Về tính siêu ổn định suy rộng cho phương trình hàm Drygas

((2 m 1) x ) 
 YY Do đó, theo Hệ quả 1.4, với mỗi mM 0 , tồn 
 tại một nghiệm FXYm : của phương trình 
24 
 Tạp chí Khoa học Đại học Đồng Tháp, Tập 10, Số 3, 2021, 21-30 
 
Fxm()2(( Fm m 1)) xFmxFmxF m ( ) m ( ) m ((2 m 1)) x n n n n n
 mfxy() m fxy ()2() m fx m fy () m fy () 
sao cho  2nn[2(sm 1) smsmsm () ( ) (2 1)](()  hxhy ()) 
 Y 
 
  [s ( m 1) s ( m )] h ( x ) 0 (2.10)
f( x ) Fm ( x ) 42 . (2.7)
 1 Y [2(s m 1) s () m s ( m ) s (2 m 1)]
Hơn nữa theo (1.8), ta có Suy ra 
 nfxy( ) n fxy ( )2() n fx n fy () n fy (). 
 n (2.8) m m m m m 
 limmmf ( x ) F ( x ). 
 n 
 Lấy giới hạn hai vế của (2.7) khi m , ta 
 Tiếp theo chúng ta chứng minh 
 được 0 limf ( x ) Fm ( x ) 0, suy ra 
 n n n n n m 
 mfxy() m fxy ()2() m fx m fy () m fy () 
 limf ( x ) Fm ( x ) 0. Do đó 
  2nn[2(s m 1) s () m s ( m ) s (2 m 1)](() h x m 
 Y 
 + hy ( )) (2.9) (2.11)
 limFm ( x ) f ( x ). 
 m 
với mọi x,,, y x y x y X và n . 
 0 Từ (2.11) với x,, y X ta có 
 Với n 0, (2.9) trở thành (2.1). Giả sử 
 lim(2FxFyFym ( ) m ( ) m ( )) 2 fxfyfy ( ) ( ) ( ). (2.12) 
 m 
rằng (2.9) đúng với nr 0 với mọi 
x,,,, y x y x y X ta có Từ (2.10), ta suy ra 
 n n n n
 r 1 r 1 r 1 r 1 r 1
 fxy() fxy ()2 fx () fy () fy () limDd ( m fxy ( ) m fxy ( ),2 m fx ( ) m fy ( )
 m m m m m n 
 r r r
 m mf( x y ) m m f ( x y ) 2 m m f ( x ) n
 m fy( )) 0. (2.13)
 rr
 m mf ( y ) m m f ( y )
 r r r Vì Dd liên tục, cho n trong (2.10), sử 
 2mfm (( 1)( xy )) m fmxy ( ( )) m fmxy ( ( ))
 r f r dụng định nghĩa của M 0 và (2.8), với mọi 
 mfmxy ((2 1)( ) 2 m (( mxy 1)( )) m fmxy ( ( ))
 r r r
 mfmxy ( ( )) m fmxy ((2 1)( )) 2(2 m fmx (( 1) ) x,, y X ta có 
 rf ( mx ) r f ( mx ) r f ((2 m 1) x ))
 m m m DFxyFxyFxFyF(( ) ( ),2() () ()) y 
 rrrr d m m m m m
 2mmf (( m 1) y ) f( my ) mm f ( my ) f ((2 m 1) y )
 2rf (( m 1)( y )) r f ( m ( y )) r f ( m ( y )) n n n
 m m m limDd ( m f ( x y ) m f ( x y ),2 m f ( x )
 n 
 r 
 m f ((2 m 1)( y )) nn
 2 2rr mmf ( y ) f ( y )). (2.14)
 YY[2(sm 1) smsmsm () ( ) (2 1)][2(( hmx 1))
 2hm (( 1) y ) hmx ( ) hmy ( ) hmx ( ) hmy ( ) Kết hợp (2.13) và (2.14), ta có 
 h ((2 m 1) x ) h ((2 m 1)y )]
 Dfxyd (( ) fxy ( ),2() fx fy () fy () 
  2(rr 1)[2(sm 1) smsmsm () ( ) (2 1)] 1 (() hxhy ()). 
 Y 
 limDFfxyd ( m ( ) Ffxy m ( ),2 Fx m ( )
Suy ra (2.9) đúng với nr 1. Điều này suy m 
ra rằng (2.9) đúng với mọi n . 
 0 Fmm ( y ) F ( y )) 
 Đặt d(,) x y x y với mọi x,. y Y 0.
 Do đó 
Khi đó (,,)YdY là một không gian b -metric. 
Từ (2.9) và (1.3) trong Định lí 1.3, ta có fxy( ) fxy ( )2() fx fy () fy (). 
 Điều này chứng tỏ f là một nghiệm của 
0 D (n fxy ( ) n fxy ( ),2 n fx () n fy () n fy ()) 
 d m m m m m phương trình tuyến tính tổng quát (2.2). 
 d (n fxy ( ) n fxy ( ),2 n fx () n fy () n fy ()) 
 m m m m m 
 25 
Chuyên san Khoa học Tự nhiên 
 Định lí 2.2. Giả sử rằng ( )():2((x  m 1)) x  ( mx )  ( mx )
 m 
 1. X là một tập con của không gian tựa  ((2m 1) x ), x X , Y X .
chuẩn (,.,)Z‖‖ trên trường sao cho 
 Z Ta có, với mọi xX 
xX thì xX và (,.,)Y‖‖ là một không 
 Y  (x ): um (( 1) xvmx ) ( ) [ sm ( 1) smuxvx ( )] ( ) ( ). (2.18) 
gian tựa Banach trên trường . m 12
 Khi đó bất đẳng thức (2.17) có dạng 
 2. Tồn tại n sao cho nx X với mọi 
 0 f( x ) f ( x ) ( x ). Điều này chứng tỏ 
 mm 
x X, n n0 và ánh xạ u,: v X thỏa mãn 
 (1.5) được thỏa mãn với f ,  m . 
M:{ n , n n :[2(1) s n s () n s () n
 0 0Y 12 12 12 Xác định ánh xạ  : XX với mỗi 
 sn (2 1)] 1} m 
 12 m M,, X x X bởi 
là một tập vô hạn, trong đó 0 
 2
 (mY )():x  (2((  m 1)) x  ( mx )  ( mx )
 s1( n ) s 2 ( n ) : s 12 ( n ), 
  ((2mx 1) )). (2.19)
s1():inf{ n t :( u nx ) tu () x với mỗi xX }, 
 Khi đó (1.7) được thỏa mãn với k 4, 
s():inf{ n t :( v nx ) tv () x với mỗi 
 2 fx1()( m 1),() xfx 2 mxfx ,() 3 mx , 
 f( x ) (2 m 1) x , L ( x ) 2 2 và 
và s12( n ), s ( n ) thỏa mãn các điều kiện sau đây 4 1 Y
 2
với n L234()()() x L x L x Y với xX . Hơn 
 nữa với mọi ,, YU x X và theo Định 
(W1 )lim s 1 ( n ) s 2 ( n ) 0; 
 n nghĩa 1.1 về không gian tựa chuẩn, ta có 
(W21 )lim s ( n ) 0 hoặc limsn2 ( ) 0.  (xx ) ( )
 n n mm 
 2((m 1)) x  ( mx )  ( mx )  ((2 m 1)) x
 3. Hàm f: X Y thỏa mãn bất đẳng thức 
 2((m 1)) x  ( mx )  ( mx )  ((2 m 1)) x 
 fxy( ) fxy ( )2() fx fy () fy ( ) uxvy ()() (2.15) 
 222 (   )((m 1) x )  (   )( mx ) 
với mỗi x,,,. y x y x y X YY
 22 (   )( mx )  (   )((2 m 1) x )
 Khi đó f thỏa mãn phương trình YY
 4
 L( x )‖‖ ( )( f ( x )) . 
fxy( ) fxy ( ) 2 fx ( ) fy ( ) fy ( ) (2.16)  ii
với mọi x,. y X i 1
 Bằng phép quy nạp toán học, chúng tôi sẽ 
 Chứng minh. Với x X, m M0 thay x 
 chỉ ra rằng với mọi x X, n 0, m M0 , 
bởi (mx 1) và y bởi mx vào (2.15) đã cho 
 nn()x 2 [( s m 1)()][2 s m s ( m 1) s () m
 m m Y 1 2 12 12 
 fm (( 1) xmx ) fm (( 1) xmx ) 2 fm (( 1) x ) n
 s12 ( m ) s 12 (2 m 1)] u ( x ) v ( x ). (2.20)
 f ( mx ) f ( mx )
 Thật vậy, từ (2.18), ta suy ra (2.20) đúng 
 2((fm 1)) x fmx ( ) fmx ( ) f ((2 m 1)) x fx () 
 với n 0. Giả sử rằng (2.20) đúng cho nl , 
 trong đó l , ta có 
 u(( m 1) x ) v ( mx ). (2.17) 0
 XX
Xác định ánh xạ m :YY với mM 0 bởi 
26 
 Tạp chí Khoa học Đại học Đồng Tháp, Tập 10, Số 3, 2021, 21-30 
 l 1 f ( x ) F ( x ) 
 mm (x ) m
   
 l [(s12 m 1)()] s m u () x v () x
 m(  m m (x )) 42 . (2.22)
 1 Y [2(s12 m 1) s 12 () m s 12 ( m ) s 12 (2 m 1)]
 222 ll  ((m 1) x )    ( mx ) với ()()x f x và  (x ) F ( x ). Hơn nữa 
 Y m m Y m m m
 2 ll n
    ( mx )    ((2 m 1) x ) theo (1.8), ta có limmmf ( x ) F ( x ). (2.23) 
 Y m m Y m m n 
 2 2l
 2YY [(s1 m 1)()][2( s 2 m s 12 m 1) s 12 () m s 12 ( m ) Tiếp theo chúng ta chứng minh 
  22l [(s m 1)()][2( s m s m 1) s () m s ( m ) nfxy() n fxy ()2() n fx n fy () n fy () 
 Y 1 2 12 12 12 m m m m m
 s(2 m 1)][2((l um 1))(( xvm 1)) x umxvmx ( )( )  2n [2s ( m 1) s ( m ) s ( m )
 12 Y 12 12 12 
 n
 umxvmx( )( ) u ((2 m 1))((2 xv m 1))] x s12 (2 m 1)] ( u ( x ) v ( y )) (2.24)
 22l 
 Y [(s1 m 1)()][2( s 2 m s 12 m 1) s 12 () m s 12 ( m ) với mọi x,,, y x y x y X và n 0 . 
 s(2 m 1)][2l sm ( 1)()() uxvx smuxvx ()()() Thật vậy với n 0 (2.24) trở thành (2.15). 
 12 12 12
 Do đó (2.24) đúng với n 0 . Với r 0 và 
 s12( muxvx )()() s 12 (2 m 1)()()] uxvx 
 giả sử rằng (2.24) đúng với nr với mọi 
  2(l 1) [(s m 1)()][2 s m s ( m 1) s () m
 Y 1 2 12 12 x,,,, y x y x y X ta có 
 s ( m ) s (2 m 1)]l 1 u ()(). x v x
 12 12 r 1fxy() r 1 fxy ()2 r 1 fx () r 1 fy () r 1 fy () 
 m m m m m
Điều này chỉ ra rằng (2.20) đúng với nl 1. r r r
 m mf( x y ) m m f ( x y ) 2 m m f ( x )
Do đó (2.20) đúng với mọi n 0 . Theo định 
 rr
nghĩa M 0 và tổng cấp số nhân, với xX , m mf ( y ) m m f ( y )
 r r r
mM 0 và  log2 2 thì 
 Y 2mfm (( 1)( xy )) m fmxy ( ( )) m fmxy ( ( ))
 r f r
 n  mfmxy ((2 1)( ) 2 m (( mxy 1)( )) m fmxy ( ( ))
  (mm ) (x )
 n 0 r r r
 mfmxy ( ( )) m fmxy ((2 1)( )) 2(2 m fmx (( 1) )
 2n rfmx ( ) r fmx ( ) r fmx ((2 1) )) 2 r fmy (( 1) ) 
 Y [(s1 m 1)()][2 s 2 m s 12 ( m 1) s 12 () m m m m m
 n 0 r r r r
 mfmy ( ) m fmy ( ) m fmy ((2 1) ) 2 m fm (( 1)( y ))
 s ( m ) s (2 m 1)]n u  ( x ) v  ( x )
 12 12 rf ( m ( y )) r f ( m ( y )) r f ((2 m 1)( y ))
 [(s m 1)()] s m u  ()() x v  x m m m
 12 2 2rr
 2 YY[2sm12 ( 1) smsmsm 12 () 12 ( ) 1 2 (2 1)][2(( umxvmy 1))(( 1)) 
 1 Y [2(s12 m 1) s 12 () m s 12 ( m ) s 12 (2 m 1)] 
 . (2.21) umxvmy( )( ) u ( mxv )( my ) u ((2 m 1))((2 xv m 1))] y 
  22r [2s ( m 1) s ( m ) s ( m )
Từ (1.6) và (2.21) ta suy ra được Y 12 12 12 
 r
    s12 (2 m 1)][2 sm 12 ( 1)()() uxvy smuxvy 12 ()()()
 * [(s12 m 1)()] s m u ()() x v x
 ().x 2 
 1 Y [2(s12 m 1) s 12 () m s 12 ( m ) s 12 (2 m 1)] s12 ( muxvy )()() s 12 (2 m 1)()()] uxvy 
 2(rr 1) 1
Do đó, theo Hệ quả 1.4, với mỗi mM 0 tồn Y [2(sm12 1) smsmsm 12 () 12 ( ) 12 (2 1)] uxvy ()(). 
tại một nghiệm FXY: của phương trình 
 m Suy ra (2.24) đúng với nr 1. Điều này suy 
 ra rằng (2.24) đúng với mọi n . 
Fxm()2(( Fm m 1)) xFmxFmxF m ( ) m ( ) m ((2 m 1)) x 0
sao cho 
 27 
Chuyên san Khoa học Tự nhiên 
 Đặt d(,) x y x y với mọi x,. y Y Dfxyd (( ) fxy ( ),2() fx fy () fy () 
Khi đó (,,)Yd là một không gian b -metric. limDFfxyd ( m ( ) Ffxy m ( ),2 Fx m ( )
 Y m 
Từ (1.3) trong Định lí 1.3 và (2.24), ta có Fmm ( y ) F ( y )) 0.
 n n n
0 Dd ( m f ( x y ) m f ( x y ),2 m f ( x ) Do đó 
 nnf ( y ) f ( y ))
 mm fxy( ) fxy ( )2() fx fy () fy (). 
  n n n
 d (m f ( x y ) m f ( x y ),2 m f () x Điều này chứng tỏ f là một nghiệm của 
 nn phương trình tuyến tính tổng quát (2.16). 
 mmf ( y ) f ( y ))
 n n n 3. Một số trường hợp đặc biệt 
 mf( x y ) m f ( x y ) 2 m f ( x )
 nn Hệ quả 3.1. Giả sử rằng 
 mmf() y f( y)
  2n 1. X là một tập con của không gian tựa 
 Y [2(s12 m 1) s 12 () m s 12 () m
 chuẩn (,.,)Z Z trên trường sao cho 
 n  
 s12 (2 m 1)] ( u ( x ) v ( y )) 0. (2.25)
 xX thì xX và (,.,)Y Y là một không 
Suy ra gian tựa Banach trên trường ,0c và 
 nfxy( ) n fxy ( )2() n fx n fy () n fy (). p 0.
 m m m m m 
 Lấy giới hạn hai vế của (2.22) khi m 2. Tồn tại n0 với nx X, xX , 
  nn và ánh xạ f: X Y thỏa mãn bất 
ta được 0 limf ( x ) Fm ( x ) 0. 0
 m phương trình 
Suy ra limf ( x ) Fm ( x ) 0. Do đó pp
 m fxyfxy( )( )2()()()( fxfyfy cx y )
 limFm ( x ) f ( x ). (2.26) với mọi x,,,. y x y x y X 
 m 
 Từ (2.26), ta cũng có Khi đó f thỏa mãn phương trình 
lim(2FxFyFym ( ) m ( ) m ( )) 2 fxfyfy ( ) ( ) ( ). (2.27) fxy( )( fxy )2()()() fx fy fy 
m 
Từ (2.25), ta suy ra với mọi x,. y X 
 n n n Chứng minh. Định nghĩa hX: được xác 
limDd ( m f ( x y ) m f ( x y ),2 m f ( x ) 
n 
 p
 nn định bởi h(): x c x với c ,. x X 
 mmf( y ) f ( y )) 0. (2.28)
 Với mọi nc , 0, khi đó 
Vì Dd liên tục, cho n trong (2.25), sử 
 p
 sn()inf{ t :() hnxthxxX (), }||. n 
dụng Hệ quả 1.4 và định nghĩa của M 0 , với 
mọi x,, y X ta có Tương tự, ta có s() n | n |pp | n | . Suy ra 
 p
 DFxyFxyFxFyF(( ) ( ),2() () () y lims ( n ) lim s ( n ) lim | n | 0. Do đó 
 d m m m m m n n n 
 n n n 2
 limDd ( m f ( x y ) m f ( x y ),2 m f ( x )  (2(s n 1) s () n s ( n ) s (2 n 1)) 1. Khi 
 n Y 
 nnf ( y ) f ( y )). (2.29) đó, tất cả các điều kiện trong Định lí 2.1 
 mm là đúng. Do đó, f thỏa mãn phương trình 
 Kết hợp (2.26) và (2.29), ta có fxy( ) fxy ( )2() fx fy () fy (). 
28 
 Tạp chí Khoa học Đại học Đồng Tháp, Tập 10, Số 3, 2021, 21-30 
 Hệ quả 3.2. Giả sử rằng Khi đó các điều kiện trong Định lí 2.2 là đúng. 
 1. X là một tập con của không gian tựa Do đó, f thỏa mãn phương trình 
chuẩn (,.,)Z  trên trường sao cho 
 Z fxy( )( fxy )2()()() fx fy fy ./. 
xX thì xX và (,.,)Y Y là một không Tài liệu tham khảo 
gian tựa Banach trên trường , c 0 và Aiemsomboon L. and Sintunavarat W. (2016). 
pq, với pq 0. Two new generalised hyperstability 
 2. Tồn tại n với nx X, xX , results for the Drygas functional equation. 
 0 Bull. Aust. Math. Soc., 12 pages. 
nn 0 và ánh xạ f: X Y thỏa mãn bất 
 Aiemsomboon L. and Sintunavarat W. (2016). 
phương trình 
 On generalized hyperstability of a general 
 fxyfxy( )( )2()()()( fxfyfy cxpp y ) linear equation. Acta Math. Hungar. 
 149(2), 413-422. 
với mỗi x,,,. y x y x y X 
 Aiemsomboon L., Sintunavarat W. (2017). A 
 Khi đó f thỏa mãn phương trình note on the generalised hyperstability of 
 the general linear equation. Bull. Aust. 
fxy( )( fxy )2()()() fx fy fy Math. Soc., 96(2), 263-273. 
với mỗi x,. y X 
 Bourgin D. G. (1949). Approximately 
 Chứng minh. Định nghĩa ánh xạ isometric and multiplicative 
u,: v X với u(): x s x p và transformations on continuous function 
 rings. Duke Math. J., 16, 385-397. 
v(): x r x q , trong đó sr, , sr c, 
 Brzdek J. (2013). Stability of additivity and 
p, q , p q 0, với mọi xX . fixed point methods. Fixed Point Theory 
 Appl., 2013, Article ID 285, 9 pages. 
Theo định nghĩa s12( n ), s ( n ) trong Định lí 2.2 
và c 0, ta có Brzdek J. (2015). Remarks on stability of some 
 inhomogeneous functinal equations. 
 p
sn1 ( ) inf{ t : unxtuxxX ( ) ( ), } || n . Aequationes Math., 89, 83-96. 
Tương tự, ta có Brzdek J., Chudziak J. and Pales Zs. (2011). 
 s( n ) | n |pp | n | Fixed point approach to stability of 
 1 functional equations. Nonlinear Anal., 74, 
 q 6728-6732. 
 sn2 ():inf{ t :() vnxtvxxX (), }|| n
 qq Brzdek J. and Cieplinski K. (2013). 
 s2 () n | n | | n | . 
 Hyperstability and superstability. Abstr. 
Với pq,, pq 0, do đó p 0 hoặc Appl. Anal, 2013, Article ID 401756, 
q 0. Khi đó limsn1 ( ) 0 hoặc limsn2 ( ) 0. 13 pages. 
 n n 
 Czerwik S. (1998). Nonlinear set-valued 
Với c 0 thì r 0 hoặc s 0. Từ định nghĩa contraction mappings in b -metric spaces. 
của s1 và s2 , ta có lims12 ( n ) s ( n ) 0. 
 n Atti Semin. Mat. Fis. Univ. Modena, 46, 
 263-276. 
 Suy ra 
 Drygas H. (1987). Quasi-inner products and 
 2 (2(s n 1) s () n s ( n ) s (2 n 1))1. 
 Y 12 12 12 12 their applications, in: Advances in 
 29 
Chuyên san Khoa học Tự nhiên 
 Multivariate Statistical Analysis (ed. K. Maksa Gy. and Pales Zs. (2001). Hyperstability 
 Gupta) (Springer, Netherlands, 13-30. of a class of linear functional equations. 
Dung N. V. and Hang V. T. L. (2018). The Acta Math. Acad. Paedagog. Nyhazi. 
 generalized hyperstability of general (N.S), 17, 1007-112. 
 linear equations in quasi-Banach spaces, Paluszyński M., Stempak K. (2009). On quasi-
 J. Math. Anal. Appl., 462, 131-147. metric and metric spaces. Proc. Amer. 
Ebanks B. R., Kannappan Pl. and Sahoo P. K. Math. Soc., 137(12), 43074312. 
 (1992). A common generalization of Piszczek M. (2015). Hyperstability of the 
 functional equations characterizing general linear functional equation. Bull. 
 normed and quassi-inner-product spaces. Korean Math. Soc., 52, 1827-1838. 
 Canad. Math. Bull., 35(3), 321-327. Piszczek M. and Szczawinka J. (2013). 
Faiziev V. A. and Sahoo P. K. (2007). On the Hyperstability of the Drygas functional 
 stability of Drygas functional equation on equation. J. Funct. Spaces Appl., 2013, 
 groups. Banach J. Math. Anal., 1(1), 43-55. Article ID 912718, 4 pages. 
Faiziev V. A. and Sahoo P. K. (2007). Stability Yang D. (2004). Remarks on the stability of 
 of Drygas functional equation on T (3, ). Drygas equation and the Pexider-quadratic 
 Int. J. Math. Stat., 7, 70-81. equation. Aequationes Math., 64, 108-116. 
Jung S. M. and Sahoo P. K. (2002). Stability of Zhang D. (2015), On hyperstability of 
 a functional equation of Drygas. generalised linear functional equations in 
 Aequationes Math., 64, 263-273. several variables. Bull. Aust. Math. Soc., 
Kalton N. (2003). Quasi-Banach spaces, in: 92, 259-267. 
 Johnson W.B., Lindenstrauss J. (Eds.), Zhang D. (2016). On Hyers-Ulam stability of 
 Handbook of the Geometry of Banach generalized linear functional equation and 
 Spaces 2, Elsevier, 1099-1130. its induced Hyers-Ulam programming 
 problem. Aequationes Math., 90, 559-568. 
30