ quan hệ (iii) ở trên, ta có P()() y− v P y − v C0 y và P() y + C0 y v với 
 yV. 
 Chúng ta sẽ xây dựng ánh xạ cần thiết R. Chọn  0 sao cho  là lân cận của không 
điểm và  V. Với  y k , y 0, chúng ta có y (2. y) V Do đó, ánh xạ 
 1080 
Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Vũ Thị Phương và tgk 
R : kn→ được xác định: Ry( )= 0 nếu y = 0 và R( y )= 2 y P( y( 2 y )) trong 
các trường hợp còn lại. 
 Chúng ta chứng minh rằng f[ R ( y )]= y . Đặt (yy ):= 2 thì 
 22
 fRyfyPy[()]=  () ( 2 y)  =  () yfPy ( 2 y)  =  ()2 yy  ( yy) = , 
với  y k . Do đó, khẳng định (i) của Bổ đề 4 là đúng. 
 Bằng cách chứng minh tương tự, phát biểu (ii) của bổ đề 4 là đúng. Dưới đây sẽ chứng 
minh khẳng định (iii) của Bổ đề 4. 
 Nếu y = 0 chúng ta có RC(0)= 00 0 với  C0 0. 
 Nếu y 0 chúng ta có 
 22yy yy 
 R(), y= P C + v = C y 
 0
  22yy 
với C=+2 /( v C0 / 2) . Như vậy, phát biểu (iii) của Bổ đề 4 đã được chứng minh. 
 Ngoài ra, chúng ta thấy rằng tính liên tục của R tại không điểm tuân theo phát biểu 
(iii) của bổ đề 4. Còn tính liên tục của tại các điểm y 0 xuất phát từ thực tế rằng là 
một thành phần của các ánh xạ liên tục. 
2.4. Hàm nghịch đảo trong vùng lân cận các điểm bất thường 
 Từ những kết quả trên, chúng ta sẽ thiết lập một định lí về hàm nghịch đảo trong vùng 
lân cận của một điểm bất thường. 
Định lí 4. Cho ánh xạ f : nk→ và f (0)= 0, giả sử rằng ánh xạ f liên tục trên một lân 
cận của không điểm, hai lần khả vi tại không điểm, f '(0)= 0, ánh xạ bậc hai f ''(0) có 
 k
không điểm chính quy. Khi đó tồn tại V  ở lân cận tại không điểm, hằng số C0 0 và 
ánh xạ PVR: → n sao cho: 
 (i) f[ P ( y )]= y ,  y V ; 
 (ii) P(0)= 0; 
 (iii) P( y ) C0 y ,  y V . 
 Chứng minh. Vì ánh xạ f hai lần khả vi tại không điểm và liên tục trên lân cận không 
điểm, chúng ta có: 
 1
 f( x )= f (0) + f '(0) x + f ''(0)( x , x ) + ( x ),  x n , 
 2
 2
trong đó (xx )→ 0 nếu x → 0. 
 Đặt Gf:= ''(0) / 2, trong các mối liên hệ f (0)= 0 và f '(0)= 0 thu được 
 1081 
Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Tập 18, Số 6 (2021): 1076-1084 
 f( x )= G ( x ) + ( x ),  x n . 
 Ánh xạ bậc hai G có không điểm chính quy v . Từ Bổ đề 3 tồn tại ánh xạ liên tục 
P : kn→ và hằng số  0 sao cho: 
 (i) G[ P ( y )] y ,  y k ; 
 (ii) P(0)= 0; 
 (iii) P( y )  y ,  y k . 
 Đối với y k , xét phương trình 
 f(), x= y (1) 
với x chưa biết, nó tương đương với phương trình 
 G()(). x+= x y (2) 
 Để khảo sát phương trình (1) và (2), ta xét phương trình: 
 x=− P( y ( x )). (3) 
 Nếu x là nghiệm của phương trình (3) thì x là nghiệm của phương trình (1) và (2). 
Thật vậy, từ phương trình (3) thấy rằng G( x )=− G ( P ( y ( x )). Mà G[ P ( y )]  y đối với mọi 
y k thì G( x )=− y ( x ). Vì vậy, x là một nghiệm của phương trình (1) và (2). 
 2
 Cho số dương tùy ý C1 1/ . Vì (xx ) /→ 0 khi x → 0, nên tồn tại số  sao cho 
 2 2 n
 (x ) C1 x ,  x B , với B là một không gian hình cầu kín trong với tâm ở không 
điểm và bán kính đơn vị. 
 2
 Đối với mọi y −(/  C1  ) B , đặt r( y ):=− y( 1/ C1 ) . Xét ánh xạ 
 :()r y B → n , xác định theo công thức 
 (x )= P ( y − ( x )),  x r ( y ) B . 
Nếu x r() y B thì 
 y (/ −C  )2
 x 1 = . 
 1/−−CC11 1/
 2 2
Vì ()x C1 x và nó có nghĩa: 
 P( y− ()) x  y − () x  |||()| y + x ( || y + |()| x ) 
 2 C ||y
 |y | + C2 x | y | 1 +1 = = r ( y ). 
 ( 1 ) 
 1/−−CC11 1/
 1082 
Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Vũ Thị Phương và tgk 
 Khi đó ánh xạ sẽ biến r() y B thành chính nó. Trong không gian n , tập là 
tập compact lồi. Theo nguyên lí điểm bất động Brouwer, có một điểm x R() y là nghiệm 
của phương trình (3). Do đó Ry() là nghiệm của phương trình (1). 
 2 2 k
 Vì vậy, tồn tại một lân cận VCB=(1/ −1 )  của không điểm và ánh xạ 
PV: → n sao cho f[ P ( y )]= y ,  y V . Ta có x()() y r y B , vì vậy 
 y
 P()()(). y= x y r y = 
 1/ − C1
 −1
 Ta đặt CC:=−( 1/  1 ) , thì P() y C y với  yV. Hiển nhiên P(0)= 0. 
3. Kết luận 
 Tại một điểm bất thường, mà cụ thể đã được trình bày ở trên là tại không điểm và dưới 
các giả thiết suy yếu về độ trơn của ánh xạ f thì tồn tại một ánh xạ nghịch đảo. Vì tính chất 
khả vi và sự tồn tại của các không điểm chính quy không thay đổi theo sự thay đổi của các 
biến, nên định lí về ánh xạ nghịch đảo có thể được xây dựng như sau: 
 nk n
 Cho ánh xạ f : → liên tục trong các điểm lân cận x0 , khả vi hai lần tại 
 n nk
điểm x0 , f'( x00 )= 0,  v : f ''( x )( v , v ) = 0 và f''( x0 )( v , ) = . Khi đó tồn tại lân cận 
 k n
V  của điểm y00= f() x , ánh xạ PV: → và hằng số C 0 sao cho: 
 (i) f[ P ( y )]= y ,  y V ; 
 (ii) P(); y00= x 
 (iii) P( y )− x00 C y − y ,  y V . 
 ❖ Tuyên bố về quyền lợi: Các tác giả xác nhận hoàn toàn không có xung đột về quyền lợi. 
 TÀI LIỆU THAM KHẢO 
Arutyunov, A. V. (Chief Editor), Magaril-Ilyaev, G. G., & Tikhomirov, V. M. (2006). Pontryagin's 
 maximum principle. Proof and applications. Moscow: Factorial. 
Arutyunov, A. V. (2006). Implicit function theorem without a priori assumptions of normality. 
 Computational Mathematics and Mathematical Physics, 46(2), 205-215. 
Hoang, T. (2003). Ham thuc và giai tich ham [Real function and functional analysis]. Hanoi: Vietnam 
 National University, Hanoi. 
Nguyen, D. T. (Chief Editor), Phi, M. B., & Nong, Q. C. (2003). Dai so tuyen tinh [Linear algebra]. 
 Hanoi: Hanoi National University of Education. 
 1083 
Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Tập 18, Số 6 (2021): 1076-1084 
Nguyen, X. H., & Nguyen, V. H. (2018). Quy tac nhan tu Lagrange cho bai toan toi uu ngau nhien 
 [Lagrange multiplier rule for the stochastic optimization problem]. Ho Chi Minh city university 
 of education journal of science: natural sciences and technology, 15(9), 128-135. 
Spivak, M. (1995). Calculus on Manifolds: A modern approach to classical theorems of advanced 
 calculus. Brandeis University. 
Talukda, M. (2020). Dictionary Of Computer & Information Technology. Delhi: Prabhat Prakashan. 
 BUILD AN INVERSE FUNCTION IN A NEIGHBOURHOOD 
 OF AN ABNORMAL POINT UNDER WEAK SMOOTHNESS ASSUMPTIONS 
 Vu Thi Phuong1, Le Anh Nhat2* 
 1 Cao Nguyen Practical High school, Tay Nguyen University, Dak Lak, Vietnam 
 2 Tan Trao University, Tuyen Quang, Vietnam 
 *Corresponding author: Le Anh Nhat – Email: leanhnhat@tuyenquang.edu.vn 
 Received: November 24, 2020; Revised: June 10, 2021; Accepted: June 15, 2021 
ABSTRACT 
 Inverse mapping has been studied and used extensively in mathematics. Especially, it is also 
widely accepted in information technology and electromagnetic devices. This article studies an 
existence of an inverse mapping function in the neighbourhood of a degenerate point under weak 
smoothness assumptions. Initially, a continuous map x is regarded at the degenerate point, 
specifically at zero points, when the first derivative is zero and exists the second derivative with an 
assumption that the map has weakened smoothness. We then prove that there exists an inverse 
mapping. From there, we develop and prove the existence of an inverse mapping when the first 
derivative at a given degenerate point with the weak smoothness of that mapping. 
 Keywords: Brouwer; degenerate point; inverse function; inverse mapping; quadratic map; 
reverse mapping; weak smoothness 
 1084