Một đánh giá gradient trong không gian Lorentz cho phương trình p-Laplace dữ liệu độ đo với p gần 1

và R được định nghĩa trong Bổ để 3.4. 
 Kết quả đánh giá trên biên được thực hiện tương tự như trong miền  khi  là miền 
 00, R Reifenberg với 0 1 2 . Cho x0  là điểm trên biên của  và 0 1 0,RR0 
 1, p
ta đặt  220RRBx . Giả sử uW loc là nghiệm của phương trình (1.2) và ta gọi 
 1, p
wuW  02 R là nghiệm duy nhất của phương trình 
 div A x ,  w 0 trong 10R ,
 (3.9) 
 wu treân 10R .
Bổ đề 3.6. (Nguyen, & Nguyen, 2019) 
 32n 
 Giả sử rằng 1 p và w là nghiệm duy nhất của (3.9) và số q thỏa mãn điều 
 21n 
kiện (3.4). Khi đó ta có 
 1 1
 q m mp 1 
 1 q R m
 uw  dx C  dx
 Bx Bx
 BxBx 10 R 0 10R 0 
 100100RR 
 12 p
 m mq
 R mq1 
 Cdxu dx  .
 B xB x 
 Bx x 100RR 00 B 1 
 100100 R R 
Mệnh đề 3.7. (Nguyen, & Nguyen, 2019) 
 Cho  Mb  , và số q thỏa mãn điều kiện (3.4). Khi đó, với mọi 
 1
 0 , tồn tại 00  np,,,0, sao cho nếu  là miền - Reifenberg thì 
 2
 1, 
tồn tại một hàm VWBx R/20 thỏa mãn 0 sao cho 
 R0
 1
 1 q
 1 q
 p 1
 V C 10R xC 0  u , 
 L BR/10 x0 
 B10R
 B10 R
và 
 1 1
 q 1 q
 1 q 1 q
  u V dx C xCu p 1    , 
  10R 0 0 
 BxR/10 0 B10R
 BR/10 x0 Bx10 R 0 
với C C n, p ,  , 0 và 10R được định nghĩa như trong Bổ đề 3.4. 
 526 
Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Lê Hồng Phúc 
Bổ đề 3.8. (Tran, 2019) 
 Cho  0,1,0 RR và quả cầu Q B: x với x n . Cho V W Q là 
 12 R2 0 0
hai tập đo được thỏa mãn hai tính chất 
 i) nnVB  ; 
 R1 
 nn
 ii) Với mỗi xQ và rR 0 , , 1 nếu VBxBx rr  thì 
Br x Q W . 
 Khi đó tồn tại một hằng số C dương phụ thuộc vào n sao cho nn VCW  . 
4. Kết quả chính 
 Kết quả mới của bài báo được trình bày trong hai định lí chính. Trong đó, Định lí 4.1 
là một bất đẳng thức dạng good-λ, được chứng minh dựa trên Bổ đề 3.8, được biết đến như 
một dạng bổ đề phủ Vitali. Kết quả về đánh giá gradient được phát biểu trong Định lí 4.2, 
được chứng minh dựa trên Định lí 4.1. 
Định lí 4.1. 
 32n 
 Cho 1, p  M  và Q B x với x cố định trong  . Giả sử 
 21n diam  0 0
u là nghiệm renormalized của (1.2) với dữ liệu độ đo  Lm với mmm ***, . Khi đó, 
 n nmp 1 
với mọi q và  0 , 1 , tồn tại các hằng số  npc,,, ,
 21nnm 0
  n,,0,,, p cn00 , p , qc và CC  n p,,,,,/0 qcdiamr 00 sao 
cho  là miền 00, R - Reifenberg và  thì ta có bất đẳng thức 
 R0
 11
 n qmqm p 1 
 MM uQ , m
 
 (4.1) 
 1
 n q q
  CuQ  M ,0.
 
Chứng minh : Với  0 và r0 0 , xét hai tập hợp có dạng 
 1 1
 qmq m p 1
 V MMuQ ,,    
 ,  m 
  
và 
 1
 q q
 W M  uQ , 
   
 
 527 
Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Tập 18, Số 3 (2021): 521-537 
trong đó,  0 ,1 và 0 được chọn ở phía sau. Đặt D d i a m , ta có Q B x . 
 0 D0 0 
Ta cần chứng minh rằng tồn tại các tham số ,,  và 0 0 sao cho (4.1) thỏa mãn với 
 nn
mọi  0, 0 , tức là VCW,  . Ý tưởng chính là dùng Bổ đề 3.8 để chứng 
minh Định lí 4.1, nghĩa là ta sẽ kiểm tra hai giả thiết trong Bổ đề 3.8 được thỏa mãn. Đầu 
tiên ta cần chứng minh rằng 
 nnVCB  0,0, (4.2) 
 , R0 
trong đó, R000 D r m i n , .  Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử V,  (bởi vì nếu 
V,  thì (3.12) là hiển nhiên đúng). Khi đó tồn tại xQ1 thỏa mãn 
 1
 m
 M mp 1 . Theo định nghĩa của hàm cực đại M ta có 
 m m
 1 1
 m m n
 mmBxD 1 1
 pp 110 m
 dydyD 0 , 
  Bx D0
 D0 1
hay 
 n
 1
  D m p 1 . (4.3) 
 Lm  0 
Áp dụng Bổ đề 2.3 với s 1, ta có 
 1
 qqq C
 nnVuu dx  M 
 ,  q 
   
 q n mq n m 
 1 
 C mn pnm 11 p nm p 1 
 dxudx nm 
 q 
  
 q n m 
 q n m 
 n nm p 1 nm p 1 
 C mp 1 
 Dudx nm .(4.4)
 q 0 
  
 Mặt khác, theo đánh giá gradient trong Bổ đề 3.2 ta có 
 1
  uCnm p 1  p 1 , 
 LLnm  m 
kết hợp với (4.3) và (4.4) ta được 
 q
 qn m n
 n n p 1
 CD 1 p 1 
 nnVDCB mp 1 D m  0  . 
 ,0 q 0 R0 
  R0
 528 
Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Lê Hồng Phúc 
 Đánh giá này dẫn đến nnVCB  với  CnpqRR,,,,,/ và hằng 
 , R0 0 
 n
 D
số C phụ thuộc vào 0 và , (4.2) được chứng minh. 
 R0
 Tiếp tục ta cần chứng minh   xQBxrR ,0,: 
 R2 00  
 nn
 VBxCBxBxQW,  rrr  . 
 c
 Thật vậy, ta chứng minh mệnh đề này bằng phản chứng, giả sử rằng Br x Q W  
và V B, x r . Khi đó, tồn tại xxBx23, r thỏa mãn 
 1
 M uxq q , (4.5) 
 2 
và 
 1
 M  m x mp 1 . (4.6) 
 m3 
 Ta sẽ chứng minh rằng tồn tại C C n, p ,  , m , q , c0 0 sao cho 
 VBxCBx,  rr  . (4.7) 
 Với mỗi 0, yBx r ta có 
 11qq
  u dxusup dx
 B yBy '0 
 By ' By' 
 
 11qq
 max  sup; sup. u dx u dx
 0 '' rrB y B y 
  ''B '' yB y 
 Với 0 ' r , y Br x ta có ByBx '2  r , do đó 
 11qqq
 supsup  u dxu dx Bx M uy . 
 2r Bx2r 
 ' r ByB ' r y
 ' B ' yB ' ' y 
 Với ByBBxBx ''' 223  '2 rr với mỗi '. r Từ (3.15) ta có 
 11qqBy3' 
supsup u dxu  dx
 '' rrB yB y B y 
 ''3 ' B '3 yB ' 2 x 
 1 q q
 3n sup3 udx n M  ux 3nq .
 2 
 ' r Bx
 3 ' 2 B3 ' x 2 
 1 q q nq
 Từ đó suy ra  u dx max M uy ;3  , 
 By Bx2 r 
 B y 
 529 
Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Tập 18, Số 3 (2021): 521-537 
 qq
hay MMuyuy max; 3nq ,yBx . Đánh giá này dẫn đến 
 Bx r
 2r 
 1 n
 q q
 M u 3q   B x . 
  r 
 
 n
 Như vậy, với mọi  0 và 3q ta có, 
 11
 qmqm p 1
VBxQBx  MMu ,  
 , rr  m 
 
 1 1
 qm q mp 1 
  MMu ,.(4.8)m QBx r 
 B2r x 
 
 1, p
 Giả sử uWk 0 là nghiệm duy nhất của phương trình 
  div,trong, Axu k
 (4.9) 
 uk  0treân,
với  T . Để chứng minh (3.17), ta xét hai trường hợp Bx  và c 
 kk 8r Bx8r    .
Trường hợp 1. Bx8r   
 1,1,p 
 Áp dụng Bổ đề 3.5 cho vWBxWBxkrr  42 là nghiệm duy nhất của 
phương trình: 
  div,0trong, A xvBxkr 8 
 (4.10) 
 vuBx treân,
 kkr 8 
với  k và BBx28Rr , tồn tại hằng số CCnpq ,,0 sao cho   0 , và với 
  , ta có : 
 R0
 1
 1 q
 1 q
 p 1
 vk C 8r k Cu k , 
 L Bx2r 
 B8r x 
 B8r x 
và 
 1 1
 q 1 q
 1 q 1 q
 u v dx C p 1 C   u , 
 k k  8r k k
 B4r B8r
 B4r B8r
trong đó hàm 8r được định nghĩa 
 530 
Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Lê Hồng Phúc 
 1
 m m
 8r m
  dx . 
 8rkk 
 Bx4r 
 Bx4r 
Áp dụng (3.15), (3.16) và Bổ đề 3.3, ta nhận được 
 1
 q
 1
 1 q
 p 1
 limpsu vCk 8r  Cu 
 L Bxr 
 k Bx8r 
 Bx8r 
 11
 mq
 CxCux MM p 1 q 
 m 32 
 CC  1 ,
và 
 1
 q
 1 q
 limsup  uvdx 
 kk
 k Bx4r 
 Bx4r 
 1
 q
 1
 1 q
 C  p 1  Cu 
  8r 
 Bx8r 
 Bx8r 
 1 1
 q
 C MMm xCu p 1 q x
  m 33 
 
 CC     ,
 m
trong đó k hội tụ yếu trong L . Như vậy tồn tại k0 1 sao cho  kk0 ta có 
  vCk , (4.11) 
 LBx 2r 
và 
 1
 q
 1 q
   uvdxC C   . (4.12) 
 kk  
 Bx4r 
 Bx4r 
Ta có đánh giá 
 1
 q q 1
 V,  Bxr M B u k v k   B r x 
 2r 
  9
 1
 q q 1 
 M B u u k   B r x 
 2r 
  9 
 1
 q 1
 M vBq   x .
  B2r k r 
  9 
 (4.13) 
 531 
 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Tập 18, Số 3 (2021): 521-537 
 n
 q
Dựa vào (3.6), ta nhận thấy rằng với max3,10 C (C là hằng số trong (3.6)) và kk 0 , 
 
ta suy ra 
 1
  q 1
 M   v q  B x 0. 
  Bx2r k r
 9 
 Do đó, (4.13) dẫn đến 
 1
 q q 1
 VBx M    uvBx 
 , r  Bkk2r r
 9
 1
 q q 1
 M    uu Bx .
  Bkr2r 
 9
 Áp dụng Bổ đề 2.3 và (4.12), ta có 
 C qq
 VB   xuvu u 
 , rkkk  q 
 B22rr xB x 
 C  q qn q
  q Cru  u  k .
  
 Bx2 r 
 Cho k ta được 
  q
 V,  Br x C C     B r x  B r x , 
 R
trong đó ,,,,, Cnpcq 0 và  Cnp ,,,,,. cq 0 
 R0
 c
Trường hợp 2. Bx8r   
 Tồn tại x4   thỏa mãn xxxr4  dist,8 . Ta có 
 B2r x  B 10 r x 4  B 100 r x 4  B 108 r x  B 109 r x 2 , (4.14) 
và 
 B100r x 4  B 108 r x B 109 r x 3 . (4.15) 
 1, p 1, 
 Áp dụng Mệnh đề 3.7 với u uk W0  và VWBxkr 104 là nghiệm của 
phương trình : 
  div,0trong, A x VBkr x 10 4 
 VuBkkr x trên, 10 4 
với  k và B10Rr B 100 x 4 , có hằng số C C n, p ,  0 thỏa mãn 
 532 
 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Lê Hồng Phúc 
 1
 1 q
 1 q
 p 1
 Vk C 100r  C uk , 
 LBx 10r 4 
 B1004r x 
 Bx1004r 
và 
 1 1
 q 1 q
 1 q 1 q
  uVdx C 100r  p 1 C u , 
 kk  k k
 Bx104r B1004r x 
 Bx84r B1004r x 
trong đó, 100r được định nghĩa như sau 
 1
 m m
 100r m
 100r   dx . 
 k k
 Bx100r 
 Bx100r 
 1
 1
 q q
Từ M ux  và M  x p 1  với x x,, B x (4.14), (4.15) và 
 2 m 3 23 r 
Bổ đề 3.3, ta có 
 1
 1 q
 1 q
 p 1
 limsup  VCCuk 100r  
 L B2 r x 
 k Bx1004r 
 Bx100r 4 
 1
 1 q
 1 q
 p 1
 CCu 109r  
 Bx1094r 
 Bx109r 4 
 1 1
 q
 MM x p 1 uxq C,
 m 32 
và 
 1
 q
 1 q
 limsup  uVkk 
 k Bx
 2r 
 1
 1 
 q q
 CxC MMp 1 ux 
  m 3  R 2 
 0 
 
 CC     .
 Như vậy, ta có thể tìm k0 1 thỏa mãn với mọi kk 0 ta có 
  VCk , (4.16) 
 L B2r x 
và 
 533 
Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Tập 18, Số 3 (2021): 521-537 
 1
 q
 1 q
  uVdxCC  . (4.17) 
 kk  
 Bx2r 
 Bx2r 
 Ta có đánh giá tương tự như trường hợp 1 cho kk 0 như sau, 
 1
 q q 1
 V,  Br x M  Bkkr   uBx v 
 2r 
 9
 1
 q q 1
 M  Br  uuBxk  ,
 2r 
 9 
với mọi hằng số 1 phụ thuộc vào np, , .  Do đó, theo (4.11) và (4.12) cho ta 
suy ra, 
 C qq
 VB   xuvu u 
 , rkkk  
 B22rr xB x 
 C  q qn q
  Cru  u k .
  
 Bx2r 
 Khi đó cho k ta nhận được 
  q
 VBxC,  CBxrr  , 
trong đó  ,,,,, Cnpq và  CnpqRR ,,,,,/ 0 . 
 Cuối cùng, áp dụng Bổ đề 3.8 với VV , và WW  để hoàn tất chứng minh của định lí. 
Định lí 4.2. 
 32n n
 Cho np 2,1, và  là miền thỏa mãn điều kiện Reifenberg. Giả 
 21n 
sử rằng cho dữ kiện  Lm với mmm ***, . Khi đó tồn tại hằng số 
 D
CCnpm  s,,,,,, t 0 thỏa mãn với bất kỳ nghiệm renormalized u của (1.2), ta có 
 R0
 1
 || uC || [M ( )]mp 1 , (4.18) 
 Lst, () m
 Lst, ()
với s 0, và t (0, ]. 
 534 
Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Lê Hồng Phúc 
 Chứng minh. 
 Ta chứng minh kết quả trên trong trường hợp t , trường hợp t được chứng 
 n nmp 1 
minh hoàn toàn tương tự. Cố định q , áp dụng Định lí 3.9, tồn tại các 
 21nnm 
 n
 q
hằng số CCCnpqRR 0,max3,10,,,,,,/   0 và 01 0 thỏa mãn bất 
 
đẳng thức (4.1), với mọi  0, 0 và  0. 
 Bằng cách thay giá trị  bằng  trong định nghĩa của không gian Lorentz, ta có 
 t
 t
 1 1 s
 
 qqt n q d
 MM uuq  s  
 0 
 Lst,  
 (4.19) 
 t
 1 s
 
 t t n q q d
 s M  u   .
 0 
  
 Áp dụng (4.1) và (4.19), ta nhận được 
 t
 t
 1 t 1 s
 
 qqttn q d
 MM u q  Cs s u 
 0 
 Lst,  
 (4.20) 
 t
 1
 s
 ttn mp 1 d
 C s Mm    .
 0  
 
 Ta biểu diễn lại các giá trị của tích phân bên vế phải của (4.20), ta được 
 t t t
 1 t 11
 qqm
 MMMuuq Cs sC  qm t  p 1 , 
 m 
 Lst,  Lst,  Lst,  
dẫn đến 
 1 1 1 1
 qqm
 MMMuuq Cs s qm p C  1 , 
 m 
 Lst,  LLs,, ts t 
 n
 q
với mọi max  3 ,10C ,  C n, pqR ,, , R ,/ 0 và 0 t , ta có thể chọn 
 
 1
 0, đủ nhỏ sao cho C s 1 để thu được điều phải chứng minh. 
 0 2
 535 
Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Tập 18, Số 3 (2021): 521-537 
  Tuyên bố về quyền lợi: Tác giả xác nhận hoàn toàn không có xung đột về quyền lợi. 
 TÀI LIỆU THAM KHẢO 
Betta, M. F., Mercaldo, A., Murat, F., & Porzio, M. M. (2003). Existence of renormalized solutions 
 to nonlinear elliptic equations with a lower-order term and right-hand side a measure. J. Math. 
 Pures Appl., 80, 90-124. 
Boccardo, L., Gallouët, T., & Orsina, L. (1996). Existence and uniqueness of entropy solutions for 
 nonlinear elliptic equations with measure data. Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire 13, 
 539-551. 
Byun, S. S., & Wang, L. (2004). Elliptic equations with BMO coefficients in Reifenberg domains. 
 Commun. Pure Appl. Math., 57, 1283-1310. 
Byun, S. S., & Wang, L. (2008). Elliptic equations with BMO nonlinearity in Reifenberg domains. 
 Adv. Math., 219, 1937-1971. 
Maso, G. D., Murat, F., Orsina, L., & Prignet, A. (1999). Renormalized solutions of elliptic equations 
 with general measure data. Ann. Scuola Norm. Super. Pisa (IV), 28, 741-808. 
Mingione, G. (2007). The Calderón–Zygmund theory for elliptic problems with measure data. Ann. 
 Scu. Norm. Sup. Pisa Cl. Sci., (5)6, 195-261. 
Mingione, G. (2010). Gradient estimates below the duality exponent. Math. Ann. 346, 571-627. 
Nguyen, C. P. (2014). Nonlinear Muckenhoupt–Wheeden type bounds on Reifenberg flat domains, 
 with applications to quasilinear Riccati type equations. Adv. Math., 250, 387-419. 
Nguyen, Q. H., & Nguyen, C. P. (2019). Good-λ and Muckenhoupt-Wheeden type bounds, with 
 applications to quasilinear elliptic equations with gradient power source terms and measure 
 data. Math. Ann., 374, 67-98. 
Tran, M. P. (2019). Good-λ type bounds of quasilinear elliptic equations for the singular 
 case, Nonlinear Anal., 178, 266-281. 
Tran, M. P., & Nguyen, T. N. (2019a). Existence of a renormalized solution to the quasilinear Riccati-
 type equation in Lorentz spaces. C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 357, 59-65. 
Tran, M.-P., & Nguyen, T. N. (2019b). An application of global gradient estimates in Lorentz-
 Morrey spaces: The existence of stationary solution to degenerate diffusive Hamilton-Jacobi 
 equations. Electron. J. Differential Equations, (118), 1-12. 
Tran, M. P., & Nguyen, T. N. (2019c). Global gradient estimates for very singular nonlinear elliptic 
 equations with measure data. arXiv:1909.06991, 39 pp. 
Tran, M. P., & Nguyen, T. N. (2020). Lorentz-Morrey global bounds for singular quasilinear elliptic 
 equations with measure data. Commun. Contem. Math., 22(5), 1950033, 30 p. 
 536 
Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Lê Hồng Phúc 
 A LORENTZ GRADIENT ESTIMATE FOR A CLASS 
 OF MEASURE DATA P-LAPLACE EQUATION WITH P CLOSED TO 1 
 Ho Chi Minh City University of Education, Vietnam 
 Corresponding author: Le Hong Phuc – Email: phuc1321996@gmail.com 
 Received: July 20, 2020; Revised: January 11, 2021; Accepted: March 22, 2021 
ABSTRACT 
 p-Laplace equation is one of the partial differential equations which has been studied 
extensively. This equation has many applications in Physics and other sciences. The aim of the 
present paper is to establish a Lorentz gradient estimate for renormalized solutions to the p-Laplace 
equation with the data satisfying a Reifenberg domain in the case of p closed to 1. In order to prove 
the main result, we use a good-λ technique which has been considered in many recent studies. In 
particular, we used the results of the reverse Hölder’s inequality and the comparison estimate 
between the solutions of the original problem and the corresponding homogeneous problem in the 
study by Tran and Nguyen, 2019c to prove the good-λ inequality. In particular, we consider the 
hypothesis of the Reifenberg domain to obtain a better evaluation in the study by Tran and Nguyen, 
2019c. 
 Keywords: Lorentz spaces; measure data; p-Laplace equations; Reifenberg domain 
 537