Tổng hợp luật dẫn tối ưu cho giai đoạn tự dẫn cuối của tên lửa có tính đến ràng buộc góc tiếp cận

ểm gặp, khi đó : 
( )
( )
M go f
M M f
y V t
v V
 
 
 (5) 
Biểu diễn (5) dưới dạng không gian trạng thái: x Ax Bu (6) 
Trong đó: 
0 1 0
( ) , , , 
0 0 1
T
M
y v a 
Ax u B (7) 
Để thỏa mãn độ trượt cuối bằng không và góc tiếp cận cho trước là f , khi đó, trạng thái cuối 
mong muốn theo hệ tọa độ tham chiếu R RTX Y là: 
0
0
f
f
f
y
v
x (8) 
Nhiệm vụ bài toán là tìm tín hiệu điều khiển tối ưu u để phiếm hàm chất lượng J nhận giá 
Kỹ thuật máy bay & Thiết bị bay 
 22 T. V. Hải, , N. N. Điển, “Tổng hợp luật dẫn tối ưu  tính đến ràng buộc góc tiếp cận.” 
trị nhỏ nhất: 
0
21 1
( ) ( ) ( )
2 2
ft
f f f f f M
t
J t t a t dt x x S x x
 (9) 
Trong đó, ma trận trọng số: 
0
0
y
f
v
s
s
S (10) 
Các hằng số 
1
s và 
2
s là trọng số tùy chọn, muốn trạng thái cuối càng gần 
f
x thì chọn 
1
s và 
2
s càng lớn. Thay các giá trị của các phương trình (8) và (10) vào (9) ta có thể viết lại phiếm hàm 
chất lượng như sau: 
0
2 2
2
( ) ( ) 1
( )
2 2 2
ft
y f v f
M
t
s y t s v t
J a t dt (11) 
Trong công thức (11), 
2 2
( ) ( ) / 2 ( ) / 2
f y f v f
t s y t s v t là hàm của các biến trạng thái: độ 
trượt và góc tiếp cận tại thời điểm cuối. 
3. TỔNG HỢP LUẬT DẪN 
Để giải bài toán tìm các chiến lược điều khiển tối ưu 
M
a ; theo lý thuyết điều khiển tối ưu [1], 
ta xây dựng hàm Hamilton: 
2
1
( , , , ) ( ) ( ) ( )
2
M M y v M
x a t a t t a t   H (12) 
Phương trình đồng trạng thái: 
( ) / 0
( ) /
y
v y
t H y
t H v

 
   
   
 (13) 
Điều kiện dừng: 0 / M Ma a    H ; 
Biểu thức luật dẫn tối ưu có được: ( ) ( )
M v
a t t (14) 
Điều kiện đầu 0 0( ), ( )y t v t cho trước, và điều kiện cuối được xác định như sau: 
( ) / ( ) ( )
( ) / ( ) ( )
y f f y f
v f f v f
t y t s y t
t v t s y t
 
 
   
   
 (15) 
Tiến hành giải bài toán giá trị biên hai điểm được xác định bởi phương trình trạng thái và 
đồng trạng thái, với tín hiệu điều khiển như trong (14) và các điều kiện biên (13) - (15). Giả sử 
giá trị các biến đồng trạng thái ( )y ft và ( )v ft tại thời điểm cuối đã biết trước hoặc tính toán 
được; Nghiệm của phương trình (12) sẽ là : 
( ) ( )
( ) ( ) ( )
y y f y
v v f y f
t t
t t t t
  
  
 (16) 
Để đơn giản bài toán, chúng ta giả sử thời điểm bắt đầu khảo sát ( 0 0t ). Thay thế phương 
Nghiên cứu khoa học công nghệ 
 Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số 73, 06 - 2021 23 
trình (9) vào (3) nhận được: 
( )
v
v t (17) 
Thay thế phương trình (16) vào (17), tích phân từ 0 đến t , ta có : 
2
( ) (0) ( ( ) ) / 2
v f f y y
v t v t t t t   (18) 
2 3
( ) (0) (0) ( ( ) )
2 6
v f f y y
t t
y t y v t t t   (19) 
Các phương trình trạng thái và đồng trạng thái đã được giải theo ( )ft với các giá trị biên 
ban đầu (0), (0)y v cho trước. Bởi vì giá trị của biến đồng trạng thái ở điều kiện biên cuối là 
không biết trước. Do vậy, ta cần sử dụng các quan hệ giữa trạng thái cuối và biến đồng trạng thái 
trong phương trình (15) kết hợp phương trình (18) và (19), để xác định các giá trị này như sau: 
2 3
(0) (0) ( ( ) )
2 6
f f
y y f v f f y y
t t
s y t v t t    
 (20) 
Và 
2
( ) (0) ( ( ) )
2
f
v f v f v f f y y
t
t s v t t t    
 (21) 
Hai phương trình này có thể được viết dưới dạng: 
3 2
2
1
(0)3 2
( ) 0 (0)
1
2
y f y f
y y y f
v f vv f
v f
s t s t
s s t y
t s vs t
s t


 (22) 
Giải hệ phương trình (22) tính được nghiệm biến đồng trạng thái ở thời điểm cuối như sau: 
2 3
2
6
( )
(0)1
( ) (0)( )
2
f
f f
y
v
y
v v
f f f f
t
t s t s
y
t vt t t
s


 (23) 
Trong đó: 
1/ ; 1/
v v y y
s s s s ; 
3 4
/ 3 / 4( ) ( )( )
yf ff v f
t s t st t (24) 
Tại thời điểm ft t , ta đã biết giá trị các biến trạng thái ( )y t và ( )v t nên có thể lấy thời 
điểm hiện tại t làm thời điểm ban đầu. Điều này tương ứng với việc tối thiểu hóa phiếm hàm 
( )J t trên khoảng thời gian , ft t còn lại. Thay thế biến got cho ft trong (23), ta thu được một 
biểu thức biểu diễn các biến đồng trạng thái theo các biến trạng thái hiện thời như sau: 
32
( )
( )1 2
( ) ( )( )
2 6
go
go go
y
v f go
v v
go go
y
t
t s t s
y t
t v tt t t
s


 (25) 
Từ các phương trình (13) và (16), ta tính được biểu thức luật dẫn dưới dạng: 
Kỹ thuật máy bay & Thiết bị bay 
 24 T. V. Hải, , N. N. Điển, “Tổng hợp luật dẫn tối ưu  tính đến ràng buộc góc tiếp cận.” 
( ) 1
( )
y
M go
v f
a t t
t


 (26) 
Thay biểu thức các biến đồng trạng thái tại thời điểm cuối từ phương trình (25) vào (26), luật 
dẫn tối ưu sẽ có dạng: 
2 2 3
/ 2 / 3
( ) ( ) ( )
( ) ( )
go go y go go
M
go g
v
o
v
t s t s t s t
a t y t v t
t t
 (27) 
Đây là luật dẫn tối ưu có phản hồi theo các biến trạng thái hiện thời. Để tên lửa tiếp cận mục 
tiêu đảm bảo độ trượt bằng không và thỏa mãn góc tiếp cận thì các hằng số 
ys , vs 
phải được 
chọn như sau:
 y
s , và vs . Khi đó, 0ys và 0vs , tính giới hạn phương trình 
(27) theo 
ys và vs , ta nhận được biểu thức luật dẫn như sau: 
2 2 2
( )6 4 3
3
go
M M
go go M go go go
y vt y v
a y v V
t t V t t t
 (28) 
Dạng biểu thức luật dẫn (28) là một trường hợp đặc biệt của biểu thức tổng quát của luật dẫn 
được nhóm nghiên cứu trong công trình [9] đưa ra trên cơ sở giải bài toán tối ưu theo phương 
pháp ứng dụng bất đẳng thức Schwarz. 
Mặt khác, lấy đạo hàm theo thời gian của ( )y t trong phương trình (5) nhận được : 
( )
M f M go
y V V t v   (29) 
Sau đó, thay thế phương trình (5) vào (29) và qua một vài phép biến đổi đơn giản, ta nhận 
được biểu thức tính tốc độ quay đường ngắm: 
2
( ) / ( )
go M go
y vt V t (30) 
Thay giá trị từ (5), (29), (30) và bổ sung thành phần bù gia tốc trọng trường vào (28), ta tính 
được biểu thức luật dẫn cuối cùng có dạng : 
3 ( 2 ) o3 c sM
M M M f M
go
V
a V g
t
    (31) 
Để hiện thực hóa, luật dẫn này cần cung cấp thông tin các thông số sau: vận tốc tên lửa, góc 
nghiêng quỹ đạo của TL, góc đường ngắm và tốc độ quay đường ngắm. Ngoài ra, thời gian bay 
tới mục tiêu còn lại (
go
t ) cần phải được ước lượng. Việc ước lượng chính xác thông số 
go
t là rất 
quan trọng bởi vì ước lượng sai thời gian bay tới mục tiêu không chỉ làm giảm nghiêm trọng hiệu 
quả của luật dẫn mà còn khiến quỹ đạo tên lửa bị lệch quá nhiều so với quỹ đạo tối ưu. Thông 
thường got được tính xấp xỉ theo công thức như sau: 
 /
go c
t R V (32) 
Phương pháp này đưa ra ước lượng tốt về thời gian bay tới mục tiêu còn lại khi sử dụng các 
luật dẫn tiếp cận tỷ lệ, và trong các trường hợp quỹ đạo tên lửa thẳng hướng đến điểm gặp. Tuy 
nhiên, đối với luật dẫn điều khiển góc tiếp cận thì quỹ đạo của tên lửa thường có độ cong khá lớn 
nên phương pháp ước lượng trên không còn đủ độ chính xác. Trong bài báo này, chúng tôi sử 
dụng một phương pháp tính got đảm bảo độ chính xác cao hơn khi áp dụng cho luật dẫn có điều 
khiển góc tiếp cận theo đề xuất của các tác giả trong công trình [4]: 
Nghiên cứu khoa học công nghệ 
 Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số 73, 06 - 2021 25 
2 2 4 4 2 2
1( )
(1 )
15 30 420 840
m Tm m Tm m Tm m Tm m Tm m Tm
go
M
t
R
V
            
 (33) 
Trong đó, các biến 
mθ và Tmθ được định nghĩa như sau: m Mθ γ σ và Tm fθ γ σ . 
Do vận tốc tên lửa được giả sử không đổi, tấn công mục tiêu cố định nên độ trượt tức thời có 
thể xác định như sau [2]: 
2
M goh V t  (34) 
Tại điểm gặp độ trượt tức thời sẽ trùng với độ trượt thực tế hay còn gọi là độ trượt cuối. 
4. MÔ PHỎNG VÀ ĐÁNH GIÁ KẾT QUẢ 
Để khảo sát các đặc điểm của luật dẫn được đề xuất, một số mô phỏng số được thực hiện 
trong mặt phẳng thẳng đứng cho các tình huống tác chiến khác nhau của tên lửa. 
Trong tất cả các mô phỏng, giả định tốc độ tên lửa là không đổi. Giả thuyết này tương đối hợp 
lý đối với tên lửa bay ở giai đoạn tự dẫn cuối. Giai đoạn bay hành trình và giai đoạn phóng ban 
đầu không nằm trong phạm vi của bài báo này. Các tham số, điều kiện để mô phỏng số được 
trình bày trong bảng 1. Tất cả các trường hợp mô phỏng được kết thúc khi cự ly tương đối giữa 
tên lửa và mục tiêu nhỏ hơn 0.01 m. 
Bảng 1. Các điều kiện mô phỏng. 
Các tham số Giá trị 
Vị trí ban đầu của tên lửa ( 0 0,x y ) (0, 1000) m 
Vị trí mục tiêu ( , ffx y ) (1000, 0) m 
Vận tốc của tên lửa 250 m/s 
Góc nghiêng quỹ đạo tại thời điểm bắt đầu vào giai đoạn tự dẫn cuối 50, 180, 300, 400, 
Góc tiếp cận mục tiêu mong muốn ( f ) -90
0
 ~0
0 
a) Quỹ đạo TL 
b) Quá tải TL 
c) Góc nghiêng quỹ đạo TL 
d) Độ trượt tức thời 
Hình 2. Quỹ đạo, quá tải, góc nghiêng và độ trượt của TL ứng với các góc tiếp cận khác nhau. 
Kỹ thuật máy bay & Thiết bị bay 
 26 T. V. Hải, , N. N. Điển, “Tổng hợp luật dẫn tối ưu  tính đến ràng buộc góc tiếp cận.” 
Tình huống 1: Tấn công mục tiêu cố định với các yêu cầu ràng buộc góc tiếp cận mục tiêu 
khác nhau lần lượt là 00, -300, -400, -500, -700, -900. Quỹ đạo của tên lửa, quá tải của tên lửa, đồ 
thị góc nghiêng quỹ đạo tên lửa và độ trượt tức thời được thể hiện trong các hình 2a đến 2d. 
Như kết quả được thể hiện trên các hình 2a đến 2d cho thấy: tên lửa có thể bắn trúng mục tiêu 
một cách chính xác với các góc tiếp cận định trước. Những kết quả này cho thấy rằng, luật dẫn 
được tổng hợp có thể đạt được các góc tiếp cận mong muốn trong phạm vi thay đổi rộng. Tuy 
nhiên, đồ thị quá tải của tên lửa tại thời điểm cuối của một số trường hợp còn có sự thay đổi khá 
lớn, có thể vượt quá khả năng cơ động của tên lửa. 
Tình huống 2: tấn công mục tiêu đứng yên với các góc nghiêng quỹ đạo lúc bắt đầu chuyển 
vào giai đoạn tự dẫn cuối lần lượt là 50, 180, 300, 400 và góc tiếp cận mục tiêu mong muốn 
90f
  , ở cự ly 1000 m. Các kết quả mô phỏng về quỹ đạo và quá tải yêu cầu, góc nghiêng 
quỹ đạo và vận tốc của tên lửa cho các trường hợp góc phóng ban đầu khác nhau được thể hiện 
lần lượt trong hình 3a và hình 3b. 
a) Quỹ đạo của TL b) Quá tải của TL 
Hình 3. Quỹ đạo và quá tải của TL ứng với góc nghiêng quỹ đạo ban đầu khác nhau. 
 a) b) 
 c) d) 
Hình 4. So sánh hiệu quả giữa luật dẫn đề xuất và luật dẫn tiếp cận tỷ lệ. 
Như kết quả được thể hiện trong hình 3a,b cho thấy, tên lửa có thể bắn trúng mục tiêu một 
Nghiên cứu khoa học công nghệ 
 Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số 73, 06 - 2021 27 
cách chính xác với góc tiếp cận định trước ở các góc nghiêng quỹ đạo lúc chuyển vào giai đoạn 
tự dẫn cuối khác nhau. Tuy nhiên, giá trị góc nghiêng quỹ đạo tên lửa lúc chuyển sang giai đoạn 
tự dẫn cuối có ảnh hưởng khá lớn gia tốc pháp tuyến yêu cầu của tên lửa. Trong các trường hợp 
khảo sát thì góc nghiêng quỹ đạo tại thời điểm chuyển sang tự dẫn cuối ở giá trị 180 có quá tải 
yêu cầu thấp nhất. Giá trị góc nghiêng quỹ đạo nhỏ là một yêu cầu rất quan trọng khi tên lửa 
chuyển sang giai đoạn tự dẫn để đảm bảo không vượt quá giới hạn trường nhìn của đầu tự dẫn, 
và tránh mất thông tin bắt bám mục tiêu. 
Tình huống 3: Phân tích so sánh giữa luật dẫn được đề xuất và luật dẫn tiếp cận tỷ lệ truyền 
thống. Nhóm tác giả lựa chọn khảo sát với góc phóng ban đầu ( 18ooσ ) và góc tiếp cận mục 
tiêu mong muốn 90ofθ , ở cự ly 1000 m. 
Từ hình 4a đến 4d có thể thấy rằng, mặc dù luật dẫn tiếp cận tỷ lệ đảm bảo tấn công mục tiêu 
một cách chính xác nhưng không đáp ứng được yêu cầu ràng buộc góc tiếp cận theo mong muốn. 
Ngoài ra, luật dẫn tiếp cận tỷ lệ yêu cầu gia tốc pháp tuyến rất lớn tại thời điểm tiếp cận mục 
tiêu, trong khi luật dẫn tối ưu chỉ cần gia tốc pháp tuyến khá nhỏ. 
5. KẾT LUẬN 
Bài báo đã tổng hợp được một dạng luật dẫn mới có phản hồi trạng thái dựa trên lý thuyết 
điều khiển tối ưu để đánh chặn các mục tiêu cố định có tính đến ràng buộc góc tiếp cận. Luật dẫn 
được tổng hợp đảm bảo tính đơn giản, yêu cầu ít thông tin cung cấp để hình thành lệnh điều 
khiển. Mô phỏng số được thực hiện cho các tình huống tác chiến, điều kiện góc nghiêng quỹ đạo 
của tên lửa ở giai đoạn chuyển sang tự dẫn khác nhau và so sánh với phương pháp dẫn tiếp cận tỷ 
lệ thông thường để đánh giá hiệu quả luật dẫn mới tổng hợp. 
Các kết quả mô phỏng cho thấy, luật dẫn được tổng hợp đáp ứng tiêu chí đánh trúng mục tiêu 
chính xác và thỏa mãn yêu cầu về góc tiếp cận mong muốn. Tuy nhiên, để phát huy tính hiệu quả 
của luật dẫn yêu cầu điều kiện đầu ở thời điểm chuyển sang giai đoạn tự dẫn cuối và chọn góc 
tiếp cận mong muốn phải phù hợp với khả năng cơ động của tên lửa. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1]. Phạm Trung Dũng, Vũ Xuân Đức, “Cơ sở điều khiển tối ưu trong các hệ thống kỹ thuật”. Nhà xuất 
bản Quân đội Nhân dân, 2012. 
[2]. Vũ Hỏa Tiễn, “Động học các hệ thống điều khiển thiết bị bay”, Học viện Kỹ thuật quân sự, 2013. 
[3]. P.Zarchan, “Tactical and strategic missile guidance”, the American Institute of Aeronautics and 
Astronautics, Inc, Progress in Astronautics and Aeronautics, Vol.239, No.6 (2012). 
[4]. Ryoo, C. K., Cho, H., and Tahk, M. J., “Optimal Guidance Laws with Terminal Impact Angle 
Constraint,” Journal of Guidance, Control, and Dynamics, Vol. 28, No. 4, 2005, pp. 724–732. 
[5]. Ratnoo, A, Ghose, D. “Impact angle constrained interception of stationary targets”. J Guid Control 
Dyn 2008; 31: 1817–1822. 
[6]. Hou, Z, Liu, L, Wang, Y. “Time-to-go estimation for terminal sliding mode based impact angle 
constrained guidance”. Aerosp Sci Technol 2017; 
[7]. Ryoo, Chang Kyung, H. Cho, and M. J. Tahk. “Time to go weighted optimal guidance with impact 
angle constraints”. Control Systems Technology IEEE Transactions on, 14(3) 3):483 92. 
[8]. V. Shaferman and T. Shima, “Linear Quadratic Guidance Laws for Imposing a Terminal Intercept 
Angle,” Journal of Guidance, Control, and Dynamics, vol. 31, no. 5, 2008, pp. 1400-1412. 
[9]. Chang-Hun Lee, Min-Jea Tahk, and Jin-Ik Lee, “Generalized Formulation of Weighted Optimal 
Guidance Laws with Impact Angle Constraint,” IEEE Transactions on Aerospace and Electronic 
Systems, Vol. 49, No. 2, 2013, pp. 1317 -1322. 
Kỹ thuật máy bay & Thiết bị bay 
 28 T. V. Hải, , N. N. Điển, “Tổng hợp luật dẫn tối ưu  tính đến ràng buộc góc tiếp cận.” 
ABSTRACT 
SYNTHESIS OF OPTIMAL GUIDANCE LAW FOR TERMINAL HOMING PHASE 
CONSIDERING IMPACT ANGLE CONSTRAINT 
 In this paper, a method to synthesize the guidance law of missile for the terminal 
homing phase to attack a stationary target on the ground is presented. Guidance law is 
synthesized based on optimal control theory developed to meet the requirement of 
attacking target with very high precision, ensuring minimization of control energy and 
impact angle constraint. The results of numerical simulations performed with different 
engagement situations demonstrated the effectiveness of the synthesized guidance law. 
Keywords: Optimal; Missile; Guidance law; Impact angle; Miss distance. 
Nhận bài ngày 16 tháng 3 năm 2021 
Hoàn thiện ngày 31 tháng 3 năm 2021 
Chấp nhận đăng ngày 10 tháng 6 năm 2021 
Địa chỉ: 1Học viện KTQS; 
2
Khoa Kỹ thuật Điều khiển - Học viện KTQS. 
*
Email: vanhaimta@gmail.com.