Một nghiên cứu thực nghiệm về sai lầm trong ứng dụng tích phân xác định của hàm một biến thực của sinh viên ngành Toán

− 4
 9√3
3.2. Dự kiến các chiến lư𝐻𝐻ợc giải (CLG) của SV 
 𝑆𝑆 𝜋𝜋 − 2
 Đối với Bài toán 1, các CLG có thể đối với KNV tính diện tích hình (H) là: 
 CLG1. Tính gián tiếp 
 CLG1a. Tính diện tích phần bù của (H) trong hình tròn bán kính r1 = ½. 
 Kí hiệu (K) là miền gạch chéo trong Hình 5. 
 Kĩ thuật 1a1. Xem (K) giới hạn bởi đồ thị của hai hàm 
r1=1/2 và r = sin2ϕ 
 Diện tích của (K): 
 ( ) = 𝜋𝜋 2 = + (đvdt). 
 1 12 1 2 𝜋𝜋 √3
 Diện𝐾𝐾 tích của (H): 
 𝑆𝑆 2 ∫0 �4 − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝜑𝜑� 𝑑𝑑𝑑𝑑 − 96 32
 ( ) = 8 ( ) = 8 + = 
 2 𝜋𝜋 𝜋𝜋 √3 𝜋𝜋 √3
(đvdt). 𝐻𝐻 1 𝐾𝐾
 𝑆𝑆 𝜋𝜋𝑟𝑟 − 𝑆𝑆 4 − �− 96 32� 3 − 4
 Kĩ thuật này cho kết quả đúng. Hình 5. 
 Kĩ thuật 1a2. Xem phần bù giới hạn bởi đồ thị của 
hàm r = sin2ϕ, trục hoành, và đường tròn r1 = ½. 
 Chia (K) thành hai hình phẳng thành phần, giới hạn bởi đồ thị của hai hàm. 
 Diện tích của (K): ( ) = 𝜋𝜋 ( 2 0 ) + 𝜋𝜋 0 = 
 2
 1 12 2 2 1 12 1 2 𝜋𝜋 √3
(đvdt). 𝑆𝑆 𝐾𝐾 2 ∫0 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝜑𝜑 − 𝑑𝑑𝑑𝑑 2 ∫0 ��2� − � 𝑑𝑑𝑑𝑑 32 − 32
 Diện tích của (H): ( ) = 8 ( ) = 8 = (đvdt). 
 2 𝜋𝜋 𝜋𝜋 √3 √3
 𝑆𝑆 𝐻𝐻 𝜋𝜋𝑟𝑟1 − 𝑆𝑆 𝐾𝐾 4 − �32 − 32� 4
 810 
Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Nguyễn Ái Quốc và tgk 
 Kĩ thuật này cho kết quả sai vì SV sử dụng quy tắc hành động R khi tính diện tích 
của (K). 
 CLG1b. Tính phần bù của (H) trong các cánh hoa. 
 Gọi (H′) là phần của (H) trong 1 góc phần tư của mặt phẳng tọa độ. 
 Kĩ thuật 1b. Tính diện tích phần bù của (H′) trong một cánh hoa (Hình 6) 
 Diện tích một cánh hoa: = 𝜋𝜋 2 = (đvdt). 
 1 2 2 𝜋𝜋
 ′1
 Diện tích phần bù của (H𝑆𝑆) với2 cánh∫0 𝑠𝑠𝑠𝑠 hoa:𝑠𝑠 𝜑𝜑 𝑑𝑑𝑑𝑑 8
 = 5𝜋𝜋 2 = + (đvdt). 
 1 12 1 𝜋𝜋 √3
 𝜋𝜋 2
 2
 𝑆𝑆 2 ∫12 �𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝜑𝜑 − 4� 𝑑𝑑𝑑𝑑 24 16
 Diện tích của (H′): ( ) = = (đvdt). 
 ′ 𝜋𝜋 √3
 𝐻𝐻 1 2
 Diện tích của (H): 𝑆𝑆( ) = 4𝑆𝑆( −)𝑆𝑆= 12 − (đvdt).16 Kĩ thuật 
 ′ 𝜋𝜋 √3
này cho kết quả đúng. 𝐻𝐻 Hình 6. 
 𝑆𝑆 𝑆𝑆 𝐻𝐻 3 − 4
 CLG2. Tính trực tiếp 
 Kĩ thuật 2a. Tính tổng diện tích bằng cách chia (H′) thành các hình quạt cong giới hạn 
bởi đồ thị của một hàm trên đoạn [α, β] (Hình 7) 
 Diện tích của S1 và S3: = = 𝜋𝜋 2 = (đvdt). 
 1 12 2 𝜋𝜋 √3
 3 1 2 0 48 32
 Diện tích của S2: = 𝑆𝑆 5𝜋𝜋 𝑆𝑆 =∫ (đvdt).𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝜑𝜑 𝑑𝑑𝑑𝑑 −
 1 12 1 𝜋𝜋
 𝜋𝜋
 2
 𝑆𝑆 2 12 4 𝑑𝑑𝑑𝑑 48
 Diện tích của (H′): ( )∫= 2 + = (đvdt). 
 ′ 𝜋𝜋 √3
 𝐻𝐻 1 2
 Diện tích của (H): 𝑆𝑆( ) = 4 𝑆𝑆( ) =𝑆𝑆 12 −(đvdt).16 Kĩ thuật 
 ′ 𝜋𝜋 √3
này cho kết quả đúng. 𝐻𝐻
 𝑆𝑆 𝑆𝑆 𝐻𝐻 3 − 4
 Kĩ thuật 2b. Xem (H') giới hạn bởi đồ thị của hai hàm 
 = 1/2 và r = sin2ϕ trên cùng đoạn [α, β] (r1 ≥ r). 
 Hình 7. 
 1
𝑟𝑟( ) = 4 ( ) = 4 5𝜋𝜋 2 = 
 1 12 1 2 𝜋𝜋 √3
 ′ 𝜋𝜋 2
 𝐻𝐻 𝐻𝐻 2 4 6 4
(đvdt).𝑆𝑆 Vì𝑆𝑆 diện tích� chỉ∫12 nhận�� �giá− trị𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠dương,𝜑𝜑� 𝑑𝑑 nên𝑑𝑑� diện− tích− phải là + . 
 𝜋𝜋 √3
 Kĩ thuật này cho kết quả sai vì SV sử dụng quy tắc hành động6 R khi4 tính diện tích của (H'). 
 Như vậy, đối với bài toán 1, sự tồn tại của hai kĩ thuật 1a2 và 2b trong thực nghiệm sẽ 
cho phép kiểm chứng giả thuyết nghiên cứu H. 
 Đối với Bài toán 2, các CLG có thể được trình bày như sau: 
 Phương trình đường tròn bán kính = 3 là = ±3. 
 Giải phương trình 2(1 + ) = ±3 , tìm được hướng giao điểm 
 𝑟𝑟1 𝑟𝑟1
 = ± + 2 ( ). 
 𝜋𝜋 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
𝜑𝜑 3 𝑘𝑘 𝜋𝜋 𝑘𝑘 ∈ ℤ
 811 
Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Tập 18, Số 5 (2021): 804-816 
 CLG1. Tính gián tiếp 
 CLG1a. Tính phần bù của (H) trong phần trong của đường cardioid 
 Kĩ thuật 1a. Xem phần bù giới hạn bởi đồ thị của hai hàm = 2(1 + ) 
 = 3 ;
và trên cùng đoạn 𝑟𝑟 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
 𝜋𝜋 𝜋𝜋
 𝑟𝑟1 Diện tích phần trong� −củ3a đư3�ờng cardioid: = 4(1 + ) = 6 (đvdt). 
 1 2𝜋𝜋 2
 Diện tích phần trong của đường cardioid nằm1 ngoài đường tròn: 
 𝑆𝑆 2 ∫0 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝜋𝜋
 = 𝜋𝜋 [4(1 + ) 9] = (đvdt). 
 1 3 9√3
 𝜋𝜋 2
 2
 𝑆𝑆 2 −3 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 − 𝑑𝑑𝑑𝑑 2 − 𝜋𝜋
 Diện tích∫ của (H): ( ) = = 7 (đvdt). Kĩ thuật này cho kết quả đúng. 
 9√3
 CLG1b. Tính phần bù𝐻𝐻 của (1H) trong2 hình tròn bán kính = 3 
 𝑆𝑆 𝑆𝑆 − 𝑆𝑆 𝜋𝜋 − 2
 Kĩ thuật 1b. Xem phần bù giới hạn bởi đồ thị của hai hàm = 2(1 + ) 
 𝑟𝑟1
 = 3 ;
và trên cùng đoạn 𝑟𝑟 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
 𝜋𝜋 5𝜋𝜋
 1 Diện tích phần ngoài của đường cardioid nằm trong đường tròn: 
 𝑟𝑟 �3 3 �
 = 5𝜋𝜋[9 4(1 + ) ] = 2 + (đvdt). 
 1 3 9√3
 𝜋𝜋 2
 1
 𝑆𝑆 2 3 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝜋𝜋 2
 Diện tích∫ của (H): ( ) = = 9 2 + = 7 (đvdt). Kĩ thuật 
 2 9√3 9√3
này cho kết quả đúng. 𝐻𝐻 1 1
 𝑆𝑆 𝜋𝜋𝑟𝑟 − 𝑆𝑆 𝜋𝜋 − � 𝜋𝜋 2 � 𝜋𝜋 − 2
 CLG 2. Tính trực tiếp 
 Kĩ thuật 2a. Chia (H) thành các hình quạt cong giới 
hạn bởi đồ thị của một hàm (Hình 8) 
 = 𝜋𝜋 9 = 3 (đvdt). 
 1 3
 𝜋𝜋
 1
 𝑆𝑆 2 ∫−3 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝜋𝜋
 = 5𝜋𝜋 4(1 + ) = 4 (đvdt). 
 1 3 9√3
 𝜋𝜋 2
 2
 𝑆𝑆 2 3 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝜋𝜋 − 2
 Diện ∫ tích của (H): ( ) = + = 7 
 9√3 Hình 8. 
(đvdt). Kĩ thuật này cho kết quả đúng. 
 𝑆𝑆 𝐻𝐻 𝑆𝑆1 𝑆𝑆2 𝜋𝜋 − 2
 Kĩ thuật 2b. Xem (H) giới hạn bởi đồ thị của hai hàm = 2(1 + ) và = 3 trên 
 ; 1
cùng đoạn 𝑟𝑟 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑟𝑟
 𝜋𝜋 𝜋𝜋
 Nếu dựa vào hình vẽ (Hình 4), diện tích của (H): 
 �− 3 3�
 ( ) = 𝜋𝜋 [9 4(1 + ) ] = (đvdt). Vì diện tích chỉ nhận giá trị 
 1 3 9√3
 𝜋𝜋 2
 𝐻𝐻
dương,𝑆𝑆 nên diện2 ∫− tích3 −phải là 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 . 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝜋𝜋 − 2
 9√3
 Nếu không dựa vào hình vẽ, diện tích của (H): 
 2 − 𝜋𝜋
 812 
Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Nguyễn Ái Quốc và tgk 
 ( ) = 𝜋𝜋 |9 4(1 + ) | = 𝜋𝜋 [9 4(1 + ) ] = 
 1 3 1 3 9√3
 𝜋𝜋 2 𝜋𝜋 2
 𝐻𝐻
(đvdt).𝑆𝑆 2 ∫−3 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑑𝑑𝑑𝑑 2 �∫−3 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑑𝑑𝑑𝑑� 2 − 𝜋𝜋
 Kĩ thuật này cho kết quả sai vì SV cho rằng nếu hai đồ thị giới hạn (H) cắt nhau tại hai 
điểm có hướng = + 2 , = + 2 ( ) thì (H) giới hạn bởi hai đồ thị đó 
trong cùng đoạn [ ; ]. Đây cũng là hệ quả của quy tắc hành động R. 
 𝜑𝜑1 𝛼𝛼 𝑘𝑘 𝜋𝜋 𝜑𝜑2 𝛽𝛽 𝑘𝑘 𝜋𝜋 𝑘𝑘 ∈ ℤ
3.3. Phân tích hậu nghiệm 
 𝛼𝛼 𝛽𝛽
  Phân tích kết quả Bài toán 1 
 Có 12/97 SV đưa ra chiến lược khác và 7 SV không giải bài toán. CLG2 (tính trực 
tiếp) được huy động nhiều hơn CLG1 (tính gián tiếp). 
 Bảng 2. Các CLG được huy động cho Bài toán 1 
 Chiến lược Kĩ thuật Tổng 
 1a1 5/97 5,1% 
 1a 
 1 1a2 32/97 33% 
 1b 1b 0/97 0% 
 2a 2a 7/97 7,2% 
 2 
 2b 2b 34/97 35,1% 
 Khác 12/97 12,4% 
 Bỏ trống 7/97 19,6% 
 Ba kĩ thuật cho kết quả đúng là 1a1, 1b và 2a 
không hoặc ít được SV lựa chọn. Chỉ có 12/97 SV đưa 
ra đáp số đúng, trong đó có 5/97 SV sử dụng kĩ thuật 
1a1, 7/97 SV sử dụng kĩ thuật 2a, và không có SV nào 
sử dụng kĩ thuật 1b. Trong các kĩ thuật cho kết quả 
sai, kĩ thuật được huy động nhiều nhất là kĩ thuật 2b 
thuộc CLG2 với 34/97 trường hợp, tiếp đến là kĩ thuật 
1a2 thuộc CLG1 với 32/97 trường hợp. 
 Các SV sử dụng kĩ thuật 1a2 và 2b đã áp dụng 
 Hình 9. Kĩ thuật 1a2 
quy tắc hành động R, đặc biệt trong đó có hai SV xem 
(K) là hình phẳng trong tọa độ Descartes giới hạn bởi 
đồ thị của hàm y = sin2x 0 trên đoạn [0;½] nên suy 
ra diện tích của (K) được tính bằng công thức 
 ≥
 ( ) = 1 2 ; năm SV viết phương trình đường 
 2
tròn bán kính r1 = 1/2 trong tọa độ Descartes, đồng 
𝑆𝑆 𝐾𝐾 ∫0 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥
nhất r = sin2ϕ với y = sin2x. Trong Hình 9, là bài làm 
của SV1 minh họa cho kĩ thuật 1a2. SV này đã xác 
định (K) giới hạn chỉ bởi đồ thị của hàm r = sin2ϕ và 
trục Ox mà không quan tâm đến đường tròn r1 = ½, từ Hình 10. Kĩ thuật 2b 
đó dẫn đến thiết lập không đúng công thức tích phân 
 813 
Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Tập 18, Số 5 (2021): 804-816 
tính diện tích của (K). Trong Hình 10, là bài làm của SV27 minh họa cho kĩ thuật 2b. SV 
này nhận thấy kết quả diện tích âm nên đã gạch bỏ và thêm dấu giá trị tuyệt đối vào công 
thức tích phân để nhận được giá trị dương. 
 Ngoài ra, có 12 SV sử dụng chiến lược khác, trong đó tính diện tích của (H) bằng công 
thức ( ) = 4 ( ) = 4 5𝜋𝜋 2 = + (đvdt). Có thể các SV này quan 
 1 1 12 𝜋𝜋 √3
 ′ 𝜋𝜋 2
 𝐻𝐻 𝐻𝐻
niệm 𝑆𝑆rằng diện𝑆𝑆 tích hình2 � phẳng�2 ∫12 cần𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 tìm𝜑𝜑 bằng𝑑𝑑𝑑𝑑�� nửa6 diện8 tích hình cánh hoa hồng bốn cánh, 
nhưng không đưa ra lập luận. 
  Phân tích kết quả Bài toán 2 
 Có 14/97 SV đưa ra chiến lược khác và 5/97 SV không giải bài toán. CLG2 (tính trực 
tiếp) được huy động nhiều hơn CLG1 (tính gián tiếp). 
 Bảng 3. Các CLG được huy động cho KNV T8 
 Chiến lược Kĩ thuật Tổng 
 1a 1a 7/97 7,2% 
 1 
 1b 1b 3/97 3,1% 
 2a 8/97 8,2% 
 2 
 2b 60/97 61,9% 
 Khác 14/97 14,4% 
 Bỏ trống 5/97 5,2% 
 Có 18/97 SV giải quyết đúng bài toán, trong đó 8 SV sử dụng kĩ thuật 2a, 7 SV sử 
dụng kĩ thuật 1a, và 3 SV sử dụng kĩ thuật 1b. Trong các kĩ thuật đã tiên nghiệm cho kết quả 
sai, kĩ thuật được huy động nhiều nhất là kĩ thuật 2b với 60/97 trường hợp (61,9%). 
 Có 14/97 SV sử dụng chiến lược khác, trong đó có 12 SV 
tính diện tích của (H) bằng công thức: 
 ( ) = 𝜋𝜋 4(1 + ) = 2 + (đvdt). Có thể 
 1 3 9√3
 𝜋𝜋 2
 𝐻𝐻
các SV𝑆𝑆 này quan2 ∫− 3niệm rằng𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑐𝑐𝑐𝑐diện 𝑑𝑑tích𝑑𝑑 hình𝜋𝜋 phẳng2 cần tìm bằng 
diện tích hình quạt cong giới hạn bởi đường cardioid trong đoạn 
 ; . Hình 11 minh họa bài làm của SV63 sử dụng chiến 
 π π
lược khác. 
�− 3 3�
 Ngoài ra, có 2 SV khác cũng xem (H) giới hạn bởi đồ thị Hình 11. Kĩ thuật 
của hai hàm = 2(1 + ) và = 3 trong cùng đoạn ; nhưng lại thiết lập công 
 π π
thức tích phân tính diện tích của (H1) không đúng. SV thứ nhất khi thiết lập công thức tích 
 𝑟𝑟 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑟𝑟 �− 3 3�
phân đã lấy bình phương của hiệu thay cho hiệu bình phương của hai hàm. SV thứ hai thiết 
lập công thức tích phân tính diện tích như trong tọa độ Descartes khi lấy hiệu của hai hàm 
mà không có sự xuất hiện của nhân tử ½ và bình phương của hai hàm. 
 814 
Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Nguyễn Ái Quốc và tgk 
4. Kết luận 
 Các kết quả thực nghiệm đã cho phép khẳng định giả thuyết nghiên cứu H nêu trong 
Mục 2.4. về sự tồn tại chướng ngại có nguồn gốc sư phạm trong hai thể chế K và S đối với 
UDTPXĐHMB, gắn liền với “công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai 
hàm số trong tọa độ Descartes”. Chướng ngại này biểu hiện ở sự tồn tại quy tắc hành động 
R: “Tìm hoành độ của hai giao điểm, lập hiệu của hàm số có đồ thị nằm phía trên với hàm 
số có đồ thị nằm phía dưới, và tính tích phân của hiệu hai hàm số trên đoạn xác định bởi 
hoành độ của hai giao điểm.” Chướng ngại này là nguyên nhân của các sai lầm sau đây ở 
một số SV: 
 - Tồn tại ở SV sự đồng hóa cách lập công thức tích phân tính diện tích hình phẳng trong 
tọa độ cực với hình phẳng trong tọa độ Descartes. Theo đó, để tính diện tích hình phẳng giới 
hạn bởi đồ thị của hai hàm số, SV xác định đoạn lấy tích phân dựa vào hướng của các giao 
điểm, tính tích phân hiệu của hàm số có đồ thị nằm phía trên với hàm số có đồ thị nằm phía 
dưới theo phương thẳng đứng. Sai lầm này thể hiện ở kĩ thuật 1a2 cho Bài toán 1. 
 - Tồn tại ở SV quan niệm: xem hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm trong tọa độ 
cực cắt nhau tại hai điểm có hướng = + 2 , = + 2 ( ), là hình phẳng 
giới hạn bởi đồ thị của hai hàm đó trên cùng đoạn [ , ]. Quan niệm như trên đã dẫn đến sai 
 𝜑𝜑1 𝛼𝛼 𝑘𝑘 𝜋𝜋 𝜑𝜑2 𝛽𝛽 𝑘𝑘 𝜋𝜋 𝑘𝑘 ∈ ℤ
lầm trong việc thiết lập công thức tích phân tính diện tích của một hình phẳng giới hạn bởi 
 𝛼𝛼 𝛽𝛽
đồ thị của hai hàm trong tọa độ cực, thể hiện ở kĩ thuật 2b cho Bài toán 2. 
 Kết quả nghiên cứu cho thấy xuất hiện chiến lược chia đôi diện tích ở Bài toán 1, và 
chiến lược đồng diện tích ở Bài toán 2. Chiến lược này có thể xuất phát từ quan sát hình vẽ 
được cung cấp kèm theo đề bài toán, nhưng SV lại không đưa ra lập luận cho tính toán này. 
 Kết quả nghiên cứu có thể giúp các nhà đào tạo sư phạm có cái nhìn chính xác về các 
sai lầm mà SV gặp phải khi giải quyết các KNV tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ 
thị của hai hay ba hàm số trong tọa độ cực. Từ đó, nhà đào tạo có thể thiết kế hệ thống bài 
tập và các tình huống dạy học nhằm giúp SV hạn chế được các sai lầm. 
  Tuyên bố về quyền lợi: Các tác giả xác nhận hoàn toàn không có xung đột về quyền lợi. 
 TÀI LIỆU THAM KHẢO 
Bessot, A., Comiti, C., Le, T. H. C., & Le, V. T. (2009). Nhung yeu to co ban cua didactic Toan 
 [Fundamental elements of mathematics didactic]. Publishing House of Vietnam 
 National University Ho Chi Minh City. 
Brousseau, G. (1983). Les obstacles épistémologiques et les problèmes en mathématiques. 
 Recherches en didactique des mathé matiques, 4(2), 165-198. 
 815 
Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Tập 18, Số 5 (2021): 804-816 
Dang, D. T., Dinh, N. T., Nguyen, C. T., & Nguyen, D. P. (2012). Giai tich – Ham mot bien [Analyse – 
 Function of one variable]. Publishing House of Vietnam National University Ho Chi Minh City. 
Le, T. H. C. (2017). Su can thiet cua phan tich tri thuc luan doi voi cac nghien cuu ve hoat dong day 
 hoc va dao tao giao vien [The necessity of epistemological analysis for the studies of teaching 
 activities and teacher training]. 6th International Seminar on Mathematics Didactic]. Ho Chi 
 Minh City University of Education. 
Ministry of Education and Training (2009). Chuong trinh giao duc pho thong – Cap trung hoc pho 
 thong [General education Curriculum – High school level]. Vietnam Education Publishing 
 House. 
Pham, H. Q., Dang, D. T., Dinh, N. T., & Le, M. T. (2020). Giai tich toan hoc I – Phan 2 [Analysis I 
 – Part 2]. Publishing House of Vietnam National University Ho Chi Minh City. 
University of Sciences (2016). Chuong trinh dao tao nganh Toan hoc [Mathematics training 
 Curriculum]. 
Saigon University (2016). Chuong trinh dao tao trinh do dai hoc nganh su pham Toan [Curriculum 
 at the university level of Mathematics Pedagogy]. 
 AN EXPERIMENTAL STUDY ON MATHEMATICS STUDENTS' ERRORS 
 IN DEFINITE INTEGRAL'S APPLICATION OF FUNCTIONS OF A REAL VARIABLE 
 Nguyen Ai Quoc*, Tran Thi Thanh Nhi 
 Saigon Unversity, Vietnam 
 *Corresponding author: Nguyen Ai Quoc – Email: nguyenaq2014@gmail.com 
 Received: March 25, 2021; Revised: April 24, 2021; Accepted: May 04, 2021 
ABSTRACT 
 In this paper, we present the results of an experiment on math students' mistakes in solving 
types of tasks involving the application of the definite integral of a real variable function. The types 
of tasks that are of interest in experimentation are concerned with calculating the area of a finite 
plane shape considered in Cartesian and polar coordinates. The mistakes that students face come 
from the constraints of the Mathematical institutions of the University of Science and the Saigon 
University. The results can be beneficial for pedagogical trainers in a way that they can visualize 
the obstacles that students face when approaching the instrumental role of the definite integral of a 
real variable function. 
 Keywords: action rule; area of a plane shape; definite integral; error; obstacle 
 816