Nhóm SO(3) và ứng dụng trong cấu trúc hình học tinh thể

 NHÓM SO (3) VÀ ỨNG DỤNG TRONG CẤU TRÚC HÌNH HỌC TINH THỂ 
 Ngô Quốc Hoàn 
 Khoa Toán - Khoa học Tự nhiên 
 Email: hoannq@dhhp.edu.vn 
Ngày nhận bài: 31/8/2020 
Ngày PB đánh giá: 07/10/2020 
Ngày duyệt đăng: 16/10/2020 
 TÓM TẮT: Bài viết sử dụng lý thuyết nhóm để nghiên cứu cấu trúc đại số của tập các 
 phép quay SO(3) trong không gian thực 3 chiều. Tiếp đó, bằng phương pháp đại số, bài 
 viết gửi đến biểu diễn ma trận của một phép quay trong không gian 3 chiều. Đặc biệt, bài 
 viết cũng giới thiệu một số nhóm con đặc biệt của nhóm SO(3) và mô hình thực tế trong 
 nghiên cứu cấu trúc hình học tinh thể của các nhóm con đó. 
 Từ khóa: Phép quay, Nhóm SO(3), Nhóm SO(2). 
 THE GROUP SO (3) AND APPLICATIONS IN MOLECULAR STRUCTURES 
 ABSTRACT: This paper uses the theory of groups to study the algebraic structure of set 
 SO3 of rotations in 3 . Nextly, via the algebraic method, this paper gives the matrix of 
 rotations in 3 . In particular, this paper also presents some special subgroups of SO(3) 
 and their applications to research the molecular structures. 
 Keywords: Rotation, Group SO(3), Group SO(2). 
 1. GIỚI THIỆU 
 Phép quay là một trong những khái niệm Toán học thường xuyên được xuất hiện trong 
thực tế, chẳng hạn như Trái Đất quay quanh mặt trời; bánh xe quay xung quanh trục;. 
Chính vì thế, nghiên cứu tính chất của tập các phép quay được nhiều nhà khoa học thực tiễn 
quan tâm. 
 Về mặt toán học, phép quay thuộc lớp các ánh xạ trên không gian điểm, biến điểm 
này thành điểm khác và bảo toàn khoảng cách giữa các điểm, gọi là phép dời hình [1]. 
Chính vì vậy, trên tập các phép quay, ta có thể xây dựng tích hợp thành ánh xạ và tìm 
hiểu cấu trúc đại số (cấu trúc nhóm) trên đó [3,5,6]. 
 Nhóm các phép quay SO(3) có ý nghĩa quan trọng không chỉ trong Toán học mà còn 
 trong nhiều lĩnh vực khác, đặc biệt trong vật lý. Trong vật lý lượng tử, các nhóm con của 
SO(3) , thường được gọi là nhóm đối xứng của phân tử [3], có ý nghĩa quan trọng trong việc 
 nghiên cứu cấu trúc hình học của tinh thể vật chất (phân tử, nguyên tử,). 
 Bài viết này giới thiệu lý thuyết cơ bản, các thuật ngữ và các tính chất của lý thuyết 
nhóm sẽ được sử dụng. Tiếp đó, sử dụng lý thuyết nhóm áp dụng trên tập các phép 
30 Tạp chí khoa học, Số 44, tháng 01 năm 2021 
quay, bài viết xây dựng cấu trúc nhóm SO(3) và phân loại các nhóm con đặc biệt trên 
nhóm này. Cuối cùng, bài viết tổng hợp một số ví dụ về mô hình nhóm quay được sử 
dụng để nghiên cứu cấu trúc tinh thể trong vật lý lượng tử. 
2. KHÁI NIỆM CƠ BẢN 
2.1. Nhóm 
 Định nghĩa: Cho một tập G  được trang bị một phép toán 2 ngôi *, gọi là 
phép nhân, như sau 
 *: GG G
 . 
 (,x yxy ) 
 Ta nói (G,*) là một nhóm nếu phép nhân * trên G thỏa mãn các tính chất sau: 
 o Tính kết hợp: Với mọi a, b,c G, ta có (ab)c = a(bc). 
 o Tồn tại phần tử e G sao cho eg = ge = g với mọi g G. 
 o Với mọi g G, tồn tại x G sao cho gx = xg = e. Ta kí hiệu x= g-1 và gọi x là 
nghịch đảo của g. 
2.2. Nhóm hữu hạn 
 Định nghĩa: Cho nhóm (G,*) với phần tử đơn vị e. 
 (i) Phần tử g G được gọi là có cấp vô hạn nếu không tồn tại số nguyên dương n nào 
sao cho gn = e. Phần tử g được gọi là có cấp hữu hạn m nếu m là số nguyên dương bé nhất 
sao cho gm = e. 
 (ii) Lực lượng của G, kí hiệu là |G|, được gọi là cấp của nhóm G. Nhóm G được gọi 
là nhóm hữu hạn nếu và chỉ nếu |G| là hữu hạn. 
 Mệnh đề: Cho nhóm (G,*) với phần tử đơn vị e và g G có cấp n. Khi đó, k 
thỏa mãn gk = e nếu và chỉ nếu n | k. 
 Chứng minh: Giả sử k thỏa mãn gk = e. Theo thuật toán chia Euclid, tồn tại các 
số q, r sao cho knqr ;0 rn . Do đó ta có e = gk = gnq+r = gnq gr = gr. Mặt 
khác, ta có r < n và n là cấp của G, vì vậy, r = 0. Điều này dẫn đến k = nq, điều phải 
chứng minh. Ngược lại, nếu k chia hết cho n thì tồn tại q sao cho k = nq. Do đó 
gk = gnq= eq = e. Mệnh đề được chứng minh. 
2.3. Nhóm con 
 Định nghĩa: Cho nhóm (G,*) với e là phần tử đơn vị. Tập hợp con H  của G 
đóng với phép toán cảm sinh trên G (tức là xy H với mọi x H, y H) được gọi là 
nhóm con của nhóm G nếu (H, *) là một nhóm. 
 Mệnh đề [4]: Tập con H  của nhóm G là nhóm con khi và chỉ khi các điều 
kiện sau thỏa mãn 
 (i) Nếu a,b H thì ab H. 
 (ii) e H. 
 (iii) Nếu a H thì a-1 H. 
 Chứng minh: ( ) Giả sử H là một nhóm con có phần tử đơn vị eH. Khi đó ta có, 
mệnh đề (i) là hiển nhiên. Bây giờ ta có eH eH = eH =e eH. Vì vậy, theo luật giản ước ta 
có eH = e. Mệnh đề (ii) được chứng minh. Mặt khác, nếu a H có nghịch đảo trong G và 
 Tạp chí khoa học, Số 44, tháng 01 năm 2021 | 31 
trong H lần lượt là a-1 và g. Khi đó ta có aa-1 = e = ag. Do đó, theo luật giản ước thì a-1 
= g H. Mệnh đề (iii) được chứng minh. 
 ( ) Giả sử H thỏa mãn các mệnh đề (i), (ii) và (iii). Khi đó, từ điều kiện (i), ta 
suy ra H là đóng với phép toán cảm sinh trên G. Do đó phép toán trên H có tính chất kết 
hợp. Kết hợp với các điều kiện (ii) và (iii), ta suy ra H là một nhóm. 
3. NHÓM CÁC PHÉP QUAY TRONG KHÔNG GIAN 3 
3.1. Cấu trúc nhóm của tập các phép quay trong 3 
 Ta nhắc lại rằng, trong mặt phẳng, 
 cho điểm O cho trước, phép biến 
 hình Q(O, ) biến điểm O thành 
 chính nó, biến mỗi điểm M khác O 
 thành điểm M’ sao cho OM = OM’ 
 và góc lượng giác (OM; OM’) bằng 
 gọi là phép quay tâm O góc quay 
 . Điểm O được gọi là tâm quay 
 còn được gọi là góc quay. 
 Ta kí hiệu tập tất cả các phép 
 quay q( ) trong mặt phẳng (các 
 phần tử xác định bằng góc quay 
 thỏa mãn 02 ) là SO(2). 
 Trên tập SO(2), phép nhân là phép 
 thực hiện liên tiếp các phép quay 
 trong mặt phẳng. Tức là: 
 qq()() 12 q ( 12 ) 
với mọi 12, thỏa mãn 0, 12 2. (1) 
 Mệnh đề: Tập SO (2) cùng phép nhân xác định như trong (1) lập thành một nhóm. 
 Chứng minh: Thật vậy, phép nhân xây dựng trên SO (2) là kết hợp vì 
qqq() 123 ()() qq ()( 123123123 ) q ( ) q ( )()(q()())() q 123 qq 
với mọi 123,, thỏa mãn 0,,2 123 . Mặt khác, phần tử đơn vị của SO (2) 
chính là phép quay góc 0 (phép đồng nhất e). Cuối cùng, với mọi phép quay q( ), phần 
tử nghịch đảo sẽ là q(- ). Mệnh đề được chứng minh. 
 Cho n là số tự nhiên khác 0. Gọi qn là phép quay trong mặt phẳng góc quay 
 2 
 . Bây giờ, với mọi n * , ta đặt C : {e,q ,q21 ,...,qn }. 
 n nnnn
 Mệnh đề: C n là một nhóm con hữu hạn của SO(2), với mọi số tự nhiên n. 
 Chứng minh: Dễ dàng chứng minh được C n là đóng với phép nhân xây dựng trên 
 knk 1 
các phép quay. Rõ ràng e C n . Hơn nữa, ta dễ dàng thấy ()qqnn với mọi k . 
Trong không gian, chú ý rằng phép quay tâm I, góc 
32 Tạp chí khoa học, Số 44, tháng 01 năm 2021 
quay được xác định cần phải cố định thêm trục 
quay là một đường thẳng d đi qua I. Ảnh của điểm d 
M qua phép quay này sẽ là điểm M’ tạo bởi bằng 
cách quay điểm M quanh trục d sao cho góc lượng 
giác (IM; IM’) bằng và IM = IM’. M 
 Cho một tứ diện đều trong không gian I
Oxyz, ký hiệu là ABCD. Gọi T là tập các phép 
quay làm cho tứ diện thành chính nó. Khi đó T 
là một nhóm và ta dễ dàng chứng minh rằng T 
có các nhóm con như sau: 
 2
 Bốn nhóm con C 333:{e,q,q} , mỗi 
 nhóm bao gồm các phép quay quanh 1 
 trục đi qua 1 đỉnh và tâm của mặt đối 
 diện đỉnh đó. 
 Ba nhóm con C 22:{e,q} , mỗi nhóm 
 bao gồm các phép quay quanh trục đi qua 
 trung điểm các cặp cạnh đối diện 
 Điều này có nghĩa là T là một nhóm hữu 
hạn, cấp 12. 
 Cuối cùng, ta xét tập SO(3) tất cả các phép quay trong không gian 3 chiều, quanh 
một điểm cố định cho trước.1 Phép nhân trên SO(3), ta vẫn định nghĩa là quá trình thực 
hiện hai phép quay liên tiếp nhau. (*) 
 Mệnh đề: SO (3) cùng với phép toán nhân xác định như (*) lập thành một nhóm 
liên tục không giao hoán. Hơn nữa, mỗi phần tử của SO(3) được xác định bởi trục quay 
d và góc quay , ký hiệu là qd( ). 
 Chứng minh: Tính chất kết hợp của phép toán trên SO (3) là hiển nhiên vì phép 
nhân là phép hợp thành ánh xạ. Hơn nữa, phần tử đơn vị chính là phép quay góc 0 (phép 
đồng nhất e), phần tử nghịch đảo của qd ( ) là qd(- ). Vì vậy SO (3) là một nhóm. Dễ dàng 
thấy rằng, trong không gian các phép quay được xác định khi biết trục quay và góc quay. 
Cuối cùng, tính không giao hoán của nhóm này được suy ra khi các trục quay không 
giống nhau. Cho ví dụ, ta có một điểm M nằm trên trục Ox và hai phép quay góc 
 2
tương ứng quanh các trục Ox, Oz. 
 z
 z 
 M’’
 O N O
 M M 
 y y x
 x
 M’
1 Thực tế, mỗi phép quay được xác định bởi góc quay, tâm I và một trục quay là một đường thẳng đi quay I. 
 Tạp chí khoa học, Số 44, tháng 01 năm 2021 | 33 
 Khi đó ảnh M’’ của M qua phép quay qOx( )qOz( ) (thực hiện qOz( ) trước) 
 2 2 2
nằm trên trục Oz. Trong khi đó, ảnh N’’ của M qua phép quay qOx( )qOz( ) lại nằm 
 2 2
trên Oy. Do đó qOx( )qOz( ) qOx( )qOz( ). 
 2 2 2 2
 Hệ quả: Các nhóm T và SO (2) là các nhóm con của SO(3). 
3.2. Ma trận của phép quay trong không gian 
 Giả sử cho một phép quay q trong không gia ba chiều Oxyz. Không mất tính tổng 
quát, ta có thể giả sử tâm quay là gốc tọa độ (nếu không, ta có thể thực hiện đổi hệ trục 
tọa độ cho hợp lý). Ta biết rằng, phép quay sẽ xác định nếu biết tọa độ ảnh của mỗi 
điểm trong không gian. Điều này có nghĩa là nếu ta có thể biết cách tính tọa độ của ảnh 
thì phép quay được xác định. Do đó chúng ta chỉ cần tìm ảnh của các trục tọa độ qua 
phép quay là đủ. 
 Giả sử qua phép quay q, ảnh của các trục tọa 
 x’ z 
độ lần lượt là Ox’, Oy’ và Oz’. Giả sử giao tuyến 
của mặt xOy và mặt x’Oy’ là Ot và giao tuyến 
nằm trong nửa không gian tọa độ dương Oz. Gọi 
góc giữa Ox và Ot là 1 ; góc giữa Ot với Ox’ là 
 ; góc giữa Oz với Oz’ là . t
 2 O 
 Bây giờ ta thực hiện liên tiếp các phép quay 
với trục quay qOz( 1 ) biến Ox thành Ot; qOt() y’ y 
biến Oz thành Oz’ và qOz’( 2 ) biến Ox thành Ox’ x
và Oy thành Oy’. Với các phép quay trên, ba trục Ox, Oy, Oz sẽ tương ứng biến thành 
Ox’, Oy’, Oz’. Do đó 
 q = qOz’( 2 ) qOt() qOz( 1 ). (2) 
 Chú ý rằng Ot được tạo ra từ Ox qua phép quay qOz( 1 ) nên ta có 
 -1
 qOt() = qOz( 1 )qOx() (qOz( 1 )) . 
 Tương tự ta cũng có 
 -1 
 qOz’( 2 ) = (qOt()qOz( 1 ))qOz( 2 )(qOt()qOz( 1 ))
 -1
 = (qOz( 1 )qOx())qOz( 2 )(qOz( 1 )qOx()) . 
Do đó, kết hợp với (2), ta thu được 
 -1 -1
q = (qOz( 1 )qOx())qOz( 2 )(qOz( 1 )qOx()) qOz( 1 )qOx() (qOz( 1 )) qOz( 1 ) 
 = qOz( 1 )qOx() qOz( 2 ). 
34 Tạp chí khoa học, Số 44, tháng 01 năm 2021 
 Chú ý rằng ta lấy các góc thỏa mãn  0,  ;12 [0,2 ); [0,2 ) . Hơn 
nữa, chú ý rằng ma trận của các phép quay qOz( 1 ) và qOx() tương ứng là 
 cos 11 sin 0 1 0 0
 sin cos  0 ; 0 cos sin ; 
 11
 0010sincos 
 Do đó ta có ma trận của q là 
 cos 1 cos    2 cos sin 12 sin cos 12 sin cos sin 1 cos 2 sin 1 sin 
 A= sin cos cos  cos sin sin sin cos  cos cos cos  sin . 
 1 2 12 12 1 2 1 
 sin 22 sin cos  sin cos  
 Hệ quả [3,5]: Nhóm SO (3) là điểm trên phân tử (ví dụ phép quay,) 
nhóm các phép biến đổi có định thức thì tập các phép biển đổi kiểu như vậy 
bằng 1 và làm bất biến dạng toàn lại lập thành một cấu trúc nhóm với 
phương x2 + y2 + z2. 
 phép hợp thành ánh xạ, gọi là nhóm đối 
3.3. Một số nhóm đặc biệt ứng dụng xứng của phân tử [3,6]. Sau đây là một 
 trong cấu hình vật chất 
 số ví dụ: 
 Thực tế, có nhiều phân tử mà ở đó 
 (i) Xét phân tử mêtan CH4. Mỗi 
các nguyên tử được sắp xếp theo một 
 phân tử mêtan bao gồm 1 nguyên tử 
cấu trúc khối nào đó mà bằng phép 
 Cacbon (C) và 4 nguyên tử Hidro (H). Về 
quay, phép phản xạ gương, ta chỉ làm 
 mặt hình học, 4 nguyên tử H được đặt tại 
thay đổi vị trí của từng nguyên tử mà 
 4 đỉnh của một tứ diện đều, còn nguyên 
không làm thay đổi phân tử. 
 tử C được đặt tại tâm của tứ diện [2]. 
 Đặc biệt, nếu phép biến hình có 
đặc điểm chung là giữ cố định ít nhất 1 
 Chính vì vậy, nhóm T chính là nguyên tử H và 3 nguyên tử Cl. Về mặt 
nhóm giữ cố định cấu trúc phân tử của cấu trúc, phân tử C2H3Cl3 có dạng phễu 
 đối xứng, tròn đó hai nguyên tử C đặt ở 
CH4 và là nhóm điểm của phân tử này. 
 thân phễu; 2 đáy phễu là tam giác đều ở 
 (ii) Xét phân tử 1,1,1- đó tam giác thứ nhất có nguyên tử H đặt 
trichloroethane, C2H3Cl3. Mỗi phân tử ở một đỉnh, tam giác thứ 2 có nguyên tử 
C2H3Cl3 bao gồm 2 nguyên tử C, 3 Cl đặt ở mỗi đỉnh. 
 Tạp chí khoa học, Số 44, tháng 01 năm 2021 | 35 
 Với cấu trúc hình học này, nhóm phân tử nước có 2 nguyên tử H và 1 
các phép quay giữ nguyên cấu trúc phân nguyên tử O. Về mặt hình học, phân tử 
tử 1,1,1-trichloroethane sẽ là nhóm .
 C3 nước tạo thành một tam giác cân có góc 
 (iii) Cuối cùng, xét một phân tử ở đỉnh khoảng 1040[2]. 
quen thuộc là phân tử nước, H2O. Mỗi 
 Do đó, nhóm đối xứng của phân tử 
nước sẽ bao gồm tất cả các phép quay TÀI LIỆU THAM KHẢO 
làm hình tháp đều đáy 2 cạnh trùng với 1. Bộ giáo dục và đào tạo (2018), Hình 
chính nó. Nhóm này là nhóm con của học 11, Nhà xuất bản giáo dục Việt Nam. 
nhóm 
 C 2 . 2. Bộ giáo dục và đào tạo (2018), Hóa học 
 10,11,12, Nhà xuất bản giáo dục Việt Nam. 
 4. KẾT LUẬN 
 3. Nguyễn Hoàng Phương (2002), Lý 
 Bài báo đã chứng minh tập các thuyết nhóm và ứng dụng vào vật lý học lượng 
phép quay trong không gian 3 chiều tử, Nhà xuất bản Khoa học và Kỹ thuật. 
cùng với phép hợp thành ánh xạ là một 
 4. Nguyễn Tiến Quang (2008), Đại số 
nhóm không giao hoán, gọi là nhóm SO đại cương, Nhà xuất bản giáo dục. 
(3). Tiếp đó, bài báo gửi đến dạng ma 
trận của một phần tử trong SO (3) và 5. Robert Gilmore (1974), Lie Groups, 
 Lie algebras and some of their 
giới thiệu một số nhóm con đặc biệt của applications, Inc., New York. 
nhóm SO (3). Đồng thời, bài viết cũng 
tổng hợp một số ví dụ ứng dụng các 6. M. Hamermesh (1964), Group 
 theory and its applications to physical 
nhóm con của nhóm SO (3) trong 
 problems, London. 
nghiên cứu cấu trúc tinh thể vật chất. 
36 Tạp chí khoa học, Số 44, tháng 01 năm 2021