Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê - Bài 4: Một số định lý quan trọng trong lý thuyết xác suất

 Bài 4: Một số định lý quan trọng trong lý thuyết xác suất
 BÀI4: MỘT SỐ ĐỊNH LÝ QUAN TRỌNG TRONG 
 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT 
 Các kiến thức cần có 
 • Định lý Poisson 
 • Luật số lớn 
 • Định lý giới hạn trung tâm 
Mục tiêu 
Giới thiệu những dạng đơn giản 
nhất (không chứng minh) của 
một số định lý cơ bản nhất của 
Lý thuyết Xác suất. Đây là 
những cơ sở quan trọng của lý 
thuyết Ước lượng và Lý thuyết 
Kiểm định. 
Thời lượng 
• 4 tiết 
 101 
 Bài 4: Một số định lý quan trọng trong lý thuyết xác suất
4.1. Định lý Poisson 
 Trong thực hành ta thường bắt gặp tình huống cần xác định khả năng xuất hiện k lần biến 
 cố A trong n phép thử, được biết trước xác suất p của việc xảy ra biến cố A trong một 
 phép thử. Lúc đó ta có thể dùng các công thức của phân phối nhị thức để tính toán. 
 Tuy nhiên công thức đó chỉ thích hợp cho trường hợp số lượng n các phép thử tương 
 đối nhỏ, còn khi số lượng phép thử lớn thì có thể áp dụng Định lý Poisson để tính 
 gần đúng. 
 Định lý Poisson: 
 Xác suất của một biến cố xuất hiện k lần trong n phép thử (xác suất xuất hiện biến cố 
 trong một phép thử là p) với n tương đối lớn, p1 và np ≈ λ với λ là một số cố 
 định nào đó, được tính xấp xỉ theo công thức: 
 n! (np)kk (λ )
 P(k)=−≈≈ p(1p)knk−−λ e−np e . 
 n k!(n− k)! k! k!
 Trong trường hợp cần tính xác suất biến cố A xuất hiện từ k1 đến k2 lần trong n phép 
 thử, ký hiệu xác xuất đó là Pn(k1,k2), áp dụng định lý Poisson để tính xấp xỉ cho giá trị 
 Pn12 (k ,k ) ta có công thức: 
 kkk
 22−λ ()λ
 P(k,k)=≈∑∑ P(k) e 
 n12 n
 kk== kk k!
 11
 Ví dụ 1: 
 Tổng sản phẩm của xí nghiệp A trong một quý là 
 800. Xác xuất để sản xuất ra một phế phẩm là 
 0,005. Tìm xác suất để cho 
 1. Có 3 sản phẩm là phế phẩm. 
 2. Có không quá 10 phế phẩm. 
 Giải: 
 Ta có n = 800, p = 0,005 . Vậy λ = np = 4 , từ đó 
 43
 1. P (3)== e−4 0,1954 . 
 800 3!
 10 k
 −4 4
 2. P800 (0,10)==∑ e 0,997 . 
 k0= k!
4.2. Luật Số lớn 
 Đối với mỗi một tham số của biến ngẫu nhiên (kỳ vọng, phương sai, xác suất, v.v.), 
 người ta có thể dùng nhiều thống kê khác nhau để ước lượng. Do vậy người ta đã đưa 
 ra một số tiêu chuẩn để đánh giá các ước lượng của tham số như tính vững, tính không 
 chệch, tính hiệu quả, v.v. Luật Số lớn là một công cụ giúp đánh giá tính vững cho ước 
 lượng của hai tham số thống kê là xác suất và kỳ vọng. 
102 
 Bài 4: Một số định lý quan trọng trong lý thuyết xác suất
 Định lý Bernoulli: 
 Nếu f là tần suất xuất hiện biến cố A trong n phép 
 thử độc lập và p là xác suất xuất hiện biến cố đó 
 trong mỗi phép thử thì với mọi ε dương nhỏ tùy ý ta 
 luôn có 
 lim P( f−<ε= p ) 1. 
 n→∞
 Định lý trên còn được gọi là Luật số lớn Bernoulli. 
 Định lý này cho thấy tần suất là một ước lượng 
 vững của xác suất. Đối với kỳ vọng, ta có định lý 
 dạng tổng quát, được phát biểu như sau: 
 Luật Số lớn: Giả sử X12 ,X ,...,X n ,... là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập có cùng 
 phân bố với kỳ vọng chung μ và phương sai σ2 hữu hạn. Khi đó với mọi ε dương nhỏ 
 tùy ý ta luôn có 
 ⎛⎞X12+++ X ... X n
 lim P⎜⎟ |− μ<ε= | 1. 
 n→∞ ⎝⎠n
4.3. Định lý Giới hạn trung tâm 
 Trên đây ta thấy có thể tính xấp xỉ các xác suất của luật phân phối nhị thức với số 
 lượng phép thử lớn thông qua luật phân phối Poisson. Các định lý Giới hạn trung tâm 
 trình bày dưới đây sẽ cung cấp một công cụ khác để tính xấp xỉ các xác suất thông qua 
 luật phân phối chuẩn tắc. 
 Định lý Moivre-Laplace: 
 Giả sử Xn là biến ngẫu nhiên có phân bố nhị thức với tham số (n,p). Đặt 
 Xnpn −
 Sn = . 
 np(1− p)
 Khi đó với mọi x(∈−∞+∞ , ) ta có 
 lim P() Sn < x=< P( Z x) 
 n→∞
 trong đó Z là biến ngẫu nhiên có phân bố chuẩn tắc. 
 Định lý trên cho thấy có thể tính xấp xỉ xác suất P(k)n để một biến cố xuất hiện k lần 
 trong n phép thử (p) là xác suất xuất hiện biến cố A trong một phép thử của lược đồ 
 Bernoulli với n tương đối lớn theo công thức 
 −1/2 −−()k np2 / 2np(1 − p)
 P(k)nk=π() 2 e =ϕ (x) 
 với ϕ là hàm mật độ của phân bố chuẩn tắc: 
 −x2
 ϕ=π(x)() 2−1/2 e2 . 
 103 
 Bài 4: Một số định lý quan trọng trong lý thuyết xác suất
 Còn: 
 knp−
 xk = . 
 np(1− p)
 Ví dụ 2: 
 Xác suất để sản xuất ra một chi tiết loại tốt là 0,4. Tìm xác suất để trong 26 chi tiết 
 sản xuất ra thì có 13 chi tiết loại tốt. 
 Giải: 
 Ta cần tìm P26(13) với n = 26 , p = 0,4 , 1− p = 0,6 và 
 (k− np) 0,2323
 x1,04==, ϕ=ϕ=(x ) (1,04) 0,2323, P (13)≈= 0,093 . 
 k np(1− p) k 26 2,5
 Khi áp dụng Định lý Moivre - Laplace để tính xấp xỉ cho giá trị P(k,k)tan12 có 
 công thức 
 P(k,k)n12= Φβ ( ) −Φα ( ). 
 Với: 
 (k− np) (k− np)
 α= 1 , β= 2 . 
 np(1− p) np(1− p)
 Và: 
 2
 1 x −x
 Φ=(x)∫ e2 dx. 
 2π 0
 Ví dụ 3: 
 Một phân xưởng sản xuất bóng đèn đạt trung bình là 
 70% sản phẩm loại tốt. Tìm xác suất để trong 1000 
 bóng đèn có từ 652 đến 760 bóng đèn loại tốt. 
 Giải: 
 Ta có n = 1000, p = 0,7, 1-p = 0,3 , k1 = 652, k2 = 700 . Xác suất phải tìm là 
 P1000(652 ;760). 
 Như vậy 
 (k− np)
 α=1 =−3, 31 ; Φ()α = Φ(3,31)− = - 0,499520. 
 np(1− p)
 (k− np)
 β= 2 = 4,14 ; Φ()β = Φ(4,14) = 0,499968 
 np(1− p)
 Từ đó P1000(652 ;760) = Φβ ( ) − Φ()α = 0,999488 . 
104 
 Bài 4: Một số định lý quan trọng trong lý thuyết xác suất
Định lý Moivre − Laplace trên đây là một dạng đặc biệt của Định lý Giới hạn trung 
tâm, được áp dụng cho các biến ngẫu nhiên có phân phối 0−1. Đối biến ngẫu nhiên có 
phân phối dạng bất kỳ, ta có định lý tổng quát sau đây: 
Định lý Giới hạn trung tâm: 
Nếu X12 ,X ,...,X n ,... là một dãy các biến ngẫu nhiên độc lập cùng tuân theo một quy 
luật phân phối xác suất với kỳ vọng toán μ và phương sai hữu hạn σ2 , thì quy luật 
phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên. 
 n
 SE(S)Snnnn− −μ
 Un == với SXnk= 
 2 ∑
 V(Sn ) n.σ k1=
sẽ hội tụ tới quy luật chuẩn tắc N(0,1) khi n →∞. 
Các định lý Giới hạn trung tâm có ý nghĩa rất quan trọng đối với việc áp dụng thống 
kê toán học trong thực tế, không những chỉ với công dụng tính xấp xỉ các xác suất như 
đã trình bày ở trên mà còn cả trong quá trình tiến hành các phép kiểm định thống kê. 
Thật vậy, phần lớn các tiêu chuẩn kiểm định thống kê cổ điển như kiểm định so sánh 
các tần suất, so sánh các giá trị trung bình, so sánh phương sai, v.v. đều được xây 
dựng dựa trên cơ sở ban đầu của các biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn. Tuy nhiên 
trong các số liệu thực tế hầu như rất khi bắt gặp một biến ngẫu nhiên thực sự có phân 
phối chuẩn. Lúc đó phải dựa vào hiệu lực của các định lý Giới hạn trung tâm để áp 
dụng các tiêu chuẩn kiểm định thống kê một cách gần đúng cho các trường hợp số liệu 
có cỡ mẫu đủ lớn. 
 105 
 Bài 4: Một số định lý quan trọng trong lý thuyết xác suất
TÓM LƯỢC CUỐI BÀI 
Bài này cung cấp cho học viên một số định lý cơ bản trong Lý thuyết Xác suất : Định lý Poisson, 
Luật Số lớn, Định lý Giới hạn trung tâm. Những định lý này sẽ là cơ sở quan trọng của Lý thuyết 
Ước lượng và Lý thuyết Kiểm định được trình bày trong phần 2 của giáo trình này, cũng như 
cung cấp cho học viên những công thức tính gần đúng với một số bài toán xác suất phổ biến. 
106