Định lý về các đường thẳng đồng quy trong hình học với mô hình nửa mặt phẳng Poincaré, một áp dụng

Tạp chí Khoa học – Trường Đại học Phú Yên, Số 26 (2021), 53-57 53 
 ĐỊNH LÝ VỀ CÁC ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY TRONG HÌNH HỌC 
 VỚI MÔ HÌNH NỬA MẶT PHẲNG POINCARÉ, MỘT ÁP DỤNG 
 Lê Hào* 
 Trường Đại học Phú Yên 
 Ngày nhận bài: 25/8/2020; Ngày nhận đăng: 08/01/2021 
Tóm tắt 
 Trong một bài báo trước đây, chúng tôi trình bày Định lí về điều kiện thẳng hàng của 
các điểm Lobachevsky trong hình học với mô hình nửa mặt phẳng Poincaré. Áp dụng kết quả từ 
bài báo đó, chúng tôi thu được Định lí 2.1 về điều kiện đồng quy của các đường thẳng 
Lobachevsky và nêu một áp dụng của Định lý này. 
 Từ khóa: Mô hình nửa mặt phẳng Poincaré, đoạn thẳng Lobachevsky, đường thẳng 
Lobachevsky, độ dài đại số Lobachevsky. 
1. Giới thiệu 
 Ta xét nửa mặt phẳng Poincaré: H 2 (x,y) R2 /y 0 z C/ Imz 0 nằm 
trong mặt phẳng E 2 với hệ tọa độ trực chuẩn Oxy. Mỗi điểm thuộc H 2 gọi là điểm 
Lobachevsky. 
 Nửa đường thẳng mở nằm trong trực giao với Ox tại điểm thuộc Ox, hay nửa 
đường tròn mở nằm trong có tâm thuộc Ox, được gọi là đường thẳng Lobachevsky (còn 
gọi là đường thẳng Lob), mỗi cung đoạn của nó là một đoạn thẳng Lobachevsky (còn gọi là 
đoạn thẳng Lob). 
Định nghĩa 1.1. Xét đoạn thẳng Lob nối hai điểm A, B ứng với cung có phương trình tham 
số  (s) (x(s), y(s)) với  (s1) A ,  (s2 ) B (s1 s2 ) . Khi đó độ dài Lobachevsky 
của đoạn thẳng Lob đó là: 
 s
 2 x'(s) 2 y'(s) 2
 (AB) ds 
 y(s) 2
 s1
 Trong bài báo trước đây (Lê Hào, 2018, tr.3) chúng tôi đã đề cập đến lớp các trục có 
chung mút âm vô tận. 
* Email: lehaodhpy@gmail.com 
54 Journal of Science – Phu Yen University, No.26 (2021), 53-57 
Trong lớp trục có chung một mút âm vô tận, một cung (đoạn) định hướng bất kì nối từ A 
đến B và nằm trên một trục có độ dài đại số Lobachevsky L(AB) . 
 Ứng với lớp trục cong thì: 
 A K A I 
 L(AB) ln : (I, K tương ứng là mút âm, dương vô tận của trục) 
 B K B I 
 A K 
 Ứng với lớp trục thẳng thì: L(AB) ln (K là mút dương vô tận) 
 B K 
Ta luôn có: L(AB) (AB) hay L(AB) (AB) tùy theo hướng dọc theo 
cung đoạn định hướng từ A đến B là dương hay âm (Lê Hào, 2018). 
Chúng tôi đề cập các giá trị sau: 
 e (AB) e (AB)
 sh(AB) 
 2
 eL(AB) e L(AB)
 sh(AB) 
 2
Rõ ràng sh(AB) sh(AB) 
 Lấy cảm hứng từ định lý Menelaus của hình học Euclide trong E 2 và áp dụng kết 
quả từ [1] chúng tôi đã chứng minh được định lý sau: 
Định lý 1.2. Cho tam giác Lobachevsky với các đỉnh A, B, C. Gọi A1, B1,C1 tương ứng là 
các điểm nằm trên các đường thẳng Lob (BC), (CA), (AB) và không trùng với các đỉnh A, B, 
C. Khi đó A1, B1,C1 thẳng hàng khi và chỉ khi: 
 sh(A B) sh(B C) sh(C A)
 1 1 1 1 (Lê Hào, 2020, tr.13) 
 sh(A1C) sh(B1A) sh(C1B)
 Lấy cảm hứng từ Định lý Ceva của Hình học Euclide trong và áp dụng Định lí 
1.2 chúng tôi thu được Định lý 2.1, cho ta điều kiện đồng quy của ba đường thẳng 
Lobachevsky đi qua các đỉnh của một tam giác Lobachevsky. 
2. Kết quả chính 
Định lý 2.1. Cho tam giác Lobachevsky với các đỉnh A, B, C. Gọi tương ứng là 
Tạp chí Khoa học – Trường Đại học Phú Yên, Số 26 (2021), 53-57 55 
các điểm nằm trên các đường thẳng Lob (BC), (CA), (AB) và không trùng với các đỉnh A, B, 
C. Khi đó nếu các đường thẳng Lob (AA1),(BB1),(CC1) đồng quy thì: 
 sh(A B) sh(B C) sh(C A)
 1 1 1 1 (*) 
 sh(A1C) sh(B1A) sh(C1B)
Ngược lại nếu có (*)thì các đường thẳng Lob hoặc không có 
điểm chung hoặc đồng quy. 
Chứng minh. 
 Nếu các đường thẳng Lob đồng quy tại điểm D: Áp dụng Định 
lý 1.2 cho tam giác Lobachevsky với các điểm thẳng hàng ta có: 
 ABA1 C, D,C1
 sh(CB) sh(DA ) sh(C A)
 1 1 1 (1) 
 sh(CA1) sh(DA) sh(C1B)
Áp dụng Định lý 1.2 cho tam giác Lobachevsky ACA1 với các điểm thẳng hàng B, B1, D ta 
có: 
 sh(BA ) sh(B C) sh(DA)
 1 1 1 (2) 
 sh(BC) sh(B1A) sh(DA1)
Từ (1) và (2) suy ra: 
 sh(A B) sh(B C) sh(C A)
 1 1 1 1 (*) 
 sh(A1C) sh(B1A) sh(C1B)
 Ngược lại, nếu có : Trong các đường thẳng Lob giả sử 
tồn tại một cặp đường có điểm chung, chẳng hạn (AA1) và (BB1) có điểm chung D. 
Áp dụng Định lý 1.2 cho tam giác Lobachevsky với các điểm thẳng hàng ta 
có: 
 sh(BA ) sh(B C) sh(DA)
 1 1 1 
 sh(BC) sh(B1A) sh(DA1)
Kết hợp với thì có: 
 sh(CB) sh(DA ) sh(C A)
 1 1 1 
 sh(CA1) sh(DA) sh(C1B)
Áp dụng Định lý 1.2 cho tam giác Lobachevsky suy ra các điểm thẳng 
hàng, nghĩa là các đường thẳng Lob đồng quy tại D □ 
 Tiếp theo chúng tôi nêu một hệ quả ứng dụng của Định lý 2.1 đối với các đường 
56 Journal of Science – Phu Yen University, No.26 (2021), 53-57 
phân giác trong tam giác Lobachevsky. 
Hệ quả 2.2. Cho tam giác Lobachevsky. Khi đó các đường thẳng Lob, là phân giác của các 
góc trong tam giác đó, luôn luôn đồng quy. 
Chứng minh. Xét tam giác Lobachevsky với các đỉnh A, B, C. 
Gọi A1, B1,C1 tương ứng là các điểm nằm trên các cung đoạn BC ,CA , AB và (AA1) , 
(BB1) ,(CC1) là những phân giác của các góc trong tam giác đã nêu. 
Gọi là số đo góc . Đường phân giác phân góc thành hai góc có 
  BA1A (AA1) BAC
cùng số đo . 
Áp dụng Định lý hàm số Sin hyperbolic (Nguyễn Thị Liên & Nguyễn Bá Khiến, 2011) 
cho tam giác Lobachevsky ABA1 ta có: 
 sh(A B) sh(AB)
 1 
 sin sin 
Áp dụng Định lý hàm số Sin hyperbolic cho tam giác Lobachevsky ACA1 ta có: 
 sh(A C) sh(AC) sh(AC)
 1 
 sin sin( ) sin 
Từ các đẳng thức trên, suy ra: 
 sh(A B) sh(AB)
 1 
 sh(A1C) sh(AC)
 sh(A B)
Do A1 nằm trên cung đoạn BC nên 1 0, suy ra: 
 sh(A1C)
 sh(A B) sh(AB)
 1 
 sh(A1C) sh(AC)
Tương tự ta cũng có: 
 sh(B C) sh(BC)
 1 
 sh(B1A) sh(BA)
 sh(C A) sh(CA)
 1 
 sh(C1B) sh(CB)
Suy ra: 
 sh(A B) sh(B C) sh(C A) sh(AB) sh(BC) sh(CA)
 1 1 1 1 
 sh(A1C) sh(B1A) sh(C1B) sh(AC) sh(BA) sh(CB)
Áp dụng Định lý 2.1 thì có điều phải chứng minh □ 
Tạp chí Khoa học – Trường Đại học Phú Yên, Số 26 (2021), 53-57 57 
3. Kết luận 
 Lấy cảm hứng từ Định lý Ceva của Hình học Euclide chúng tôi đã nêu và chứng minh 
Định lý 2.1, thể hiện một kết quả của Hình học với mô hình nửa mặt phẳng Poincaré. Kết quả 
đó có ý nghĩa hơn khi chúng tôi nêu được một áp dụng thông qua Hệ quả 2.2 
 TÀI LIỆU THAM KHẢO 
Lê Hào. (2018). Độ dài đại số Lobachevsky trong hình học với mô hình nửa mặt phẳng 
 Poincaré, một số áp dụng. Tạp chí Khoa học Đại học Phú Yên, tr.01- tr.06. 
Lê Hào. (2020). Định lý về các điểm thẳng hàng trong hình học với mô hình nửa mặt phẳng 
 Poincaré. Tạp chí Khoa học Đại học Phú Yên, tr.11- tr.15. 
Nguyễn Thị Liên. (2011). Hình học trên nửa mặt phẳng Poincaré. Luận văn Thạc sĩ - Đại 
 học Vinh, 12-38. 
Nguyễn Bá Khiến. (2011). Một số vấn đề của hình học Hyperbolic n chiều. Luận văn Thạc 
 sĩ – Đại học Vinh, 15-34. 
Nguyễn Thị Xuyên. (2008). Một số vấn đề về hình học phi Euclide. Đại học An Giang, 35-
 44. 
Phan Thị Ngọc. (2007). Nửa phẳng Poincaré và hình học Hyperbolic. Luận văn Thạc sĩ - 
 Đại học Vinh, 25-45. 
Royster, C. (2002). Non Euclidean geometry. Course Spring, 34-90. 
Parker, H. (1989). Non Euclidean geometry. Boston USA, 20-74. 
 Theorem on the concurrent lines in geometry with 
 the Poincaré half-plane model, an application 
 Le Hao 
 Phu Yen University 
 Email: lehaodhpy@gmail.com 
 Received: August 25, 2020; Accepted: January 08, 2021 
Abstract 
 In a previous paper, we presented the Theorem on the collinear conditions of 
Lobachevskian points in geometry with the Poincaré half-plane model. Applying such results 
from that paper, we obtained Theorem 2.1 on the concurrent conditions of Lobachevskian lines 
and presented an application of this Theorem. 
 Keywords: Poincaré half-plane model, Lobachevskian line segment, Lobachevskian 
line, Lobachevskian algebraic distance.