Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 2: Đại lượng ngẫu nhiên, vectơ ngẫu nhiên

Chương 2: Đại lượng ngẫu nhiên, vectơ ngẫu nhiên  
§1: Đại lượng ngẫu nhiên 
Khái niệm: Đại lượng ngẫu nhiên là đại lượng có thể ngẫu nhiên nhân một số giá trị với xác suất tương ứng xác định. 
Đại lượng ngẫu nhiên là rời rạc nếu số các giá trị của nó là hữu hạn hoặc vô hạn đếm được 
Đại lượng ngẫu nhiên là liên tục nếu tập hợp tất cả các giá trị có thể có của nó lấp đầy ít nhất 1 khoảng trên trục số. 
Khoa Khoa Học và Máy Tính 
1 
Xác Suất Thống Kê. Chương 2 
@Copyright 2010 
 §2: Các phương pháp mô tả đại lượng ngẫu nhiên 1. Bảng phân phối xác suất (chỉ dùng cho rời rạc)  
 Định nghĩa 2.1: () vô hạn 
Chú ý: 
Ví dụ 2.1: 1 người bắn lần lượt từng viên đạn vào bia với xác suất trúng đích của mỗi viên là p, cho đến khi trúng thì dừng. Hãy lập bảng phân phối xác suất của số đạn đã bắn ra cho đến khi dừng lại 
Khoa Khoa Học và Máy Tính 
2 
Xác Suất Thống Kê. Chương 2 @Copyright 2010 
Ví dụ 2.2: đề bài giống bài trên điều kiện ngừng là bắn trúng thì ngừng hoặc bắn hết 20 viên thì ngừng  
2. Hàm phân phối xác suất(rời rạc và liên tục): 
Định nghĩa 2.2: hàm phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên X là : 
Tính chất: 1.F(x) là hàm không giảm 
 2. các t/c đặc trưng 
 3. 
Hệ quả 1: Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục thì liên tục trên toàn trục số 
Khoa Khoa Học và Máy Tính 
3 
Xác Suất Thống Kê. Chương 2 @Copyright 2010 
Hệ quả 2: Nếu X liên tục thì 
Hệ quả 3: Giả sử X rời rạc và có bảng phân phối xác suất như trên.Khi ấy 
Ví dụ 2.3: 
 nếu 
 nếu 
 nếu 
 nếu 
Khoa Khoa Học và Máy Tính 
4 
Xác Suất Thống Kê. Chương 2 @Copyright 2010 
Chú ý : Hàm phân phối bên trái miền giá trị của X và bên phải miền giá trị của X. 
3.Hàm mật độ xác suất(chỉ dùng cho đại lượng ngẫu nhiên liên tục) 
Định nghĩa 2.3: Hàm mật độ xác suất của đại lượng ngẫu nhiên X liên tục là: 
Định lý 2.1: 
Tính chất: 
 t/c đặc trưng 
Khoa Khoa Học và Máy Tính 
5 
Xác Suất Thống Kê. Chương 2 @Copyright 2010 
Chú ý : 1.Trong trường hợp liên tục sự thay đổi tại 1 điểm không có ý nghĩa. 
2 . Hàm mật độ bên ngoài miền giá trị của X. 
Ví dụ 2.4: 
Khoa Khoa Học và Máy Tính 
6 
Xác Suất Thống Kê. Chương 2 
@Copyright 2010 
2. Hãy tìm hàm phân phối 
 nếu x<0 
 ,nếu 
 ,nếu 
3. Hãy tính xác suất để X nhận giá trị trong khoảng: 
Khoa Khoa Học và Máy Tính 
7 
Xác Suất Thống Kê. Chương 2 @Copyright 2010 
Ví dụ 2.5: Hai cầu thủ bóng rổ lần lượt ném bóng vào rổ cho đến chừng nào 1 người ném lọt rổ thì thôi. Lập dãy phân phối của số lần ném của mỗi người nếu xác suất lọt rổ của người thứ nhất,hai là 
Giải: Gọi là xác suất ném trượt bóng của người 1,2 
 X là số bóng của người thứ 1 
Y là số bóng của người thứ 2 
Z là tổng số bóng của cả 2 người 
Khoa Khoa Học và Máy Tính 
8 
Xác Suất Thống Kê. Chương 2 @Copyright 2010 
Khoa Khoa Học và Máy Tính 
9 
Xác Suất Thống Kê. Chương 2 @Copyright 2010 
§3: Véc tơ ngẫu nhiên 
I. Vectơ ngẫu nhiên 
Giả sử là các đại lượng ngẫu nhiên được xác 
định bởi kết quả của cùng 1 phép thử. Khi ấy 
được gọi là một vectơ ngẫu nhiên n chiều 
II. Véctơ ngẫu nhiên rời rạc 2 chiều(X,Y). 
Bảng phân phối xác suất đồng thời: 
Khoa Khoa Học và Máy Tính 
10 
Xác Suất Thống Kê. Chương 2 @Copyright 2010 
 Y 
x 
 y 1 
y 2 
 y h 
 P x 
x 1 
P 11 
P 12 
P 1h 
P 1 
x 2 
P 21 
P 22 
P 2h 
P 2 
x k 
P k1 
P k2 
P kh 
P k 
P Y 
q 1 
q 2 
q h 
1 
Khoa Khoa Học và Máy Tính 
11 
Xác Suất Thống Kê. Chương 2 @Copyright 2010 
2.Bảng phân phối xác suất lề của X và Y 
3.Điều kiện độc lập của X và Y 
Định lý 3.1: X,Y độc lập 
4.Các bảng phân phối xác suất có điều kiện. 
Khoa Khoa Học và Máy Tính 
12 
Xác Suất Thống Kê. Chương 2 @Copyright 2010 
5.Hàm phân phối xác suất đồng thời(rời rạc và liên tục) 
Định nghĩa 3.1: 
Tính chất: 
(1) là một hàm không giảm theo từng biến 
(2) 
(3) 
Hệ quả:(1)Nếu X,Y liên tục thì F(x,y) liên tục trên toàn bộ mặt phẳng. 
(2)Giả sử X,Y rời rạc và có bảng phân phối xác suất như trên, khi ấy ta có: 
Khoa Khoa Học và Máy Tính 
13 
Xác Suất Thống Kê. Chương 2 @Copyright 2010 
Ví dụ 3.1: Giả sử x,y có bảng phân phối xác suất sau: 
 y 
X 
3 
5 
0 
0,1 
0,2 
0,3 
2 
0,3 
0,4 
0,7 
0,4 
0.6 
1 
Khoa Khoa Học và Máy Tính 
14 
Xác Suất Thống Kê. Chương 2 @Copyright 2010 
(1)Tìm bảng phân phối xác suất lề của X: 
(2) Hãy kiểm tra tính độc lập của X và Y 
 là phụ thuộc 
(3)Tìm bảng phân phối của X khi Y=5: 
(4)Tìm hàm phân phối: 
Khoa Khoa Học và Máy Tính 
15 
Xác Suất Thống Kê. Chương 2 @Copyright 2010 
III. Véc tơ ngẫu nhiên liên tục 2 chiều (X,Y) 
1.Hàm phân phối xác suất đồng thời F(x,y) 
2.Hàm mật độ xác suất đồng thời: 
Định nghĩa 3.2: 
Định lý 3.2: 
Khoa Khoa Học và Máy Tính 
16 
Xác Suất Thống Kê. Chương 2 @Copyright 2010 
. 
 HINH 3.1 
Khoa Khoa Học và Máy Tính 
17 
Xác Suất Thống Kê. Chương 2 
@Copyright 2010 
Tính chất: 
(3) 
3. Các hàm mật độ xác suất lề. 
Khoa Khoa Học và Máy Tính 
18 
Xác Suất Thống Kê. Chương 2 
@Copyright 2010 
. Chú ý : Các hàm phân phối xác suất lề: 
4.Điều kiện độc lập của X và Y 
X,Y độc lập 
5.Các hàm mật độ xác suất có điều kiện: 
Khoa Khoa Học và Máy Tính 
19 
Xác Suất Thống Kê. Chương 2 @Copyright 2010 
Ví dụ 3.2: Cho 
 ,nếu 
 ,nếu trái lại 
Xác định tham số a. 
Khoa Khoa Học và Máy Tính 
20 
Xác Suất Thống Kê. Chương 2 @Copyright 2010 
( 2).Tìm các hàm mật độ xác suất lề. 
 , nếu x<0 
Khoa Khoa Học và Máy Tính 
21 
Xác Suất Thống Kê. Chương 2 
@Copyright 2010 
HÌNH 3.2 
Khoa Khoa Học và Máy Tính 
22 
Xác Suất Thống Kê. Chương 2 
@Copyright 2010 
HÌNH 3.3 
Khoa Khoa Học và Máy Tính 
23 
Xác Suất Thống Kê. Chương 2 
@Copyright 2010 
 , nếu y<0 
3.Hãy kiểm tra tính độc lập của X và Y 
Vậy ta có: phụ thuộc 
Khoa Khoa Học và Máy Tính 
24 
Xác Suất Thống Kê. Chương 2 @Copyright 2010 
4.Hãy tìm hàm mật độ xác suất của X khi Y=2 
Tương tự tìm hàm mật độ xác suất của Y khi X=3 
 nếu y<3 
 nếu y 3 
Khoa Khoa Học và Máy Tính 
25 
Xác Suất Thống Kê. Chương 2 
@Copyright 2010 
HÌNH 3.4 
Khoa Khoa Học và Máy Tính 
26 
Xác Suất Thống Kê. Chương 2 
@Copyright 2010 
HÌNH 3.5 
Khoa Khoa Học và Máy Tính 
27 
Xác Suất Thống Kê. Chương 2 
@Copyright 2010 
5.Hãy tìm hàm phân phối xác suất đồng thời F(x,y) 
 ,nếu x<0 hoặc y<0 
 ,nếu 
 ,nếu 
Khoa Khoa Học và Máy Tính 
28 
Xác Suất Thống Kê. Chương 2 
@Copyright 2010 
HÌNH 3.6 
Khoa Khoa Học và Máy Tính 
29 
Xác Suất Thống Kê. Chương 2 
@Copyright 2010 
HÌNH 3.7 
Khoa Khoa Học và Máy Tính 
30 
Xác Suất Thống Kê. Chương 2 
@Copyright 2010 
HÌNH 3.8 
Khoa Khoa Học và Máy Tính 
31 
Xác Suất Thống Kê. Chương 2 
@Copyright 2010 
Ví dụ 3.3: P(-2<X<1,-2<Y<2) = 
 ,D1: -2<x<1 , -2<y<2 
. 
 ,D2:-2<Y<2 
.P(-2<X<1 / -2<Y<2)= 
.P(-2<X<1 / Y=2)= 
Khoa Khoa Học và Máy Tính 
32 
Xác Suất Thống Kê. Chương 2 
@Copyright 2010 
 $4.Hàm của một đại lượng ngẩu nhiên 
Trường hợp rời rạc. 
Giả sử: 
Ví dụ 4.1 : Cho 
 -2 -1 0 1 2 
 0,1 0,2 0,1 0,2 0,4 
Suy ra: 
 0 1 4 
 0,1 0,2+0,2 0,5 
Khoa Khoa Học và Máy Tính 
33 
Xác Suất Thống Kê. Chương 2 
@Copyright 2010 
Ví dụ 4.2: Cho 1 2  k  p pq... ...  
Hãy lập bảng phân phối xác suất của hàm 
 -1  1 
Khoa Khoa Học và Máy Tính 
34 
Xác Suất Thống Kê. Chương 2 
@Copyright 2010 
2. Trường hợp liên tục : Gỉa sử cho X liên tục 
Bước 1. Tìm miền giá trị của 
Bước 2. 
Bước 3. 
Khoa Khoa Học và Máy Tính 
35 
Xác Suất Thống Kê. Chương 2 @Copyright 2010 
Định nghĩa 4.1: đại lượng ngẫu nhiên X gọi là có phân phối đều trên đoạn kí hiệu X~U ,nếu 
 nếu x<a 
Chú ý : Nếu X có phân phối đều thì cũng có phân phối đều, với là các hằng số. 
Khoa Khoa Học và Máy Tính 
36 
Xác Suất Thống Kê. Chương 2 
@Copyright 2010 
Ví dụ 4.3 : Cho X có phân phối đều trên đoạn [0,1] . 
(1) Tìm hàm mật độ của Y= - lnX 
(2)Tìm hàm mật độ của Z= - 3X+2 
Bài giải : 
B1: Y= - lnX > 0 
B2: 
Xét 
B3. 
Khoa Khoa Học và Máy Tính 
37 
Xác Suất Thống Kê. Chương 2 
@Copyright 2010 
 $4 . Hàm của hai đại lượng ngẫu nhiên 
Trường hợp rời rạc. 
Giả sử: 
Ví dụ 4.1: Cho X,Y có bảng 
Tìm bảng phân phối xác suất của X+Y và X.Y 
 Y 
X 
3 
5 
0 
0,1 
0,2 
2 
0,3 
0,4 
Khoa Khoa Học và Máy Tính 
38 
Xác Suất Thống Kê. Chương 2 
@Copyright 2010 
Giải: 
 X+Y 3 5 7 
 0,1 0,2+0,3 0,4 
 XY 0 6 10 
 P 0,1+0,2 0,3 0,4 
2.Trường hợp liên tục: 
Bước 1: Tìm miền giá trị của 
Khoa Khoa Học và Máy Tính 
39 
Xác Suất Thống Kê. Chương 2 @Copyright 2010 
Bước 2 
Bước 3. 
Ví dụ 4.2: 
 ,nếu 
 ,nếu trái lại. 
 Tìm hàm phân phối của Z=X+Y 
Khoa Khoa Học và Máy Tính 
40 
Xác Suất Thống Kê. Chương 2 
@Copyright 2010 
 Giải: 
Bước 1: 
Bước 2: 
 = diện tích 
Khoa Khoa Học và Máy Tính 
41 
Xác Suất Thống Kê. Chương 2 
@Copyright 2010 
HÌNH 4.1 
HÌNH 4.2 
Khoa Khoa Học và Máy Tính 
Xác Suất Thống Kê. Chương 2 
@Copyright 2010 
42