Giáo trình Toán cao cấp (Mới)

s 27 s 195 2
 s 4
 Giải hệ này bằng quy tắc Cramer ta đƣợc 
 30s 45 s 3 2 s
 Xs 
 s2 1 s 2 9 s 1 s 2 4
 30ss 60 3 2
 Ys 
 s2 9 s 2 1 s 1 s 2 4
 Lấy biến đổi Laplace ngƣợc ta đƣợc nghiệm của hệ là: 
 x t 30cos t 15sin3 t 3 e t 2cos 2 t
 t 
 y t 30cos3 t 60sin t 3 e sin 2 t
 x t y t 0
 Ví dụ 6. Tìm nghiệm tổng quát của hệ 
 y t x t 0
 Giải 
 Để tìm nghiệm tổng quát của hệ phƣơng trình ta giả sử x(0) C12 ; y (0) C 
 Lấy biến đổi Laplace hai vế của các phƣơng trình ta đƣợc hệ 
 sX s Y s C1
 X s sY s C2
 Giải hệ này ta đƣợc 
 C s C
 Xs 12
 s2 1
 C s C
 Ys 12
 s2 1
 Lấy biến đổi Laplace ngƣợc ta đƣợc nghiệm của hệ là: 
 x t C12cos t C sin t
 y t C21cos t C sin t
 y ( t ) z ( t ) y ( t ) z ( t ) 1
Ví dụ 7. Giải hệ phƣơng trình t 
 y ()() t z t e
 với điều kiện ban đầu yz(0) 1, (0) 2 
 Giải 
 Lấy biến đổi Laplace hai vế của các phƣơng trình ta đƣợc hệ 
 1
 sL y( t ) 1 sL z ( t ) 2 L y ( t ) L z ( t ) 
 s
 1
 sL y(() t) 1 L z t  
 s 1
 130 
 Giáo trình Toán cao cấp 
 Giải hệ trên ta đƣợc 
 ss2 1 1 2 1
 L y() t  
 s( s 1)22 s s 1 ( s 1)
 y( t ) 1 2 ett te 
 và z( t ) et y ( t ) 2 e t te t 
 y( t ) 1 2 ett te
 Vậy nghiệm của bài toán là : tt 
 z( t ) 2 e te .
3.4. Bài tập chƣơng 4 
1. Tìm biến đổi Laplace của các hàm sau: 
 a) 2e4t 
 b) 53t 
 c) 2te2 t 
 d) 3cos5t 
2. Tìm biến đổi Laplace của các hàm sau: 
 a) te32 t 
 b) et t cos2 
 c) 3t43 2 t 2sin5 t 
 d) 4t2 3cos2 t 5 e t 
 1
 e) 2t22 et sin3 t 
 3
 g) 2t e2t sin t 
 2ttnÕu 0 1
3. Cho ft 
 ttnÕu 1
 a) Vẽ đồ thị của ft() 
 b) Tìm L f t  
 c) Tìm L f t  
 ss2 1
4. Cho L f t  2 . Hãy tìm L f 2 t . 
 2ss 1 1 
 1
 e s
5. Cho L f t  . Hãy tìm L e t f 3 t  
 s
6. Tìm biến đổi Laplace ngƣợc của các hàm sau: 
 21s 
 a) 
 ss 1 
 131 
Giáo trình Toán cao cấp 
 38s 
 b) 
 4s2 25
 32s 
 c) 
 4ss2 12 9
 2
 d) s 
 ss2 22
 g) 32s 
 4ss2 12 9
7. Dùng phƣơng pháp khai triển Heaviside tìm biến đổi Laplace ngƣợc của các hàm 
sau: 
 2s 11
 a) 
 ss 23 
 19s 37
 b) 
 s 1 s 2 s 3 
 s 5
 c) 
 ss 11 2 
8. Dùng phƣơng pháp khai triển Heaviside tìm biến đổi Laplace ngƣợc của các hàm 
sau: 
 2ss2 9 19
 a) 
 ss 13 2 
 23s 
 b) 
 ss 12 22 
 11s32 47 s 56 s 4
 c) 
 ss 22 3 
9. Giải các phƣơng trình vi phân sau: 
 a) y 9 y cos2; t y 0 1, y 0 1 
 b) y 4 y 9 t ; y 0 1, y 0 7 
 c) y 3 y et ; y 0 y 0 y 0 0 
10. Giải các phƣơng trình vi phân sau: 
 a) y 3 y 2 y 412;06, t e t y y 0 1 
 b) y 4 y 5 y 125 t2 ; y 0 y 0 0 
 c) y 43 2 y y sin t ; y 0 y 0 y 0 y 0 0 
11. Giải các hệ phƣơng trình vi phân sau: 
 132 
 Giáo trình Toán cao cấp 
 x 30 x y 
 a) với yx 0 0 0 
 y x y 0
 x 3 x 4 y 9 e2t
 xy0 2; 0 0
 b) 2t với 
 2x y 3 y 3 e
12. Giải các hệ phƣơng trình vi phân sau: 
 x 24 x y cost
 a) với xy 0 0 0 
 y x 2 y sint
 y x 22 y x sint
 b) với x 0 y 0 y 0 0 
 y 20 x y 
 x 2 y e t
 c) với x 0 y 0 y 0 0 
 x 21 x y 
13. Cho hàm ft() có đồ thị 
 Hình 3.10. Hàm sóng vuông 
Viết phƣơng trình của ft() và tìm L f t  
14. Cho hàm ft() có đồ thị 
 Hình 3.11. Hàm sóng răng cưa 
Viết phƣơng trình của ft() và tìm L f t  
15. Cho hàm ft() có đồ thị 
 133 
Giáo trình Toán cao cấp 
 Hình 3.12. Hàm sóng tam giác 
Viết phƣơng trình của ft() và tìm L f t  
16. Cho hàm ft() có đồ thị 
 Hình 3.13. Hàm sóng chữ nhật 
Viết phƣơng trình của ft() và tìm L f t  
17. Cho hàm ft() có đồ thị 
 Hình 3.14. Hàm sóng tự do 
Viết phƣơng trình của ft() và tìm L f t  
18. Xác định Fs() của các hàm ft() sau: 
 a) f t 52 e 9t e t e t u t 
 b) f t 51 e tt e u t 
 c) f t u t 21 u t 
19. Tìm biến đổi Laplace của các hàm sau: 
 a) 10 t 4 
 b)  2 t 15 t u t 
 134 
 Giáo trình Toán cao cấp 
 d
 c) e t u t 
 dt 
 d
 d) e t cos2 t u t 
 dt 
 Hƣớng dẫn giải một số bài 
20) Tìm biến đổi laplace của hàm : f t t2 3cos2 t sin3 t 
Giải 
 2 2 s 3 2 3s 3
 Lt  3 ; L cos2 t 2 ; Lt sin3  2 ; L f t  3 2 2 
 s s 4 s 9 s s 49 s
Điều kiện chung : s > 0 
b) Sử dụng phép biến đổi Laplace giải phƣơng trình: 
 y'' y ' y cos t sin t ; y 0 y '(0) 1 
Giải 
Lấy biến đổi laplace 2 vế của phƣơng trình và thay điều kiện ta đƣợc phƣơng trình ảnh 
là 
 s 1
 Ys 
 s2 1
 s 1 
 Ys 
 ss22 11
Biến đổi L ngƣợc hai vế của phƣơng trình trên ta đƣợc 
 y(t) = cost + sin t 
Vậy nghiệm của phƣơng trình là : y(t) = cost + sin t 
21. 
 1
a) Tìm biến đổi laplace của hàm : f t t22 4 et sin3 t 
 3
Giải 
 3 1
 ; Lt sin3  ; Le 2t 
 s2 9  s 2
 2 4 1
Vậy L f t  
 ss32s 2 9
Điều kiện chung : s > 2 
b) Sử dụng phép biến đổi Laplace giải phƣơng trình 
 y'' y t ; y 0 y '(0) 0 
Giải 
 135 
Giáo trình Toán cao cấp 
Lấy biến đổi laplace 2 vế của phƣơng trình và thay điều kiện ta đƣợc phƣơng trình 
ảnh là 
 1
Ys 22
 ss( 1) 
 11
Ys 
 ss22 1
Biến đổi L ngƣợc hai vế của phƣơng trình trên ta đƣợc 
y(t) = t - sin t 
Vậy nghiệm của phƣơng trình là : y(t) = t - sin t 
22. 
 1
a) Tìm biến đổi laplace của hàm : f t 5 t23 2 t cos2 t e t 
 3
Giải 
 236 12 s 1 t 1 1
L 3 t 34 ; L 2 t  ; L cos2 t 2 ; Le  
 ss s 4 3 3s 1
 6 12s 1 1
Vậy L f t  
 s3 s 4 s 2 4 31s 
Điều kiện chung : s > 0 
b) Sử dụng phép biến đổi Laplace giải phƣơng trình: 
 y'' y ' y t 1 ; y (0) 0, y ' 0 1 
Giải 
Lấy biến đổi laplace 2 vế của phƣơng trình và thay điều kiện ta đƣợc phƣơng trình 
ảnh là 
 2 1 s
 Y s ( s s 1) 2 1
 s 
 1
 Ys 
 s2
Biến đổi L ngƣợc hai vế của phƣơng trình trên ta đƣợc y(t) = t 
Vậy nghiệm của phƣơng trình là : y(t) = t 
23. 
a) Tìm biến đổi laplace của hàm : f t 2 t e2t sin t 
Giải 
 2 1 2t 1
Lt 2  2 ; Lt sin  2 ; Le  
 s s 1 s 2
 2 1 1
L f t  
 ss22s 2 1
Điều kiện chung : s > 2 
b) Sử dụng phép biến đổi Laplace giải phƣơng trình: 
 136 
 Giáo trình Toán cao cấp 
 y'' y t ; y 0 1, y ' 0 2 
Giải 
Lấy biến đổi laplace 2 vế của phƣơng trình, và thay điều kiện ban đầu ta đƣợc phƣơng 
trình ảnh là 
 1 13s
 s2 Y s s 2 Y s Ys 
 s2 s2 s 2 11 s 2
Biến đổi L ngƣợc hai vế của phƣơng trình trên ta đƣợc 
 y t t cos t 3sin t 
Vậy nghiệm của phƣơng trình là 
24. 
a) Tìm biến đổi laplace của hàm : f t t2 e t cos2 t 
Giải 
 2 2 s t ss 11
 Lt  3 ; Lt cos 2  2 L e cos2 t 22 
 s s 4 s 14 2 ss 2 17
 s 12
Vậy L f t  
 s23 2 s 17 s
Điều kiện chung : s > 0 
b) Sử dụng phép biến đổi Laplace giải phƣơng trình 
 y''4'5 y y 3; y 0 0,'0 y 0 
Giải 
Lấy biến đổi laplace 2 vế của phƣơng trình, và thay điều kiện ban đầu ta đƣợc phƣơng 
trình ảnh là 
 3
 Ys 
 s( s 1)( s 5)
Biến đổi L ngƣợc hai vế của phƣơng trình trên ta đƣợc 
 3 1 1
 y t ett e 5 
 5 2 10
Vậy nghiệm của phƣơng trình là : 
25. 
a) Tìm biến đổi laplace của hàm : f t t sin 4 t e t .cos t 
 1 4 t s 1
 Lt  ; Lt sin 4  ; L e cos t 2 
 s2 s2 16 (s 1) 1
 1 4s 1
Vậy L f t  
 s2 s 2 16 ( s 1) 2 1
Điều kiện chung : s > 0 
 137 
Giáo trình Toán cao cấp 
b) Sử dụng phép biến đổi Laplace giải phƣơng trình: 
 y''2' y y te t ;0 y 0,'01 y 
Giải 
Lấy biến đổi laplace 2 vế của phƣơng trình và thay điều kiện ban đầu ta đƣợc phƣơng 
trình ảnh là 
 1 11
s2 Y s 12 sY s Y s Ys 
 s 1 2 ss 11 42 
Biến đổi L ngƣợc hai vế của phƣơng trình trên ta đƣợc 
 1
 y t t3 e tt te 
 6
 Vậy nghiệm của phƣơng trình là : 
27. Tìm biến đổi laplace của hàm : f t t23 ett e sin t 
Giải 
 23t 2 1 t 1 2 1 1
L t e  3 ; Lt sin  2 ; Le  L f t  32 
 s 3 s 1 s 1 s 3 s 1 s 1
Điều kiện chung : s > 3 
b) Sử dụng phép biến đổi Laplace giải phƣơng trình: 
 2y ' y 4 ; y 0 0 
Giải 
Lấy biến đổi laplace 2 vế của phƣơng trình, và thay điều kiện ban đầu ta đƣợc phƣơng 
trình ảnh là 
 4
 Ys 
 ss(2 1)
Biến đổi L ngƣợc hai vế của phƣơng trình trên ta đƣợc 
 1 4
 y t L  
 ss(2 1)
 1 4 1 4  1 8 
 LLL    
 s(2 s 1) s  2 s 1 
 1
 t
 Suy ra y t 44 e2 
Vậy nghiệm của phƣơng trình là y t t cos t 3sin t 
28. 
 1
 t
a) Tìm biến đổi laplace của hàm : f t 3 t4 2sin5 t te2 
Giải 
 138 
 Giáo trình Toán cao cấp 
 1
 t
 4 72 10 2 1
 Lt 3  5 ; Lt 2sin5  2 ; L  te 2 
 s s 25  1
 s 
 2
 72 10 1
 Vậy L f t  5 2 2 
 ss 25 1
 s 
 2
 Điều kiện chung : s > 1/2 
b) Sử dụng phép biến đổi Laplace giải phƣơng trình: 
 y'' y 1 ; y 0 1, y ' 0 2 
Giải 
Lấy biến đổi laplace 2 vế của phƣơng trình và thay điều kiện ban đầu ta đƣợc phƣơng 
trình ảnh là 
 12
 Ys 
 s s2 1
Biến đổi L ngƣợc hai vế của phƣơng trình trên ta đƣợc 
 1 12
 y t L = 1+2sint 
 s s2 1
 Vậy nghiệm của phƣơng trình là y t t cos t 3sin t 
29. 
a) Tìm biến đổi laplace của hàm : f t t2 e 3t e 2 t.sin 4 t e t .cos4 t 
Giải 
 23t 2 2t 44 t s 1
 L t e  3 ; L esin 4 t  22 ; L ecos2 t 2 
 s 3 s 2 16 ss 4 20 ss 25
 2 4s 1
 Vậy L f t  
 (s 3)3 s 2 4 s 20 s 2 2 s 5
 Điều kiện chung : s > 3 
b) Sử dụng phép biến đổi Laplace giải phƣơng trình: 
 2y ' y t ; y 0 0 
Giải 
Lấy biến đổi laplace 2 vế của phƣơng trình và thay điều kiện ban đầu ta đƣợc phƣơng 
trình ảnh là 
 1
 Ys 
 ss2 (2 1)
Biến đổi L ngƣợc hai vế của phƣơng trình trên ta đƣợc 
 1 1
 y t L 2 
 ss(2 1)
 139 
Giáo trình Toán cao cấp 
 t/2
 yt 2e - t - 2 
Vậy nghiệm của phƣơng trình là y t t cos t 3sin t 
 30. 
a) Tìm biến đổi laplace của hàm : f t 3 t23 t e t c os3 t 
Giải 
 2 6 3 t 6 s
Lt 3  3 ; L t e  4 ; L cos3 t 2 
 s s 1 s 9
 66 s
Vậy L f t  
 s34 s 1 s2 9 
Điều kiện chung : s > 0 
b) Sử dụng phép biến đổi Laplace giải phƣơng trình: 
 y'' 2 y ' y te2t ; y 0 y ' 0 0 
Giải 
Lấy biến đổi laplace 2 vế của phƣơng trình và thay điều kiện ban đầu ta đƣợc phƣơng 
trình ảnh là 
 1
 Ys 
 (ss 1)22 ( 2)
Biến đổi L ngƣợc hai vế của phƣơng trình trên ta đƣợc 
 1 1
 y t L 22 
 (ss 1) ( 2)
 et(t+2) + e2t(t-2) 
Vậy nghiệm của phƣơng trình là : et(t+2) + e2t(t-2) 
31. 
 1
a) Tìm biến đổi laplace của hàm : f t 3 t43 t e t c os2 t 
 3
Giải 
 4 72 3 6 s 1 t 1 1
Lt 3  5 , Lt  4 ; L cos2 t 2 ; Le  
 s s s 4 3 3s 1
 72 6 1 s
 Vậy L f t  
 s5 s 431 s s 2 4
Điều kiện chung : s > 0 
b) Sử dụng phép biến đổi Laplace giải phƣơng trình: 
 y''3'2 y y 1; y 0 0,'0 y 0 
Giải 
 140 
 Giáo trình Toán cao cấp 
Lấy biến đổi laplace 2 vế của phƣơng trình và thay điều kiện ban đầu ta đƣợc phƣơng 
trình ảnh là 
 1
 Ys 
 s( s 1)( s 2)
Biến đổi L ngƣợc hai vế của phƣơng trình trên ta đƣợc 
 1 1
 y t L  
 s( s 1)( s 2)
 t 2t
 yt 1/2 –e +1/2e 
Vậy nghiệm của phƣơng trình là : 1/2 –et +1/2e2t 
32. 
 3
a) Tìm biến đổi laplace của hàm : f t t23 e tt e cos2 t 
 2
Giải 
 2 t 2 33 3t s
 L t e  3 ; Le  ; L cos2 t 
 s 1 2 2s 6 s2 4
 23s
Vậy L f t  
 s 1 3226s s 4
Điều kiện chung : s > 0 
b) Sử dụng phép biến đổi Laplace giải phƣơng trình: 
 y''3'2 y y 8 e 2t ; y 0 0,'0 y 0 
Giải 
Lấy biến đổi laplace 2 vế của phƣơng trình và thay điều kiện ban đầu ta đƣợc phƣơng 
trình ảnh là 
 8
 Ys 
 (s 2)( s 1)( s 2)
Biến đổi L ngƣợc hai vế của phƣơng trình trên ta đƣợc 
 1 1
 y t L  
 (s 2)( s 1)( s 2)
 -8/3 et + 2e2t + 2/3e-2t 
Vậy nghiệm của phƣơng trình là : -8/3 et + 2e2t + 2/3e-2t 
33. 
 43s 1
a) Tìm biến đổi Laplace ngƣợc của hàm: Fs - 
 s 2 s2 16 s2
Giải 
 4 3s 1
 Le 12 4 t Lt 1 3cos4 Lt 1 
  ; 2 ; 2 
 s 2 s 16 s
 141 
Giáo trình Toán cao cấp 
Vậy L 12 F s  4 et 3cos4 t -t 
b) Sử dụng phép biến đổi Laplace giải phƣơng trình: 
 y'''3''3' y y y te t ; y 0 0,'0 y y ''0 0 
Giải 
Lấy biến đổi laplace 2 vế của phƣơng trình và thay điều kiện ban đầu ta đƣợc phƣơng 
trình ảnh là 
 1 1
sYs32 33 sYs sYs Ys Ys 
 s 1 2 s 1 5
Biến đổi L ngƣợc hai vế của phƣơng trình trên ta đƣợc 
 1 1 1 4 t
y(t) = L 5 y t t e 
 (s 1) 24
Vậy nghiệm của phƣơng trình là 
34. 
 1
a) Tìm biến đổi Laplace ngƣợc của hàm : Fs 
 ss2 25
Giải 
 11 11
Có Fs ; F s 1 L 1 F s 1  sin 2 t 
 ss22 25 s 12 2 s2 4 2
Áp dụng tính chất dời thứ nhất,suy ra: 
 1
 L 1 F s  et sin 2 t 
 2
b) Sử dụng phép biến đổi Laplace giải phƣơng trình: 
 y''2'2 y y 2 t 2; y 0 0,'0 y 1 
Giải 
Lấy biến đổi laplace 2 vế của phƣơng trình và thay điều kiện ban đầu ta đƣợc phƣơng 
trình ảnh là 
 22s 1
s2 Y s 2 sY s 2 Y s 1 Ys 
 s2 s2
Biến đổi L ngƣợc hai vế của phƣơng trình trên ta đƣợc: y t t 
Vậy nghiệm của phƣơng trình là : 
35. 
a) Tìm biến đổi Laplace ngƣợc của hàm : 
 1 s 1
 Fs 
 2 + 2 
 s 1 s 4 s 1
Giải 
 142 
 Giáo trình Toán cao cấp 
 1 1 t 1 s 1 1
 Le  ; Lt  cos2 ; Lt  sin 
 s 1 s2 4 s2 1
Vậy L 1 F s  et cos2 t + sint 
b) Sử dụng phép biến đổi Laplace giải phƣơng trình: 
 y''' 4 y ' 1; y 0 0, y ' 0 y '' 0 0 
Giải 
Lấy biến đổi laplace 2 vế của phƣơng trình và thay điều kiện ban đầu ta đƣợc phƣơng 
trình ảnh là 
 1 1
 s3 Y s 4 sY s Suy ra Y(s) = 
 s ss22( 4)
 1 1 1 1
 Ys 
 44ss22 4
Biến đổi L ngƣợc hai vế của phƣơng trình trên ta đƣợc: 
 11 11 
 y t L 22  L  
 4ss  4( 4)
 11
Vậy nghiệm của phƣơng trình là y t tsin 2 t 
 48
36. 
a) Tìm biến đổi Laplace ngƣợc của hàm : 
 11 s
 Fs + 2 
 ss 21s 4
Giải 
 12 1 t 1 1 t
 Le  ; Le  ; 
 s 2 s 1
Vậy L 12 F s  ett e + cos2t 
b) Sử dụng phép biến đổi Laplace giải phƣơng trình: 
 y'' y t ; y 0 y ' 0 0 
Giải 
Lấy biến đổi laplace 2 vế của phƣơng trình và thay điều kiện ban đầu ta đƣợc phƣơng 
trình ảnh là 
 1
 Y(s) = 
 ss22( 1)
Biến đổi L ngƣợc hai vế của phƣơng trình trên ta đƣợc: 
 143 
Giáo trình Toán cao cấp 
 1 1
 y t L 22 
 ss( 1)
 tt
 1 1 1 1 2
Lt  sin suy ra L = sinudu sin t t 
 (s2 1) ss22( 1) 
  00
 y(t) = -sint +t 
Vậy nghiệm của phƣơng trình là : y(t) = -sint +t 
 Đáp số của một số bài tập chƣơng 4 
1. 
 2
 a) 
 s 4
 5
 b) 3 
 s2
 41
 c) ,1s 
 ss3 1
 3s
 d) 
 s2 25
2. 
 6
 a) 
 s 2 4
 s 1
 b) 
 s 14 2
 72 12 10
 c) 
 s5 s 4 s 2 25
 ss2 24
4. 
 4 ss 1 2 2 
 3
 e s 1
5. 
 s 1
6. 
 a) 1 e3t 
 1
 b) t 2 1 
 2
 1
 c) te2 t 
 2
 7. 
 a) 3ee 23tt 
 144 
 Giáo trình Toán cao cấp 
 b) 2e 32t 3 e t 5 e t 
 c) 2e t 3cos t 2sin t 
8. 
 a) 3t 2 ett 4 e 3 
 b) t e tt e 2 
 c) 2t2 t 5 e 2tt 6 e 2 
 9. 
 4cos3t 4sin3 t cos2 t
 a) yt 
 5 5 5
 b) y t t 
 21
 c) y t 1 ett cos t 1 6 e sin t 
 55
10. 
 a) 3et 2 e2 t 2 t 3 2 e t 
 b) 25t22 40 t 22 2 et 2sin t 11cos t 
 1
 c) 3 t2 sin t 3 t cos t 
 8 
 11. 
 x 12 t e 2t
 a) 2t 
 y 12 t e
 x ett e2
 b) tt2 
 y e e
12. 
 x 4 t 2 2 cost 3 sint
 a) 
 y 22 t sint
 1 4 1 2 1
 x e t e2 t cos t sin t te t
 9 45 5 5 3
 b) 
 1 1 1
 y e t e2 t te t
 9 9 3
 x 1 e t e at e bt
 c) t at bt 
 y 1 e be ae
 145 
Giáo trình Toán cao cấp 
 146 
 Giáo trình Toán cao cấp 
 TÀI LIỆU THAM KHẢO 
1. Nguyễn Đình Trí, Toán cao cấp 1, NXB Giáo dục, 2004 
2. Nguyễn Đình Trí, Toán cao cấp 3, NXB Giáo dục, 2004 
3. Đậu Thế Cấp, hàm biến phức, NXB Giáo dục, 2000 
4. Nguyễn Kim Đính, phép biến đổi Laplace, Đại học Kỹ thuật thành phố Hồ Chí 
 Minh, 1998 
5. Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải, Hàm biến phức, Nhà xuất bản Đại học Quốc 
 gia Hà Nội, 1997 
6. Trƣơng Văn Thƣơng, hàm số biến số phức, NXB Giáo dục, Hà Nội, 2002 
7. Phan Bá Ngọc, Hàm phức và phép biến đổi Laplace, NXB Giáo dục, 1996 
 i