Một số thể hiện đường thẳng Ơ-le trong chương trình toán phổ thông

(1707-1783) và đã được công bố vào năm 1765 
(Wikipedia, 2020). Đường thẳng Ơ-le liên Học sinh lớp 6 mới bắt đầu làm quen với 
quan đến 3 điểm thẳng hàng là chủ đề quan các kiến thức cơ bản của môn Hình học. Trên 
trọng của nghiên cứu toán học. Vậy học sinh cơ sở ứng dụng kết quả của đường thẳng Ơ-le, 
phổ thông đã được truyền tải và tiếp cận được chúng tôi đề xuất bài toán thể hiện quy trình 
kiến thức này như thế nào? dựng hình sau đây nhằm giúp các em rèn 
 luyện các kỹ năng dựng trung điểm của một 
 Chương trình toán phổ thông hiện nay, đoạn thẳng và cách dựng góc vuông chính xác. 
chúng ta chưa tìm thấy có bài học riêng để Đồng thời qua đó phát hiện được kết quả về 
giảng dạy đường thẳng Ơ-le cho học sinh. Học tính thẳng hàng của ba điểm H,G,O cụ thể: 
sinh chỉ tiếp cận kiến thức này dưới hình thức 
giới thiệu thông qua các bài đọc thêm hoặc dưới Bài toán 1: Đề nghị học sinh thực hiện 
hình thức tích hợp được lồng ghép trong các thí theo thứ tự các bước sau: 
dụ, hay các dạng bài tập đề nghị trong sách giáo Bước 1: Dựng 
khoa môn toán phổ thông. Riêng các tài liệu đường tròn có tâmO, A 
tham khảo khác như tài liệu tham khảo chuyên 
 bán kính R tuỳ ý. 
sâu, chuyên đề môn toán trung học cơ sở, trung 
học phổ thông (Nguyễn Đức Tấn, 2015 và Phan Bước 2: Chọn 3 H N 
Huy Khải, 2011) và trên mạng Internet (Nguyễn điểm ABC, , trên G O 
Hùng, 2020) có trình bày các cách chứng minh đường tròn tâm O sao B 
đường thẳng Ơ-le. Nhưng nhìn chung, việc trình cho AB BC CA M C 
bày giới thiệu đường thẳng Ơ-le đối với học (tam giác ABC là tam 
 Hình 1 
sinh phổ thông là rời rạc qua nhiều tài liệu, kiến giác thường). 
thức phân tán qua nhiều khối lớp. Điều này làm 
cho học sinh khi tiếp cận kiến thức này gặp phải Bước 3: Dựng MN, lần lượt là trung 
nhiều khó khăn. điểm hai đoạn BC,. AC 
 Bài viết này, trên cơ sở chọn lọc, sắp xếp, Bước 4: Nối hai điểm AM, và hai điểm 
tinh chỉnh và bổ sung một số nội dung kiến 
 BN,.
thức trong các cách chứng minh định lý Ơ-le từ Gọi G là giao điểm của AM và BN. 
các nguồn tài liệu nhằm để trình bày một cách 
 Bước 5: Dựng đường thẳng d qua A 
có hệ thống các cách thể hiện đường thẳng Ơ- 1
le phù hợp với trình độ và kiến thức của học vuông góc BC. 
sinh theo từng khối lớp phổ thông một cách 
 Bước 6: Dựng đường thẳng d qua B
liên tục, có thứ tự từ lớp 6 đến lớp 12. Với 2 
mong muốn phục vụ được một phổ rộng các vuông góc AC. 
đối tượng học sinh nghiên cứu, tìm hiểu kiến 
 Bước 7: Dựng giao điểm H của d và d . 
thức một cách dễ dàng hơn. Đặc biệt đối với 1 2
học sinh cuối cấp trung học phổ thông có thể Bước 8: Nối 3 điểm HGO, , . 
tự thống kê để biết được các cách thể hiện 
đường thẳng Ơ-le thông qua nhiều hình thức và Bước 9: Ghi nhận xét: HGO, , có thẳng 
nhiều nội dung học khác nhau như: Hình học hàng không? 
14 
 Tạp chí Khoa học Đại học Đồng Tháp, Tập 10, Số 3, 2021, 13-20 
 Sau khi thực hiện qui trình trên, giáo viên Trên tia đối của tia OA lấy điểm D sao 
thu được kết quả như sau: cho OD OA. 
 1/ Giáo viên phân hoá được hoc sinh theo Ta có OA OC OD OAC cân 
2 nhóm: 
 tại O OAC OCA . 
 Nhóm 1: Gồm những học sinh có 3 điểm 
 Tương tự ODC cân tại O 
HGO, , thẳng hàng (nhóm có kỹ năng tốt). 
 Nhóm 2: Gồm những học sinh có 3 điểm ODC OCD. 
HGO, , không thẳng hàng. (GV yêu cầu Trong tam giác ADC : 
nhóm thực hành lại việc xác định các trung 
 0
điểm của đoạn thẳng và cách dựng góc vuông DAC ADC ACD 180 . 
chính xác). 
 (OCA OCD ) ACD 1800 
 2/ Giáo viên giới thiệu cho học sinh tiếp 
cận được tri thức mới: 
 2ACD 1800 . 
 Thông qua Bài toán 1 mà các em vừa giải 
 0
quyết xong: “Ba điểm H, G, O tạo nên một ACD90 DC AC . 
đường thẳng. Đường thẳng này gọi là đường 
 Ta có BH AC (H là Trực tâm tam giác 
thẳng Ơ-le mang tên nhà toán học lỗi lạc Euler 
 ABC BH DC.
(1707-1783) đã tìm ra vào năm 1765” ), nên 
(Wikipedia, 2020). Tương tự chứng minh 
 A
 2.2. Học sinh lớp 7 được: BD CH. 
 Học sinh lớp 7 được giới thiệu đường BHC CDB(..) g c g
 H G O
thẳng Ơ-le qua đoạn trích như sau: do đó BH CD. 
 “Có thể em chưa biết: Trong một tam MBH MCD(..) g c g B C
giác, nếu gọi O là điểm chung của ba đường M
 Hình 2
trung trực (tâm đường tròn ngoại tiếp), G là HMB DMC D
điểm chung ba đường trung tuyến (trọng tâm), 
H là điểm chung ba đường cao (trực tâm), thì và MHD,, thẳng hàng. 
O, G, H cùng thuộc đường thẳng. (G ở giữa O, 
 Từ MH MD nên M là trung điểm HD. 
H và OH=3OG). Đường thẳng chứa O, G, H 
gọi là đường thẳng Ơ-le của tam giác ABC; nó Vậy AM và HO là 2 trung tuyến của tam 
mang tên nhà toán học lỗi lạc Lê-ô-na Ơ-le giác AHD. 
(1707-1783)” (Phan Đức Chính và Tôn Thân, 
 Suy ra HO AM G (G là trọng tâm 
2003, tr. 84]). 
 tam giác ABC ). 
 Chúng ta có thể cho các em tiếp cận đường 
 Vậy HO, qua G và HG2 GO (điều phải 
thẳng Ơ-le nói trên thông qua cách giải bài toán 
nhờ áp dụng tính chất hai góc đối đỉnh, và các chứng minh). 
trường hợp bằng nhau của hai tam giác như sau: 2.3. Học sinh lớp 8 
 Cách giải 1 (Nguyễn Đức Tấn, 2015) Đối với học sinh lớp 8, Chúng ta có thể 
 Gọi M là trung điểm cạnh BC. cho học sinh tiếp cận đường thẳng Ơ-le thông 
 qua cách giải bài toán nêu trên nhờ áp dụng hai 
 Do G là trọng tâm nên G AM; AG 2 GM . 
 tam giác đồng dạng như sau: 
 15 
Chuyên san Khoa học Tự nhiên 
 Cách giải 2 (Nguyễn Hùng, 2011) Suy ra HMD;; thẳng hàng và MH HD. 
 Các điểm MN, lần lượt là trung điểm Ta có OA OD. Suy ra OM là đường trung 
BC và AC. bình tam giác. 
 AHB MON (g. g. g) 1 1
 Do đó OM AH (1), GM AG 
 OM MN 1
 . 2 2
 HA AB 2 (G trọng tâm) (2), 
 OM GM 1
 Vậy . HAG GMO (so A 
 HA GA 2 le trong) (3). 
 N
 Mặt khác: HAG GMO (so le trong) Từ (1), (2), (3) H O
 HAG OMG
nên GOM GHA OGM HGA. G
 HGA OMG B C
 Do M
 (hai góc tương ứng). Hình 3
 00
HGM HGA180 HGM MGO 180 Do AGM,, thẳng 
 HGM; MGO là hai góc kề bù. Vậy hàng nên suy ra HGO, , thẳng hàng (tính 
 chất hai góc đối đỉnh). 
HGO, , thẳng hàng; và 
 Do đó HG2 GO (điều phải chứng minh). 
GO 1
 HG2. GO 
HG 2 2.5. Học sinh lớp 10. 
 2.4. Học sinh lớp 9 Học sinh lớp 10 tiếp cận đường thẳng Ơ-le 
 thông qua bài toán 2 (TrầnVăn Hạo và Nguyễn 
 Học sinh lớp 9, Chúng ta có thể cho học Mộng Hy, 2007, tr. 21) như sau: 
sinh tiếp cận đường thẳng Ơ-le thông qua cách 
giải bài toán nêu trên nhờ tính chất của hình “Cho tam giác ABC có trực tâm H, trọng 
bình hành như sau: tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp O 
 Cách giải 3 (Wikipedia, 2020) a/ Gọi M là trung điểm của BC. Chứng 
 minh AH2. OM 
 Gọi D là điểm xuyên tâm đối của A 
(hình vẽ). 
 b/ Chứng minh OH OA OB OC. 
 Ta có A
 c/ Chứng minh ba điểm O, G, H thẳng hàng”. 
 0
 DCA 90 Cách giải 4 
 H G O
 DBA 900 a/ Gọi D là điểm đối xứng của A qua O. 
 B M C
 (góc nội tiếp chắn BH DC (cùng vuông góc với AC ). 
 D
nửa đường tròn). Hình 4
 BD CH (cùng A
Tứ giác BHCD có BH CD (cùng vuông vuông góc với AB). 
góc với AC ). 
 Vậy BDCH là hình H G O
DB CH (cùng vuông góc vớiAB ). bình hành. 
 B M
 C
Do đó tứ giác BHCD là hình bình hành. D
 Hình 5
16 
 Tạp chí Khoa học Đại học Đồng Tháp, Tập 10, Số 3, 2021, 13-20 
Do đó M là trung điểm của HD 
 h3 : x y 4 0. 
 nênAH2. OM 
 Suy ra Trực tâm: h12 h H 2;2 . 
 b/ Ta có OB OC2. OM AH c/ Ta có tọa độ trọng tâm: 
OA OB OC OA AH OH (1). 2 2 4 0 4 0 4 4
 GG;;. 
 3 3 3 3
 c/ Ta biết OA OB OC3 OG (2). 
 44
 Từ IHG1;1 , 2;2 , ; . 
 Từ (1), (2) suy ra OH3. OG Suy ra ba 33
điểm OGH,, thẳng hàng (đường thẳng Ơ-le 
 Suy ra HIG, , đều thuộc đường thẳng có 
của tam giác ABC ). 
 phương trình yx(là đường thẳng Ơ-le) 
 Sau đây chúng tôi đưa ra bài toán nâng 
cao nhằm để minh họa tính đúng đắn của định 22 11
lý Ơ-le một cách cụ thể, đồng thời rèn luyện HG ; , GI ; HG2. GI 
cho học sinh kỹ năng giải bài toán bằng 33 33
phương pháp tọa độ như sau: 2.6. Học sinh lớp 11 
 Bài toán 3: Cho tam giác ABC với Học sinh lớp 11 đã có kiến thức về Phép 
ABC2;0 , 2;4 , 4;0 . 
 dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng. 
 Chúng tôi đề xuất cách giải bài toán Ơ-le nêu 
 a/ Viết phương trình các đường trung trực trên bằng Phép vị tự như sau: 
của tam giác. Xác định toạ độ tâm I của đường 
tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Cách giải 6 
 b/ Viết phương trình các đường cao. Từ Gọi ABC’;  ’;  ’ A
đó suy ra toạ độ trực tâm H của tam giác lần lượt là trung điểm
ABC. BC, CA , AC . C' B'
 G O
 c/ Chứng tỏ HIG, , thẳng hàng, ở đó Do O là tâm H
G là trọng tâm tam giác ABC. đường tròn ngoại tiếp B
 nên OA’ là đường A' C
 Cách giải 5 Hình 6
 trung trực của cạnh 
 a/ Phương trình ba đường trung trực 
 BC. Suy ra OA' BC tại A’, mà BC’’ BC 
d, d , d của tam giác có phương trình lần 
 1 2 3 (đường trung bình) nên OA'''. B C 
lượt là: Tương tự chứng minh được: OB'''. A C 
d12: x y 2 0, d : x 2 y 1 0. Do đó O là trực tâm tam giác ABC’’’ (giao 2 
 đường cao). 
 dx : 1 0 
 3 Mặt khác G là trọng tâm tam giác ABC nên có: 
Tâm I là giao d và d , ta được I 1;1 . 11
 1 2 GA';'; GA GB GB 
 22
 b/ Phương trình 3 đường cao: 
 1
 h: x 2 y 2 0, h : x 2 0, GC' GC 
 12 2
 17 
Chuyên san Khoa học Tự nhiên 
Suy ra 
 Nếu M là trung điểm của ZZ12, thì 
 V1 ()'''. ABC A B C 
 (,)G OZ3 1
 2
 OM( OZ13 OZ ). Suy ra 
 22 
Mà HO, lần lượt là là trực tâm tam giác 
 zz12
ABC và tam giac ABC’’’ nên: m .
 2 
 1
V() H O GO GH (phép vị tự Theo (Cao Minh Quang, 2009, tr. 16) có 
 (,)G 1
 2 2 nêu kết luận như sau: “Ba điểm ZZZ,, nằm 
biến trực tâm thành trực tâm). 12
 trên đường thẳng khi và chỉ khi tỷ số đơn 
Suy ra HGO, , thẳng hàng và GH2 GO 
 zz2
(điều phải chứng minh). V(,,) z z12 z là số thực 
 zz12
 2.7. Học sinh lớp 12 
 Suy ra phương trình tham số của đường 
 Học sinh lớp 12 sau khi học xong 
 thẳng qua ZZ, là: z z(1 ) z 
“Chương IV- Số phức”. Học sinh biết cách 12 12
biểu diễn một số phức trên mặt phẳng tọa độ. 
 Từ kết quả trên chúng tôi đề xuất bài toán 
 Mỗi số phức z a bi,, a b đặt nâng cao về đường thẳng Ơ-le giải được bằng 
 phương pháp số phức như sau: 
tương ứng với một điểm Z(,)() a b mp Oxy 
 Bài toán 4: Trong mặt phẳng tọa độ 
tương ứng một véc tơ OZ.
 Oxy . Cho tam giác ABC. Biết các đỉnh 
 Số phức z gọi là nhãn của điểm Z. 
 ABC, , được biểu diễn bởi các số phức có 
 Trong phần này, chúng tôi kí hiệu một số nhãn lần lượt a, b , c . Hãy tìm số phức biểu 
phức bằng một chữ thường như a,b,c, z và 
 HGO,,
được biểu diễn tương ứng trên mặt phẳng tọa diễn các điểm lần lượt là trực tâm, 
độ là chữ in như A, B, C, Z trọng tâm và tâm của đường tròn ngoại tiếp của 
 tam giác ABC theo a,,? b c 
 Phép cộng 2 số phức z() a b i và 
 1 1 1 Từ đó kiểm chứng HGO,, thẳng hàng? 
z() a b i có tổng là: 
 2 2 2 
 Cách giải 7 
z z z . 
 3 1 2 Ta biết, trong mặt phẳng tọa độ (Oxy) 
 ()()a b i a b i phép đổi trục tọa độ bằng phương pháp tịnh 
 1 1 2 2 tiến theo một véc tơ cho trước thì biến một 
 đường thẳng thành một đường thẳng song song 
 ()()a1 b 1 a 2 b 2 i 
 với nó, bảo tồn vị trí và tỉ số khoảng cách các 
 điểm trên đường thẳng ấy. 
 Nên OZ3( a 1 b 1 );( a 2 b 2 ) tương 
ứng với véc tơ tổng Do vậy, không mất tính tổng quát của bài 
 y Z3 toán. Ta chọn mặt phẳng tọa độ (Oxy) có gốc 
 Z1 tọa độ O trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp 
 Z2 tam giác ABC đã cho 
OZ3 OZ 1 OZ 2 
 x Nên O biểu diễn số phức bằng không. 
theo qui tắc hình O
bình hành. Hình 7
18 
 Tạp chí Khoa học Đại học Đồng Tháp, Tập 10, Số 3, 2021, 13-20 
 Các điểm ABC,, được biểu diễn bởi các một cách có hệ thống thông qua Cách giải 1; 
số phức có nhãn lần lượt a,, b c như đề bài. Cách giải 2; Cách giải 3; Cách giải 4; Cách 
 giải 5; Cách giải 6; Cách giải 7. Các cách giải 
 Gọi D là điểm đã được chọn lọc, sắp xếp tinh chỉnh và có bổ 
đối xứng của O qua sung nhằm cô động lại các kiến thức để phù 
 A
BC. Do M trung hợp với khả năng và trình độ của các học sinh 
điểm BC nên theo từng khối lớp riêng lẻ (từ 6 đến 12), nhờ 
 O
 bc M C đó sẽ mở rộng được đối tượng học sinh tìm 
m H G hiểu kiến thức về đường thẳng Ơ-le một cách 
 2 D
 B độc lập qua nhiều hình thức khác nhau. 
 d2. m b c
 Bài viết đã đề xuất các bài toán mới: Bài 
 Hình 8 toán 1; Bài toán 3; Bài toán 4 nhằm làm cho 
Điểm G ' có nhãn kiến thức đường thẳng Ơ-le được thể hiện liên 
 1 tục trong từng năm học phổ thông. Điều này 
g'() a b c 
 3 vừa thể hiện tính ôn tập, tính kế thừa kiến thức 
 cũ để sáng tạo ý tưởng mới cho học sinh, đồng 
 12bc thời giúp học sinh kiểm chứng tính đúng đắn 
 a 
 3 3 2 của đường Ơ-le dưới hiều hình thức và nhiều 
 phương pháp khác nhau trên cơ sở toán học. 
 12 Riêng học sinh cuối cấp có thể thống kê được số 
 am cách tiếp cận đường thẳng Ơ-le trong tam giác 
 33 thông qua nhiều cách và nhiều nội dung học 
nằm trên trung tuyến AM (từ phương trình như: Hình học phẳng, Hình học toạ độ, Hình 
tham số). học véc tơ, Phép biến hình và trên tập số phức... 
Tương tự, chứng minh được điểm G ' cũng Hơn nữa qua cách trình bày chứng minh 
nằm trên hai trung tuyến từ đỉnh B và C. định lý Ơ-le, bài viết đã giới thiệu các kỹ năng 
 chứng minh “3 điểm thẳng hàng” là chủ đề 
Vậy GG', tức là trọng tâm G có nhãn là quan trọng, cần thiết đối với học sinh phổ thông 
 a b c qua nhiều cách khác nhau như: đường thẳng qua 
g . hai điểm đầu đi qua điểm thứ ba (Cách giải 1); 
 3
 sử dụng kiến thức về hai góc kề bù (Cách giải 
 2); hai góc đối đỉnh (Cách giải 3); hai véc tơ 
Mặt khác tứ giác AHDO là hình bình hành 
 cùng phương (Cách giải 4); ba điểm cùng thuộc 
 AH OD nên h d a a b c. một đường thẳng (Cách giải 5); ảnh qua một 
 phép vị tự (Cách giải 6); biểu diễn số phức trên 
Trực tâm H có nhãn là số phức h=a+b+c. mặt phẳng tọa độ (Cách giải 7)./. 
 Suy ra hg3 tức là OH3. OG Tài liệu tham khảo 
 Cao Minh Quang. (2009). Số phức và ứng 
 Vậy 3 điểm HGO, , thẳng hàng (đường dụng trong hình học phẳng, 
thẳng Ơ-le trong tam giácABC ). www.Mathvn.com. 
 3. Kết luận Đoàn Quỳnh và Văn Như Cương. (2007). Hình 
 Trên cơ sở nghiên cứu và sưu tầm các học 11 nâng cao, NXB Giáo dục. 
cách tiếp cận và chứng minh định lý Ơ-le từ Nguyễn Đức Tấn. (2015). Chuyên đề bồi 
sách giáo khoa và các tài liệu tham khảo, bài dưỡng học sinh giỏi 7, NXB Tổng hợp 
viết đã trình bày các cách thể hiện đường Ơ-le Thành phố Hồ Chí Minh. 
 19 
Chuyên san Khoa học Tự nhiên 
Nguyễn Hùng. (2011). Chứng minh một số Phan Huy Khải. (2011). Chuyên đề toán trung 
 định lý Hình học nổi tiếng bằng kiến thức học phổ thông, NXB Giáo dục. 
 trung học cơ sở. Nguồn Mathvn – Thông Trần Thị Vân Anh. (2012). Phân dạng & 
 tin – Tri thức. phương pháp giải toán Hình học 10, NXB 
Phan Đức Chính và Tôn Thân. (2002). Toán 6, Đại học Quốc gia Hà Nội. 
 NXB Giáo dục. Trần Văn Hạo và Nguyễn Mộng Hy. (2007). 
Phan Đức Chính và Tôn Thân. (2003). Toán 7, Hình học 10, NXB Giáo dục. 
 NXB Giáo dục. Vũ Tuấn. (2008). Bài tập giải tích 12, NXB 
Phan Đức Chính và Tôn Thân. (2004). Toán 8, Giáo dục. 
 NXB Giáo dục. Wikipedia. (2020). Đường thẳng Euler 
Phan Đức Chính và Tôn Thân. (2005). Toán 9, https://vi.wikipedia.org/wiki/Đường_
 NXB Giáo dục. thẳng_Euler. 
20