Xây dựng câu hỏi trắc nghiệm khách quan từ bài toán tự luận - Chủ đề: Thể tích khối đa diện

 Trường Đại học Sư Phạm Huế 
 Khoa Toán 
 XÂY DỰNG CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 
KHÁCH QUAN TỪ BÀI TOÁN TỰ LUẬN 
 CHỦ ĐỀ: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN 
 GVHD: Nguyễn Đăng Minh Phúc 
 SVTT: Trương Vũ Minh Triết 
 Mã SV: 13S1011167 
 Lớp: Toán 4T 
 Huế, ngày 12 tháng 04 năm 2017 
* Bài toán 1: 
 Người ta cắt một tờ giấy hình vuông cạnh bằng 20cm để gấp thành một hình chóp tứ giác 
đều sao cho bốn đỉnh của hình vuông dán lại thành đỉnh của hình chóp (như hình vẽ bên dưới). 
Tính thể tích lớn nhất Vmax của hình chóp tứ giác đều đó? 
 A B
 E
 H F
 O
 G
 D C
 Giải: 
Đặt cạnh đáy hình chóp là x , 0 x 10 2 . 
Suy ra, diện tích đáy là Sx 2 . 
 22
 xx 
Và, chiều cao của hình chóp là hx 10 2 200 10 2 . 
 22 
 1
Do đó, V f( x ) x2 200 10 2 x . 
 3
 5 5xx (8 2 )
Ta có: f''( x ) ; f ( x ) 0 x 8 2 (do 0 x 10 2 ). 
 3 20 2x
 256 10 256 10
Do f(0) f (10 2) 0, f (8 2) f . 
 33max
 256 10
Vậy, V . 
 max 3
 Nhiệm vụ đầu tiên của HS là các em phải nắm được kiến thức và thuật ngữ “hình chóp tứ 
giác đều”. Nếu các em thất bại ngay ở bước đầu, câu hỏi tự luận không thể cho ta biết điều gì về 
khả năng của HS trong các khía cạnh khác mà câu hỏi yêu cầu. Giả sử chúng ta đang kiểm tra thuật 
ngữ “hình chóp tứ giác đều”, một câu hỏi phù hợp có thể được sử dụng để kiểm tra kiến thức này 
như sau: 
 Câu 1: Cho các phát biểu sau đây về hình chóp tứ giác đều: 
 I. Hình chóp có tất cả các cạnh bằng nhau. 
 II. Hình chóp có đáy là hình vuông. 
 III. Hình chóp có tất cả các góc tạo bởi các cạnh bên và mặt đáy bằng nhau. 
 IV. Hình chóp có tất cả các góc tạo bởi các mặt bên và mặt đáy bằng nhau. 
 V. Hình chóp có hình chiếu của đỉnh trùng với tâm của mặt đáy. 
 Chọn số phát biểu đúng? 
 A. 5 
 B. 4 
 C. 3 
 D. 2 
 (* Phương án nhiễu: “I. Hình chóp có tất cả các cạnh bằng nhau”. Nếu như HS không nắm 
chắc các tính chất của hình chóp tứ giác đều, cụ thể ở đây là, hình chóp tứ giác đều là hình chóp 
có tất cả các cạnh bên bằng nhau, HS sẽ chọn phương án A (5 phát biểu đúng). 
 Ngoài ra, đối với phát biểu III và IV, HS nào còn mơ hồ chưa phân biệt rõ hai định nghĩa 
góc giữa đường thẳng với mặt phẳng và góc giữa hai mặt phẳng sẽ lúng túng trong việc lựa chọn 
phương án chính xác của câu hỏi trắc nghiệm.) 
 Tiếp theo, ta thấy yêu cầu cụ thể mà bài toán đặt ra ở đây là tính thể tích lớn nhất của hình 
chóp tứ giác đều được tạo ra. Vì vậy, HS chắc chắn phải nắm được công thức tính thể tích của một 
hình chóp tứ giác đều thì bài toán mới được giải quyết. Ta có thể kiểm tra kiến thức này thông qua 
câu hỏi như sau: 
 Câu 2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, cạnh đáy AB 2 a , góc ASB 2 
 000 90 . Gọi V là thể tích của khối chóp. Kết quả nào sau đây sai? 
 4a3 sin 2 
 A. V . 
 3 sin 
 4a3 cos 2 
 B. V . 
 3 sin 
 4a3
 C. V cot2 1 
 3
 41a3
 D. V 2 
 3 sin2 
 (* Phương án nhiễu: Phương án C và D. Ở câu hỏi này, HS dễ dàng thấy được đáp án A và 
B là hoàn toàn khác nhau. Vì vậy, suy nghĩ của HS phương án đúng là A hoặc B và hai phương án 
C, D sau quá trình biến đổi sẽ đưa về phương án A hoặc B. Đối với câu hỏi này, nếu như HS không 
nắm vững các công thức biến đổi lượng giác cơ bản, HS sẽ không thể chọn được phương án chính 
xác, tâm lý phân vân giữa phương án A và B.) 
 Tương tự như vậy, chúng ta có thể viết những câu hỏi TNKQ liên quan đến những khía 
cạnh khác được kiểm tra trong bài toán gốc. 
 A
 Câu 3: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, 
AB AC a , M trung điểm BC. Trong miền trong tam giác 
ABM, lấy điểm E sao cho EB EA. F là điểm đối xứng với E a a
qua trục AM (xem hình). Giả sử . Tìm khoảng giá trị 
 EF x E F
của x ? 
 B C
 a 2 M
 A. 0 x 
 2
 a 2
 B. 0 x 
 2
 C. 0 xa 
 D. 0 xa 
 (* Phương án nhiễu: Phương án A. Đối với câu hỏi này, HS không nắm rõ khái niệm miền 
trong tam giác sẽ lựa chọn phương án A. 
 Ngoài ra, đối với đối tượng học sinh “sợ” hình học phẳng, HS sẽ chọn phương án C hoặc 
D vì nhìn trực quan EF nhỏ hơn .) 
 Câu 4: Từ một miếng bìa hình vuông có cạnh bằng 5cm, 
người ta cắt bốn góc bìa bốn tứ giác bằng nhau và gập phần còn 
lại của miếng bìa để được khối chóp tứ giác đều có các cạnh 
đáy bằng x (xem hình). Giả sử chiều cao của khối chóp tứ giác 
 5
đều này bằng . Tính x ? 
 2
 A. x 1 
 B. x 2 
 C. x 3 
 D. x 4 
 (* Phương án nhiễu: Câu hỏi này không đặt nặng phương án nhiễu mà đòi hỏi HS nhiều 
hơn về trí tượng tượng hình học không gian. HS phải thiết lập được công thức tính x bằng định lý 
Pythagoras thông qua trí tưởng tượng không gian của mình. Từ đó, HS tính toán tìm x . Trong quá 
trình tính toán, HS không cẩn thận chuyển vế sai sẽ tính ra phương án C.) 
 x2 1
 Câu 5: Cho hàm số y x x22 1 ln x x 1 . Hệ thức nào đúng trong các hệ 
 22
thức sau đây? 
 A. y xy' ln y ' 
 xy' ln y '
 B. y 
 22
 C. y xy' ln y ' 
 xy' ln y '
 D. y 
 22
 (* Phương án nhiễu: Đối với những câu hỏi tính toán đòi hỏi độ chính xác và kiên trì như 
thế này, HS thường nhầm lẫn hoặc không đủ kiên trì trong các bước tính toán của mình dẫn đến 
việc chọn các phương án nhiễu A-B-C (đáp án đúng là D). Các phương án A-B-C tạo ra từ các sai 
lầm nhỏ trong tính toán của HS như lộn dấu, cộng trừ sai) 
 xx 132
 Câu 6: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số fx() trên khoảng (0; )? 
 21x2 
 A. maxfx ( ) 1 
 (0; )
 B. maxfx ( ) 6 
 (0; )
 6
 C. maxfx ( ) 
 (0; ) 2
 6
 D. maxfx ( ) 
 (0; ) 6
 (* Phương án nhiễu: Các phương án A-B-D. Cũng như Câu 5, các phương án này tạo ra 
từ các sai lầm trong tính toán của HS, cụ thể ở đây là đạo hàm hàm căn thức và phân thức. Trong 
câu hỏi này, HS tinh ý có thể giảm tải quá trình tính toán của mình bằng cách biến đổi fx() về 
 xx 1 32 1
dạng fx() 2 (nhân lượng liên hợp). HS nào nhận thấy được điều này 
 21x 13 xx2
sẽ tránh được các phương án nhiễu A và B.) 
* Bài toán 2: 
 Cho hình chóp S.ABC, gọi G là trọng tâm tam giác SBC. Mặt phẳng quay quanh AG cắt 
cạnh SB, SC theo thứ tự tại M, N. Gọi V1 là thể tích tứ diện SAMN; V là thể tích tứ diện SABC. 
 V
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của tỉ số 1 ? 
 V
 Giải: 
Gọi E là trung điểm BC. S
 SM SN
Đặt xy , (0 x 1). 
 SB SC
 V SM. SN
Ta có: 1 xy . 
 V SB. SC
SSSSS 
 SMN SMG SNG SMG SNG N
SSSS SBC SBC22 SBE SCE
 G
S SMN SM. SG SN . SG 1 M
 ()xy (1) A C
S SBC 2 SB . SE 2 SC . SE 3
 S SM. SN E
Lại có: SMN xy (2) 
 B
 S SBC SA. SB
 1 x 1
Từ (1) và (2) suy ra: xy ( x y ) (3 x 1) y x y x . 
 3 3x 1 3
 2
 V1 x 01 x 1
Vậy xy f() x . Từ x 1. 
 Vx31 x y3 xy 2
 x2 1
Xét hàm số: f( x ) , x ;1 
 3x 1 2
 x 0
 32xx2 
f'() x ;'()03 f x x2 20 x 2 
 31x 2 x 
 3
 1 1 2 4
f f 1; f 
 2 2 3 9
 1 1 4 2
Do đó: maxfx ( ) khi x hoặc x 1; minfx ( ) khi x . 
 1 2 1 3
 x ;1 2 x ;1 9
 2 2
 VV41
Vậy min11 ;max 
 VV92
 Bài toán 2 nằm trong chùm “Các bài toán S
tính thể tích khối đa diện dựa vào phân tích khối cần 
tính thành tổng hoặc hiệu của các khối cơ bản hoặc 
bằng cách so sánh thể tích với một khối đa diện A'
khác”. Với loại bài toán này, cụ thể là Bài toán 2, C'
người ta rất hay sử dụng kết quả sau đây. 
 B'
 Bài toán cơ bản: 
 A
 Cho hình chóp S.ABC. Lấy ABC', ', ' tương C
ứng trên cạnh SA, SB, SC. Khi đó: 
 VSABC.''' SA''' SB SC
 .. . B
 VS. ABC SA SB SC
 Chú ý: Kết quả trên vẫn đúng nếu như trong các điểm ABC', ', ' có thể có điểm 
AABBCC';  ';  '. 
 Nhiệm vụ đầu tiên của HS là các em phải nắm được bài toán cơ bản trên. Nếu các em thất 
bại ngay ở bước đầu, câu hỏi tự luận không thể cho ta biết điều gì về khả năng của HS trong các 
khía cạnh khác mà câu hỏi yêu cầu. Giả sử chúng ta đang kiểm tra kiến thức về bài toán cơ bản 
trên, một câu hỏi phù hợp có thể được sử dụng để kiểm tra kiến thức này như sau: 
 Câu 1: Cho hình chóp S.ABC. Lấy tương ứng trên cạnh SA, SB, SC. Hệ thức nào 
đúng trong các hệ thức sau đây? 
 V SA'' SB SC
 A. SABC.''' .. 
 VS. ABC SA SB' SC
 V SA'' SB SC
 B. SABC.''' .. 
 VS. ABC SA SB SC '
 V SA SB'' SC
 C. SABC.''' .. 
 VS. ABC SA' SB SC
 V SA''' SB SC
 D. SABC.''' .. 
 VS. ABC SA SB SC
 (* Phương án nhiễu: Câu hỏi này chỉ đòi hỏi khả năng ghi nhớ của HS. Vì vậy, các phương 
án nhiễu được tạo ra bằng cách đảo trật tự các tỉ số.) 
 Ngoài ra, đối với Bài toán 2, để thiết lập mối quan hệ giữa x và y , HS phải biết được 
 1 1 1
công thức tính diện tích tam giác theo sin: S absin C ac sin B bc sin A và tính chất 
 2 2 2
trọng tâm tam giác. 
 Chúng ta có thể kiểm tra các kiến thức này thông qua hai câu hỏi sau. 
 Câu 2: Trong các tam giác I, II, III, IV, tam giác nào có đủ thông tin để tính diện tích? 
 Y Y
 700 700
 5cm 3cm
 600
 X Z X Z
 I) II)
 Y Y
 5cm 5cm
 600
 X 7cm Z X Z
 III) IV)
 Câu 3: Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Hệ thức nào đúng trong các hệ thức sau đây? 
 AB AC
 A. AG 
 2
 AB AC
 B. AG 
 3
 3(AB AC )
 C. AG 
 2
 2(AB AC )
 D. AG 
 3
 (* Phương án nhiễu: Khi gặp các câu hỏi liên quan đến tính chất trọng tâm của một tam 
 1 2 3
giác, HS thường chú ý đến các tỉ số ; ; ;3 . Đối với câu hỏi này, HS có thể chọn phương án D 
 3 3 2
hay phương án A hoặc C do sai sót trong quá trình biến đổi, tính toán.) 
 Tương tự như vậy, chúng ta có thể viết những câu hỏi TNKQ liên quan đến các khía cạnh 
khác được kiểm tra trong bài toán gốc. 
 x 1
 Câu 4: Tính đạo hàm của hàm số y ? 
 ln x
 xln x x 1
 A. y ' 
 xxln 2
 xln x x 1
 B. y ' 
 xxln 2
 xln x x 1
 C. y ' 
 ln 2 x
 xln x x 1
 D. y ' 
 ln 2 x
 (* Phương án nhiễu: Các phương án A-C-D. HS vội vàng sẽ chọn phương án C hoặc D vì 
 '
 u u'' v uv
thấy mẫu số là ln 2 x . Phương án A được lựa chọn nếu như HS nhớ sai dấu 
 2
 vv
công thức tính đạo hàm hàm phân thức.) 
 (x 1)2 2
 Câu 5: Cho fx() . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 
 x2 1
y f( x ). f (1 x ) trên đoạn  1;1. 
 1
 A. minyy 4 34;max 
  1;1  1;1 25
 7
 B. minyy 4 34;max 
  1;1  1;1 5
 2 34 1
 C. minyy ;max 
  1;1 54 1;1
 7 2 34
 D. minyy ;max 
  1;1 55 1;1
 (* Phương án nhiễu: Các phương án B-C-D. Ta xem xét các phương án nhiễu như sau: 
 x22(1 x ) 8 x (1 x ) 2 1
Ta có: y f( x ). f (1 x ) . Đặt t x(1 x ) 2; ,  x  1;1 , khi đó 
 x22(1 x ) 2 x (1 x ) 2 4
 tt2 82 2 34
y . Sau quá trình tính toán, yt'0 . Do đọc không kĩ đề, HS có thể 
 tt2 22 5
nhầm lẫn yêu cầu bài toán là hàm số y f( x ). f (1 x ) đạt cực trị tại điểm nào? nên HS phân vân 
 7 1 1 2 34
giữa phương án C và D. Tiếp theo, ta có: y(2) ;() y ;( y )4 34 . HS có thể 
 5 4 25 5
nhầm lẫn giữa ba giá trị này dẫn đến việc lựa chọn phương án A.) 
* Bài toán 3: Cho khối lăng trụ tam giác đều A C
ABC.''' A B C . Các mặt phẳng (ABC '),( A ' B ' C ) chia 
lăng trụ thành bốn phần. Tính tỷ số thể tích của bốn 
phần đó? M
 B
 Giải: 
Gọi VVVV1 C . MNC '; 2 C '. MNB ' A ' N
VVVV3 C . MNBA; 4 MNABB ' A ' A' C'
V là thể tích của lăng trụ. 
Ta có: VVVCABC. ' ' ' 1 2 
Mặt khác: B'
 V1 CM. CN . CC ' 1 1 V V 1 V V
 VVV12 .;. 
VCABC.''' CA'.'. CB CC '4 4312 3 124
VVVVVV3 C '. ABC C .' MNC C .''' A B C C .'2 MNC 
 5V
VVVVV 
 4 1 2 3 12
Vậy VVVV1: 2 : 3 : 4 1:3:3:5 . 
 Tương tự như Bài toán 2, nhiệm vụ đầu tiên của HS là các em phải nắm được bài toán cơ 
bản đã được đề cập trong Bài toán 2. Nếu các em thất bại ngay ở bước đầu, câu hỏi tự luận không 
thể cho ta biết điều gì về khả năng của HS trong các khía cạnh khác mà câu hỏi yêu cầu. Giả sử 
chúng ta đang kiểm tra kiến thức về bài toán cơ bản, ta có thể sử dụng một câu hỏi khác để kiểm 
tra kiến thức này. 
 Câu 1: Cho hình chóp S.ABC. Lấy ABC', ', ' S
lần lượt là trung điểm SA, SB, SC (xem hình). Tính 
 V
tỷ số thể tích A''' B C ABC ? 
 VS. ABC
 V 1 C'
 A. A''' B C ABC A'
 VS. ABC 2
 V 3 B'
 B. A''' B C ABC 
 VS. ABC 4 C
 A
 V 5
 C. A''' B C ABC 
 VS. ABC 8
 V 7
 D. A''' B C ABC B
 VS. ABC 8
 (* Phương án nhiễu: Các phương án A-B-C. Đối với phương án A, HS nhận xét chủ quan 
rằng hai khối đa diện có chung đáy ABC và chiều cao của khối A''' B C ABC bằng một nửa chiều 
cao khối chóp S.ABC nên lựa chọn phương án A. Ngoài ra, HS có thể chọn phương án B hoặc C 
dựa trên cách nhìn chủ quan của mình.) 
 Trở lại Bài toán 3, thay vì câu hỏi Tính tỷ số thể tích của bốn phần đó?, chúng ta có thể 
tách ra thành các các câu hỏi TNKQ nhỏ, tức là so sánh thể tích của từng phần so với thể tích hình 
lăng trụ gốc. Việc so sánh thể tích từng phần nhỏ so với hình lăng trụ gốc sẽ gây nhiều khó khăn, 
nhầm lẫn cho HS hơn. Cụ thể, ta có câu hỏi TNKQ sau. 
Câu 2: Cho khối lăng trụ tam giác đều 
 A C
ABC.''' A B C Các mặt phẳng (ABC '),( A ' B ' C ) chia 
 V
lăng trụ thành bốn phần. Tính tỷ số MNABB'' A ? 
 V
 ABCA''' B C M
 V 1 B
 A. MNABB'' A 
 VABCA''' B C 2
 V 1 N
 B. MNABB'' A 
 VABCA''' B C 4 A' C'
 V 5
 C. MNABB'' A 
 VABCA''' B C 12
 V 1
 D. MNABB'' A B'
 VABCA''' B C 3
 (* Phương án nhiễu: Các phương án A-B-D. Đối với phương A, HS nhận xét chủ quan rằng 
khối đa diện MNABB'' A và khối lăng trụ có chung đáy ABA'' B và chiều cao khối 
bằng một nửa chiều cao khối lăng trụ nên lựa chọn phương án A. Đối với phương án D, HS tính 
 2
được thể tích khối C.'' ABB A bằng thể tích khối lăng trụ nhưng chủ quan trong việc nhận xét 
 3
thể tích khối bằng một nửa thể tích khối dẫn đến việc lựa chọn phương 
 1
án D. Ngoài ra, phần lớn HS với cách nhìn chủ quan cho rằng thể tích khối bằng 
 4
thể tích khối lăng trụ nên lựa chọn phương án B.)