Điều kiện tối ưu cần cho cực tiểu Pareto yếu địa phương của bài toán tối ưu vectơ có ràng buộc

 tiêu là khả vi Gâteaux tại điểm tối ưu cho trước, chúng 
TỪ KHÓA tôi thiết lập điều kiên tối ưu cần cấp hai dạng đối ngẫu cho cực tiểu 
 Pareto yếu địa phương của bài toán tối ưu thông qua ngôn ngữ đạo 
Điều kiện cần tối ưu cấp hai hàm suy rộng Clarke và đạo hàm theo hướng suy rộng trên cấp hai 
Cực tiểu Pareto yếu địa phương dạng Páles-Zeidan. Kết quả thu được trong bài báo là mới và chúng 
 tôi cũng đề xuất một số ví dụ cho mô tả kết quả mới của bài báo.
Đạo hàm suy rộng Clarke 
Điều kiện tối ưu 
Đạo hàm theo hướng suy rộng trên 
cấp hai Páles-Zeidan 
DOI: https://doi.org/10.34238/tnu-jst.4319 
* Corresponding author. Email: ddhang@ictu.edu.vn 
 247 Email: jst@tnu.edu.vn 
 TNU Journal of Science and Technology 226(07): 247 - 253 
1. Mở đầu 
 Giả sử X là một không gian Banach, C là một tập con mở khác rỗng trong X , hàm giá trị 
 p
vectơ f =( f1,..., f p ):C → R và các hàm giá trị thực gi :C → R,i =1,2,...,m . Trong bài báo 
này, chúng tôi nghiên cứu bài toán tối ưu vectơ với ràng buộc tập và bất đẳng thức dạng: 
 min f (x) (hay f (x)→min ) (p) thỏa mãn x K 
 Trong đó, tập chấp nhận được K của bài toán tối ưu vectơ (P) có dạng: 
 K := x C :gi (x) 0,i =1,2,...,m. 
 Một vectơ x K được gọi là cực tiểu Pareto yếu địa phương của bài toán tối ưu vectơ (P), 
nếu tồn tại một lân cận min f (x) U của x sao cho không tồn tại bất kỳ x K U để 
 fi (x) f j (x), j =1,2,..., p . 
 Trường hợp U = X , từ “địa phương” có thể bỏ qua cho nghiệm cực tiểu Pareto yếu. 
 Nếu một vectơ là một cực tiểu Pareto yếu của bài toán tối ưu vectơ (P) thì cũng là một 
cực tiểu Pareto yếu địa phương của bài toán. Do đó, trong nhiều bài toán tối ưu, tính chất nghiệm 
địa phương được ưu tiên trong thiết lập tính hữu hiệu “cần” cấp 1 và cấp 2. 
 Bài toán tối ưu vectơ (P) với điều kiện Lipschitz địa phương được nhiều tác giả quan tâm 
nghiên cứu trong thời gian gần đây, nhưng giả thiết về hàm mục tiêu và ràng buộc ít nhất là khả 
vi liên tục. Trong nhiều kết quả về lĩnh vực điều kiện tối ưu cấp 2 tốt hơn cấp 1, nghĩa là điều 
kiện tối ưu cấp 2 chứa nhiều thông tin hơn điêu kiện tối ưu cấp 1, chúng còn làm mịn được các 
thông tin trong điều kiên tối ưu cấp 1. Trong nhiêu bài toán tối ưu vectơ, các điều kiện tối ưu cấp 
1 không thể sử dụng cho kiểm tra kết quả tối ưu hay thiết kế thuật toán số trong thực hành mà cần 
đến điều kiện tối ưu cấp 2. Đấy là lý do chính tại sao chúng tôi cần nghiên cứu điều kiện tối ưu 
cấp 2 trong bài báo này. Để bạn đọc có một góc nhìn toàn diện hơn về các điều kiện tối ưu cấp 2 
đã biết, chúng tôi giới thiệu một vài vấn đề mang tính lịch sử đã được đề cập trong các bài báo uy 
tín như sau: Năm 1999, Bonnans-Cominetti-Shapiro [1] sử dụng đạo hàm parabolic cấp 2 để thiết 
lập điều kiện cần tối ưu vectơ có ràng buộc; năm 2003, Guerraggio-Luc [2] nghiên cứu điều kiện 
tối ưu cấp 2 cho bài toán tối ưu đa mục tiêu vectơ với dữ liệu trong lớp C 0,1 và C1,1 , và cũng 
trong thời điểm này, Jiménez-Novo [3]-[5] thu được điều kiện tối ưu cấp 2 cho bài toán tối ưu 
vectơ với dữ liệu là các hàm khả vi được mô tả thông qua các tập tiếp liên cấp 2. Kế tiếp đến năm 
2010, Gutiérrez-Jiménez-Novo [6] sử dụng các tập tiếp tuyến cấp 2 thiết lập điều kiện tối ưu cấp 
2 cho bài toán tối đa mục tiêu có ràng buộc; năm 2018, Luu [7] biểu diễn điều kiện tối ưu cấp 2 
dạng cơ bản và đối ngẫu cho bài toán tối ưu đa mục tiêu với ràng buộc sử dụng đạo hàm theo 
hướng cấp 2 dạng Páles-Zeidan. Gần đây nhất vào năm 2020, Constantin [8] cung cấp điều kiện 
tối ưu cấp 2 dạng cơ bản theo đạo hàm suy rộng Clarke và đạo hàm theo hướng cấp 2 dạng Páles-
Zeidan. 
 Nối tiếp kết quả của Constantin [8], chúng tôi cung cấp trong bài báo này điều kiện tối ưu cần 
cấp 2 dạng đối ngẫu cho cực tiểu Pareto yếu địa phương trong không gian Banach với dữ liệu bài 
toán Lipschitz địa phương tại thời điểm tối ưu cho trước. Ngoài ra, chúng tôi cũng đề xuất một số 
ví dụ mô tả kết quả mới của bài báo. 
2. Kiến thức chuẩn bị 
 Trong bài báo này chúng tôi quy ước: 
 0 (− )=0 và 0 =0 , 
 248 Email: jst@tnu.edu.vn 
 TNU Journal of Science and Technology 226(07): 247 - 253 
 Với mỗi số tự nhiên n , ký hiệu I n là tập n số tự nhiên đầu tiên bắt đầu từ 1. Phần trong topo 
và bao đóng poto của một tập con A trong X được ký hiệu tương ứng bởi convA và riA . Số 
phần tử của tập A được mô tả như A . 
 Định nghĩa sau đóng vai trò then chốt trong bài báo, bạn đọc có thể thấy trong Clarke [9], V. 
I. Ivanov [10] and Constantin [8]. 
 Định nghĩa 2.1 Cho f là một hàm giá trị thực Lipschitz địa phương trên một tập mở C của 
X và x0 X . Ta có các định nghĩa sau: 
 (a) Đạo hàm suy rộng Clarke của f tại x0 được xác định bởi: 
 0 f (x + tv) − f (x)
 f (x0 ,v) := lim sup 
 + t
 (x,t)→(x0 ,0 )
 (b) Đạo hàm theo hướng suy rộng trên cấp hai kiểu Páles-Zeidan của tại được xác định bởi: 
 00 f()()(;) x0+ tv − f x 0 − tf x 0 v
 f( x0 , v ) := limsup2 , v X
 t→0+ t
 2 
 Chú ý 2.2 Theo Clarke [9], nếu là hữu hạn chiều, f là Lipschitz địa phương xung quanh 
 , chính quy trong trường hợp của Clarke và khả vi Gâteaux tại của được ký hiệu bởi 
 G
f (x0)(v), (v X),thì chúng ta luôn có đẳng thức đúng:
 0 G
 f (x0,v):= f (x0)(v), v X
 Đặc biệt, nếu là khả vi Fréchet và liên tục xung quanh và khả vi theo hướng cấp 2 tại 
 theo hướng v X , ta cũng thu được: 
 f 00 (x ,v) = f G (x )(v), v X
 0 0 
 Ở đây 
 '" f()()(;) x0+ tv − f x 0 − t  f x 0 v
 f( x0 , v ) := limsup 2 
 t→0+ t
 2
 và f (x0 ) là đạo hàm Fréchet tại của hàm . 
 Với mỗi x K (điểm chấp nhận được), tập chỉ số hoạt của bài toán tối ưu vectơ (P) ký hiệu
I(x):= i I : g (x) = 0
 m i  
 Khi đề cập đến dữ liệu của bài toán (P), luôn giả thiết rằng các hàm f1,..., f p và gi (i I(x)) 
Lipschitz địa phương trên tập mở khác rỗng C  X , các hàm gi (i Im \ I(x)) liên tục tại điểm 
chấp nhận được x . 
 Một phương v X được gọi là trọng tâm tại điểm x nếu: 
 f 0 (x;v) 0, j I
 j P 
 0
 gi (x;v) 0,i I(x).
 Với trọng tâm v , ký hiệu: 
 0
 J(x;v)= j I p :f j (x;v)=0, 
 249 Email: jst@tnu.edu.vn 
 TNU Journal of Science and Technology 226(07): 247 - 253 
 0
 I(x;v)= i I(x):fi (x;v)=0 
 Chuẩn hóa ràng buộc cấp 2 dạng Zingwill ký hiệu (ZSCQ) được thỏa mãn nếu: 
 B(x;v) A(x;v), 
 Trong đó: 
 A(x;v):= w X :i I(x;v) i 0: 
 1 2 
 gi x + tv + t w 0,t (0;i ) 
 2 
 0 00
 B (x;v):= w X :gi (x; w)+ gi (x;v) 0,i I(x;v) 
 Định lý 2.3 (xem Constantin [8]) Giả sử x K là một cực tiểu Parteto yếu địa phương của 
(P). Khi đó, với mọi hướng trọng tâm v X thỏa mãn (ZSCQ), hệ sau không có nghiệm 
w X 
 f 0 (x;w)+ f 00 (x;v) 0, j J (x;v),
 j j 
 0 00
 gi (x;w)+ gi (x;v) 0,i I(x;v).
3. Kết quả mới của bài báo 
 Xét bài toán tối ưu vectơ có ràng buộc tập và bất đẳng thức (P) được xác định trong phần 2. 
Một điều kiện tối ưu cần cấp 2 dạng đối ngẫu cực tiểu Pareto yếu địa phương của bài toán (P) 
theo ngôn ngữ đạo hàm suy rộng Clarke và đạo hàm theo hướng suy rộng trên cấp 2 được thiết 
lập như sau: 
 Định lý 3.1. (Điều kiện tối ưu cấp 2 cho là một cực tiểu yếu địa phương dạng đối 
ngẫu) Cho là một cực tiểu Pareto yếu địa phương của bài toán (P). Giả sử X hữu hạn 
chiều, các hàm mục tiêu và các ràng buộc hàm f1,..., f p và gi (i I(x)) chính quy trong trường 
hợp của Clarke và khả vi Gâteaux tại x . Khi đó, với mọi hướng trọng tâm v X thỏa mãn 
(ZSCQ), tồn tại j 0(j J(x;v)) và không đồng thời bằng 0 sao cho với mọi w X , 
 G G
  i f j (x)(w)+  i gi (x)(w) 0, (1) 
 j J (x;v) i I (x;v)
 00 00
  i f j (x)(w)+  i gi (x)(w) 0, (2) 
 j J (x;v) i I (x;v)
 i gi (x)=0,i Im. (3) 
 Chứng minh. Giả sử tất cả các giả thiết của định lý 3.1 được thỏa mãn. Do X hữu hạn chiều, 
các ánh xạ hàm và gi (i I(x)) chính quy trong trường hợp của Clarke và khả vi 
Gâteaux tại x, chúng ta suy ra các đẳng thức sau đúng: 
 0 G
 f j (x;v)= f j (x)(v), j J(x;v) 
 0 G
 gi (x;v)=gi (x)(v), i I(x;v). 
 Xét tập: 
 G G
 L :=  f j (x)(X )  gi (x)(X )
 j J (x;v) i I (x;v) 
 G G G G
 L:=  f j (x)(X )  gi (x)(X ) =  f j (x)(w):w X  gi (x)(w): w X
 j J (x;v) i I (x;v) j J (x;v) i I (x;v) 
 250 Email: jst@tnu.edu.vn 
 TNU Journal of Science and Technology 226(07): 247 - 253 
 mà phần trong tương đối của L không chứa vectơ l , ở đây 
 Xét tập 
 G G
 L :=  f j (x)(X )  gi (x)(X ) 
 j J (x;v) i I (x;v)
 G
 =  f j (x)(w): w X 
 j J (x;v)
 G
  gi (x)(w): w X 
 i I (x;v)
 mà phần trong tương đối của không chứa vectơ , ở đây 
 l := − f 00 (x;v),...,− f 00 (x;v), 
 1 J (x;v)
 − g 00 (x;v),...,− g 00 (x;v) . 
 1 I (x;v) 
 Sở dĩ ta có kết quả như trên là do X hữu hạn chiều, tập L là một nón lồi và theo giả thiết 
rằng hướng trọng tâm v X thỏa mãn (ZSCQ), theo Định lý 2.3, L không chứa vectơ l và 
ngoài ra phần trong tương đối của cũng là tập khác rỗng. Sử dụng định lý tách một điểm và 
tập là phần trong tương đối rời nhau (xem Rock-afellar [11]), tồn tại j 0(j J(x;v)) và 
i 0(i I(x;v)) không đồng thời bằng 0 thỏa mãn các bất đẳng thức sau: 
 G G
  i f j (x)(w1)+  i gi (x)(w2 ) 0 
 j J (x;v) i I (x;v)
 với mọi w1,w2 X và 
 00 00
  i f j (x;v)+  i gi (x;v) 0 
 j J (x;v) i I (x;v)
 Do đó, các điều kiện (1)-(2) đúng. Đặt i = 0 trong trường hợp i Im \ I(x;v), nhận được 
kết quả (3). 
 Định lý được chứng minh. 
 Trong trường hợp các hàm mục tiêu và ràng buộc của bài toán (P) khả vi Fréchet, liên tục 
xung quanh điểm tối ưu và khả vi theo hướng cấp 2 tại điểm đó theo hướng trọng tâm v X , 
chúng tôi thiết lập điều kiện cần tối ưu cấp 2 dạng đối ngẫu cho cực tiểu Pareto yếu địa phương 
theo đạo hàm theo hướng cấp 2 qua Định lý sau: 
 Định lý 3.2. (Điều kiện cần tối ưu cấp 2 dạng đối ngẫu cho cực tiểu Pareto yếu địa 
phương theo đạo hàm theo phương cấp 2) Giả sử tất cả các giả thiết của Định lý 3.1 được thỏa 
mãn, các hàm mục tiêu và ràng buộc f1,..., f p và gi (i I(x)) của bài toán (P) khả vi Fréchet, 
liên tục xung quanh x, và khả vi theo hướng cấp 2 tại điểm đó theo hướng trọng tâm thỏa 
mãn (ZSCQ), tồn tại và i 0(i Im ) không đồng thời bằng 0 sao cho với 
mọi w X , 
 G G
   j f j (x)(w)+  i gi (x)(w) 0, (4) 
 j J (x;v) i I (x;v)
 n n
   j f j (x;v)+  i gi (x;v) 0, (5) 
 j J (x;v) i I (x;v)
 i gi (x)=0,i Im. (6) 
 251 Email: jst@tnu.edu.vn 
 TNU Journal of Science and Technology 226(07): 247 - 253 
 Chứng minh. Áp dụng Định lý 3.1, tồn tại j 0(j J(x;v)) và i 0(i Im ) không đồng 
thời bằng 0 sao cho với mọi w X , các điều kiện (1), (2) và (3) được nghiệm đúng. Sử dụng giả 
thiết ban đầu cùng với Chú ý 2.2, ta có: 
 '' 00
 f j (x;v) = f j (x;v) j J(x;v), 
 '' 00
 gi (x;v)=gi (x;v) i I(x;v). 
 Vậy các điều kiện (4), (5) và (6) cũng được thỏa mãn. 
 Định lý được chứng minh. 
 Chú ý nếu chúng ta đổi tính khả vi Gâteaux tại điểm bằng tính khả vi Fréchet trong một lân 
 cận điểm x , dễ dàng kiểm tra được kết quả thu được trong Định lý 3.1 và Định lý 3.2 vẫn còn 
 đúng nếu thay bất đẳng thức cũ: 
 G G
   j f j (x)(w)+  i gi (x)(w) 0, 
 j J (x;v) i I (x;v)
 bằng bất đẳng thức mới: 
   jf j (x)(w)+  igi (x)(w) 0, 
 j J (x;v) i I (x;v)
 Chúng tôi minh họa Định lý qua ví dụ sau: 
 2
 Ví dụ 3.3. Xét bài toán (P), trong đó p = 2, m =1, C = R và x = (0,0) . Khi đó, 
 2 2 2 2
 f = ( f1, f2 ): R → R và g = g1 : R → R , ở đây, với mọi x = (x1, x2 ) R , 
 2 4
 f1(x) := (x1 − x2 ) + x1 +1, 
 2 2 6
 f2 (x) := −x1 − x2 + x2 , 
 4
 g1(x) := x1 − x2 − x1 . 
 2 4
 Tập chấp nhận được của bài toán (P) có dạng K = x R : x1 x2 + x1 . Dễ thấy là một 
 2
cực tiểu Pareto yếu địa phương của bài toán (P) vì f1(x) f2 (x) với mọi x R và các hàm 
f1 , f2 , g1 thỏa mãn các giả thiết của Định lý 3.1 và Định lý 3.2. Chọn hướng trọng tâm v thỏa 
mãn v = (0,v2 ) R R+ . Ta có I(x)= 1, J(x;v)= 1,2,. Dễ thấy chuẩn hóa ràng buộc 
dạng Zing-will (ZSCQ) thỏa mãn. Theo Định lý 3.1 và Định lý 3.2, tồn tại 1 0,2 0 và 
1 0 với 1 = 2 =1 0 sao cho các điều kiện (1), (2) và (3) (hoặc các điều kiện (4), (5) và 
(6)) đúng. Thật vậy, trong cách thiết lập ta có vế trái của (1) (hoặc (4)) bằng 0, trong khi với 
 2
 và 1 = 0 , ta có vế phải của (2) (hoặc (5)) bằng v2 0 và hiển nhiên (3) được 
thỏa mãn. 
4. Kết luận 
 Dựa vào điều kiện cần tối ưu cấp 2 được biểu diễn ở dạng cơ bản cho cực tiểu Pareto yếu địa 
phương trong bài báo của Constantin [8], chúng tôi đã thiết lập được một số điều kiện cần tối ưu 
cấp 2 dạng đối ngẫu cho cực tiểu Pareto yếu địa phương của bài toán tối ưu vectơ có ràng buộc 
tập và bất đẳng thức thông qua ngôn ngữ đạo hàm suy rộng Clarke và đạo hàm theo hướng suy 
rộng trên cấp 2 dạng Pasles-Zeidan trong không gian Banach. Kết quả nhận được có thể mô tả 
trong trường hợp các hàm mục tiêu và ràng buộc của bài toán (P) là khả vi Fréchet và liên tục 
xung quanh điểm tối ưu và khả vi theo hướng cấp 2 tại điểm đó theo hướng trọng tâm v X , 
hoặc trong trường hợp các hàm này khả vi liên tục Fréchet trong một lân cận điểm . Kết quả 
đạt được trong bài báo có thể được áp dụng để xây dựng các thuật toán cho bài toán tối ưu vectơ. 
 252 Email: jst@tnu.edu.vn 
 TNU Journal of Science and Technology 226(07): 247 - 253 
 TÀI LIỆU THAM KHẢO/ REFERENCES 
[1] J.-F. Bonnans, R. Cominetti, and A. Shapiro, "Second order optimality conditions based on parabolic 
 second order tangent sets," SIAM J. Optim., vol. 9, no. 2, pp. 466-492, 1999. 
[2] A. Guerraggio and D. T. Luc, "Optimality conditions for C1;1 constrained multiobjective problems," J. 
 Optim. Theory Appl., vol. 116, pp. 117-129, 2003. 
[3] B. Jiménez and V. Novo, "First and second order sufficient conditions for strict minimality in 
 nonsmooth vector optimization," J.Math. Anal. Appl., vol. 284, pp. 496-510, 2003. 
[4] B. Jiménez and V. Novo, "Second order necessary conditions in set constrained differentiable vector 
 optimization," Math. Meth.Oper. Res., vol. 58, pp. 299-317, 2003. 
[5] B. Jiménez and V. Novo, "Optimality conditions in differentiable vector optimization 
 via second-order tangent sets," Math. Meth. Oper. Res., vol. 9, pp. 123-144, 2004. 
[6] C. Gutierrez, B. Jiménez, and V. Novo, "On second-order Fritz John type optimality conditions in 
 nonsmooth multiobjective programming," Math. Program., Ser. B, vol. 123, pp. 199-223, 2010. 
[7] V. L. Do, "Second-order necessary efficiency conditions for nonsmooth vector equilibrium problems," 
 J. Glob. Optim., vol. 70, pp. 437- 453, 2018. 
[8] E. Constantin, "Second-order optimality conditions in locally Lipschitz inequalityconstrained 
 multiobjective optimization," J. Optim. Theory Appl., vol. 186, pp. 50-67, 2020. 
[9] F. H. Clarke, Optimization and Nonsmooth Analysis. Wiley, New York, 1983. 
[10] V. I. Ivanov, "Second-order optimality conditions for vector problems with continuously Fréchet 
 differentiable data and secondorder constraint qualifications," J. Optim. Theory Appl., vol. 166, pp. 
 777-790, 2015. 
[11] R. T. Rockafellar, Convex Analysis. Princeton University Press, Princeton, 1970. 
 253 Email: jst@tnu.edu.vn