Tính s - Tựa lồi của hàm phân thức

138 TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ ĐÔ HÀ NỘI 
 TÍNH S - TỰA LỒI CỦA HÀM PHÂN THỨC 
 Trần Thị Hƣơng Tr 1 
 Học viện Chính sách và Phát triển 
 Tóm tắt: Hàm lồi suy rộng được gọi là ổn định với một tính chất (X) nếu ta thêm vào hàm 
 đang xét một nhiễu tuyến tính đủ nhỏ mà hàm vẫn có tính chất đó.Một số hàm lồi suy 
 rộng như: tựa lồi, tựa lồi hiện và giả lồi không ổn định ngay cả khi hàm có miền đang xét 
 là compact. Năm 1996, H.X.Phú và P.T.An đã đưa ra khái niệm hàm s-tựa lồi ổn định với 
 một số tính chất quan trọng: (L)-Mọi tập mức dưới là tập lồi,(M)- Điểm cực tiểu địa 
 phương là cực tiểu toàn cục,(S)-Điểm dừng là điểm cực tiểu toàn cục. Trong bài báo này, 
 chúng tôi sẽ xét tính s-tựa lồi của hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất hay nói cách 
 khác là xét tính ổn định của hàm phân thức theo tính chất (L), (M), (S). 
 Từ khoá: Hàm phân thức, tính ổn định, s-tựa lồi 
1. GIỚI THIỆU 
 Tập lồi và hàm lồi đã đƣợc nghiên cứu rất nhiều trong một trăm năm qua. Những công 
trình đầu tiên về giải tích lồi đƣợc đƣa ra bởi một số tác giả nhƣ Holder (1889), Jensen 
(1906) và Minkowski (1910, 1911). Đặc biệt với những công trình của Fenchel, Moreau, 
Rockafellar vào các thập niên 1960 và 1970 đã đƣa giải tích lồi trở thành một trong những 
lĩnh vực phát triển nhất của toán học. Một số hàm mang một trong số các tính chất của hàm 
lồi, nhƣng lại không phải là hàm lồi. Ch ng đƣợc gọi là các hàm lồi suy rộng (generalized 
convex function). Có lẽ ngƣời đầu tiên đề xuất tính lồi suy rộng và đƣa ra khái niệm tựa lồi 
(quasiconvex) là Finetti ([2], 1949). Hàm lồi có nhiều hƣớng mở rộng khác nhau, ngƣời ta 
làm yếu đi tính lồi của hàm, để giải quyết bài toán trong thực tế có nhiều hàm không lồi, 
nhƣng vẫn mang một số tính chất của hàm lồi. Một số hàm lồi suy rộng hàm tựa lồi đặc 
trƣng cho tính chất (L)-Tập mức dƣới của hàm đang xét là lồi, hàm tựa lồi hiện 
S.Karamardian/B.Matos ([3,4], 1965) đặc trƣng cho tính chất (M)- Mỗi điểm cực tiểu địa 
phƣơng là điểm cực tiểu toàn cục, hàm giả lồi H. Tụy ([5], 1964) đặc trƣng cho tính chất 
(S)-Mỗi điểm dừng là điểm cực tiểu toàn cục. 
1 Nhận bài ngày 12.04.2016; gửi phản biện và duyệt đăng ngày 10.05.2016 
 Liên hệ tác giả: Trần Thị Hƣơng Trà; Email: t.huongtra90@gmail.com 
TẠP CHÍ KHOA HỌC SỐ 4/2016 139 
 Các lớp hàm lồi suy rộng với nhiễu tuyến tính không ổn định theo các tính chất (L), 
(M), (S) của hàm lồi. Vì vậy, H.X. Ph và P.T. An [1] đã giới thiệu khái niệm về hàm s-tựa 
lồi (s-quasiconvex). Ta xét D  n là tập lồi, hàm fD: và  là chuẩn bất kì trong
 n . Hàm f là s-tựa lồi (s- quasiconvex)}("s" viết tắt cho "stable") nếu tồn tại  0 sao 
cho: 
 f()() x f x f( xf )( x )
 10  kéo theo 1   (1.1) 
 xx10 xx1 
với:  ,x0 , x 10  D , xx 1 (1 x ), và  0,1 . 
 Bổ đề 1.1. Mọi hàm lồi là hàm s-tựa lồi 
 Chứng minh: 
 Xét hàm: fD: là lồi, với x01,, xD và xf xf(1 x  ) (01 )( ), trong 
đó:  0,1 .
   
 Khi đó: f( xf ) xf (1 x  ) (01 ) ( ). 
 f()() x f x f()() x f x
Nếu tồn tại  0 sao cho: 10  thì 1  .
 xx10 xx1  
Thật vậy, ta có: 
 x1 x x 1(1 ) x 0  x 1 (1  ) x 1 (1  ) x 0 (1  )( x 1 x 0 ). 
Do đó: 
 x11 xx 0 x 1.  
 Mặt khác, ta lại có: 
 fxfxfx()1 () ()(1 1   )() fx 0  fx () 1 fx ()(1 1  )() fx 0  fx ()
 (1  )()(1f x1  )() f x 0 (1  )(() f x 1 f ()). x 0
 Khi đó: 
 f() x f () x (1  )(() f x f ()) x
 1 0 1 0 . 
 x1 xx 01 x 0 (1  ) 
 Rõ ràng, mọi hàm lồi là hàm s-tựa lồi. 
 Bổ đề 1.2. Mọi hàm s-tựa lồi là hàm tựa lồi 
 Chứng minh: 
 Hàm là hàm tựa lồi khi và chỉ khi f( x ) max { f ( x ), f ( x )}
 fD:  01 
140 TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ ĐÔ HÀ NỘI 
với: xxD, và xxx (1  ).
 01  01 
Giả sử: f( x ) max{ f ( x ), f ( x )} khi đó: f( x ) f ( x ),
 1 0 1 01 
 f( xf )( x )
Suy ra: f x_1 f x _0 0 và xx 0 , nên: 10 0.
 10 
 xx10 
 Mặt khác, hàm tựa lồi f( xf )( x ) 1 , suy ra: 
 f()() x f x
 f( x ) f ( x ) 00. 10
 1  xx 
 1  
 Rõ ràng ta thấy với  :0 luôn có  0 thoả mãn công thức (1.1). Vậy mọi hàm s-tựa 
lồi là tựa lồi. 
 Một số đặc tính chính của hàm s-tựa lồi (s-quasiconvex) đƣợc nêu ở đây, đặc biệt là sự 
ổn định của nó đối với các tính chất (L), (M), (S). 
2. TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HÀM S-TỰA LỒI 
 Hàm s-tựa lồi là ổn định với chính nó 
 Định lí 2.1[1] Giả sử tồn tại  0 ; sao cho:  , f là s-tựa lồi khi và chỉ khi
 f ,. là hàm s-tựa lồi 
 Định lí 2.2 [1] Hàm là hàm s-tựa lồi nếu và chỉ nếu tồn tại  0 ; sao cho:
f ,. là tựa lồi với mỗi phiếm hàm tuyến tính n thỏa mãn  .
 Theo định lí 2.2, hàm là s-tựa lồi nếu tồn tại ; sao cho: là tựa lồi 
nên suy ra: thoả mãn tính chất (L)- mọi tập mức dƣới là tập lồi. 
 Do đó, hàm s-tựa lồi là ổn định với chất (L). 
 Định lí 2.3[1] Hàm fD:  n là s-tựa lồi khi và chỉ khi tồn tại 0 ; sao cho: 
f ,. là tựa lồi hiện với mỗi  n thỏa mãn  .
 Theo định lí 2.3, hàm là s-tựa lồi nếu tồn tại ; sao cho: là tựa lồi 
hiện nên suy ra: thoả mãn tính chất (M)- cực tiểu địa phƣơng là cực tiểu toàn 
cục. Do đó, hàm s-tựa lồi là ổn định với chất (M). 
 Định lí 2.4 Giả sử hàm fD:  n khả vi liên tục. Khi đó f là hàm s-tựa lồi 
khi và chỉ khi tồn tại  0 sao cho f ,. là hàm giả lồi với mỗi  n thỏa mãn 
 .
 Chứng minh: 
TẠP CHÍ KHOA HỌC SỐ 4/2016 141 
 Từ hàm giả lồi là hàm tựa lồi, điều kiện cần theo Định lí 2.2. Với điều kiện cần, ta sử 
dụng tính ổn định của hàm s - tựa lồi với tính chất (L), ta chỉ cần chứng minh rằng s-tựa lồi 
là hàm giả lồi. Giả sử hàm f là s - tựa lồi. Khi đó, với xxD01, với f( xf01 )( x ), ta có 
 f( xf10 )( x )
thể chọn  0 sao cho:  và  , với  đƣợc đƣa ra theo (1.1), ta 
 xx 
 10 
có: 
 f()() x1 f x
  ,x .  x01 x  
 xx1 
 Do đó: 
 f()() x f xx10 x 1
 lim( ),. fx1 
 xx 
 01 x xx10 x 1
 Suy ra:  f( x ),0. x xx x Tức là hàm f thoả mãn biểu thức của 
 1 0 10 1 
hàm giả lồi. Vậy hàm f là giả lồi. 
 Theo định lí 2.4, hàm f là s-tựa lồi nếu tồn tại 0 ; sao cho f ,. là giả lồi nên 
suy ra: thoả mãn tính chất (S)- điểm dừng là điểm cực tiểu toàn cục. Do đó, 
hàm s-tựa lồi là ổn định với chất (L). 
 Phần tiếp theo ch ng ta đi xét tính s-tựa lồi của hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất. 
3. XÉT TÍNH S-TỰA LỒI CỦA PHÂN THỨC BẬC NHẤT TRÊN BẬC 
NHẤT 
 ax b
 Xét hàm phân thức bậc nhất fx() với điều kiện là c 0,0 ad bc và 
 cx d 
 d
tập xác định là: \{ }. 
 c
142 TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ ĐÔ HÀ NỘI 
 Hình 1. Các dạng đồ thị hàm phân thúc bậc nhất trên bậc nhất 
 ax b
 Hình trên là đồ thị có hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất fx() với điều 
 cx d
 d a
kiện là cad 0,0, bc với tiệm cận đứng là x , một tiệm cận ngang y .
 c c
Giao điểm của hai đồ thị là tâm đối xứng của hàm số.
 d d
 Ta xét hàm fx()trên , hoặc ,,hàm là lồi, theo Bổ đề 1.1 
 c c
thì hàm là hàm s-tựa lồi. Ta xét với tập D là miền còn lại mà hàm fx()là không lồi 
trên D, từ Định lí 2.4 ta suy ra rằng hàm không là s-tựa lồi nếu không tồn tại  0
sao cho f() xax thoả mãn tính chất (S), với a .
 a()() cx d c ax b ad cb
 Ta có: fx(), 22
 ()()cx d cx d 
 ab
 0 khi
 cd
 Do đó: fx () 
 ab
 0.khi 
 cd
 Vậy trên miền ta đang xét, với k > 0, ta đặt hoặc hàm ̃ 
 . Ta có: x thoả mãn fx ( ) 0 và fx ( ) 0. Do đó, các điểm dừng của không 
 k k k f
phải luôn là điểm cực tiểu toàn cục. Từ đó dẫn đến kết quả trên miền này hàm fx()không 
là s-tựa lồi. 
 x 2 1
 Ví dụ 1: Xét hàm phân thức: fx( ), tập xác định  . 
 21x 2
 5
 Hàm số đồng biến: fx ( )0. Ta xét hàm trên tập lồi nhỏ hơn thuộc tập 
 21x 2
xác định của hàm fx(). 
 1
 Xét x , là tập lồi, thuộc tập xác định của hàm . Trên miền này, hàm 
 2
 là hàm lồi nên theo Bổ đề 1.1 thì hàm trên miền này là hàm s-tựa lồi. 
TẠP CHÍ KHOA HỌC SỐ 4/2016 143 
 1
 Xét x , , hàm fx() là s-tựa lồi thì nếu tồn tại  0 sao cho f (x)ax 
 2
thoả mãn một trong ba tính chất (L), (M), (S). Ta thấy với hàm không thoả mãn tính 
chất (S)-mọi điểm dừng là điểm cực tiểu toàn cục. Thật vậy, ta phải chỉ ra tồn tại mà 
a .
 1 15k
 Ta đặt: a , với kf x0, ( f ): x a( x) và x :. 
 k k k k 22
 x 2 15 1
 Từ đó, suy ra: f( xx )0. 2 
 21x kk (2x 1)
 20
 Do đó: fx (): 0 và fx ( ) 0. 
 k k (2x 1)3
 ̃
 Các điểm dừng của không phải luôn là điểm cực tiểu toàn cục. Vì ak 0 khi 
k , không tồn tại  0 sao cho f() xax thoả mãn tính chất (S), nếu a . Suy 
 1
ra hàm không là s-tựa lồi với x ,. 
 2
 x 2
 Ví dụ 2: Xét hàm phân thức: fx(), tập xác định 1. 
 x 1 
 Xét x  1,  thuộc tập xác định của hàm . Trên miền này, hàm là 
hàm lồi nên theo Bổ đề 1.2 hàm là s-tựa lồi. 
 Xét x  ,1  thuộc tập xác định của hàm . Để hàm là hàm s-tựa lồi 
thì nếu tồn tại  0 sao cho f() x ax thoả mãn một trong ba tính chất (L), (M), (S). Ta 
thấy với hàm không thoả mãn tính chất (S)-mọi điểm dừng là điểm cực tiểu toàn 
cục. Thật vậy, ta chỉ ra tồn tại mà a .
 1
 Ta đặt, a , k 0,(): f x f () x a x ,và x : 1 3. k 
 kk k k
 Từ đó, suy ra: 
 x 2 1 3 1
 f( x ) x 2 0. 
 x 1 k(x 1) k
144 TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ ĐÔ HÀ NỘI 
 6
 Do đó: fx():k 0 và fx(k )0. 3 Vậy các điểm dừng của f không phải 
 (x 1) 
luôn là điểm cực tiểu toàn cục. Vì ak 0 khi k , không tồn tại  0 sao cho
f() xax thoả mãn tính chất (S), nếu a .Suy ra hàm fx() không là s-tựa lồi với 
x  , 1 . 
4. KẾT LUẬN 
 Trong bài báo này chúng tôi sử dụng các kết quả nghiên cứu về hàm s-tựa lồi của 
H.X.Phu và P.T.An ([1], 1996) để xét tính s-tựa lồi của hàm phân thức bậc nhất trên bậc 
nhất. Ch ng tôi đã chỉ ra đƣợc một số trƣờng hợp điển hình trong Ví dụ 1, Ví dụ 2. Các kết 
quả này có thể mở rộng tƣơng tự với các lớp hàm khác. 
 TÀI LIỆU THAM KHẢO 
1. H. X. Phu và P. T. An (1996), Stable generalization of convex functions, Optimization, 
 Vol.38, pp.309-318. 
2. B. De Fintti (1949), Sulle stratificazioni convesse, Ann. Mat. Pura Appi. 30, pp.173-183. 
3. S. Karamardian (1965), Duality in Mathematical Programming, Doctoral Thesis, University 
 of California, Berkeley. 
4. B. Martos (1965), The direct power of adjacent vertex programming methods, Management 
 Sci., 12, pp.241-255. 
5. H. Tuy (1964), Sur les inégalité linéaires, Colloquium Math, 13, pp.107-123. 
 S-QUASICONVEX PROPERTIES OF RATIONAL FUNCTIONS 
 Abstract: A kind of generalized convex function is said to be stable with respect to some 
 property (X) if this property is maintained during an arbitrary function from this class is 
 disturbed by a linear functional with sufficiently small norm. Known generalized 
 convexities like quasiconvex, expilicitly quasiconvex, and pseudoconve are not stable 
 with are expected to be true by the generalizations, even if the domain of the function is 
 compact. In 1996, H.X.Phu and P.T.An introduce the notion of s-quasiconvex function. 
 Especially, the s-quasiconvexity is stable with repect to the following important 
 properties (L)- all lower level sets are convex, (M)-each local minimum is a global 
 minimum, (S)-each stationary point is a global minimizer. In this paper, weconsider the 
 rational functions is s-quasiconvex. 
 Keywords: Rational function, properties, s-quasiconvex.