Đề thi học kỳ I môn Đại số - Đề số 1 - Năm học 2012-2013 (Có đáp án)

Đề thi HKI 2012-2013 MÔN ĐẠI SỐ ĐỀ SỐ 1 
Thời gian 90 phút 
 5 1 1 3 1 2
Câu 1: Cho 2 ma trận A 2 6 2 và A 2 3 4 . 
 1 1 5 4 3 1
 Tìm ma trận X thỏa A.X +3BT = X+B 
Câu 2: Cho ánh xạ tuyến tính f:R3 R3, biết ma trận của f trong cơ sở E={(1,1,1); (1,1,2); 
 1 2 1
 (1,2,1)} là A 4 3 0 . Tìm f(2,-3,1). 
 3 1 1
Câu 3: Trong R4 cho 2 không gian con 
 x1 3 x 2 4 x 3 x 4 0 
 U = và V (,,,) x1 x 2 x 3 x 4 
  12x1 12 x 2 6 x 3 5 x 4 0
 Tìm cơ sở và số chiều của UV. 
Câu 4: Trong R4 với tích vô hướng chính tắc, cho không gian con 
 U =. Tìm cơ sở và số chiều của U. 
Câu 5: Trong R3, cho 2 véctơ u=(4,1,2) và v=(1,3,5) , với tích vô hướng: 
 (x,y)=((x1,x2,x3),(y1,y2,y3))= 4x1y1+ 3x2y2 + -x2y3 – x3y2 +3x3y3. Tìm độ dài véctơ 3u-2v. 
 3 2 2
 2013
Câu 6: Cho ma trận A 3 4 3 . Tìm A . 
 4 4 3
Câu 7: Đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc bằng phép biến đổi trực giao, nêu 
 rõ phép biến đổi. 
 2 2 2
 f(x1,x2,x3) = x1 +3x2 -3x3 +4x1x2 +2x1x3 +8x2x3. 
Đáp án đại số ca 1. Thang điểm: 6 câu đầu mỗi câu 1.5 đ, câu cuối 1 đ. 
 135 81 231
 TT 1 1 
Câu 1. AIXBBXAIBBX 2 2 39 174 21 
 63 
 201 165 21
 1 1 1 18 8 2 
 1 1 1 
Câu 2. Ma trận trong chính tắc: P AP, P 1 1 2 P AP 25 10 4 
 1 2 1 27 12 3 
 2
 11 1 T
f(2; 3;1) P A P 3 58,76,87 
 1
Câu 3. x U x 1;1;2;1  1;3; 1;1  ; 3  ;2  ;  
xV tọa độ x thỏa điều kiện trong Vx 5   6;8;9;6 
dim UV 1, cơ sở của UV : 6;8;9;6 . 
  x  2;1;3; 1 2x1 x 2 3 x 3 x 4 0
Câu 4. x x1;;; x 2 x 3 x 4 U 
 x  3;2;1; 2 3x1 2 x 2 x 3 2 x 4 0
 x  5;7;1;0 0;1;0;1 . dim U  2 , cơ sở của U  : 5;7;1;0 , 0;1;0;1 . 
Câu 5. 3uv 2 10; 3; 4 10; 3; 4 451 . Thiếu căn cho 0.5 điểm. 
 2 T
Câu 6. Đa thức đặc trưng:  1 2 0 . Cơ sở của EE: 1;0;1 ,(1;1;0)TT , : (2;3;4) . 
 12 
 1 0 0 1 1 2 
Ma trận chéo: DP 0 1 0 , 1 0 3 . Nếu tìm cơ sở trực chuẩn thì trừ 0.5 đ. 
 0 0 2 0 1 4 
 1 0 0
 2013 2013 1 
A PD P, D 0 1 0 , và không cần thực hiện phép nhân 3 ma trận cuối. 
 2013
 0 0 2
 1 2 1
  5;  0;  6
Câu 7. Ma trận của dạng toàn phương: A 2 3 4 . Trị riêng: 1 2 3 
 1 4 3
 0 5/ 30 1/ 6
Ma trận trực giao: P 1/ 5 2 / 30 2 / 6 
 2 / 5 1/ 30 1/ 6
 xy11 
 f( y ) 5 y22 6 y X PY x P y 
D ạng chính tắc: 13. Phép đổi biến: 22 . 
 xy33