Giáo trình Cơ kỹ thuật - Trần Thị Trà My

ài 14: Uốn phẳng của thanh thẳng 
 Hình 14.11: Biểu đồ phân bố ứng suất trên mặt cắt ngang. 
 14.3.3. Biểu thức liên hệ giữa ứng suất pháp với thành phần m men u n 
 Xét mặt cắt ngang có mômen uốn Mx, ta có: 
 Mx = ∑zy F (c) 
 Thay vào (c), ta có quan hệ: 
 ∑ 
 là mômen quán tính của mặt cắt ngang đối với trục trung hoà, ký 
 hiệu Jx. Do đó: 
 (14-2) 
 So sánh (c) và 14-2 ta suy ra công thức ứng suất pháp trên mặt cắt ngang 
 như sau: 
 (14-3) 
 14.3.4. Vị tr trục trung hòa 
 Từ định nghĩa về uốn phẳng thuần tuý, ta suy ra trên mặt cắt ngang thành 
 phần lực dọc Nz = 0, ta có: 
 NZ = ∑zy F = 0 
 Thay giá trị vào biểu thức trên, ta được: 
 ∑ 
Cơ kỹ thuật 238 
 Bài 14: Uốn phẳng của thanh thẳng 
 Trong đó ∑ là mômen tĩnh của mặt cắt ngang đối với trục trung 
 hoà. Vì suy ra S = 0. Vậy trục trung hoà là trục trung tâm. Trong hệ 
 x
 thống toạ độ như đã chọn, trục y là trục quán tính chính trung tâm trùng với 
 đường tải trọng. Vậy trung hoà chính là một trục quán tính chính trung tâm thứ 
 hai vuông góc với đường tải trọng. 
 14.3.5. Ứng suất kéo và nén lớn nhất 
 Như đã biết ở trên, ứng suất pháp có trị số tuyệt đối lớn nhất tại các điểm 
 xa trục trung hoà nhất, tức là các điểm m p trên hay m p dưới. 
 Gọi , lần lượt là khoảng cách thớ chịu kéo và thớ chịu nén ở xa 
 đường trung hòa nhất. Khi đó ứng suất chịu kéo lớn nhất max và ứng suất chịu 
 nén lớn nhất min sẽ tính bởi các công thức: 
 | |
 | | (14-4) 
 | |
 | | (14-5) 
 (14-6) 
 | | | |
 Các đại lượng và gọi là các suất tiết diện hoặc mômen chống uốn 
 của mặt cắt ngang. 
 Hình 14.12: Biểu đồ ứng suất pháp cho các mặt cắt có hai trục đối xứng. 
 Nếu trục trung hoà là trục đối xứng, ví dụ mặt cắt ngang là hình chữ nhật, 
 hình tròn, chữ I,  thì ta thấy ứng suất kéo và ứng suất nén có trị số tuyệt đối 
 bằng nhau:| | | | . 
Cơ kỹ thuật 239 
 Bài 14: Uốn phẳng của thanh thẳng 
 Khi đó: 
 (14-7) 
 Ứng suất nén và kéo cực đại có trị số bằng nhau: 
 | |
 | | (14-8) 
 Trong đó: 
 max là ứng suất k o lớn nhất, lấy dấu (+). 
 min là ứng suất n n lớn nhất, lấy dấu (–). 
 Wx là mô đun chống uốn. 
 Mặt cắt ngang hình chữ nhật với bề rộng b và chiều cao h: 
 Mặt cắt là hình vuông: 
 Mặt cắt ngang hình tròn: 
 Mặt cắt ngang hình vành khăn đường kính ngoài D, trong, d: 
 Ý nghĩa vật lý của mômen chống uốn: khi mômen chống uốn càng lớn dầm 
 chịu được mômen uốn càng lớn. 
 14.3.6. T nh toán về u n phẳng thuần tú 
 Điều kiện bền của thanh chịu uốn phẳng: Một thanh chịu uốn phẳng đảm 
 bảo điều kiện bền khi ứng suất lớn nhất tại tiết diện nguy hiểm phải nhỏ hơn ứng 
 suất uốn cho ph p (tối đa là bằng ứng suất uốn cho phép). 
 + Dầm bằng vật liệu dòn: []k []n 
 | | ] 
 ] 
 + Dầm bằng vật liệu dẻo: []k = []n = []max 
Cơ kỹ thuật 240 
 Bài 14: Uốn phẳng của thanh thẳng 
 | | ] 
 Từ điều kiện bền ta cũng có ba bài toán cơ bản trong uốn: 
  Kiểm tra bền uốn: Kiểm tra thanh chịu lực có đảm bảo độ bền hay không. 
 Dùng công thức (14-4) hay (14-5) để kiểm tra. 
 Ví dụ 14.3: Trên mặt cắt ngang của một dầm chữ T ngược (hình14.13), mômen 
 uốn Mx = 7200 Nm. Dầm làm bằng vật liệu có ứng suất cho ph p khi k o và 
 2 2
 nén khác nhau: []k = 20MN/m ; []n = 30MN/m . Kiểm tra bền, biết rằng: Jx = 
 5312,5cm4. 
 Bài giải 
 Ta có: 
 Hình 14.13 
 ] 
 | | ] 
 Vậy dầm đủ bền. 
  Chọn kích thước mặt cắt ngang sao cho dầm thỏa điều kiện bền. 
Cơ kỹ thuật 241 
 Bài 14: Uốn phẳng của thanh thẳng 
 Ví dụ 14.4: Dầm AB dài 4m dùng để nâng tải trọng P = 180kN (hình 14.14). 
 Hãy chọn kích thước mặt cắt, cho biết dầm làm bằng gỗ hình chữ nhật có b = 2a 
 2
 và [k,n]=10 MN/m . 
 Bài giải 
 Biểu đồ MU được biểu diễn trên hình 14-14 có: 
 Hình 14.14 
 Áp dụng điều kiện bền: 
 ] 
 ]
 Mà b = 2a nên: 
 ]
 √ 
  Chọn tải trọng cho ph p: Định tải trọng cho ph p [P] để dầm thỏa điều kiện 
 bền. 
Cơ kỹ thuật 242 
 Bài 14: Uốn phẳng của thanh thẳng 
 Ví dụ 14.5: Một dầm bằng gang có mặt cắt ngang như hình 14.15. Xác định trị 
 số mômen uốn cho ph p (mômen có chiều như hình vẽ). Biết: []k = 1,5 
 kN/cm2. Hỏi với trị số mômen uốn cho ph p đó, ứng suất n n lớn nhất trong 
 4
 dầm là bao nhiêu? Cho biết Jx = 25470cm . 
 Hình 14.15 
 Bài giải 
 | | 
 Từ điều kiện bền | | ] 
 ] ] 
 Tương ứng ta có: 
 ]
 | | 
 14.4. U n ngang phẳng 
 14.4.1. Định nghĩa 
 Dầm gọi là chịu uốn ngang phẳng khi trên mặt cắt ngang có 2 nội lực là: 
 mômen uốn Mx và lực cắt ⃗⃗ y. 
 Hình 14.16: Mặt cắt ngang và ứng suất dầm chịu uốn ngang phẳng. 
Cơ kỹ thuật 243 
 Bài 14: Uốn phẳng của thanh thẳng 
 Khác với trường hợp uốn thuần túy, ngoài ứng suất pháp z do mômen Mx 
 gây ra còn có ứng suất tiếp zy do lực cắt ⃗⃗ y gây ra. Trạng thái ứng suất của một 
 phân tố có các mặt song song các trục tọa độ biểu diễn như hình 14.16c, d. 
 14.4.2. Ứng suất pháp trên mặt c t ngang 
 Chấp nhận với sai số không lớn (sai số trong phạm vi b hơn 5%, sai số đó 
 có thể bỏ qua được) có thể dùng công thức sau để tính ứng suất pháp trong thanh 
 chịu uốn ngang phẳng. 
 (14-9) 
 14.4.3. Ứng suất tiếp trên mặt c t ngang 
 Trong tính toán người ta thường bỏ qua ảnh hưởng của ứng suất tiếp do lực 
 cắt. Khi cần tính đến ảnh hưởng người ta thường sử dụng công thức Juprapxki 
 dưới dạng: 
 (14-10) 
 Trong đó: 
 zy: ứng suất tiếp tại toạ độ có phương của lực cắt ⃗⃗ y; 
 Jx: mômen quán tính của mặt cắt ngang đối với trục trung hoà; 
 bC: chiều rộng mặt cắt đi qua điểm tính ứng suất vuông góc với chiều của 
 ứng suất tiếp; 
 : mômen tĩnh của phần mặt cắt ngang bị cắt đối với trục trung hoà: 
 : toạ độ trọng tâm của phần tiết diện bị cắt đối với trục trung hoà. 
 Hình 14.17: Ứng suất tiếp phân bố đều theo chiều rộng b của tiết diện. 
Cơ kỹ thuật 244 
 Bài 14: Uốn phẳng của thanh thẳng 
  Với tiết diện ngang là hình chữ nhật: 
 ( ) 
 Tại m p trên và dưới của tiết diện: 
 Tại những điểm nằm trên đường trung hòa: 
 y = 0 nên 
  Với tiết diện ngang là hình tròn: 
 ( ) 
 Tại m p trên và dưới của tiết diện. 
 Tại những điểm nằm trên đường trung hòa. 
 y = 0 nên 
 14.4.4. Kiểm tra bền dầm chịu u n ngang phẳng 
 Trên mặt cắt ngang của dầm chịu uốn ngang phẳng có 2 ứng suất: 
 Ứng suất pháp z do mômen uốn Mx gây ra. 
 Ứng suất tiếp zy do lực cắt ⃗⃗ y gây ra. 
 Biểu đồ phân bố ứng suất pháp và ứng suất tiếp theo chiều cao của mặt cắt 
 ngang hình chữ nhật (Hình 14.18b, c), ta thấy có ba loại phân tố ở trạng thái ứng 
 suất khác nhau (Hình 14.18a): 
Cơ kỹ thuật 245 
 Bài 14: Uốn phẳng của thanh thẳng 
 Hình 14.18: a) Các phân tố ở trạng thái ứng suất khác nhau; b) Sự phân bố ứng 
 suất pháp; c) Sự phân bố ứng suất tiếp. 
 Những điểm ở biên trên và dưới  = 0, chỉ có z 0 nên trạng thái ứng suất 
 của các phân tố ở những điểm này là trạng thái ứng suất đơn. 
 Những điểm nằm trên trục trung hòa a = 0, chỉ có max nên trạng thái ứng 
 suất của những phân tố ở những điểm này là trượt thuần túy. 
 Các điểm khác, z 0 và zy 0, nên chúng ở trạng thái ứng suất phẳng đặc 
 biệt. 
 Khi kiểm tra bền toàn dầm, phải bảo đảm mọi phân tố đều thỏa điều kiện 
 bền (đủ 3 điều kiện bền). 
 a) Phân t ở trạng thái ứng suất ơn (những iểm ở trên biên trên và dƣới 
 của dầm) 
 Xét tại mặt cắt có M max và sử dụng thuyết bền ứng suất pháp lớn nhất ta 
 có: 
 Dầm làm bằng vật liệu dẻo, [k] = [n] = [], điều kiện bền: 
 | | ] (14-11) 
 Dầm làm bằng vật liệu dòn, [k] [n], điều kiện bền: 
 ] 
 (14-12) 
 | | ] 
 b) Phân t ở trạng thái ứng suất trƣợt thuần túy (những iểm nằm trên trục 
 trung hòa) 
 | | 
 Xét tại mặt cắt có | | , ta có ] 
Cơ kỹ thuật 246 
 Bài 14: Uốn phẳng của thanh thẳng 
 Dầm bằng vật liệu dẻo: 
 Theo thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất: 
 ]
 ] (14-13) 
 Theo thuyết bền thế năng biến đ i hình dáng: 
 ]
 ] (14-14) 
 √ 
 Dầm bằng vật liệu dòn: sử dụng thuyết bền Mohr. 
 ]
 ] (14-15) 
 ]
 Trong đó: 
 ]
 c) Phân t ở trạng thái ứng suất phẳng ặc biệt 
 Xét tại mặt cắt có mômen uốn Mx và lực cắt ⃗⃗ y cùng lớn (có thể nhiều mặt 
 cắt). 
 Chọn điểm nguy hiểm trên mặt cắt để có z và zy tương đối lớn (chỉ cần 
 kiểm tra tại những nơi nguy hiểm như nơi tiếp giáp giữa lòng và đế của mặt cắt 
 chữ I, chữ C) chỗ thay đ i tiết diện. Các ứng suất của phân tố này được tính 
 bởi các công thức quen thuộc: 
 Từ đây cũng có ba bài toán cơ bản: 
  Bài toán cơ bản 1: Kiểm tra bền. 
  Bài toán cơ bản 2: Chọn kích thước mặt cắt ngang. 
 Dựa vào điều kiện bền của phân tố ở trạng thái ứng suất đơn để chọn sơ bộ 
 kích thước mặt cắt ngang dầm. Sau đó, tiến hành kiểm tra bền đối với các phân 
 tố ở trạng thái ứng suất khác. Nếu không đạt thì thay đ i kích thước mặt cắt 
 ngang. 
  Bài toán cơ bản 3: Định tải trọng cho phép. 
Cơ kỹ thuật 247 
 Bài 14: Uốn phẳng của thanh thẳng 
 Từ điều kiện bền của phân tố ở trạng thái ứng suất đơn, xác định sơ bộ tải 
 trọng cho phép, sau đó tiến hành kiểm tra bền các phân tố còn lại. 
 Ví dụ 14.6: Một dầm th p mặt cắt chữ T có hình dáng và kích thước như hình 
 4.34b chịu tác dụng của lực như hình hình 14.19. Hãy kiểm tra cường độ của 
 2 2
 dầm biết []k = 30 MN/m , []n = 100 MN/m . Kích thước mặt cắt là cm. 
 Hình 14.19 
 Bài giải 
 Nếu hệ trục toạ độ x1y chọn như hình vẽ thì trục trung hoà x song song với 
 trục x1 và cách trục x1 một khoảng: 
 Mômen quán tính của mặt cắt đối với trục trung hoà x (đồng thời cũng là 
 mômen quán tính chính trung tâm) của mặt cắt: 
 Với dầm chịu lực như hình (hình 14.19a) thì mặt cắt tại ngàm mômen có trị 
 số lớn nhất: 
 Và các thớ phía trên của dầm chịu kéo, các thớ dưới chịu nén. Theo công 
 thức ta tính được: 
 = – 47.103kN/m2 = – 47MN/m2 
Cơ kỹ thuật 248 
 Bài 14: Uốn phẳng của thanh thẳng 
 So sánh ta thấy: 
 2 2
 | | = 28,2MN/m < [k] = 30MN/m . 
 2 2
 | | = 47MN/m < [n] = 100MN/m . 
 Do đó dầm đảm bảo cường độ. 
 Ví dụ 14.7: Một dầm mặt cắt chữ nhật có h = 1,4b, chịu lực như hình 14.20. Hãy 
 chọn kích thước mặt cắt cho dầm. Biết: [] =10 MN/m2, [] = 6 MN/m2. 
 Hình 14.20 
 Bài giải 
 Ta sẽ chọn kích thước mặt cắt theo điều kiện cường độ ứng suất pháp, sau 
 đó kiểm tra lại theo điều kiện cường độ ứng suất tiếp. Với dầm chịu lực như 
 hình vẽ mặt cắt giữa nhịp có mômen lớn nhất: 
 Còn các mặt cắt tại hai đầu dầm có lực cắt lớn nhất: 
 | | 
 Từ điều kiện cường độ ứng suất pháp ta tính được: 
 ] 
 Vì mặt cắt chữ nhật nên ta có: 
 Vậy: √ 
 Do đó ta chọn b =17cm và h = 1,4.17 = 24cm. 
 Với kích thước mặt cắt ta tính được: 
Cơ kỹ thuật 249 
 Bài 14: Uốn phẳng của thanh thẳng 
 2 2
 So sánh max = 0,367MN/m < [] = 6MN/m . 
 Điều đó chứng tỏ mặt cắt đã chọn thoả điều kiện cường độ ứng suất tiếp. 
 CÂU HỎI ÔN TẬP BÀI 14 
 1. Nêu định nghĩa về đường tải trọng, mặt phẳng tải trọng. 
 2. Thế nào là một dầm chịu uốn phẳng, uốn phẳng thuần tuý, uốn ngang 
 phẳng? Viết công thức tính ứng suất trên mặt cắt của dầm chịu uốn. 
 3. Lớp trung hoà là gì? Trục trung hoà là gì? 
 4. Nêu trình tự cách vẽ biểu đồ mômen uốn, lực cắt. Trình bàu cách quy ước 
 dấu của lực cắt, mômen uốn và cách chọn hệ trục toạ độ khi vẽ biểu đồ. 
 5. Viết biểu thức tính trị số ứng suất kéo và nén có trị số lớn nhất. 
 6. Trình bày điều kiện bền cho dầm chịu uốn phẳng thuần tuý, uốn ngang 
 phẳng. 
 BÀI TẬP 
 14-1. Vẽ biểu đồ lực cắt và mômen uốn của dầm trên hình 14.21. Biết M1 = 
 1kNm; M2 = 2kNm; P1 = 1kN; P2 = P3 = 2kN; a = 4m. 
 Hình 14.21 
Cơ kỹ thuật 250 
 Bài 14: Uốn phẳng của thanh thẳng 
 14-2. Xác định nội lực và vẽ biểu đồ nội lực cho các dầm có sơ đồ chịu lực sau 
 (hình 14.22): 
 Hình 14.22 
 14-3. Dầm AB chịu tải trọng P = 18kN (hình 14.23). Dầm làm bằng th p có tiết 
 diện hình vuông 10 x 10 cm. Hãy kiểm tra độ bền của dầm, biết [U ] = 120 
 MN/m2. 
 Hình 14.23 
 14-4. Kiểm tra độ bền của một dầm gang hình 14.24, nếu ứng suất cho ph p về 
 2 2
 nén []n = 16kN/cm và ứng suất cho ph p về k o []k = 16kN/cm . 
 Hình 14.24 
 ĐS: 
 | |
 | | | | ] 
 | |
 | | | | ] 
Cơ kỹ thuật 251 
 Bài 14: Uốn phẳng của thanh thẳng 
 14-5. Xác định kích thước mặt cắt ngang hình chữ nhật của một dầm côngxon 
 hình 14.25. Tỉ lệ giữa các cạnh mặt cắt ngang h = ; a = 0,25m; q = 
 10kN/m; P = 10qa và ứng suất cho ph p [] = 1kN/cm2; [] = 0,12kN/cm2. 
 Hình 14.25 
 Đs: √ 
 ]
 √ 
 ]
 h = 25,6cm; b = = 17cm. 
 2 
 14-6. Xác định trị số của lực ⃗ tác dụng trên dầm đơn giản như hình 14.26. nếu 
 dầm có ứng suất cho ph p [] = 16kN/cm2 và [] = 8kN/cm2, các kích thước 
 a = 0,8m, b = 3cm, h = 8cm. 
 Hình 14.26 
 ĐS: 
 ]
 ] 
 Vậy: P 6,4kN. 
Cơ kỹ thuật 252 
 MỘT SỐ KÝ HIỆU THƢỜNG DÙNG 
 KÝ HIỆU TÊN GỌI ĐƠN VỊ 
 ⃗ ⃗⃗ ⃗ ... Lực N (Niutơn) hoặc kN 
 ̅ ( ) Mômen của lực ⃗ đối với điểm O Nm (Niutơn m t) 
 ̅ Ng u Nm (Niutơn m t) 
 s Quãng đường m t hoặc km 
 Vận tốc m/s hoặc km/h 
 Gia tốc m/s2 
 m khối lượng kg 
 g Gia tốc trọng trọng 10m/s2 
 2
 JX Mômen quán tính kgm 
 4
 Jo Mômen quán tính độc cực m 
 K Động lượng kgm/s 
 Xung lượng của các ngoại lực kgm/s 
 ⃗ 
 T Động năng kgm2/s2 
 A Công Jun 
 N Công suất W (oát) J/s 
 ⃗⃗ Lực dọc N 
 Lực cắt N 
 ⃗⃗ 
 Mx Mômen uốn Nm 
 Mz Mômen xoắn Nm 
 3
 Wx Môđun chống uốn. m 
 Góc (Alpha) độ hoặc rad 
 Góc (Beta) độ hoặc rad 
  Góc trượt tương đối (Gamma) Rad (Radian) 
 Lượng biến thiên (Delta) 
  Gia tốc góc (Epsilon) rad/s2 
  Hiệu suất (Eta) 
  Góc xoắn tương đối (Theta) rad 
  Hệ số Poatxông (Mu) 
 Bán kính xoắn (Rho) m 
  Ứng suất pháp tuyến (Sigma) N/m2 hoặc kN/m2 
  Ứng suất tiếp tuyến (Tau) N/m2 hoặc kN/m2 
 Góc quay (Phi) rad 
  Vận tốc góc (Omega) rad/s 
 Toạ độ trọng tâm của phần tiết diện bị m 
 cắt đối với trục trung hoà (Xi). 
Cơ kỹ thuật 253 
 TÀI LIỆU THAM KHẢO 
 [1] GS. TS. Đỗ Sanh, PGS. TS. Nguyễn Văn Đình, PGS. TS Nguyễn Nhật Lệ 
 – Giáo trình Cơ học Tập1 (Tĩnh học và động học) – NXB Giáo dục 1999. 
 [2] GS. TS. Đỗ Sanh, PGS. TS. Nguyễn Văn Vượng, TS. Phan Hữu Phúc – 
 Giáo trình Cơ kỹ thuật – NXB Giáo dục 2007. 
 [3] Nguyễn Khắc Đam – Giáo trình Cơ kỹ thuật – NXB Giáo dục 1992. 
 [4] Nguyễn Quang Tuyến, Nguyễn Thị Thạch – Giáo trình Cơ kỹ thuật – Sở 
 giáo dục đào tạo Hà Nội - NXB Hà Nội 2005. 
 [5] Phạm Văn Chiểu, Nguyễn Văn Nhậm – Cơ học lý thuyết và cơ sở Nguyên 
 lý máy – NXB Đại học và Trung học chuyên nghiệp Hà Nội 1978. 
 [6] Nguyễn Văn Nhậm, Trần Văn Khuê – Bài tập Cơ kỹ thuật – NXB Đại học 
 và Trung học chuyên nghiệp Hà Nội 1985. 
 [7] Bùi Ngọc Ba, Đặng Đình Lộc, Bùi Trọng Lựu – Sức bền vật liệu tập 1 – 
 NXB Đại học và Trung học chuyên nghiệp. Hà Nội 1993. 
 [8] V Kim Cương, Hoàng Xuân Lượng – Sức bền vật liệu – Học viện kỹ thuật 
 Quân sự Hà Nội 1990. 
 [9] Chủ biên: Vũ Đình Lai – Bài tập Sức bền vật liệu – NXB Đại học và Trung 
 học chuyên nghiệp Hà Nội 1986. 
 [10] Chủ biên: Nguyễn Xuân Lựu – Bài tập Sức bền vật liệu – NXB Giao thông 
 vận tải Hà Nội 2005. 
 [11] Chủ biên: I.N Mirôliubôp – Người dịch: Vũ Đình Lai – Nguyễn Văn Nhậm 
 – Bài tập Sức bền vật liệu – NXB Xây dựng Hà Nội 2002. 
Cơ kỹ thuật 254