Bài giảng Toán cao cấp - Vũ Khắc Bảy

tính các giá trị : 
 2 
 zxx’’(Mi) = Ai; zxy’’(Mi) = Bi; zyy’’(Mi) = Ci, i = Bi – AiCi và kết luận về 
 điểm Mi dựa vào định lí 2. 
 Chú ý: trong trường hợp có nhiều điểm dừng thì ta có thể lập bảng như sau: 
 2
 Điểm A B C B - AC Kết luận về Mi 
 2 
 Mi ( xi , yi) Ai Bi Ci Bi – AiCi 
 ........ 
Ví dụ: Tìm cực trị địa phương của các hàm số sau: 
 1) z x y xey 2) z x3 y 3 3xy 
 3) z x3 3xy 2 30x 18y 1 4) z x4 2y 4 14x 2 y 2 24x1 
 5) z x2 8xy 4y 3 10y 1 6) z 2y3 3xy 2 2x 3 3x 2 
 7) z x2 2y 2 3xy x 7y1 8) z x3 y 2 2xy x 2y 4 
Giải: 
1) z x y xey 
 y y '' '' y '' y
=> z'x 1e;z' y 1xe; zxx 0A,z xy e B,z yy xe C 
 y
 z'x 1 e 0 y 0
-Giải hệ: y . Vậy hàm số có một điểm dừng M(1, 0). 
 z'y 1 xe 0 x 1
-Tính A = 0, B = -1, C = -1, 1 0 . Vậy M(1, 0) không là điểm cực trị. 
 2) z x3 y 3 3xy 
 ' 2 ' 2
zx 3x 3y;z y 3y 3x ; 
 '' '' '' 2
 zxx 6x A;z xy 3 B;z yy 6y C,B AC 936xy 
 z' 3 x 2 3 y 0
-Giải hệ: x ta được hai điểm dừng M (0, 0); M (1, 1). 
 ' 2 1 2
 zy 3 y 3 x 0
 123 
Biên soạn : Vũ Khắc Bảy – Bộ môn Toán ĐHLN 
Bài giảng Toán cao cấp - Dùng cho các ngành QTKD, Kinh tế, Kế toán và QLĐĐ 
-Lập bảng: 
 B2 AC 
 Điểm A = 6x Kết luận 
 (9 36xy ) 
 M1không là điểm cực 
 M1(0, 0) 0 9 
 trị. 
 M2 là điểm cực tiểu và 
 M2(1, 1) 6 > 0 9 – 36.36 < 0 
 zCT 1 
Kết luận: Vậy hàm số đạt cực tiểu tại M2(1, 1) và zCT 1. 
3) z x3 3xy 2 30x 18y 1 
 ' 2 2 '
zx 3x 3y 30;z y 6xy 18 
 '' '' '' 2 2 2
zxx 6x A;z xy 6y B;z yy 6x C;B AC 36y x 
 ' 2 2 2 2
 zx 3x 3y 30 0 x y 10
-Giải hệ: 
 z' 6xy 18 0 xy 3
 y 
Hàm số có 4 điểm dừng M1(1, 3); M2(3, 1); M3(-1, -3); M4(-3, -1). 
Lập bảng: 
 2 2 2 Kết luận 
 Điểm A = 6x B AC 36 y x 
 M1(1, 3) 6 > 0 + M1 không là điểm cực trị 
 M2 là điểm cực tiểu và 
 M2(3, 1) 18 > 0 - 
 zCT 71 
 -6 < 0 + Không đạt cực trị 
 M3(-1, -3) 
 M4 là điểm cực đại và 
 M4(-3, -1) -18 < 0 - 
 zCĐ= 73 
Kết luận: Vậy hàm số đạt cực tiểu tại điểm M2(3, 1) và đạt cực đại tại M4(-3, -1). 
- Cách làm tương tự cho các phần còn lại. 
 124 
Biên soạn : Vũ Khắc Bảy – Bộ môn Toán ĐHLN 
Bài giảng Toán cao cấp - Dùng cho các ngành QTKD, Kinh tế, Kế toán và QLĐĐ 
5.5 Phương pháp bình phương bé nhất ( tối thiểu) 
 Trong khoa học kĩ thuật, ta thường gặp bài toán: tìm mối liên hệ giữa hai đại lượng 
biến thiên x và y. Mối quan hệ đó được biểu diễn dưới dạng hàm số thông qua một loạt các 
thí nghiệm đo đạc. Hàm số đó gọi là hàm thực nghiệm. 
chẳng hạn : mối liên hệ giữa chiều cao h và tuổi của cây, hay là mối liên hệ giữa thể tích 
của cây với đường kính thân cây khi cây ở độ cao 1,3 mét. 
 Có nhiều phương pháp xây dựng hàm hàm số từ các số liệu thực nghiệm và một trong 
 các phương pháp đó là phương pháp bình phương bé nhất. 
5.5.1 Nội dung phương pháp bình phương bé nhất 
5.5.1.1 Bài toán: 
Hai đại lượng x, y qua thực nghiệm có mối quan hệ số theo bảng: 
 x x1 x2 x3 ..xn 
 y y1 y2 y3 . yn 
Giả sử về mặt lí thuyết, x và y có mối quan hệ dạng y = F(x), trong đó quy luật F ta chưa 
được biết cụ thể. Ta biết rằng, nếu F(x) có đạo hàm đến bậc n tại x thì có thể xấp xỉ F(x) 
bằng một đa thức dạng Tay – lo hoặc Mắc- lo –ranh : 
 2 n
 F(x) f(x) = a0 + a1x + a2x + ....+ anx 
 hoặc có thể xấp xỉ f(x) bằng một tổng có dạng chuỗi Fourier : 
 F(x) f(x) = a0 + a1cosx + b1sinx + a2cos2 x + b2sin2x + ....+ ancosnx + bnsinnx 
Như vậy trong các dạng xấp xỉ trên hàm f(x) có chứa các tham số a1 , a2 , ..., b1 , b2 , ...chưa 
biết 
 Đặt i f (x i ) y i gọi là độ lệch giữa điểm lí thuyết Ni(xi, f(xi)) và điểm thực 
nghiệm Mi(xi, yi). 
 n
 2 2 2 2
Thiết lập U = f(x)1 y 1 f(x) 2 y 2 .... f(x) n y n  f(x)y i i (5- 1) 
 i 1
U được gọi là tổng bình phương các độ lệch. 
Yêu cầu đặt ra: xác định các tham số trong y = f(x) sao cho tổng bình phương các độ 
lệch U là nhỏ nhất. 
Ta có thể mô tả phương pháp trên bằng cách sau: 
 125 
Biên soạn : Vũ Khắc Bảy – Bộ môn Toán ĐHLN 
Bài giảng Toán cao cấp - Dùng cho các ngành QTKD, Kinh tế, Kế toán và QLĐĐ 
Trong mặt phẳng Oxy , có các điểm thực nghiệm Mi(xi , yi ) 
 Hình 5.6 
Cần xác định các hệ số trong f(x) để cho tổng bình phương khoảng cách từ các điểm thực 
nghiệm M(xi , yi ) đến đường cong y = f(x) là nhỏ nhất , với điều kiện này ta có thể thay 
bằng tổng bình phương các độ lệch tung độ giữa hàm f(x) lý thuyết và thực nghiệm tại 
các điểm M(xi , yi ) là nhỏ nhất. 
Phương pháp tìm hàm thực nghiệm như trên gọi là phương pháp bình phương bé nhất. 
5.5.1.2 Phương pháp bình phương bé nhất 
 Đa thức suy rộng - nội dung của phương pháp bình phương bé nhất 
 Cho hệ hàm số { 1(x) , 2(x), ...., m(x) } trong đó các hàm số k(x) đã được biết. 
 m
 Hàm m(x)  a i i (x) được gọi là đa thức suy rộng trên hệ hàm cơ sở 
 i 1
 { k(x)} , k = 1,m 
Hai đại lượng x, y qua thực nghiệm có mối quan hệ số theo bảng: 
 x x1 x2 x3 ..xn 
 y y1 y2 y3 . yn 
Thay các giá trị xi vào các hàm k(x) thì ta được các véc tơ k (x) : 
 1(x) = ( 1(x1) , 1(x2) , 1(x3) , ......, 1(xn) ) 
 2 (x) = ( 2(x1) , 2(x2) , 2(x3) , ......, 2(xn) ) (5.2) 
 .................. 
 m (x) = ( m(x1) , m(x2) , m(x3) , ......, m(xn) ) 
 126 
Biên soạn : Vũ Khắc Bảy – Bộ môn Toán ĐHLN 
Bài giảng Toán cao cấp - Dùng cho các ngành QTKD, Kinh tế, Kế toán và QLĐĐ 
 Theo (5.1) thì cần xác định các ak để cho 
 2
 n m 
 U =  yi  a k k (x i ) min (5.3) 
 i 1 k 1 
thay (5.2) vào (5.3) và do ak phải thỏa mãn hệ các phương trình 
 U
 0
 a
 1
 U
 0
 a2
 U (5.4) 
 0
 a
 3
    
 U
 0
 am
hay là phương trình B.A = C , với 
 c a y 
 b b ......... b 1 1 1
 11 12 1m c a y 
 b b ......... b 2 2 2 
 21 22 2m 
B (brs ) , C;A .. gọi y . 
     
 .. .
 b b ......... b 
 m1 m 2 mm 
 cm a m yn 
 n n
 trong đó brsrs ,  risi (x)(x),c r y, r  y(x) iri 
 i 1 i 1
( ký hiệu r, s là tích vô hướng của hai véc tơ r và s ) 
Như vậy việc xác định các ak được đưa về giải một hệ phương trình đại số tuyến tính với 
ma trận hệ số là B – là một ma trận đối xứng , và vế phải là C 
Trong thực tế người ta thường sử dụng hệ hàm { k(x)} là các đa thức đại số, tức là : 
 2 3 q 2 m
{ k(x)} = {1,x, x , x , ...., x } , khi đó f(x) = a0 + a1x + a2x + ....+ amx và các hệ số ak sẽ 
là nghiệm của hệ : 
 n n n n
 2 m
 an ax a x....a x y
 0 1 i 2  i m  i  i
 i 1 i 1 i 1 i 1
 n n n n
 2 m 1
 axax0 i 1  i .... ax m  i  xy i i
 i 1 i 1 i 1 i 1 (5.6) 
 ..............................................
 n n n n
 axaxm m 1 .... ax 2m xy m
 0 i 1  i m  i  i i
 i 1 i 1 i 1 i 1
 127 
Biên soạn : Vũ Khắc Bảy – Bộ môn Toán ĐHLN 
Bài giảng Toán cao cấp - Dùng cho các ngành QTKD, Kinh tế, Kế toán và QLĐĐ 
5.5.1.3 Các trường hợp cụ thể 
 f(x) = a0 + a1x 
 Trường hợp này, trong công thức (5.6) ứng với m = 1 và 1(x) = 1 ; 2(x) = x 
 n n
 a n a x y
 0 1 i  i
 i 1 i 1
 (5.7) 
 n n n
 2
 a0 x i a 1  x i  x i y i
 i 1 i 1 i 1
Khi đó đường thẳng y = a0 + a1x tìm được là đường thẳng tốt nhất theo phương pháp 
bình phương tối thiểu 
Ví dụ 1: Giả sử y = a0 + a1x . Hãy xác định a và b theo phương pháp bình phương bé nhất 
biết kết quả thực nghiệm được cho trong bảng sau: 
 x -2 0 1 2 5 
 y 0,5 1 1,5 2 3 
Giải: n = 5. 
Để xác định hệ trên, ta lập bảng sau: 
 2
 i xi yi xi xi y i 
 1 -2 0,5 4 -1 
 2 0 1 0 0 
 3 1 1,5 1 1,5 
 4 2 2 4 4 
 5 5 3 25 15 
 Tổng 6 8 34 19,5 
 5a0 6a 1 8 155 99
Vậy ta có hệ => a0 = ; a1 = 
 6a0 34a 1 19,5 134 268
 99 155
Do đó hàm thực nghiệm cần tìm là y ≈ x + . 
 268 134
 Ví dụ 2: Câu hỏi tương tự với bảng số sau: 
 x -1 0 1 2 3 4 
 y 1 1 2 1 2 3 
Giải: n = 6. 
Lập bảng 
 128 
Biên soạn : Vũ Khắc Bảy – Bộ môn Toán ĐHLN 
Bài giảng Toán cao cấp - Dùng cho các ngành QTKD, Kinh tế, Kế toán và QLĐĐ 
 2
 i xi yi xi xi y i 
 1 -1 1 1 -1 
 2 0 1 0 0 
 3 1 2 1 2 
 4 2 1 4 2 
 5 3 2 9 6 
 6 4 3 16 12 
 Tổng 9 10 31 21 
 12
 a 
 31a 9 b 21 35 12 121
Vậy ta có hệ: . Vậy y ≈ x 
 9a 6 b 10 121 35 105
 b 
 105
 2
 f(x) = a0 + a1x + a2x 
 2
 Trường hợp này ta có 1(x) = 1 ; 2(x) = x , 3(x) = x 
Lập bảng: 
 TT x 1(x) 2(x) 3(x) y 
 3 4 2
 ( 1) ( x) ( x2 ) x x ( y ) x.y x .y 
 2 3 4 2
 1 x1 1 x1 y1 x1y1 
 x1 x1 x1 x1 y 1 
 2 3 4 2
 2 x2 1 x2 y2 x2y2 
 x 2 x 2 x 2 x2 y 2 
 ... .... ... .... .... .... .... .... .... .... 
 n x 1 x 2 3 4 y x y 2
 n n x n x n x n n n n xn y n 
 n n n n n n n
 2 3 4 2
 tổng n xi x i x i x i yi xi y i xi y i 
 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1
 Giải hệ phương trình sau để xác định a0 , a1 , a2 
 n n n
 2
 a n a x a x y
 0 1 i 2  i  i
 i 1 i 1 i 1
 n n n n
 2 3
 a0 x i a 1  x i a 2  x i  x i y i 
 i 1 i 1 i 1 i 1
 n n n n
 2 3 4 2
 a0 x i a 1  x i a 2  x i  x i y i
 i 1 i 1 i 1 i 1
 129 
Biên soạn : Vũ Khắc Bảy – Bộ môn Toán ĐHLN 
Bài giảng Toán cao cấp - Dùng cho các ngành QTKD, Kinh tế, Kế toán và QLĐĐ 
Ví dụ : 
 2
Xác định hàm số dạng y = f(x) = a0 + a1x + a2x theo phương pháp bình phương bé nhất 
dựa theo số liệu thực nghiệm sau : 
 x 1 3 6 7 8 13 
 y 1 10 52 80 100 300 
Lập bảng 
 2 3 4 2
 TT 1 x x x x y x.y x .y 
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 
 2 1 3 9 27 81 10 30 90 
 3 1 6 36 216 1296 52 312 1872 
 4 1 7 49 343 2401 80 560 3920 
 5 1 8 64 512 4096 100 800 6400 
 6 1 13 169 2197 28561 300 3900 50700 
 Tổng 6 38 328 3296 36436 543 5603 62983 
Giải hệ : 
 6a0 + 38 a1 + 328 a2 = 543 Tính được a0  3,292 
38a0 + 328a1 + 3296 a2 = 5603 a1  - 4,08 
328a0 + 3296 a1 + 36436 a2 = 62983 a2  2,07 
Vậy quan hệ giữa x và y theo dạng y = 3,292 - 4,08x + 2,07.x2 
Nhận xét 
 Phương pháp bình phương bé nhất áp dụng được khi đại lượng y biểu diễn tuyến 
 k
 tính qua đại lượng x dạng: y  ai i (x) , với i (x) là các hàm số đã cho. 
 i 1
Ví dụ các dạng như : 
 y ax2 bx
 y ax2 b
 y ax2 bx c
 y asinx + bcosx +
Khi đó việc tìm các hệ số ai theo phương pháp bình phương bé nhất sẽ luôn dẫn về một hệ 
phương trình đại số tuyến tính với các ẩn ai. Hệ này là một hệ Cramer nên luôn có duy nhất 
nghiệm. 
 Một số dạng quan hệ có thể đưa về dạng tuyến tính để áp dụng được phương pháp 
 130 
Biên soạn : Vũ Khắc Bảy – Bộ môn Toán ĐHLN 
Bài giảng Toán cao cấp - Dùng cho các ngành QTKD, Kinh tế, Kế toán và QLĐĐ 
 bình phương bé nhất. 
  y ax ln y ln x ln a . Đặt Y = lny, X= lnx, B = lna => đưa về 
 dạng YXB 
  y ae bx đưa về dạng Y AX B trong đó Y = lny, X = x, A = -b, 
 B = lna 
Ví dụ 3: ( sinh viên tự giải) 
Giả sử y = ax2 + b. Hãy lập hệ phương trình xác định a và b theo phương pháp bình 
phương bé nhất và xác định a, b biết kết quả thực nghiệm được cho trong bảng sau: 
 x 1 2 3 4 5 
 y 1.3 9.8 25.1 45.5 73.2 
Ví dụ 4: ( sinh viên tự giải) 
Giả sử y = ax2 + bx. Hãy lập hệ phương trình xác định a và b theo phương pháp bình 
phương bé nhất và xác định a, b biết kết quả thực nghiệm được cho trong bảng sau: 
 x -2 -1 0 1 2 3 
 y 6,5 0,5 0,2 3,5 9,5 21,1 
Bài tập tương tự: 
 1) y = ax + b với bảng 
 X -1 1 2 3 4 5 
 y -7.7 2.3 6.8 12.5 17.1 21.9 
 56a 14 b 239
Đáp số: hệ suy ra a = 4.95, b = -2.74. 
 14a 6 b 52.9
 2) y = ax2 + b với bảng 
 X -1 0 1 2 -2 3 
 Y 5.1 2.5 4.5 13.8 14.2 29.5 
 115a 19b 387.1 a 3.04
 ĐS: hệ: 
 19a 6b 69.6 b 1.97
 131 
Biên soạn : Vũ Khắc Bảy – Bộ môn Toán ĐHLN 
Bài giảng Toán cao cấp - Dùng cho các ngành QTKD, Kinh tế, Kế toán và QLĐĐ 
 3) y = ax2 + bx với bảng 
 X 1 -2 3 -1 5 6 
 Y -1.8 15.5 6.3 6.2 29.5 47.7 
 2020a 360b 2577.8 a 1.965
 ĐS: hệ: 
 360a 76b 413.6 b 3.86
 BÀI TẬP CHƯƠNG 5 : HÀM HAI BIẾN 
Bài 1: Tìm miền xác định và biểu diễn chúng lên mặt phẳng Oxy. 
 1 x2 y 1 1 1 1 1
1) z 2) z arcsin 3) z 2 2 2 4) z 
 a2 y 2 x R x y x y x2 y
 1 1
5) z 6) z 4 x2 y 2 x 2 y 2 1 7) z ln xy 
 x y x y
 1
8) z x2 y 2 1 
 2x x2 y 2
Bài 2: Biểu diễn các miền phẳng sau lên mặt phẳng tọa độ 0xy : 
1) D x,y:0 x1,x 2 y x 2) D x,y:0 x1, 2xx 2 y1  
3) D x,y:1 x 2,2x y 2x 3 4) D x,y:0 x 2,2x x2 y 2x 
5) D x,y:0 x 1,x2 y 2x 6) D x,y:x 2 y 2 2ax,x 2 y 2 a 2 
7) D x,y:x 2 y 2 2x,x 2 y 2 2y 
Bài 3: Tính các đạo hàm riêng của các hàm số sau theo các biến: 
 x3 y 3 y
1) z 2) z ln(x x2 y 2 ) 3) z arctg 4) z xy 
 x2 y 2 x
 y
5) z (1 xy)y 6) z x x 7) z x2 y 3y 4 x 2 e x 3y 8) u x2 y 2 z 2 
 x a e3x ln xy
9) z 2x 3sin xy e 3x 2y 10) z ln sin 11) z x sin y 
 y 
 x
 2 3 2 3 3
 x x 3x y x y x y
12) z a 13) z e .arctgy 14) z = tg x+y . e 15) z xy.ln xy 
 y x
 y x y3
16) z = arctg 17) z arcsin 18) z x 2y x 0 
 x+2y x2 y 2
 132 
Biên soạn : Vũ Khắc Bảy – Bộ môn Toán ĐHLN 
Bài giảng Toán cao cấp - Dùng cho các ngành QTKD, Kinh tế, Kế toán và QLĐĐ 
Bài 4: Tính các đạo hàm riêng cấp hai của các hàm số sau: 
 1 x y
1) z (x2 y 2 ) 3 2) z ln(x x2 y 2 ) 3) z 
 3 x y
 1 2 2
4) z 5) z x2 y 2 6) z ex y cos x +3y 
 x2 y 2
 x + y
7) z ln x2 y 2 8) z x2 y 2 .e x y 9) z arctg 
 1-xy
Bài 5: Tìm vi phân toàn phần của các hàm số sau: 
 y x+y
1) z sin x2 y 2 2) z ex cosy + xsiny 3) z ln tg 4) z arctg 
 x x-y
Bài 7: Tính gần đúng giá trị các biểu thức sau: 
1) ln 3 1,03 4 0,98 1 2) (1,04)2,03 3) 5.e0,02 (2,03) 2 
 2 2 1,97 1,99
4) 3 1,02 0,05 5) arctg 1 6) 1,04 ln(1,02 
 1,02 
Bài 8: Tìm cực trị địa phương của các hàm hai biến sau: 
 1) z = 4(x - y) – x2 – y2 2) z = x2 + xy + y2 + x – y + 1 
 3) z = x + y – xey 4) z = 2x 4 + y 4 – x2 - 2y2 
 5) z x3 3yx 2 15x 12y 6) z x3 y 3 9xy 20 
 7) z 2y2 4xy 2x 3 2x 8) z x3 3yx 2 39x 36y 
 2
 9) z x3 y 3 3xy 10) z x4 y 4 2 x y 5 
 11) z 3y3 4xy 2 24xy 1 12) z x2 8x y 3 13y 8xy 9 
 13)z x4 y 4 2x 2 4xy 2y 2 14)z 1 6x x2 xy y 2 
 15)z xy3 2 6 x y,x 0,y 0 16) z x2 y xy y 2 
Bài 8: 
 Hai đại lượng x, y có mối quan hệ bậc nhất với nhau y = ax + b và có bảng giá trị tương 
ứng sau: 
 x 1 2 3 4 5 6 
 y 2 4.9 7.9 11.1 14.1 17 
Xác định giá trị a, b theo phương pháp bình phương bé nhất. 
 133 
Biên soạn : Vũ Khắc Bảy – Bộ môn Toán ĐHLN 
Bài giảng Toán cao cấp - Dùng cho các ngành QTKD, Kinh tế, Kế toán và QLĐĐ 
Bài 9: Câu hỏi tương tự bài 8 với bảng số 
 x 1 2 3 4 5 
 y 2.9 6.1 9.2 11.8 16 
Bài 10: Hai đại lượng x, y có mối quan hệ bậc hai với nhau y = ax2 + b và có bảng giá trị 
tương ứng sau: 
 x 1 2 3 4 5 
 y 0.1 3 8.1 14.9 23.9 
Xác định giá trị a, b theo phương pháp bình phương bé nhất. 
Bài 11: Hai đại lượng x, y có mối quan hệ bậc hai với nhau y = ax2 + bx + c và có bảng giá 
trị tương ứng sau: 
 x 1 2 3 4 5 
 y 2.9 8.9 19.1 33.2 50.8 
Xác định giá trị a, b theo phương pháp bình phương bé nhất. 
Bài 12: Hai đại lượng x, y có mối quan hệ bậc hai với nhau y = ax2 + bx và có bảng giá trị 
tương ứng sau: 
 x 1 2 3 4 5 6 
 y 4,9 16,5 33 55,5 84 119 
Xác định giá trị a, b theo phương pháp bình phương bé nhất. 
 134 
Biên soạn : Vũ Khắc Bảy – Bộ môn Toán ĐHLN 
Bài giảng Toán cao cấp - Dùng cho các ngành QTKD, Kinh tế, Kế toán và QLĐĐ 
 TÀI LIỆU THAM KHẢO 
1. Nguyễn Đình Trí và nhiều tác giả. Toán cao cấp tập I, II, III. NXB ĐH và THCN, 2001. 
2. G.N.Phichtengon. Cơ sở giải tích toán học. Tập I, II và III. NXB Giáo dục, 1977 
3. Ngô Thúc Lanh. Đại số tuyến tính. NXB ĐH và THCN, 1970 
 135 
Biên soạn : Vũ Khắc Bảy – Bộ môn Toán ĐHLN