Vấn đề tính tích phân khi giải bài toán côsi đối với phương trình truyền sóng trong mặt phẳng và trong không gian

 VẤN ĐỀ TÍNH TÍCH PHÂN KHI GIẢI BÀI TOÁN CÔSI ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH 
 TRUYỀN SÓNG TRONG MẶT PHẲNG VÀ TRONG KHÔNG GIAN 
 Đỗ Thị Hoài 
 Khoa Toán và Khoa học Tự nhiên 
 Email: hoaidt@dhhp.edu.vn 
 Ngày nhận bài: 26/10/2020 
 Ngày PB đánh giá: 16/11/2020 
 Ngày duyệt đăng: 19/11/2020 
 TÓM TẮT: Giải bài toán Côsi đối với phương trình truyền sóng đòi hỏi phải tìm được phương 
 pháp tính các tích phân bội, tích phân mặt có trong công thức nghiệm. Nhưng vấn đề tính các tích 
 phân đó gặp nhiều khó khăn. Bài báo đưa ra cách xây dựng công thức tính tích phân bội với phép 
 đổi biến số thích hợp, tính tích phân mặt bằng cách đưa về tích phân kép dựa vào yếu tố diện tích 
 của mặt, từ đó tính được các tích phân trong công thức nghiệm và do đó giải quyết được bài toán. 
 Từ khóa: Bài toán Côsi, tích phân bội, tích phân mặt, yếu tố diện tích của mặt. 
 INTEGRALITY PROBLEM WHEN SOLVING THE CAUCHY PROBLEM FOR WAVE 
 EQUATIONS IN PLANES AND SPACES 
 ABSTRACT: Solving the Cauchy problem for wave equations requires finding methods to 
 calculate the multiple and surface integrals included in the solution formulae. Because calculating 
 these integrals is difficult, the paper deals with formulating multiple integral formulas with 
 appropriate transformations, calculating surface integrals by bringing about the double integral 
 based on the area factor of the surface, so one can calculate the integrals in the solution formulae 
 and thus solve the problem. 
 Keywords: Cauchy problem, multiple integral, surface integral, the area factor of the surface. 
 1. MỞ ĐẦU phân mặt trong công thức nghiệm, giúp 
 Để giải các bài toán Côsi, bài toán giải quyết bài toán đối với phương trình 
hỗn hợp đối với phương trình đạo hàm đạo hàm riêng được dễ dàng hơn. 
riêng hầu hết đều phải đưa về tính các 2. BÀI TOÁN CÔSI ĐỐI VỚI 
tích phân xác định, tích phân bội, tích PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN SÓNG 
phân mặt Tuy nhiên, các công thức TRONG MẶT PHẲNG VÀ TRONG 
tích phân trong dạng toán này tương đối KHÔNG GIAN 
phức tạp. Hơn nữa, chưa có tài liệu nào 2.1. Bài toán Côsi đối với phương 
đưa ra cách giải chi tiết. Việc đưa ra trình truyền sóng trong mặt phẳng 
phương pháp tính các tích phân bội, tích 
 222
 uuu2 
 222 a ; 
 tx y
 uxy(, ,0)  1 (, xy );
  u
 (,x yxy ,0)  (, ). 
  t 2
 32 22
 Trong đó a là vận tốc truyền sóng và là một hằng số, 12 CC();  (). 
 Công thức nghiệm của bài toán là công thức Poatxông ([1, tr 252]): 
 TẠP CHÍ KHOA HỌC, Số 44, tháng 1 năm 2021| 83 
 1  (,)dd  (,) dd 
 uxyt(, ,) 12 ; 
 2 at 22 2 2 22 2 2
 KKatat ()() x y at at ()() x  y 
trong đó Kat là hình tròn tâm x, y , bán kính at . 
 Để giải bài toán Côsi theo công thức Poatxông ta cần tính các tích phân kép trong 
hình tròn, nhưng hàm dưới dấu tích phân phức tạp, chứa nhiều biến: xyt,,,,  nên việc 
tính tích phân đòi hỏi đưa ra công thức đổi biến thích hợp. Trong dạng bài này ta sử 
dụng công thức tích phân suy rộng với phép đổi biến trong tọa độ cực suy rộng. 
 Ví dụ 1. Tìm nghiệm của bài toán Côsi: 
 222uuu
 ;
 txy222
 ux ; 
 t 0
 uy .
 t t 0
 Giải. 
 Theo công thức Poatxông, nghiệm của bài toán Côsi có dạng 
 1  (,)dd  (,) dd 
 uxyt(, ,) 12 .
 222222 
 2 t KKtx ()() y tx ()()  y 
 tt 
 Trong đó 12(,)  ; (,)   . 
 Tính tích phân: 
  (,)dd  
 I 1 . 
 1 222
 K tx ()() y
 t
  xrcos;
 Thực hiện phép đổi biến: 0 rt ,0 2 . 
  yrcos;
 cos r sin
 Suy ra: Jr . 
 sin rcos
 Vậy: 
 tt22 ()x rcos xr r2 cos
 I dr r. d dr d 
 1 22 22
 00tr 00 tr
84 | Tạp chí khoa học, Số 44, tháng 1 năm 2021 
 t 2 xr r2. cos t 2 rx
 = ddr = dr 
 22 22 22
 00 tr tr 0 tr 
 t 2 t
 dr() = 2lim( xtr22 ) 
 x 
 22 rt 0
 0 tr 
 2. xt 
 Tương tự ta tính I2 : 
  (,)dd  
 I 2 
 2 222
 Kt tx ()() y
 tt22 (yr sin ) yrr2 sin
 dr r. d dr d 
 22 22
 00tr 00 tr
 t 2 yr r 2.sin t 2 ry
 = ddr = dr 
 22 22 22
 00 tr tr 0 tr 
 t dr() 2 t
 = 2lim( ytr22 ) 
 y 
 22 rt 0
 0 tr 
 2. yt 
 Vậy nghiệm của bài toán: 
 1 
 u(, x y ,) t 2 xt 2 yt x yt . 
 2 t
 Thử lại: Thỏa mãn.
2.2. Bài toán Côsi đối với phương trình truyền sóng trong không gian. 
 Tìm nghiệm uxyzt(, ,,)của phương trình truyền sóng: 
 2u
 ufxyztt (, ,,), 0; 
 t 2
thỏa mãn các điều kiện sau: 
 uxyz(, ,,0) 1 (, xyz ,); 
 u
 (,x yz ,,0)  (, xyz ,); 
 t 2
 33 23
 12 CC(),  (). 
 TẠP CHÍ KHOA HỌC, Số 44, tháng 1 năm 2021| 85 
 Ta giải bài toán bằng phương pháp chồng chất nghiệm: 
 Giả sử vxyzt(, ,,)là nghiệm của bài toán: 
 vvtt 
 I 
 vxyz(, ,,0)0,(, vt xyz ,,0)  2
 w (x,y,z,t) là nghiệm của bài toán: 
 wwtt 
 II 
 wxyz(, ,,0)  1 ; wt (, xyz ,,0)0
 u (x,y,z,t) là nghiệm của bài toán: 
 uufxyzttt (, ,,)
 III 
 u(, xyz ,,0) ut (, xyz ,,0)0
 Ta có nghiệm của bài toán ban đầu ([1, tr 256]), ([2, tr 230]): 
 11 (,, )  (,, )
 uxyzt(, ,,) 21 dS dS 
 44 ttt 
 SStt
 1(,,,)t f 
 ddS 
 4  t 
 0 St 
 (công thức Kiêcsốp) 
 Để giải được bài toán Côsi sử dụng công thức Kiêcsốp, ta cần tính các tích phân 
mặt loại I, nhưng việc tính các tích phân này sẽ khó khăn khi ta sử dụng định nghĩa. Do 
đó ta đưa về tính tích phân kép bằng cách xây dựng công thức tính tích phân mặt dựa 
vào yếu tố diện tích trên một mặt cầu [3, tr 302]: 
  
 3 1 
 Giả sử FD: là một lớp tham số hóa thuộc lớp C ;
  
 SFuvuvD (,): ,  . 
   
 FF
 Khi đó yếu tố diện tích của S, kí hiệu dS  uv, uv , dud v . 
 uv
 Ta xét một biểu diễn tham số của mặt cầu S, tâm O, bán kính t 
  
 FD: 3
 ,   tct cos os , cos sin , t sin ;
86 | Tạp chí khoa học, Số 44, tháng 1 năm 2021 
Trong đó 
 D  ,,. 
 22
Ta có  
 F
 ttccos  sin , cos  os ,0 ;
 
  
 F
 tcsin os  , t sin sin , t cos .
  
Suy ra   
 FF
  tct22cos  os , 22 cos  sin , tc 2 sin os ;
  
   
 FF 222 
  tc22cos os  t 22 cos sin tc 2 sin os ;
  
   
 FF
  tc42os .
  
Vậy 
 dS t2 cos  d d ;
 f x,,y zdS f tct cosos,cossin,sin   t tcdd2 os  .
 SD
Ví dụ 2. Tìm nghiệm của bài toán Côsi: 
 2222uuuu
 2;xyz
 txyz2222
 uxyz 222;
 t 0
 u 1.
 t t 0 
Giải. 
 Theo công thức Kiêcsốp, nghiệm của bài toán Côsi có dạng 
 t
 11 (,,)   (,,) 1(,,,)f 
uxyzt(, ,,) 21 dS dS ddS .
 44 ttt 4 0 S t 
 SStt t  
 Trong đó 
 22 2
 1 (,, )   2  ;
  2 (,, ) 1;
 fr(,, ,) 2  . 
 TẠP CHÍ KHOA HỌC, Số 44, tháng 1 năm 2021| 87 
 Thực hiện phép đổi biến 
  xtcos  c os
  ytcos  sin
  ztsin . 
 Tính tích phân 
  (,, ) 1
 JdSdS 2 .
 1 tt
 SStt 
 Ta xét một biểu diễn tham số của mặt cầu St, tâm O, bán kính t 
  
 FD: 3
 ,   tct cos os , cos sin , t sin ;
 D  ,,. 
 Trong đó 22
 Khi đó 
 11 2
 J tc22os d d d  tc os d 4 t .
 1 
 D tt 
 2
 Tính tích phân 
  (,, )
 JdS 1 .
 2 t
 St 
 Ta xét một biểu diễn tham số của mặt cầu St, tâm O, bán kính t 
  
 FD: 3
 ,   tct cos os , cos sin , t sin ; 
 D  ,,. 
 Trong đó 22
 Khi đó
88 | Tạp chí khoa học, Số 44, tháng 1 năm 2021 
 1
J xy222 z 2 2 txcocy cos   cos sin 2 z sin tc 22 os 2 t 222 sin  tcdd os ; 
 2 
 D t
 2
Jdxyztxcocy  22 2 2 2 cos  cos  sin 2 z sin tct 22 os 2 22 sin tcd os ;
 2 
 2
 2
Jtxyzctzcd 2(2)os8sinos 22 2 2 
 2 
 2
 2 
 + 2 tc332 os 6 tz sin c os d ;
 2
 22 2
 Jxyz2 = 4 t 2 .
 Để tính tích phân tiếp theo, ta xét một biểu diễn tham số của mặt cầu St-r , tâm O, 
bán kính t - r 
  
 FD: 3
 ,   (tr )cos c os ,( tr )cos sin ,( tr )sin ; 
 Ta có 
 t fr(,, ,)
 Jdr dS; 
 3 tr 
 0 Str 
 t 2 
Jdrdxtrcytr 2 2 ( )cos  os ( )cos  sin ztrtrd ( )sin ( )cos  ;
 3 
 0 
 2
 t 2
Jtrdrxyzxytrd 2sin;  
 3 
 0 
 2
 t
Jxyztrdr 24 ;
 3 
 0 
 2
J3 = 4xyzt .
 Thay vào công thức Kiêcsốp , ta có nghiệm của bài toán đã cho là 
 1
 uxyzt(, ,,) 4 t x22 y 2 z 2 4 t 4 xyzt 2 ;
 4 
 uxyzt(, ,,) x22 y 2 z 2 t xyzt 2 . 
 TẠP CHÍ KHOA HỌC, Số 44, tháng 1 năm 2021| 89 
 Thử lại: Thỏa mãn. 
 3. KẾT LUẬN 
 Giải các bài toán Côsi đối với phương trình truyền sóng dựa vào các công thức 
Poatxông và công thức Kiêcsốp là vấn đề phức tạp và khó khăn. Bằng cách xây dựng 
được các công thức tích phân bội, tích phân mặt một cách thích hợp bài báo đã đưa ra 
cách tính tích phân tổng quát, và đưa ra cách giải chi tiết trong các ví dụ cụ thể, từ đó 
tìm được nghiệm của bài toán Côsi. 
 TÀI LIỆU THAM KHẢO 
 1. Nguyễn Thừa Hợp (2001). Giáo trình phương trình đạo hàm riêng. NXB Đại học Quốc 
gia Hà Nội. 
 2. Vũ Tuấn, Đoàn Văn Ngọc (1992). Phương trình vi phân. NXB Giáo dục. 
 3. Jean - Marie. Monier (2006). Giáo trình toán tập 4. NXB Giáo dục. 
90 | Tạp chí khoa học, Số 44, tháng 1 năm 2021