Điều kiện đủ cho tính chất co suy rộng của hệ phương trình sai phân phi tuyến phụ thuộc thời gian có chậm

ính chất co suy rộng của lớp hệ này. Các kết quả đạt được là mở rộng tổng quát 
của một số kết quả đã có gần đây của các tác giả khác. Một ví dụ được đưa ra nhằm minh họa cho 
kết quả đạt được. 
 Từ khóa: Co suy rộng; co toàn cục; phương trình sai phân phi tuyến phụ thuộc thời gian có chậm. 
 1. Mở đầu gần nhau với một khoảng cách nào đó mà 
 Phương trình sai phân có nhiều ứng dụng khoảng cách không dần về không khi thời gian 
trong các mô hình toán học và thực tế ([2], [3]). dần ra vô hạn. Do vậy, các lớp hệ này không áp 
Các bài toán về tính chất định tính của nghiệm của dụng được các kết quả về tính co đã được công 
các hệ phương trình sai phân như tính chất ổn bố trong nhiều tài liệu trước đây, chẳng hạn [1], 
định, hút, điều khiển được, bị chặn, co đã và [4], [6], [7]. Bài báo này đóng góp một phần vào 
đang thu hút các nhà nghiên cứu trong suốt những giải quyết vấn đề mở nêu trên. 
thập niên vừa qua (xem [1], [2], [3], [4], [5], [6] Trong bài báo này, chúng tôi mở rộng khái 
và một số tài liệu tham khảo trong các bài báo). niệm co thành khái niệm tổng quát hơn là co suy 
Hệ phương trình sai phân có tính chất co nếu rộng, từ đó chúng tôi cải tiến kĩ thuật chứng 
“khoảng cách” giữa các nghiệm bất kỳ của hệ dần minh trong [6] để chứng minh nhiều điều kiện co 
về không khi thời gian dần ra dương vô hạn ([6]). suy rộng của nghiệm đối với một lớp hệ phương 
Năm 1998, Lohmiller và Slotine [4] đã đưa ra một trình sai phân phi tuyến phụ thuộc thời gian có 
số mô hình thực tế về cơ học chất lỏng dẫn đến chậm, với chậm là các hàm phụ thuộc thời gian. 
việc nghiên cứu bài toán về tính chất co của các Các kết quả đạt được là mở rộng tổng quát của 
hệ động lực. Trong đó, các tác giả đã đưa ra nhiều một số kết quả đã có trước đây. 
điều kiện cho tính co của hệ phương trình sai phân Sau đây chúng tôi trình bày một số quy ước 
thường và hệ phương trình vi phân thường. Các và kí hiệu được sử dụng trong suốt bài báo này. 
kết quả này sau đó được ứng dụng vào một số mô Gọi là tập hợp tất cả các số nguyên và kí hiệu 
hình bài toán điều khiển và thiết kế quan sát đối 
 : kk : 0 . Với k1,,, k 2 k 1 k 2 kí 
với một số hệ động lực. 
 hiệu : kk , . Gọi , lần lượt 
 Các bài toán về tính chất co của hệ động lực [kk12 , ] 1 2 
sau đó được tiếp tục nghiên cứu, phát triển bởi là trường các số thực và trường các số phức. Với 
 lq lq 
nhiều nhóm tác giả (xem [1], [6], [7] và một số hai số nguyên dương lq, , kí hiệu , lần 
tài liệu tham khảo trong đó). Gần đây, bài toán lượt là tập hợp các ma trận thực và tập hợp các 
về tính chất co cho hệ phương trình sai phân phi ma trận thực không âm cỡ lq . Với hai ma trận 
tuyến có chậm với biến rời rạc ([6]) và hệ lq 
phương trình vi phân phiếm hàm ([7]) lần lượt đã thực A aij , B b ij , ta qui ước bất 
được nghiên cứu. Trong đó, nhóm tác giả đã đưa 
 đẳng thức giữa A aij , B b ij như sau: 
ra nhiều điều kiện đủ, tường minh cho tính chất 
 AB ,, tương đương với ab ,,, 
co của hệ phương trình sai phân phi tuyến và hệ ij ij
phương trình vi phân phiếm hàm. Tuy nhiên, có với mọi i l,. j q Cách hiểu tương tự khi so 
một số lớp hệ phương trình có các nghiệm chỉ sánh hai véctơ. Chuẩn của ma trận 
 nn 
 Aa ij được hiểu là chuẩn toán tử 
(*) Trường Đại học Đồng Tháp. 
(**) Trường Đại học Thủy Lợi - Cơ sở 2. (operator norm) và được xác định bởi 
 59 
TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC ÑOÀNG THAÙP Taïp chí Khoa hoïc soá 37 (04-2019) 
 Ax n n n n Khi bất đẳng thức (2.3) đúng với  0 thì 
 A: max max Ax . Cho AB , , 
 xx 01x hệ (2.1) được gọi là là co (contractive). Nhiều 
 nn điều kiện cho tính chất co của các hệ phương 
nếu AB thì AB . Với Aa ij , trình sai phân đã được nghiên cứu trong [4], [6]. 
bán kính phổ (spectral radius) của A được xác Sau đây chúng tôi trình bày điều kiện cụ thể 
 cho tính co suy rộng của hệ phương trình sai 
định bởi AIA max  :  , det  n 0 . 
 phân (2.1). 
 Tính chất sau đây của ma trận không âm 
 Định lí 2.2. Giả sử tồn tại 
được sử dụng trong phép chứng minh một trong 
 Ai.:, nn và g :, nm 22 n 
các kết quả của bài báo: i 0,m 
 Bổ đề 1.1 ([5, Lemma 1.1]). Cho ma trận với g bị chặn trên miền nm 22 sao cho 
 nn 
A . Các khẳng định sau là tương đương 
 H k ; u00 ,..., umm H k ; v ,..., v 
 (i) A 1; 
 m
 n A k u v g k; u ,..., u , v ,..., v , (2.4)
 (ii) p , p 0: Ap p ;  i i i 00 m m 
 i 0
 1
 (iii) IA 0. n
 n với mọi k với mọi u,,. v i
 ii 0,m 
 2. Điều kiện cho tính co suy rộng của hệ 
 Khi đó (2.1) là co suy rộng nếu tồn tại 
phƣơng trình sai phân phi tuyến có chậm 
 n T
 Trong mục này chúng tôi nghiên cứu điều véctơ p , p p1 ,..., pn 0 và 01  
kiện co suy rộng của lớp hệ phương trình sai sao cho điều kiện sao đây được thỏa mãn 
phân phi tuyến phụ thuộc thời gian có chậm dưới m
 i k 
dạng sau A0 k p  Ai k  p p,  k . (2.5) 
 xk ( 1) i 1
 Chứng minh. Với mọi ,, S ta cần chứng 
 Hkxkxk ; , 10 k ,..., xk m k , kk , (2.1) 
 n n n minh tồn tại M 0,  0,  0,1 sao cho 
trong đó, H .;.,...,. : ... là 
 x k;,;,,, k x k k  M kk 0    k k 
hàm cho trước và  ki :, là 0 0 0
 i 1,m với mọi k ,,,. k k  S Từ điều kiện ban 
 0 
các hàm chậm cho trước thỏa điều kiện đầu (2.2), ta có 
0< i k , với mọi k , với  , 0. 
 xjkk 0;, 0 xjkk 0 ;, 0  j  jj ,[-,0].  
 Xét hệ phương trình sai phân phi tuyến phụ Khi đó, từ cách xác định của  , ta có 
thuộc thời gian (2.1). Gọi S là tập tất cả các hàm 
 n
 x j k0 ; k 0 ,  x j k 0 ; k 0 , 
điều kiện đầu  :   ,0 và 
 jj 
: maxkk : , với mỗi  S. 
   ,0
 e1,
 Với k0 cố định và hàm  S, hệ (2.1) 
 với ej 1,1,...,1 T n ,  [ - ,0]. Hay 
có duy nhất nghiệm, ký hiệu là xk .;0 , , 1
nghiệm này thỏa mãn điều kiện đầu x k;,;,,. k x k k   e  k 
 0 0 1 kk00  , 
 x j k  j ,. j (2.2) 
 0   ,0 Suy ra 
 Định nghĩa 2.1 Hệ phương trình (2.1) được x k ; k00 ,  x k ; k , 
gọi là co suy rộng (generalized contractive) nếu 
 p
tồn tại M 0,  0,  0,1 sao cho  , k , 
  kk00  ,  (2.6) 
 min pi
 x k; k , x k ; k ,  M kk 0   , (2.3) 1 in
 00 với p được xác định trong (2.5). 
với mọi k k,,,  S trong đó, 
 0 
  ():,.k k  k k [- ,0] 
60 
TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC ÑOÀNG THAÙP Taïp chí Khoa hoïc soá 37 (04-2019) 
 pp
 kk 0 p
 Đặt u k   K , trong đó kk10   
 minppii min
 11 i n i n
 min pi
 (  được xác định trong (2.5)) và 1 in
 m p
 1  i k1 
K max  sup gi k , u11 ,..., u n , v ,..., v n  . K A0 k 1 Ai k 1  
 1  1 in nm 22 
  (k , u00 ,..., umm , v ,..., v ) i 1 min pi
 1 in
 Tiếp theo, ta cần chứng minh 
 gkxk 1, 1 ,..., xk 1 mm kxk 1 , 1 ,..., xk 1 k 1 
x k; k0 , x k ; k 0 ,  u k ,  k k 0  . (2.7) 
 pp
 Từ (2.6), ta có kk10 1  K  
 minppii min
 x k ; k00 ,  x k ; k , 11 i n i n
 gkxk, ,..., xk  kxk , ,..., xk k
 p 1 1 1mm 1 1 1 1 
  
 kk 1 p p p
 min pi 10  KK  1 
 1 in 
 minpi min p i min p i
 u k,.  k 1 i n 1 i n 1 i n
 kk00  , 
 kk 1 pp
 Tiếp tục, bằng phương pháp quy nạp toán 10  K
 minppii min 
học, ta chứng minh (2.7) đúng với mọi kk 0. 11 i n i n
 uk 1.
Đặt x . x .; k ,  , x . x .; k , . Giả sử 1 
 00 Theo nguyên lý quy nạp toán học, ta có 
(2.7) đúng với k , tức là 
 1 
 x k x k u k ,.  k k0  
 x k x k u k ,.  k (2.8) 
 kk01  ,  Suy ra 
 Tiếp theo, ta chứng minh x k x k u k Mkk 0  , 
 x k 1 x k 1 u k 1 . 
 1 1 1 p p
 Thật vậy, từ (2.1), (2.4) và (2.8) ta có với M và  K . Vậy hệ (2.1) 
 min pi min pi
 x k 1 x k 1 1 in 1 in
 11 là co suy rộng. 
 m Hệ quả 2.3. Giả sử tồn tại 
 Akxkxk0 1 1 1  Akxki 1 1  i k 1 xk 1 i k 1 
 i 1 nn và nm 22 n 
 Aii .:, 0,m g :, 
 +gkxk , ,..., xk  kxk , ,..., xk k
 1 1 1mm 1 1 1 1 nm 22 
 m với g là hàm bị chặn trên miền 
 A k u k A k u k  k
 0 1 1  ii 1 1 1 sao cho (2.4) được thỏa mãn. Khi đó, (2.1) là co 
 i 1 suy rộng nếu một trong các điều kiện sau được 
 gkxk 1 , 1 ,..., xk 1 mm kxk 1 , 1 ,..., xk 1 k 1 thỏa mãn: 
 (i) Tồn tại pp n ,0 và 01  sao cho 
 pp
 kk10 m
 A01 k   K 
 minppii min A k p  p,.  k (2.9) 
 11 i n i n  i 
 i 0
 m nn 
 k  k k pp (ii) Tồn tại một ma trận M , 
 A k 1i 1 0  K 
  i 1 
 i 1 minppii min
 11 i n i n M 1 sao cho 
 m
 gkxk 1, 1 ,..., xk 1 mm kxk 1 , 1 ,..., xk 1 k 1 
 Ai k M,.  k (2.10) 
 m 
 kk  k p i 0
 10 i 1 
   A0 k 1  Ai k 1  m
 i 1 min pi
 1 in (iii) sup Aki 1. (2.11) 
 n k i 0
 i k1 p
 K A0 k 1  Ai k 1  Chứng minh. (i) Giả sử (i) được thỏa mãn, 
 i 1 min pi
 1 in ta cần chứng minh (2.1) là co suy rộng. Đặt 
 gkxk, ,..., xk  kxk , ,..., xk k  1  1
 1 1 1mm 1 1 1 1 : 1, khi đó  và (2.9) trở thành 
 0 0
 61 
TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC ÑOÀNG THAÙP Taïp chí Khoa hoïc soá 37 (04-2019) 
 m Hay 
  1
 A00 k p Ai k p  p,.  k (2.12) 
  x k y k  k ,.  k  kk, (2.17) 
 i 1  00
Vì 0 i k ,  k ,  i 1,m , nên nhân Ta cần chứng minh 
  (2.18) 
hai vế (2.12) cho 0 thì ta được x k y k  k ,,.  k k k0
 m Giả sử ta có k , k k sao cho 
  (2.13) 1 1 0
A0 k p 0  Ai k p  0  0 p,.  k 
 i 1
 x k y k  k ,.  k  kk, 
  i k  11
 Vì 0 1,  0  0 , k , nên (2.13) 
trở thành Từ (2.1), (2.4), (2.16), (2.18), với  0 0, 
 m
 k ta có 
 i k 
 A0 k p Ai k p 0 0 p,.  k 
  x k11 1 y k 1 
 i 1 
 Do vậy, điều kiện (2.5) được thỏa mãn với m
  Akxki 1 1  i k 1 yk 1 i k 1 gku ; 0 ,..., uvv m , 0 ,... m 
 . Vậy theo Định lí 2.2, hệ (2.1) là co suy rộng. i 0
 0 m
 A k k k g k; u ,..., u , v ,... v .
 (ii) Giả sử (ii) được thỏa mãn, ta chứng minh  i 1 1 i 1 0 m 0 m 
 i 0
(2.1) là co suy rộng. Sau đây ta chứng minh (ii) kéo Hay 
theo (i) và do đó (2.1) là co suy rộng theo chứng 
 x k11 1 y k 1 
 nn 
minh ở trên. Thật vậy, do M , M 1, m
 k1 i k 1 k 0 1
  Ai k1    g k; u 0 ,..., u m , v 0 ,... v m 
 n i 0
nên theo Bổ đề 1.1, tồn tại p , p 0 sao mm
 kk10 1 i k1 
 Ai k1   A i k 1  g k; u 0 ,..., u m , v 0 ,... v m 
cho Mp p. Khi đó, tồn tại  0,1 sao cho ii 00
 mm
 kk10 1 
bất đẳng thức sau đây được thỏa mãn Ai k1   A i k 1  g k; u 0 ,..., u m , v 0 ,... v m 
 ii 00
 Mp  p p. (2.14) kk10 1 1   1  .
 Nhân hai vế của (2.10) bởi p và áp dụng Do đó 
(2.14) ta có (2.9). Vậy (i) được thỏa mãn. Do đó kk10 
 x k1 1 y k 1 1  k 1 1    . 
(2.5) là co suy rộng. 
 Vậy (2.1) là co suy rộng. 
 (iii) Cuối cùng, ta chứng minh nếu (iii) được 
thỏa mãn thì (2.1) là co suy rộng. Lấy , S Khi g k; u00 ,..., umm , v ,... v 0,  k , 
 n
và đặt x . x ., k00 ,  ; y . x ., k , . Theo uii, v , i 0, m thì ta có  0. Khi đó hệ 
điều kiện đầu (2.2) ta có (2.1) là co. Định lí được chứng minh. 
 Nhận xét 2.4. (i) Trong bất đẳng thức (2.4), 
 x()() k k00 y k k  k k 
 Khi hàm g  0 thì kết quả Định lí 2.2 và Hệ quả 
  , k   ,0 . 2.3 trở về trường hợp đặc biệt tương ứng là Định 
 Từ (2.11), ta có lí 2.2 và Hệ quả 2.3 trong [6]. 
 m (ii) Kỹ thuật chứng minh trong Định lí 2.2 
 A( k ) 1,  k . (2.15) 
  i [6] cần dùng tính chất tuyến tính của hệ phương 
 i 0 
 Từ (2.15), tồn tại  0,1 sao cho trình sai phân tuyến tính (hệ chặn trên) và cần 
 qua hai bước. Tuy nhiên, trong chứng minh của 
 m
  1 Định lí 2.2, chúng tôi không dùng tính chất này 
  Aki ( ) 1. (2.16) 
 i 0 và phép chứng minh không phải qua hai bước. 
 kk 0 1
 Đặt ():,,kk    với Ví dụ 2.5. Xét phương trình sai phân vô hướng 
 xk 1 
 1  k 2
 max supg k , u ,..., u , v ,..., v . e 21
  00mm xk arctan sin kxkxk ( ) 12 k 2 xk k 3 akxk cos ( ) (2.21)
 1  k nm 22 35 5 k
  (k , u00 ,..., umm , v ,..., v ) 
 Ta có với k , 11 .,.: là những hàm 
 1
 x k k00 y k k    chậm cho trước, a là hằng số. 
  k k0 ,  k   ,0 .
62 
TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC ÑOÀNG THAÙP Taïp chí Khoa hoïc soá 37 (04-2019) 
 Ta thấy (2.21) là phương trình sai phân phi với mọi (,,,,,,).k x x x y y y 6 Mặt 
tuyến phụ thuộc thời gian có dạng (2.1), với hàm 0 1 2 0 1 2 
 khác, ta có 
H .;.,.,. được xác định bởi 
 1 2 1 14
 k 2 sup()()A k A k A () k 1. 
 e 21 0 1 2 
 k 3 5 5 15
H k; x0 , x 1 , x 2 x 0 arctan sin kx 0 x 1 2 x 2
 35 5 k
 Do đó theo Hệ quả 2.3 (iii), phương trình 
 3a cos kx , k , x , x , x 
 0 0 1 2 sai phân (2.21) là co suy rộng. Ngoài ra, khi 
Ta có, 
 a 0 thì (2.21) là co. Chú ý rằng, các kết quả 
 H k ; x0 , x 1 , x 2 H k ; y 0 , y 1 , y 2 trong [6] không áp dụng được cho phương trình 
 2
 e k 21 sai phân (2.11). 
 x y x y x y 3. Kết luận 
 250 0 1 12 2 2
 5 k Bài báo đã giới thiệu khái niệm co suy rộng, 
 3 |ak || cos(x00 ) cos(ky ) | một khái niệm tổng quát hơn của khái niệm co. 
với mọi k ,,,,,,. x x x y y y Vậy (2.4) 
 0 1 2 0 1 2 Bài báo cũng đã phát triển kĩ thuật trong [6] để 
 2
 e k chứng minh nhiều điều kiện cho tính co suy rộng 
được thỏa mãn với Ak(), 
 0 3 của hệ phương trình sai phân phi tuyến có chậm. 
 2 1 Hướng phát triển của bài báo là nghiên cứu các 
Ak(), Ak() và 
 1 5 2 5 k 2 điều kiện co suy rộng của lớp hệ phương trình sai 
 g(,,,,,,) k x x x y y y phân trong một số không gian trừu tượng, điều 
 0 1 2 0 1 2 kiện co suy rộng của lớp hệ phương trình vi 
 3 |a || cos( kx ) cos( ky ) | 
 00 phân, vi tích phân./. 
 6 |a |,
 Tài liệu tham khảo 
 [1]. Z. Aminzare and E. D. Sontag (2015), “Contraction methods for nonlinear systems: A brief 
introduction and some open problems”, Proceedings of 53rd IEEE Conference on Decision and Control, 
pp. 3835-3847. 
 [2]. S. Elaydi (2005), An Introduction to Difference Equations, Third Edition, Springer Science. 
 [3]. W. G. Kelley and A. C. Peterson (2001), Difference equations: An introduction with 
applications, Academic press. 
 [4]. W. Lohmiller and J. J. E. Slotine (1998), “On contraction analysis for nonlinear systems”, 
Automatica, (34), pp. 683-696. 
 [5]. P. H. A. Ngoc and L. T. Hieu (2013), “New criteria for exponential stability of nonlinear 
difference systems with time-varying delay”, International Journal of Control, 86 (9), pp. 1646-1651. 
 [6]. P. H. A. Ngoc, Trinh Hieu, L. T. Hieu, and N. D. Huy (2018), “On contraction of nonlinear 
difference systems with time-varying delays”, Mathematische Nachrichten, 
https://doi.org/10.1002/mana.201700167. 
 [7]. P. H. A. Ngoc and H. Trinh (2018), “On contraction of functional differential equations”, SIAM 
Journal on Control and Optimization, 56 (3), pp. 2377-2397. 
 SUFFICIENT CRITERIA FOR GENERALIZED CONTRACTION 
 OF NONLINEAR TIME - VARYING DIFFERENCE SYSTEMS WITH DELAY 
 Summary 
 In this paper, we introduce the problem of generalized contraction of nonlinear difference systems 
with delays. Thereby, we improve the existing approach to prove some new sufficient criteria for 
generalized contraction of the mentioned system. The obtained theorems generalize some existing results 
recently reported by other authors in the literature. An example is given to illustrate the obtained results. 
 Keywords: Generalizedly contractive; globally contractive; nonlinear difference systems with delay. 
 Ngày nhận bài: 26/02/2019; Ngày nhận lại: 08/4/2019; Ngày duyệt đăng: 19/4/2019. 
 63