Từ câu hỏi truyền thống đến trắc nghiệm khách quan - Môn học: Đánh giá trong giáo dục Toán

 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ 
 KHOA TOÁN 
TỪ CÂU HỎI TRUYỀN THỐNG ĐẾN 
 TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN 
 MÔN HỌC: ĐÁNH GIÁ TRONG GIÁO DỤC TOÁN 
 Sinh viên thực hiện: Trần Thị Bích Thủy 
 Mã sinh viên: 12S1011155 
 Lớp: Toán 4T 
 Huế, tháng 4 năm 2017 
 TỪ CÂU HỎI TRUYỀN THỐNG ĐẾN TRẮC NGHIỆM 
 KHÁCH QUAN 
 CHỦ ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN 
Bài toán: 
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ cho hai đường tròn ( ) , 
( ) cùng đi qua điểm ( ). Viết phương trình đường thẳng qua 
và cắt hai đường tròn ( ) và ( ) lần lượt tại sao cho . 
Lời giải 
Cách 1: 
Đường tròn ( ) có tâm ( ), bán kính ; đường tròn ( ) có tâm ( ), bán kính 
 , suy ra: 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 
Gọi là đường thẳng cần tìm và ⃗ ( ) là vectơ chỉ phương của đường thẳng 
Đường thẳng đi qua điểm ( ) nên phương trình tham số của có dạng: 
 { 
Vì nên ( ) ( ). 
Ta có: 
 ( ) ( ) ( ) 
 ( )
 [ 
 ( ) 
 ( ) ( ) ( ) 
 ( )
 [ 
 ( ) 
Suy ra: 
 ( ) ( ) 
 ( ) ( ) 
Theo đề bài, ta có: 
 [ ] 
 ( ) ( ) ( ) ( ) 
 ( ) ( ) 
 ( ) ( ) 
 [ 
Với , ta chọn ⃗ ( ), khi đó phương trình của là: 
 ( ) { 
hay ( ) . 
Với ta chọn ⃗ ( ) khi đó phương trình của là: 
 ( ) { 
hay ( ) . 
Nhận xét: 
 Bài toán này là một tổng hợp nhiều các kiến thức và kỹ năng liên quan đến đường thẳng 
và đường tròn. Việc cơ bản học sinh phải làm được đó là phải đọc được các dữ kiện cần thiết khi 
cho biết phương trình của hai đường tròn và mô tả bài toán bằng hình vẽ. 
 Tiếp theo, học sinh phải biết cách viết phương trình của một đường thẳng và biết cách 
kiểm tra một điểm có thuộc đường thẳng hay không. Bên cạnh đó, học sinh còn phải biết vận 
dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm vào bài toán này. 
 Cuối cùng, theo yêu cầu của đề bài, học sinh sử dụng các kỹ thuật tính toán để đưa ra đáp 
án cho bài toán này. 
 Được phân tích theo cách này, ta thấy rõ ràng bài toán 1 đang cố gắng để làm nhiều thứ 
cùng một lúc. Tuy nhiên, nếu học sinh thất bại ngay ở bước đầu, thì bài toán 1 không thể cho ta 
biết điều gì về khả năng của các em về các khía cạnh khác của câu hỏi, chẳng hạn, các em có thể 
nêu được phương trình tham số của một đường thẳng và tìm được các giao điểm của đường 
thẳng với đường tròn hay không Trắc nghiệm khách quan (TNKQ) cho chúng ta cơ hội để tìm 
ra những phần nào của bài toán mà học sinh có thể trả lời được. 
 Với phương trình của đường tròn như ở bài toán trên, một câu hỏi có thể được sử dụng để 
kiểm tra kiến thức của học sinh như sau: 
Câu 1: Cho đường tròn ( ) . Tâm và bán kính của đường tròn 
( ) lần lượt là: 
A) ( ) √ B) ( ) √ 
C) ( ) √ D) ( ) √ 
Phân tích các phương án: 
Ở câu này, nếu học sinh nắm vững kiến thức về phương trình đường tròn và công thức tính bán 
kính , thì học sinh sẽ chọn nhanh đáp án đúng là C). 
Ở đáp án A), học sinh quên cách xác định tâm và nhớ sai công thức tính bán kính của đường 
tròn, ở đây, học sinh tính √ . 
Đối với đáp án B), học sinh xác định được tâm nhưng sử dụng công thức tính bán kính bị sai như 
ở trên. 
Đối với đáp án D) thì ngược lại, học sinh quên cách xác định tâm nhưng tính đúng bán kính của 
đường tròn. 
 Bước thứ hai của bài toán là khả năng gọi ra được phương trình tham số của đường thẳng 
và biết cách kiểm tra một điểm có thuộc đường thẳng không. Sau đây là một số câu trắc nghiệm 
giúp kiểm tra các kỹ năng này. 
Câu 2: Trong mặt phẳng tọa độ , cho điểm ( ) và điểm ( ). Phương trình của 
đường thẳng đi qua hai điểm là: 
A) { B) { 
C) { D) { 
Phân tích các phương án: 
Ở câu này, nếu học sinh đã thành thạo việc viết phương trình của đường thẳng đi qua hai điểm, 
thì học sinh sẽ tính nhanh vectơ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ và chọn đáp án đúng là B). 
Ở đáp án A), học sinh tính toán cẩu thả nên bị sai tọa độ VTCP. 
Đối với đáp án C), học sinh bị hỏng kiến thức về phương trình tham số của đường thẳng, ở đây, 
học sinh để sai vị trí tọa độ của điểm và tọa độ VTCP trong phương trình. 
Đối với đáp án D), học sinh cẩu thả nên chọn sai. 
Câu 3: Cho đường thẳng có PTTS sau 
 { 
Trong các điểm sau, điểm nào không thuộc đường thẳng ? 
A) ( ) B) ( ) C) ( ) D) ( ) 
Phân tích các phương án: 
Ở câu này, học sinh nào hiểu được ứng với mỗi t trong phương trình là một điểm duy nhất, thì 
em đó sẽ nhanh chóng chọn đáp án đúng ở đây là A). 
Đáp án B), điểm ( ) ứng với . 
Đáp án C), điểm ( ) ứng với . 
Đáp án D), điểm ( ) ứng với . 
 Bước thứ ba là kiểm tra kỹ năng xác định giao điểm của đường thẳng với đường tròn. 
Một số câu hỏi phù hợp để kiểm tra kỹ năng này của học sinh như sau: 
Câu 4: Cho đường tròn ( ) và đường thẳng . Mệnh đề 
nào sau đây là đúng: 
 I. ( ) có tâm là ( ) và bán kính là ; 
 II. Khoảng cách từ tâm của ( ) đến đường thẳng bằng √ ; 
III. cắt ( ) tại hai điểm có √ ; 
A) Chỉ I B) Chỉ II C) I và III D) I và II 
Phân tích các phương án: 
Ở câu hỏi này, học sinh có thể nhanh chóng thấy mệnh đề I là đúng. Đối với mệnh đề II và III, 
học sinh phải nhận ra được công thức tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng là một 
công cụ hỗ trợ thích hợp. Từ đó, sử dụng các kỹ thuật tính toán, học sinh sẽ chọn được đáp án 
đúng là C). 
Đối với đáp án B), học sinh tính cẩu thả hoặc do quên công thức. 
Đối với đáp án D), học sinh xác định được tâm và bán kính của đường tròn, nhưng còn gặp khó 
khăn trong việc vận dụng vào các bài tập nâng cao. 
Câu 5: Cho đường tròn ( ) ( ) ( ) và đường thẳng . Tọa độ 
của điểm ( ) sao cho ( ) đạt giá trị lớn nhất là: 
A) ( ) B) ( ) C) ( √ ) D) ( √ ) 
Phân tích các phương án: 
Câu hỏi này thuộc mức độ khả năng bậc cao, nên để giải bài tập này, học sinh cần có những suy 
luận hợp lý, một số kỹ thuật để tính toán và đưa ra đáp án đúng là B). 
Đối với đáp án A), điểm trong trường hợp này có ( ) đạt giá trị nhỏ nhất. 
Các đáp án C) và D) nhằm gây sự chú ý cho một số học sinh không giải được, do đó, các em có 
thể lựa chọn các đáp án này. 
 Ngoài ra, ở bài toán này, ta có thể xây dựng thêm câu TNKQ để kiểm tra học sinh về kỹ 
năng tính khoảng cách giữa hai điểm trong mặt phẳng tọa độ. Câu hỏi như sau: 
Câu 6: Trong mặt phẳng tọa độ , cho đường thẳng và điểm ( ). Tọa 
độ điểm thuộc sao cho √ là: 
A) ( ) B) ( ) C) ( ) D) ( ) 
Phân tích các phương án: 
Câu hỏi này có hai điểm thỏa mãn. Tuy nhiên, chỉ có một đáp án đúng là A). Đáp án B) nếu 
đúng phải là ( ) Điểm ở đáp án D) cũng thuộc đường thẳng nhưng không thỏa mãn 
yêu cầu của bài. 
Cách 2: 
Gọi là đường thẳng cần tìm. 
Đường tròn ( ) có tâm ( ), bán kính ; đường tròn ( ) có tâm ( ), bán kính 
 , suy ra: 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 
Trường hợp 1: Hai điểm nằm cùng phía với điểm . 
Khi đó, ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ . Suy ra là ảnh của qua phép vị tự tâm , tỉ số 2. 
Gọi ( ) là ảnh của đường tròn ( ) qua phép vị tự tâm , tỉ số 2. Vì ( ) nên ( ). 
Nếu ( ) có tâm ( ) và bán kính là thì . 
 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
Hơn nữa, ta có ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ 
 ( ) 
 ( ) ( ) 
 ( ) 
Vì ( ) và ( ) ( ) nên suy ra là giao điểm khác của ( ) và ( ). 
 Đường thẳng cần tìm chính là trục đẳng phương của ( ) và ( ) 
 ( ) ( ) 
 hay . 
Trường hợp 2: Hai điểm nằm cùng phía với điểm . 
Khi đó, ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ . Suy ra là ảnh của qua phép vị tự tâm , tỉ số 2. 
Gọi ( ) là ảnh của đường tròn ( ) qua phép vị tự tâm , tỉ số 2. Vì ( ) nên 
( ). 
Nếu ( ) có tâm ( ) và bán kính là thì . 
 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
Hơn nữa, ta có ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ 
 ( ) 
 ( ) ( ) 
 ( ) 
Vì ( ) và ( ) ( ) nên suy ra là giao điểm khác của ( ) và ( ). 
 Đường thẳng cần tìm chính là trục đẳng phương của ( ) và ( ) 
 ( ) ( ) 
 hay . 
Vậy có hai đường thẳng thỏa yêu cầu đề bài là: 
Nhận xét: 
 Khác với cách tiếp cận bài toán theo cách 1, ở đây, bài toán được nhìn nhận theo khía 
cạnh các phép biến hình, mà cụ thể là phép vị tự tâm với tỉ số vị tự . 
 Có thể học sinh một số trường không được giới thiệu về khái niệm trục đẳng phương. 
Tuy nhiên, nếu học sinh đã nhìn nhận được bài toán theo hướng đi này, thì các em vẫn có thể suy 
ra được phương trình của đường thẳng cần tìm mà không cần biết đến khái niệm này. 
 Tương tự như cách 1, việc cơ bản học sinh phải làm được đó là phải đọc được các dữ 
kiện cần thiết khi cho biết phương trình của hai đường tròn, cụ thể là xác định được tâm, bán 
kính và mô tả bài toán bằng hình vẽ. Từ đó, học sinh nhận thấy được có hai trường hợp như trên. 
 Tiếp theo, với giả thiết , ứng với mỗi trường hợp, học sinh phải đưa được về 
dạng biểu thức vectơ . Để nhìn nhận được bài toán này khía cạnh phép vị tự, học sinh phải hiểu 
được thế nào là phép vị tự tâm , tỉ số , một số tính chất của nó và đã thực hành một số bài tập 
cơ bản. 
 Cuối cùng, một kỹ năng nữa mà học sinh phải có đó là xác định được tọa độ giao điểm 
của hai đường tròn. 
 Được phân tích theo cách này, ta thấy rõ ràng bài toán đang cố gắng để làm nhiều thứ 
cùng một lúc. Tuy nhiên, nếu học sinh thất bại ngay ở bước đầu, thì bài toán không thể cho ta 
biết được nhận thức của học sinh như thế nào về các phép biến hình, đặc biệt là phép vị tự. Trắc 
nghiệm khách quan (TNKQ) cho chúng ta cơ hội để tìm ra những phần nào của bài toán mà học 
sinh có thể trả lời được. 
 Việc xây dựng các câu hỏi để kiểm tra kiến thức của học sinh về phương trình đường tròn 
đã ở trên. 
 Để kiểm tra kiến thức của học sinh về các phép biến hình, ta có thể sử dụng một số câu 
hỏi sau: 
Câu 1: Trong các phép biến hình sau, phép nào không phải là phép dời hình? 
A) Phép chiếu vuông góc lên một đường thẳng; 
B) Phép đồng nhất; 
C) Phép vị tự tỉ số -1; 
D) Phép đối xứng trục. 
Phân tích các phương án: 
Phép chiếu vuông góc lên một đường thẳng không phải là phép dời hình. Chọn A). 
Câu 2: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai? 
A) Có một phép tịnh tiến biến mọi điểm thành chính nó; 
B) Có một phép đối xứng trục biến mọi điểm thành chính nó; 
C) Có một phép quay biến mọi điểm thành chính nó; 
D) Có một phép vị tự biến mọi điểm thành chính nó. 
Phân tích các phương án: 
A), C) và D) đúng. Chọn B). 
Câu 3: Trong mặt phẳng tọa độ , cho đường tròn ( ) ( ) và điểm ( ). 
Phương trình của đường tròn ( ) là ảnh của đường tròn ( ) qua phép vị tự ( ) là: 
A) B) 
 ) D) 
Phân tích các phương án: 
Ở câu hỏi này, nếu học sinh hiểu được định nghĩa phép vị tự tâm tỉ số , bằng việc xác định 
tâm và bán kính của ( ), học sinh nhanh chóng chọn đáp án đúng là A). 
Đối với đáp án B), học sinh hiểu được định nghĩa phép vị tự ( ) nhưng xác định sai tọa độ tâm 
của đường tròn ( ), cụ thể tâm ( ). 
Đối với đáp án C), học sinh chưa hiểu được định nghĩa phép vị tự ( ), cụ thể, ( ) 
 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ . 
 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
Tương tự đối với đáp án D), ( ) . 
 Ngoài ra, học sinh còn phải biết xác định tọa độ giao điểm của hai đường tròn. Câu hỏi 
phù hợp để kiểm tra kỹ năng này là: 
Câu 4: Trong mặt phẳng tọa độ cho các đường tròn ( ) và 
( ) . Tọa độ giao điểm của ( ) và ( ) là: 
A) ( ) B) ( ) C) ( ) D) ( ) 
Phân tích các phương án: 
Ở câu hỏi này, học sinh chỉ cần hiểu để đưa bài toán về giải hệ hai phương trình hai ẩn và sử 
dụng phương pháp đại số. Từ đó, chọn được đáp án đúng là A). 
Đối với các đáp án B), C), D), học sinh có thể chưa hiểu cách để xác định tọa độ giao điểm của 
hai đường tròn hoặc do giải cẩu thả dẫn đến sai lầm. 
 - HẾT-