Giáo trình Toán ứng dụng 1

2). 
Tương tự, bộ ba số (x; y; z) = (-1; 1; 2) là một nghiệm của phương trình (3). 
d) Phương trình chứa tham số 
Trong một phương trình (một hoặc nhiều ẩn), ngoài các chữ đóng vai trò ẩn số còn 
có thể có các chữ khác được xem như những hằng số và được gọi là tham số. 
Giải và biện luận phương trình chứa tham số nghĩa là xét xem với giá trị nào của 
tham số thì phương trình vô nghiệm, có nghiệm và tìm các nghiệm đó. 
Chẳng hạn 
 mx – 3 = 0 
có thể được coi là một phương trình ẩn x chứa tham số m.12 
2.1.2. Phương trình tương đương và phương trình hệ quả 
a) Phương trình tương đương 
Hai phương trình được gọi là tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm. 13 
b) Phép biến đổi tương đương 
Để giải một phương trình, thông thường ta biến đổi phương trình đó thành một 
phương trình tương đương đơn giản hơn. Các phép biến đổi như vậy được gọi là 
các phép biến đổi tương đương 
ĐỊNH LÍ 
11 Sgk Đại số 10, trang 54 
12 Sgk Đại số 10, trang 55 
13 Sgk Đại số 10, trang 55 
KHOA CÔNG NGHỆ Ô TÔ 6 
 Chương 2. Phương trình. Hệ phương trình 
Nếu thực hiện các phép biến đổi sau đây trên một phương trình mà không làm 
thay đổi điều kiện của nó thì ta được một phương trình mới tương đương 
-Cộng hay trừ hai vế với cùng một số hoặc cùng một biểu thức ; 
-Nhân hoặc chia hai vế với cùng một số khác 0 hoặc với cùng một biểu thức luôn 
có giá trị khác 0. 
CHÚ Ý 
Chuyển vế và đổi dấu một biểu thức thực chất là thực hiện phép cộng hay trừ hai 
vế với biểu thức đó. 
Ta dùng kí hiệu “ ” để chỉ sự tương đương của các phương trình.14 
c) Phương trình hệ quả 
Nếu mọi nghiệm của phương trình f11 x g x đều là nghiệm phương trình 
f x22 g x thì phương trình được gọi là phương trình hệ quả của 
phương trình 
Ta viết 
 fxgxfxgx1122 
Phương trình hệ quả có thể có thêm nghiệm không phải là nghiệm của phương 
trình ban đầu. Ta gọi đó là nghiệm ngoại lai. 
Khi giải phương trình, không phải lúc nào cũng áp dụng được phép biến đổi tương 
đương. Trong nhiều trường hợp ta phải thực hiện các phép biến đổi đưa tới 
phương trình hệ quả, chẳng hạn bình phương hai vế, nhân hai vế của phương trình 
với một đa thức. Lúc đó để loại nghiệm ngoại lai, ta phải thử lại các nghiệm tìm 
được. 
Đối với phương trình nhiều ẩn, ta cũng có các khái niệm tương tự.15. 
2.2. Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn 
Để giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai, ta thường bình phương hai vế 
14 Sgk Đại số 10, trang 55,56 
15 Sgk Đại số 10, trang 56 
KHOA CÔNG NGHỆ Ô TÔ 7 
 Chương 2. Phương trình. Hệ phương trình 
để đưa về một phương trình hệ quả không chứa ẩn dưới dấu căn.16 
 2
 f x( g) (x )
 f x( g) (x ) 
 gx( ) 0
2.3. Phương trình và hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn 
2.3.1. Ôn tập về phương trình và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn 
a) Phương trình bậc nhất hai ẩn 
Phương trình bậc nhất hai ẩn x,y có dạng tổng quát là 
 ax + by = c (1) 
trong đó a, b, c là các hệ số, với điều kiện a và b không đồng thời bằng 0. 
Tổng quát, người ta chứng minh được rằng phương trình bậc nhất hai ẩn luôn luôn 
có vô số nghiệm. Biểu diễn hình học tập nghiệm của phương trình (1) là một 
đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ Oxy.17 
b) Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn 
Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng tổng quát là 
 axby11 0
 (2) 
 axby22 0
 trong đó x, y là hai ẩn ; các chữ còn lại là hệ số. 
Nếu cặp số xy00; đồng thời là nghiệm của cả hai phương trình của hệ thì xy00; 
được gọi là một nghiệm của hệ phương trình (2). 
Giải hệ phương trình (2) là tìm tập nghiệm của nó. 
2.3.2. Hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn 
Phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng tổng quát là 
 axbyczd , 
trong đó x, y, z là ba ẩn ; a, b, c, d là các hệ số và a, b, c không đồng thời bằng 0. 
Hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng tổng quát 
16 Sgk Đại số 10, trang 60 
17 Sgk Đại số 10, trang 63,64 
KHOA CÔNG NGHỆ Ô TÔ 8 
 Chương 2. Phương trình. Hệ phương trình 
 a1 x b 1 y c 1 z d 1
 a2 x b 2 y c 2 z d 2 (3) 
 a3 x b 3 y c 3 z d 3
trong đó x, y, z là ba ẩn; các chữ còn lại là các hệ số. 
Mỗi bộ ba số x y000;; z nghiệm đúng cả ba phương trình của hệ được gọi là một 
nghiệm của hệ phương trình (3).18 
18 Sgk Đại số 10, trang 65 
KHOA CÔNG NGHỆ Ô TÔ 9 
 Chương 3. Cung và góc lượng giác. Công thức lượng giác 
CHƯƠNG 3: CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC 
 Mục tiêu: 
 + Trình bày được giá trị lưọng giác của một cung và công thức lượng giác. 
 + Đổi được góc lượng giác từ radian ra độ và từ độ ra radian. 
 Nội dung 
 3.1. Cung và góc lượng giác 
 3.1.1. Khái niệm cung và góc lượng giác 
 a) Đường tròn định hướng 
 Đường tròn định hướng là một đường tròn trên đó ta đã chọn một chiều chuyển 
 động gọi là chiều dương, chiều ngược lại gọi là chiều âm. 
 Ta quy ước chọn chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ gọi là chiều dương. 
 Trên đường tròn định hướng cho hai điểm A, B. Một điểm M di động trên đường 
 tròn theo một chiều (âm hoặc dương) từ A đến B tạo nên một cung lượng giác có 
 điểm đầu là A điểm cuối là B. 
 Vậy hai điểm A, B đã cho trên đường tròn định hướng ta có vô số cung lượng giác 
 điểm đầu A, điểm cuối B. Mỗi cung như vậy đều được kí hiệu là AB 19 
 b) Góc lượng giác 
 Trên đường tròn định hướng cho một cung lượng giác CD . Một điểm M chuyển 
 động trên đường tròn từ C tới D tạo nên cung lượng giác CD nói trên. Khi đó tia 
 OM quay xung quanh gốc O trừ vị trí OC tới vị trí OD. Ta nói tia OM tạo ra một 
 góc lượng giác, có tia đầu là OC, tia cuối là OD. Kí hiệu góc lượng giác đó là 
 (OC,OD).20 
 c) Đường tròn lượng giác 
 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đường tròn định hướng tâm O, bán kính R bằng 1 
 được gọi là đường tròn lượng giác. 
 19 Sgk Đại số 10, trang 134 
 20 Sgk Đại số 10, trang 135 
 KHOA CÔNG NGHỆ Ô TÔ 11 
 Chương 3. Cung và góc lượng giác. Công thức lượng giác 
3.1.2. Số đo của cung và góc lượng giác 
A. Độ và rađian 
a) Đơn vị rađian 
Để đo góc, người ta dùng đơn vị đo góc lâu đời. Ngoài ra, trong Toán học và Vật lí 
người ta còn dùng một đơn vị nữa để đo góc và cung, đó là rađian (đọc là ra-đi-an). 
Cung tròn có độ dài bằng bán kính được gọi là cung có số đo 1 rađian 21(viết tắt là 
1 rad). 
b) Quan hệ giữa độ và rađian 
 0
 180
 1rad , 10 rad .22 
 180
CHÚ Ý 
Khi viết số đo của một góc (hay cung) theo đơn vị rađian, người ta thường không 
viết chữ rad sau số đo. Chẳng hạn cung được hiểu là cung rad. 
 2 2
Bảng chuyển đổi thông dụng 
Độ 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800 
Rađian 2 3 5 
 6 4 3 2 3 4 6
c) Độ dài của một cung tròn 
Cung có số đo (rad) của đường tròn bán kính R , có độ dài là R . 23 
B. Số đo của một cung lượng giác 
Số đo của một cung lượng giác AB (A B) là một số thực, âm hay dương. 
Kí hiệu số đo của cung là sđ 
GHI NHỚ 
Số đo của các cung lượng giác có cùng điểm đầu và điểm cuối sai khác nhau một 
bội của 2 . Ta viết 
21 Sgk Đại số 10, trang 136 
22 Sgk Đại số 10, trang 136 
23 Sgk Đại số 10, trang 137 
KHOA CÔNG NGHỆ Ô TÔ 12 
 Chương 3. Cung và góc lượng giác. Công thức lượng giác 
 sđ ABkk 2, 
Người ta cũng viết số đo bằng độ 
 sđ ABakk 00360, 
C. Số đo của một góc lượng giác 
Số đo của góc lượng giác (OA,OC) là số đo của cung lượng giác AC tương ứng. 
3.2. Gía trị lượng giác của một cung 
3.2.1. Giá trị lượng giác của cung 
A. Định nghĩa 
Trên đường tròn lượng giác cho cung AM 
Tung độ y = OH của điểm M gọi là sin của và kí hiệu 
là s i n . Hình 3.1 
 sin OH 
Hoành độ x = OK của điểm M gọi là côsin của và kí hiệu là cos . 
 sin 
Nếu cos 0 , tỉ số gọi là tang của và kí hiệu là tan (người ta còn dùng 
 cos 
kí hiệu tg ) 
 sin 
 tan 
 cos 
 cos 
Nếu sin 0 , tỉ số gọi là côtang của và kí hiệu là cot (người ta còn 
 sin 
dùng kí hiệu cotg ) 
 cos 
 cot 
 sin 
Các giá trị sin , cos , tan , cot được gọi là các giá trị lượng giác của cung 
Ta cũng gọi trục tung là trục sin, còn trục hoành là trục côsin.24 
CHÚ Ý 
24 Sgk Đại số 10, trang 141 
KHOA CÔNG NGHỆ Ô TÔ 13 
 Chương 3. Cung và góc lượng giác. Công thức lượng giác 
Các định nghĩa trên cũng áp dụng cho các góc lượng giác. 
B. Hệ quả 
1) s i n và cos xác định với mọi . Hơn nữa, ta có 
 sin2sin,  kk; 
 cos2cos,  kk . 
2) Vì 11 ;OKOK 11 (hình 3.1) nên ta có 
 1 s in 1 
 1 cos 1. 
3) Với mọi m mà 11 m đều tồn tại và  sao cho s i n m và cos m 
4) tan xác định với mọi kk . 
 2
5) cot xác định với mọi kk . 
C. Giá trị lượng giác của các cung đặc biệt 
 0 
 6 4 3 2 
 00 300 450 600 900 
 sin 1
 0 2 3 1 
 2 2 2 
 c o s 1
 1 3 2 0 
 2 2 2 
 tan 3
 0 1 3 || 
 3 
 cot 3
 || 3 1 0 
 3 
3.2.2. Ý nghĩa hình học của tan và côtan 
KHOA CÔNG NGHỆ Ô TÔ 14 
 Chương 3. Cung và góc lượng giác. Công thức lượng giác 
 y t
 s’ B S s
 M
 K T
 A
 x’ O H x
 t’
 Hình 3.2 
a) Ý nghĩa hình học của tan 
 tan AT 
tan được biểu diễn bởi độ dài đại số của vectơ AT trên trục t/At. Trục t/At được 
gọi là trục tang.25 
b) Ý nghĩa hình học của cot 
 cot BS 
cot được biểu diễn bởi độ dài đại số của vectơ trên trục s/Bs. Trục s/Bs được gọi 
là trục côtang.26 
3.2.3. Quan hệ giữa các giá trị lượng giác 
A. Công thức lượng giác cơ bản 
Đối với các giá trị lượng giác, ta có các hằng đẳng thức sau với k 
 1) sincos122
 1
 2) 1tan() 2 k
 cos2 2
 1 
 3) 1cot() 2 k
 sin2
 k
 4)tan .cot1 ()
 2 27
25 Sgk Đại số 10, trang 144 
26 Sgk Đại số 10, trang 144 
27 Sgk Đại số 10, trang 145 
KHOA CÔNG NGHỆ Ô TÔ 15 
 Chương 3. Cung và góc lượng giác. Công thức lượng giác 
B. Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt28 
 Cung phụ nhau 
 Cung đối nhau Cung bù nhau 
 ( và ) ( và ) ( và ) 
 2
 cos( ) cos sin()sin sincos 
 2
 sin()sin cos()cos cossin 
 2
 tan()tan tan()tan tancot 
 2
 cot()cot cot()cot cottan 
 2
 Cung hơn kém 
 Cung hơn kém ( và ) 
 ( và ) 2 2
 sin()sin sin cos 
 2
 cos()cos cossin 
 2
 tan()tan tancot 
 2
 cot()cot cot tan 
 2
3.3. Công thức lượng giác 
3.3.1. Công thức cộng 
28 Sgk Đại số 10, trang 147 
KHOA CÔNG NGHỆ Ô TÔ 16 
 Chương 3. Cung và góc lượng giác. Công thức lượng giác 
 sin()sin.cossin.cosababba
 sin()sin.cossin.cosababba
 cos()cos.cossin.sinababab
 cos()cos.cossin.sinababab 
 tantanab
 tan()ab
 1tan.tanab
 tantanab
 tan()ab
 1tan.tanab 29
3.3.2. Công thức nhân đôi 
 sin 22 sin.cos 
 cos2cossin2 cos1122222 sin 
 2 tan
 tan 2 30 
 1tan 2
3.3.3. Công thức biến đổi tích thành tổng, tổng thành tích 
 a) Công thức biến đổi tích thành tổng. 
 1
 coscoscos()cos()ababab
 2
 1
 sinsincos()cos()ababab 
 2
 1
 sincossin()sin()ababab
 2 31
 b) Công thức biển đổi tổng thành tích. 
 abab 
 coscos2ab cos.cos 
 22 
 a b a b
 cosab cos 2 sin .sin
 22 
 abab
 sinsin2ab sin.cos
 22 
29 Sgk Đại số 10, trang 149 
30 Sgk Đại số 10, trang 150 
31 Sgk Đại số 10, trang 151 
KHOA CÔNG NGHỆ Ô TÔ 17 
 Chương 3. Cung và góc lượng giác. Công thức lượng giác 
 a b a b
 sinab sin 2 cos .sin 
 2232
32 Sgk Đại số 10, trang 152 
KHOA CÔNG NGHỆ Ô TÔ 18 
 Chương 4. Phương trình lượng giác 
 CHƯƠNG 4: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 
Mục tiêu: 
 + Trình bày được công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản. 
 + Giải được phương trình lượng giác cơ bản. 
Nội dung 
 4.1. Phương trình sinx = m (1) 
 * Nếu m 1 thì phương trình (1) vô nghiệm 
 * Nếu m1 thì phương trình (1) có nghiệm 
 x k2 
 (1) sinx sin ( k ). 
 x k2 
 Nếu thỏa mãn 22 thì ta viết arcsin m . 
 s in m 
 Các trường hợp đặc biệt: 
 1. sin x1xk2, k 
 2
 2. sin x1xk2, k 
 2
 3. sinx0xk, k 
 4.2. Phương trình cosx = m (2) 
 * Nếu m1 thì phương trình (2) vô nghiệm 
 * Nếu m1 thì phương trình (2) có nghiệm 
 xk2 
 (2) cosx cos ( k ). 
 xk2 
 0 
 Nếu thỏa mãn thì ta viết arccosm . 
 cosm 
 Các trường hợp đặc biệt: 
 1. cosx1xk2 , k 
 2. cosx1xk2 , k 
 3. cos x 0 x k , k 
 2
 KHOA CÔNG NGHỆ Ô TÔ 19 
 Chương 4. Phương trình lượng giác 
4.3. Phương trình tanx = m (3) 
Điều kiện: xkk , 
 2
(3)tanxtanxk, k . 
Các trường hợp đặc biệt: 
1. tan x1xk, k 
 4
2. tan x1xk, k 
 4
3. tanx0xk, k 
4.4. Phương trình cotanx = m (4) 
Điều kiện: x k , k 
(4)cot xcotxk, k 
 Các trường hợp đặc biệt: 
 1. cot x1xk, k 
 4
2. co t x1xk, k 
 4
3. cot x0xk, k 
 2
KHOA CÔNG NGHỆ Ô TÔ 20 
 Bài tập ôn 
 BÀI TẬP ÔN 
CHƯƠNG 1: VECTƠ 
1) Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 1 cm, BC = 2cm. 
a/ Hãy vẽ vectơ tổng của hai vectơ AB và AD . 
b/ Tính độ dài của vectơ A B A D . 
2) Cho hình chữ nhật EBCD có EB = 3 cm, BC = 4 cm. 
a/ Hãy vẽ vectơ tổng của hai vectơ EB và ED . 
b/ Tính độ dài của vectơ EB ED. 
3) Cho hình chữ nhật FBCD có FB = 5 cm, BC = 6 cm. 
a/ Hãy vẽ vectơ tổng của hai vectơ FB và FD . 
b/ Tính độ dài của vectơ F B F D . 
4) Cho hình chữ nhật ABCD có C A D 6 0 0 , AD = 8 cm. 
a/ Hãy vẽ vectơ tổng của hai vectơ và . 
b/ Tính độ dài của vectơ . 
5) Cho hình chữ nhật ABCD có CAD 300 , CD = 8 cm. 
a/ Hãy vẽ vectơ tổng của hai vectơ và . 
b/ Tính độ dài của vectơ . 
CHƯƠNG 2: PHƯƠNG TRÌNH-HỆ PHƯƠNG TRÌNH 
1) Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số: 
 x3y10 xy5 x2y1 
a) c) f) 
 x2y6 2xy1 4x3y7 
 2x5y7 
 d) 
 8x y 51 3xy2 
b) 
 2x 3y 29 2x 7y 9
 e) 
 4x 3y 7
2) Hai bạn Vân và Lan đến cửa hàng mua trái cây. Bạn Vân mua 10 quả quýt, 
 7 quả cam với giá tiền là 17800 đồng. Bạn Lan mua 12 quả quýt, 6 quả cam 
KHOA CÔNG NGHỆ Ô TÔ 21 
 Bài tập ôn 
 hết 18000 đồng. Hỏi giá tiền mỗi quả quýt và giá tiền mỗi quả cam là bao 
 nhiêu? 
3) Có hai dây chuyền áo sơ mi. Ngày thứ nhất cả hai dây chuyền may được 930 
 áo. Ngày thứ hai do dây chuyền thứ nhất tăng năng suất 18%, dây chuyền 
 thứ hai tăng năng suất 15% nên cả hai dây chuyền may được 1083 áo. Hỏi 
 trong ngày thứ nhất mỗi dây chuyền may được bao nhiêu áo sơ mi? 
4) Hai bạn Yến và An đến cửa hàng mua áo. Bạn Yến mua 10 áo sơ mi, 7 áo 
 thun với giá tiền là 1780000 đồng. Bạn An mua 12 áo sơ mi, 6 áo thun hết 
 1800000 đồng. Hỏi giá tiền mỗi áo sơ mi và giá tiền mỗi áo thun là bao 
 nhiêu? 
5) Hai bạn Mai và Hồng đến cửa hàng mua đồ. Bạn Mai mua 10 bút bi xanh, 7 
 bút bi đỏ với giá tiền là 178000 đồng. Bạn Hồng mua 12 bút bi xanh, 6 bút 
 bi đỏ hết 180000 đồng. Hỏi giá tiền mỗi bút bi xanh và giá tiền mỗi bút bi 
 đỏ là bao nhiêu? 
CHƯƠNG 3: CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC 
 3 
 1) Cho sin với . Tính cos;tan;cot . 
 5 2
 2) Cho với . Tính . 
 3 3 
 3) Cho sin với . Tính . 
 5 2
 3 
 4) Cho cos với . Tính sin;tan;cot . 
 5 2
 3 
 5) Cho với . Tính 
 2
CHƯƠNG 4: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 
 Giải phương trình: 
 0 1 2
 1) sin(x20 ) 3) sin(x) 
 2 52
 3 
 2) cos(x 500 ) 4) tan(x ) 1 
 2 3
KHOA CÔNG NGHỆ Ô TÔ 22 
 Bài tập ôn 
 1
 5) c ot(x ) 1 6) sin(x 40 ) 0 
 6 2
 TÀI LIỆU THAM KHẢO 
1. Trần Văn Hạo, Đại Số 10, Nhà xuất bản Giáo duc, 2010. 
2. Trần Văn Hạo, Hình học 10, Nhà xuất bản Giáo duc, 2010. 
3. Vũ Tuấn, Bài tập Đại Số 10, Nhà xuất bản Giáo duc, 2010. 
4. Nguyễn Mộng Hy, Bài tập Đại Số 10, Nhà xuất bản Giáo duc, 2010. 
5. Trần Văn Hạo, Đại số và Giải tích 11, Nhà xuất bản Giáo duc, 2010. 
KHOA CÔNG NGHỆ Ô TÔ 23