Áp dụng định lý Cayley - Hamilton vào giải phương trình ma trận

TẠP CHÍ KHOA HỌC – ĐẠI HỌC TÂY BẮC Mai Anh Đức và nnk (2020) 
Khoa học Tự nhiên và Công nghệ (20): 42 - 46
 ÁP DỤNG ĐỊNH LÝ CAYLEY - HAMILTON
 VÀO GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MA TRẬN
 Mai Anh Đức, Nguyễn Đình Yên, Trần Hữu La
 Trường Đại học Tây Bắc - TBU
 Tóm tắt: Trong đại số tuyến tính, định lý Cayley - Hamilton chỉ ra rằng mọi ma trận vuông trên vành giao hoán 
đều thỏa mãn phương trình đặc trưng của nó. Định lý này là một trong những kết quả nền tảng của đại số tuyến 
tính và nó cũng là công cụ nghiên cứu của nhiều môn toán học cũng như các ngành khoa học khác. Trong bài báo 
này, chúng tôi sẽ đưa thêm một ứng dụng khác của nó, đó là sử dụng định lý Cayley - Hamilton để giải một lớp 
các phương trình ma trận.
 Từ khóa: Định lý Cayley - Hamilton; Phương pháp giải phương trình ma trận.
 I. Đặt vấn đề ra những “phương pháp riêng” để giải một lớp 
 Xét phương trình ma trận có dạng càng rộng càng tốt những phương trình ma trận 
 fX( ) = B(1), ở đây ft( ) là đa thức bậc m ( bậc cao, xem [1], [2]. Trong bài báo này chúng 
 tôi đưa ra một phương pháp giải cho một lớp 
m ≥1) một biến t với ai ∈ , dạng
 các phương trình dạng (1) bằng cách sử dụng 
 f t= a tmm + a t−1 ++ at + a
 ( ) mm−1 10 định lý Cayley - Hamilton.
 và X là ma trận ẩn, cấp n, B là ma trận thực 
 Chúng ta đã rất quen thuộc với định lý 
vuông cho trước cùng cấp với X.
 Cayley - Hamilton trong đại số tuyến tính. Định 
 Kí hiệu In là ma trận đơn vị cấp n. Ta có lý này được đặt tên bởi nhà toán học người Anh 
 mm−1 Arthur Cayley (1821 - 1895) và nhà toán học 
 amm X+ a−1 X ++ aX 10 + aIn = B
 người Ireland William Rowan Hamilton (1805 
 ⇔a Xmm + a X−1 ++ aX =− B aI.
 mm−1 10n - 1865). Định lý khẳng định rằng tất cả ma trận 
 Đặt B' = B − aI0 n ta được phương trình vuông A trên một vành giao hoán (như trường 
 mm−1
amm X+ a−11 X ++ aX = B', do đó trong số thực hoặc trường số phức) luôn thỏa mãn 
toàn bộ bài báo này chúng ta xét phương trình phương trình đặc trưng của nó. Điều này cho 
(1) với ft( ) là một đa thức bậc m thỏa mãn thấy, định lý Cayley - Hamilton cung cấp cho 
 f (00) = . Giải phương trình (1) là tìm tất cả các chúng ta mối liên hệ giữa các lũy thừa của ma 
ma trận thực vuông X thỏa mãn phương trình trận A. Đây chính là cơ sở giúp cho chúng tôi 
(1). nghĩ đến việc giải các phương trình ma trận dựa 
 Khi m =1, lời giải bài toán là tầm thường. vào định lý này. Nói thêm rằng, định lý Cayley 
Tuy nhiên câu chuyện trở nên khó khăn hơn - Hamilton được áp dụng rộng rãi trong nhiều 
rất nhiều khi m ≥ 2 . Về lý thuyết, ta cũng có lĩnh vực không chỉ liên quan đến toán học, mà 
thể đưa việc giải một phương trình ma trận bậc còn trong các lĩnh vực khoa học khác như Vật 
m về giải n2 phương trình n2 ẩn bậc m. Trong lý, Công nghệ thông tin [5]. Định lý này được 
trường hợp tổng quát điều này là không thể vì sử dụng khá phổ biến trong nhiều vấn đề của đại 
các phương trình ma trận bậc cao ( m ≥ 2 ) là số tuyến tính như tính định thức của ma trận, 
các hệ phương trình phi tuyến, mà hệ phi tuyến tìm ma trận nghịch đảo của một ma trận, tính 
chưa hề có một phương pháp giải tổng quát lũy thừa bậc m của ma trận... Nó cũng đóng một 
nào. Chính vì vậy mà chúng ta thường dựa vào vai trò quan trọng trong việc giải các phương 
đặc điểm riêng của từng phương trình mà đưa trình vi phân thường hay trong Lý thuyết số [6]. 
ra lời giải phù hợp. Do đó, một việc làm có ý 
 II. Nội dung
nghĩa không kém việc tìm ra lời giải tổng quát 
đối với các phương trình ma trận bậc cao là tìm 1. Nhắc lại kiến thức cơ sở
42
 Giả sử A là ma trận thực vuông cấp n, ta kí 
hiệu det A là định thức của ma trận A. Ta gọi đa Bước 4: Gọi ptX ( ) là đa thức đặc trưng của 
thức đặc trưng của A là đa thức được xác định X. Từ các bộ giá trị riêng của X trong Bước 3 ta 
bởi công thức xác định được các đa thức ptX ( ) .
 Bước 5: Giả sử
 pAn(λλ) =det ( AI − ) .
 f t= p t.. ht + rt
 Định lý 1: (Cayley-Hamilton) Giả sử A là ( ) X ( ) ( ) ( )
ma trận thực vuông cấp n và pA (λ) là đa thức Áp dụng Định lý 2 ta có f( X) = rX( ). Tính 
đặc trưng của A. Khi đó pAA ( ) = 0. ma trận X từ phương trình rX( ) = B. Thử lại kết 
 Bạn đọc có thể xem chứng minh định lý này quả tìm được, ma trận nào thỏa mãn phương trình 
trong [3], [4], [6]. đã cho hoặc trùng bộ giá trị riêng là nghiệm cần tìm.
 Định lý 2: (Hệ quả của định lý Cayley - Nhận xét: - Số ma trận X tìm được không 
Hamilton) Giả sử A là ma trận thực vuông cấp phụ thuộc vào bậc của phương trình hay cấp của 
 ma trận mà nó phụ thuộc vào số bộ giá trị riêng 
n và p (λ) là đa thức đặc trưng của A. Giả sử 
 A ở Bước 3.
 ft( ) là một đa thức tùy ý có bậc lớn hơn hoặc 
bằng n và - Việc chia phương pháp giải thành 5 bước như 
 trên là từ kinh nghiệm của nhóm tác giả. Do đó, 
 f( t) = p( t). ht( ) + rt( ) ,
 A khi đã thành thạo và hiểu rõ bản chất, chúng ta có 
 ở đó degrt ( )< n . Khi đó f( A) = rA( ) . thể chia phương pháp giải với số bước ít hơn.
 Định lý 3: Nếu λ là giá trị riêng của ma trận - Việc tìm ma trận X từ phương trình 
 n n
vuông A thì λ là giá trị riêng của ma trận A . rX( ) = B cũng không dễ dàng khi degrX( ) > 1. 
 Hệ quả: Nếu λ là giá trị riêng của ma trận Trong trường hợp này, như đã nói trong phần 
vuông A và ft( ) là một đa thức với f (00) = đặt vấn đề, ta chỉ giải được một số ít phương 
thì f (λ) là giá trị riêng của ma trận fA( ). trình trong trường hợp đặc biệt.
 Việc chứng minh các tính chất này có thể 3. Một số ví dụ minh họa
xem trong trong [3], [4], [6]. Sau đây là một số ví dụ minh họa cho phương 
 2. Phương pháp giải phương trình ma trận pháp giải phương trình ma trận đã trình bày ở 
 mục 2.
 Áp dụng Định lý Cayley - Hamilton cùng 
một số kết quả của đại số tuyến tính được nêu Ví dụ 1. Tìm ma trận thực cấp hai X sao cho 
trong mục 1, ta xây dựng phương pháp giải 2 −10
 XX+=2 .
phương trình ma trận dạng (1) như sau: 43
 Bước 1: Tìm tất cả các giá trị riêng của ma Lời giải: Trước hết ta thấy rằng, ta có thể sử 
trận B, giả sử là các giá trị aa1,...,n , các giá trị dụng đồng nhất thức để tìm ma trận X (bạn đọc 
riêng này có thể trùng nhau. có thể tự kiểm tra). Tuy nhiên lời giải theo cách 
 Bước 2: Gọi λ là một giá trị riêng của ma này khá dài. Ở đây chúng ta sẽ sử dụng phương 
trận X. Khi đó theo Hệ quả của Định lý 3 ta pháp giải trong mục 2.
có f (λ) là giá trị riêng của ma trận fX( ). Bước 1: Tìm giá trị riêng của ma trận 
Do fX( ) = B nên f (λ) cũng là giá trị riêng 
 −10
của ma trận B. Từ đó thiết lập các phương B = .
 λ = 43
trình fa( ) i với các ai đôi một phân biệt, 
ir=1,2,..., . Dễ thấy ma trận B có hai trị riêng là −1 và 3.
 λ = 2
 Bước 3: Giải các phương trình fa( ) i Bước 2: Đặt ft( ) = t + 2 t. Ta có các 
ta được nghiệm là các bộ giá trị riêng phương trình:
λλ, ,..., λ. Ta suy ra các bộ (λλ, ,..., λ) với 
 i12 i ipi 12 r tt2 +=−2 1 (1)
λi∈{ λλ i12, i ,..., λ ip } là các giá trị riêng của ma 
 i
 2
trận X và fa(λii) = với ir=1,2,..., . tt+=2 3 (2)
 43
 Bước 3: Giải các phương trình (1), (2).
 trị riêng là là 3, −1, và 0.
 Với phương trình (1) ta được nghiệm kép 32
 Bước 2: Đặt ft( ) =++ t t t. Ta có các 
λ = −1.
 phương trình:
 Với phương trình (2) ta được hai nghiệm 32
 ttt+ +=3 (1)
λλ=1, = − 3.
 ttt32+ +=−1 (2)
 Như vậy có 2 khả năng về cặp giá trị riêng 
 32
của X là (−1;1) ; (−−1; 3) . ttt+ +=0 (3)
 Bước 3: Giải phương trình (1) ta được các 
 Bước 4: Gọi ptX ( ) là đa thức đặc trương 
của X. Ta có các trường hợp sau: nghiệm 1 và −±1i 2.
 Trường hợp 1: Nếu X có hai giá trị riêng là Giải phương trình (2) ta được các nghiệm −1 
−1 và 1 thì X có đa thức đặc trưng là và ±i.
 Giải phương trình (3) ta được các nghiệm 0 
 pt( ) =−( t1)( t +=− 1) t2 1.
 X −±13i
 Trường hợp 2: Nếu X có hai giá trị riêng là và .
 2
−1 và −3 thì X có đa thức đặc trưng là
 Do X là ma trận vuông cấp 3 với các phần 
 2
 ptX ( ) =+( t1)( t +=++ 3) t 4 t 3. tử thực, nên chỉ có hai khả năng sau: hoặc là 
 Bước 5: X có ba giá trị riêng đều thực, hoặc là có một 
 giá trị riêng thực và hai giá trị riêng phức liên 
 Trường hợp 1: Ta có
 hợp. Ngoài ra các trị riêng của X tương ứng là 
 t22+2 tt = −+ 12 t + 1. nghiệm của các phương trình (1), (2), (3) và 
 Do đó X2 +=+22 X XI hay ta có phương không có hai giá trị riêng nào cùng là nghiệm 
trình 2.XIB+= Từ đó ta tìm được ma trận X của một phương trình trong các phương trình 
 1 trên. Từ các bộ nghiệm trên suy ra không có hai 
là X=( BI − ) . Dễ dàng kiểm tra được X thỏa 
 2 giá trị riêng nào thuộc hai phương trình khác 
mãn phương trình đã cho. nhau là các số phức liên hợp.
 Trường hợp 2: Ta có Như vậy chỉ có một khả năng về bộ giá trị 
 ttttt22+2 = + 4 +− 32 − 3. riêng của X là (1;− 1; 0) .
 2
 Do đó X+2 X =−− 23 XI hay ta có phương Bước 4: Gọi ptX ( ) là đa thức đặc trương 
trình −23X −= IB . Từ đó ta tìm được ma trận của X. Ta có đa thức đặc trưng là
 3
 1 pX (t) = tt(−− 1)( t+= 1) t t .
X là X=−+( BI3.) Dễ dàng kiểm tra được X 
 2
thỏa mãn phương trình đã cho. Bước 5: 
 3 223
 Như vậy có hai ma trận thỏa mãn yêu cầu Ta có t++=−++ t tt tt2. t Do đó được 
 3 2 2
bài toán là X+ X += XX +2 X hay ta có phương trình 
 X2 +=2. XB
 −10 −10
 X = và X = .
 21 −−23 Gọi X là một nghiệm của phương trình 
 X2 +=2 XB ta luôn có BX= XB.
 Ví dụ 2. Tìm tất cả các ma trận X∈ Mat3 () 
 aaa123
thỏa mãn phương trình 
 =
 300 Giả sử X bbb123 ta có 
 3 2  ccc
 XXX+ +=0 −1 0 123
 
 000 333aaa123
 
 Lời giải: =−−−
 BX b123 b b ;
 
 Bước 1: Tìm các giá trị riêng của ma trận 000
 300
 
B =01 − 0 . Dễ thấy ma trận B có ba giá 
 
 000
44
 2
 30aa12− ft()= t nên M có giá trị riêng duy nhất bằng 
  M
 = −
 XB3 b12 b 0. 0. Dễ thấy rằng không gian con riêng ứng với 
  trị riêng 0 có chiều bằng 1 nên M không chéo 
 30cc12−
 hóa được.
 Từ BX= XB ta suy ra
 Bước 2: Đặt ft( ) = t2016 − t 2010 . Ta có một 
 a2= abbcc 31312 = = = = = 0.
 phương trình duy nhất tt2016−= 2012 0.
 Vậy X là ma trận chéo dạng
 Bước 3: Giải phương trình
 a1 00
  2016 2010
 = −=
 Xb02 0. tt0
 
 00c3 ta được các nghiệm λ = 0, λ = ±1 và 
 2
 Thay vào phương trình X+=2 XB ta thu hai phương trình tt2 ±+=1 0. Do ma trận 
được đẳng thức: XX2016− 2010 không chéo hóa được nên X 
 ga()1 0 03 0 0  cũng không chéo hóa được và do đó X chỉ có 
   
 = − một giá trị riêng duy nhất. Từ đó suy ra trường 
 0(gb2 ) 0 0 1 0, 
    hợp tt2 ±+=10 bị loại. Vậy X có các giá trị 
 0 0gc ()3  0 0 0 
 riêng là λ = 0, λ = ±1.
 trong đó gx()= x2 + 2. x Từ đó ta có các 
 Bước 4: Gọi ptX ( ) là đa thức đặc trương 
phương trình:  2 +=
 aa1123 của X. Ta có ba trường hợp ứng với ba giá trị 
  2
 bb22+=−21 riêng trên.
  2 +=
 cc3320 2
 Trường hợp 1: ptX ( ) = t.
 2
 Giải các phương trình trên ta được a1 =1 
 Trường hợp 2: ptX ( ) =( t −1.)
hoặc a = −3 ; b = −1 và c = 0 hoặc c = −2. 
 1 2 3 3 = + 2
Như vậy ta có các trường hợp của ma trận X là: Trường hợp 3: ptX ( ) ( t1.)
 1 00 1 0 0  Bước 5:
   
 XX=−=−010  ; 010  ; Trường hợp 1: Ta có
   
 000 0 0−2  2016 2010 2 2008 6
 t−= t tt( t −1) .
 −3 00 −3 0 0 
    Do đó XX2016−= 2010 0 . Điều này không 
 XX=−=−010 ; 010 .
    xảy ra.
 0 00  0 0 −2 
 Do ma trận X có duy nhất một bộ giá trị riêng Trường hợp 2: Giả sử
và không kể đến thứ tự là (1;− 1; 0 ) nên chỉ có t2016− t 2010 =−( t 1)2 q ( t ) ++ at b .
 1 00
  Cho t =1 suy ra ab+=0. Lại lấy đạo hàm 
 = −
ma trận X 010 thỏa mãn. hai vế tại t =1 suy ra a = 6. Từ đó ta có
 
 0 00
 t2016− t 2010 =−( t 1)2 qt ( ) +− 6 t 6.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là 
 2016−=− 2010
 1 00 Do đó X X66 XI hay ta có 
  phương trình 6XIM−= 6 6. Từ đó ta tìm được 
 X =01 − 0 .
  ma trận X là XMI= + . Dễ dàng kiểm tra được 
 0 00
  X thỏa mãn phương trình đã cho.
 Ví dụ 3 (Quyển kỷ yếu Olympic Toán Sinh Trường hợp 3: Thực hiện tương tự trường 
viên 2016, bài đề xuất của Trường ĐH GTVT). hợp 2 ta được X=−− MI. Dễ dàng kiểm tra 
 11− được X thỏa mãn phương trình đã cho.
Cho ma trận M = . Tìm ma trận thực 
 −
 11 4. Bài tập đề nghị
vuông cấp hai X sao cho XX2016−= 2010 6. M
 Bài tập 1. Tìm tất cả các ma trận thực vuông 
 Bước 1: . Đa thức đặc trưng của M là cấp 2 có lập phương bằng ma trận đơn vị.
 45
 Bài tập 2. Giải phương trình TÀI LIỆU THAM KHẢO
 2 11
 XX+=. [1]. Lê Tuấn Hoa (2005), Đại số tuyến tính: 
 11
  Qua các ví dụ và bài tập, NXB Đại học 
 Bài tập 3. (Olympic sinh viên 2009) Tìm các 
 Quốc Gia Hà Nội.
ma trận thực X thỏa mãn:
 [2]. Hội Toán học Việt Nam, Kỷ Yếu 
 3211
 XX−=−32. Olympic Toán học sinh viên Toàn quốc 
 11 qua các năm.
 X∈ Mat ()
 Bài tập 4. Tìm tất cả các ma trận 3 [3]. Nguyễn Hữu Việt Hưng (2011), Đại số 
thỏa mãn phương trình tuyến tính, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội. 
 2017 0 0 [4]. Ngô Việt Trung (2001), Đại số tuyến tính, 
 2017 .
 XX+=2016 0 − 2017 0 (Bộ sách Toán cao cấp - Viện Toán học), 
 
 0 00 NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội.
 III. Kết luận
 [5]. Vasile  Pop Ovidiu  Furdui (2017), 
 Bài báo đã chỉ ra được phương pháp giải Square Matrices of Order 2: Theory, 
cho một lớp các phương trình ma trận. Mặc dù Applications, and Problems, Springer 
phương pháp trong bài báo không đưa ra được International Publishin.
công thức nghiệm cụ thể và không áp dụng được 
 [6]. Teguia, Alberto Mokak (2005), 
trong trường hợp tổng quát nhưng phương pháp 
 Extensions of the Cayley-Hamilton 
này đã giúp định hướng một cách khá tường 
 Theorem with Applications to Elliptic 
minh việc tìm ra lời giải một lớp đủ rộng các 
 Operators and Frames. Electronic Theses 
phương trình ma trận.
 and Dissertations.
 AN APPLICATION OF THE CAYLEY-HAMILTON THEOREM
 TO SOLVE MATRIX EQUATIONS
 Mai Anh Duc, Nguyen Dinh Yen, Tran Huu La
 Tay Bac University
 Abstract: In  linear algebra,  the Cayley - Hamilton theorem states that every  square 
matrix over a commutative ring satisfies its own characteristic equation. The theorem is one of 
foundational results of linear algebra and it is also the research tool of many mathematical subjects 
as well as other sciences. In this paper, we will propose another application of the theorem that is 
using the theorem to solve a class of matrix equations.
 Keywords: The Cayley - Hamilton theorem; Method for solving matrix equations.
_____________________________________________
Ngày nhận bài: 6/3/2020. Ngày nhận đăng: 2/5/2020
Liên lạc: maianhduc@utb.edu.vn
46