Suy diễn trên cấu trúc mờ dựa trên đại số gia tử

 TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, Trường Đại học Khoa học, ĐH Huế Tập 14, Số 1 (2019)
 SUY DIỄN TRÊN CẤU TRÚC MỜ DỰA 
 TRÊN ĐẠI SỐ GIA TỬ
 1 2
 Nguyễn Văn Hán , Nguyễn Công Hào
 1
 Khoa Công nghệ Thông tin, Trường Đại học Khoa học - Đại học Huế
 2
 Ban Thanh tra và Pháp chế - Đại học Huế
 Email: nvhan@fit-hitu.edu.vn, nchao@hueuni.edu.vn
 Ngày nhận bài: 19/6/2019; ngày hoàn thành phản biện: 29/6/2019; ngày duyệt đăng: 02/7/2019
TÓM TTÓMẮT: TTẮTrong bài báo này, chúng tôi giới thiệu phương pháp biểu diễn 
cấu trúcTrong mờ bài dựa báo này,trên chúng lý thuyếttôi giới thiệu dàn. phương Một pháp cấu biểu trúc diễn dàn cấu trúc đặc mờ biệt dựa trêntrên biến 
ngôn ngữlý thuyết được dàn. sinh Một cấu ra trúctừ dànĐại đặc số biệt gia trên tử. biến Dàn ngôn kếtngữ đượchợp sinh phép ra từ toánĐại số đạigia số và 
 tử. Dàn kết hợp phép toán đại số và phép toán logic trong các logic truyền thống là 
phép toán logic trong các logic truyền thống là Łukasiewicz và Godel¨ . Các 
 Łukasiewicz và Godel ¨ . Các tính chất của dàn, các định lý suy diễn cũng được chứng 
tính chất của dàn, các định lý suy diễn cũng được chứng minh một cách
 minh một cách chặt chẽ về mặt toán học trong bài báo này. 
chặt chẽ về mặt toán học trong bài báo này.
 Từ khóa: Logic mờ, Đại số gia tử, Lý thuyết dàn, Logic suy diễn.
Từ khóa: Đại số gia tử, Logic mờ, Logic suy diễn, Lý thuyết dàn
1. GIỚI THIỆU
Trong cuộc sống hằng ngày, con người dùng ngôn ngữ tự nhiên NL (Nat-
ural Language) để học tập, trao đổi, thảo luận, phân tích, suy diễn. Sau 
cùng, đưa ra quyết định của cá nhân mình. Tính toán trên từ CWW (Com-
puting with words) [1] là một giải pháp toán học cho các bài toán được mô 
hình bằng NL. CWW được thực hiện trên nền tảng của lý thuyết tập mờ 
FS (fuzzy set) và logic mờ FL (fuzzy logic), được đề xuất bởi L. A. Zadeh, 
là một phương pháp xuất xỉ gần đúng trên đoạn [0,1]. Tính toán trên miền 
trị [0,1] là tính toán trên số, không thân thiện với con người khi so sánh với 
tính toán trên biến ngôn ngữ LV (linguistic variables). Trong miền giá trị 
LV, các gia tử LH (linguistic hedge) chiếm vị trí quan trọng trong việc tính
 25
Suy diễn trên cấu trúc mờ dựa trên đại số gia tử
toán và sinh ra các giá trị ngôn ngữ.
ĐSGT (Đại số gia tử) [2, 3, 4] là một công cụ toán học đẹp cho các tính
toán dựa trên từ hay tính toán mờ. Theo Zadeh [5], tính toán mờ là tính
toán trên từ. Các tính toán trên từ là cánh cửa mở ra cho việc tính toán trên
ngôn ngữ tự nhiên [1], một lĩnh vực của AI. Các tính toán mờ dựa trên
ĐSGT được nghiên cứu nhiều trong những thập niên gần đây: Trong cơ sở
dữ liệu [6]; Trong hệ điều khiển mờ [7]; Trong biểu diễn tri thức [8, 11] . . . .
 Phương pháp lập tuận trên từ dựa trên các hệ luật logic. Một trong 
các logic quan trọng cho các suy diễn là logic `. Logic ` cho LV được giới 
thiệu trong [6] và sau đó trong [8] như là các nền tảng ban đầu. Vì tầm 
quan trọng của logic `, bài báo này tiếp tục nghiên cứu sâu và có hệ thống 
trên cơ sở của [6, 8]. Phần còn lại của bài báo như sau: Phần 2 trình bày cấu 
trúc từ vựng và cấu trúc đại số trừu tượng trên từ vựng. Các tính chất của 
dàn với phép toán logic trên dàn cũng được trình bày và chứng minh trong 
phần 2. Phần 3 trình bày Định lý suy diễn, là định lý quan trọng trong lập 
luận logic. Trong phần cuối cùng, phần 4 là phần kết luận và hướng nghiên 
cứu tiếp theo của bài báo.
2. CẤU TRÚC
Phần này định nghĩa bộ cấu trúc từ vựng, sau đó là các cấu trúc mờ như là 
trường hợp riêng của cấu trúc từ vựng làm cơ sở cho àbài báo v các nghiên 
cứu tiếp theo.
Định nghĩa 2.1. một bộ từ vựng ~ là một tập hợp các hằng ký tự c1, c2, . . . , cm
và một tập các hàm ký tự f1, f2, . . . , fn:
 ai m
 ~ = h{fi }i∈I , {cj}j=0i (1)
Trong đó:
 ai
 1. Dãy hàm số {fi }i∈I là hàm fi với ai biến, I là tập chỉ số.
 m
 2. Dãy {cj}j=0 là tập các hằng số
 26
 TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, Trường Đại học Khoa học, ĐH Huế Tập 14, Số 1 (2019)
 Có thể xem hằng số là trường hợp riêng của hàm số f 0, tuy nhiên để
biểu diễn tường minh, ta xét hàm số và hằng số thành hai kiểu tách biệt.
Định nghĩa 2.2. Một cấu trúc H trên từ vựng ~, một STRUCT[~], là một bộ:
 ai H m
 H = hH, {fi }i∈I , {cj}j=0i (2)
Bao gồm tập H 6= ∅ cùng các diễn dịch:
 H
 • Mỗi hằng ký tự cj của từ vựng ~ có giá trị cj ∈ H
 ai
 • Với mỗi hàm ký tự fi với ai biến với hàm số fi định nghĩa bởi:
 H ai
 fi : H → H (3)
Ví dụ 1. Xét các giá trị chân lý ngôn ngữ {V true, Ptrue, L true} ∈ H, trong đó
{V true, Ptrue, L true} theo thứ tự tương ứng là: very true, possible true và less
true và H là miền giá trị chân lý ngôn ngữ sinh ra từ biến truth [6] . Gọi các mệnh
đề p = "Lucie is young is V true" và q là mệnh đề = "Lucie is smart is Ptrue" . Ta
có các diễn dịch trên H là:
 • truth(p) = V true ∈ H, truth là hàm một ngôi.
 • p ∧ q = V true ∧ Ptrue = Ptrue ∈ H. ∧ là hàm hai ngôi.
 • p ∨ q = V true ∨ Ptrue = V true ∈ H. ∨ là hàm hai ngôi.
Định nghĩa 2.3. Kiểu của một cấu trúc là tập
 ai
 τ = h{ai, 0j | fi , cj ∈ H}i (4)
Ví dụ 2. Bộ h[0, 1], ∨, ∧, ¬i là cấu trúc trên từ vựng ~ = hf2, f1i, có kiểu
h2, 2, 1i
 Để thuận tiện cho việc biểu diễn và lập luận trên cấu trúc mờ, ngoài 
các thành phần hằng số và hàm số đã định nghĩa trên, chúng tôi định nghĩa 
thêm các thành phần sau.
 27
Suy diễn trên cấu trúc mờ dựa trên đại số gia tử
Định nghĩa 2.4. Chúng tôi chỉ xét tập các biến là hữu hạn và đếm được.
Các biến gồm các ký tự thường x, y, z, . . . , các ký tự với chỉ số dưới và trên
như `1, `2 . . . . Các hạng tử T (term), công thức và mệnh đề trên từ vựng ~
được định nghĩa một cách truy hồi như sau:
 • Mỗi biến x là một hạng tử.
 • Mỗi hằng số c là một hạng tử.
 • Nếu t1, t2, . . . tai là các hạng tử thì hàm ai biến f(t1, 2, . . . tai ) là một
 hạng tử.
 • Nếu t1 và t2 là các hạng tử thì t1 = t2 là một công thức
 • Nếu ϕ và ψ là các công thức thì ϕ ∧ ψ, ϕ ∨ ψ là các công thức.
 • Một định lý là một công thức được chứng minh
 Dàn là một cấu trúc đại số nền tảng cho logic. Một cấu trúc dàn có
kiểu h2, 2, 2, 2, 0, 0i trên cấu trúc h[0, 1], ∧, ∨, ⊗, →, 0, 1i là nền tảng cho
logic BL (basic logic) [10] trên đoạn [0, 1]. Cấu trúc dàn và logic trong [10]
là các lập luận mờ trên đoạn [0, 1], không phải trên từ.
Trong [8], tác giả đã giới thiệu một cấu trúc dàn có kiểu h2, 2, 2, 2, 2, 2, 0, 0i
trên từ vựng hfci2, là hAX, ∧, ∨, ⊗, ⊕, ¬, →, 0, 1i cho các tính toán trên từ.
Bài báo này nghiên cứu một cấu trúc khác, cũng trên từ vựng hf 2, ci nhưng
với kiểu h2, 2, 2, 2, 0, 0i cho các hệ luật và định lý suy diễn trên từ. Kiểu
h2, 2, 2, 2, 0, 0i được giới thiệu sơ lược trong [9], chúng tôi đưa ra định
nghĩa, tính chất và chứng minh chi tiết.
Định nghĩa 2.5. Một cấu trúc:
 L = hL, ∧, ∨, ⊗, →, ⊥, >i (5)
được gọi là dàn LRL (linguistic residuated lattice)
Bài báo nghiên cứu trên các phép toán ⊗ và → xét trên logic Ł
(Lukasiewicz) và G (Go¨del).
 28
 TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, Trường Đại học Khoa học, ĐH Huế Tập 14, Số 1 (2019)
 • Phép toán ⊗ và → trên logic Łukasiewicz:
 _
 `1 ⊗Ł `2 = {0, `1 + `2 − 1} (6)
 ^
 `1 →Ł `2 = {1, 1 − `1 + `2} (7)
 • Phép toán ⊗ và → trên logic Go¨del
 ^
 `1 ⊗G `2 = {`1, `2} (8)
 
 1, `1 ≤ `2
 `1 →G `2 = (9)
 `2, `1 > `2
Với các phép toán logic được định nghĩa như trên, dàn LRL có các tính
chất sau đây:
Tính chất 1. Ba tính chất quan trọng cho dàn LRL
 1. Dàn hL, ∧, ∨, ⊥, >i có thứ tự ≤ với các phép toán ∧, ∨ trong đó phần tử
 bé nhất và lớn nhất tương ứng là ⊥ = 0 và > = 1.
 2. hL, ⊗, 1i là nữa nhóm với phần tử đơn vị là 1, ` ⊗ 1 = `, ∀` ∈ L
 3. Với `1, `2, `3 ∈ L, giữa hai phép toán ⊗ và → có mối liên hệ:
 `1 ⊗ `2 ≤ `3 ↔ `1 ≤ `2 → `3. (10)
Chứng minh. Xét một ĐSGT HA = (X, G, C, H, ≤) với
H 6= ∅, G = {c+, c−}, C = {0, W, 1}. L+ = {δc+, c+ ∈ G, δ ∈ H∗}, H∗ là xâu gia 
tử sinh ra từ H. Không làm mất tính tổng quát, ta chứng minh trên phần 
tử sinh dương c+, với c− thì chứng minh tương tự. Không làm mất tính
tổng quát, ta chứng minh trên phần tử sinh dương c+, với c− thì chứng
minh tương tự. Ta cũng dùng ký hiệu Latin QED (quod erat 
demonstrandum), thay thế cho câu: "Điều phải chứng minh".
 29
Suy diễn trên cấu trúc mờ dựa trên đại số gia tử
 1. Dàn hL, ∧, ∨, ⊥, >i có thứ tự ≤ với các phép toán ∧, ∨, với max = >
 và min = ⊥.
 ⊥ ≤c+ ≤ > với: ⊥ = 0, > = 1
 δ⊥ ≤δc+ ≤ δ> với: δ ∈ H∗
 ^ ^ + ^ + ^ ∗
 {δ, δ1}⊥ ≤ {δ, δ1}c ≤ {δ, δ2}c ≤ {δ, δ2}> với: δ1 ≤ δ2 ∈ H
 ^ + ^ +
 ⊥ ≤ {δ, δ1}c ≤ {δ, δ2}c ≤ > QED
3. LOGIC SUY DIỄN
Một ứng dụng của logic mờ trong lĩnh vực cơ sở tri thức (KB) là: có thể
suy ra được công thứcψ trong miền giá trị chân lý L ∈ {H, [0, 1]} hay không 
(KB `Lψ). Gọi Γ là một định lý,ψ và ϕ là các công thức mệnh đề như trong 
ví dụ 1, định lý suy diễn sau đây thể hiện một sự liên hệ giữa Γ,ψ và ϕ
Định lý 3.1. ∃n ∈ N sao cho:
 ^ n
 Nếu :Γ `L ϕ → ψ thì: Γ ∪ {ϕ} `L (11)
 n∈N
Để chứng minh Định lý 3, trước hết, dùng tính chất 3 của dàn LRL, ta
chứng minh công thức:
 ((ϕ ∧ ψ) → ω) → (ϕ → (ψ → ω)) (12)
Chứng minh.
 ((ϕ ∧ ψ) → ω) → ϕ ∧ ψ < ω
 → ϕ < ψ → ω
 → ϕ → (ψ → ω)
 QED
Dùng công thức 12, ta chứng minh Định lý 3.1
 30
 TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, Trường Đại học Khoa học, ĐH Huế Tập 14, Số 1 (2019)
Chứng minh.
 ^ n
 Γ `L ϕ →
 n∈N
 ^ n−1
 Γ `L ϕ ϕ →
 n∈N
 ^ n−1
 Γ `L ϕ → ( ϕ → ψ)
 n∈N
 ^ n−1
 Γ ∪ {ϕ} `L ϕ →
 n∈N
 Γ ∪ {ϕ} `L ϕ →
 Γ ∪ {ϕ} `L ψ
 QED (∃n ∈ N; n = 2)
 Định lý 3.1 vẫn đúng trong trường hợp Γ = ∅
Ví dụ 3. với các mệnh đề mờ p và q như trong ví dụ 1, ta có:
 `H q → p
4. KẾT LUẬN
Logic là ngôn ngữ của khoa học máy tính. Với phương pháp hình thức
(formal method), bài báo đưa ra các định nghĩa ban đầu về các diễn dịch 
trên cấu trúc mờ theo lý thuyết model (model theory) , nó là nền tảng cho 
cho các nghiên cứu tiếp theo trong các logic cấp cao như logic mờ cấp hai, 
ngôn ngữ mờ cấp hai hiện vẫn chưa được nghiên cứu. Bài báo đề xuất một 
cấu trúc đại số trừu tượng là dàn LRL với hai phép toán logic là 
Łukasiewicz và Go¨del logic trên dàn làm cơ sở cho các lập luận. Bài báo 
cũng đưa ra một định lý suy diễn quan trọng dùng trong suy diễn mờ dựa 
trên ĐSGT. Trong thời gian tới, các tác giả sẽ tiếp tục hoàn thiện chứng 
minh các tính chất 2, 3 của Tính chất 1 và nghiên cứu chiều ngược lại choĐịnh 
lý 3.1, đó là cần chứng minh:
 ^ n
 Nếu :Γ ∪ {ϕ} `L ψ thì: Γ `L ϕ → (13)
 n∈N
 31
Suy diễn trên cấu trúc mờ dựa trên đại số gia tử
Tiếp tục nghiên cứu các ứng dụng của bài báo trong lĩnh vực cơ sở tri thức 
và hệ hỗ trợ ra quyết định.
 TÀI LIỆU THAM KHẢO
 [1] L.A.Zadeh, Computing with words - Principal Concepts and Ideas. Studies in Fuzziness and Soft
 Computing, Springer 2012.
 [2] Nguyen Cat Ho and W.Wechler, Hedge algebras: An algebraic approach to structure of sets
 of linguistic truth values, Fuzzy Sets and Systems 35(1990), 281-293
 [3] Cat-Ho Nguyen, Nguyen Van Long, Fuzziness measure on complete hedge algebras and
 quantifying semantics of terms in linear hedge algebras. Fuzzy Sets and Systems 158(4):
 452-471.
 [4] N. C. Ho and W. Wechler, Extended hedge algebras and their application to Fuzzy logic, Fuzzy
 Sets and Systems 52, 259-281, 1992
 [5] L.A.Zadeh, Fuzzy Logic = Computing with Words, 1996
 [6] Nguyễn Công Hào. Logic mờ và ứng dụng, NXB Đại học Huế, 2016.
 [7] D. T. Long, A method to build rule fuzzy systems semantic-based hedge algebra and application to
 classification, Mathematic doctor thesis, IOIT, 2010.
 [8] Lê Anh Phương, Một tiếp cận xây dựng miền giá trị chân lý ngôn ngữ trong các hệ logic, Luận
 án tiến sĩ, Đại học Bách khoa Hà nội, 2013.
 [9] Van-Hung Le, Dinh-Khang Tran, Linguistic Logics with Hedges, IWOST-2 2015.
 [10] Petr Hajek, Petr Hajek on Mathematical Fuzzy Logic, Springer international publishing
 Switzerland 2015.
 [11] Thi-Minh-Tam Nguyen, Viet-Trung Vu, The-Vinh Doan, Duc-Khanh Tran, Resolution in
 Linguistic First Order Logicbased on Linear Symmetrical Hedge Algebra, 2014 Information
 Processing and Management of Uncertainty in Knowledge-Based Systems.
 [12] Le Anh Phuong, Tran Dinh Khang.Generalized If ... Then . . . Else. . .
 Inference Rules with Linguistic Modifiers for Approximate Reasoning, International Journal of
 Computer Science Issues (IJCSI), 2012, Vol. 9, Issue 6, No 3, pp: 184-190.
 32
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, Trường Đại học Khoa học, ĐH Huế Tập 14, Số 1 (2019) 
 FUZZY STRUCTURES REASONING BASED ON HEDGE ALGEBRA 
 Nguyen Van Han1, Nguyen Cong Hao 2 
 1Faculty of Information Technology, University of Sciences, Hue University 
 2 Department of Inspection and Legislation, Hue University 
 Email: nvhan@fit-hitu.edu.vn, nchao@hueuni.edu.vn 
 ABSTRACT 
 In this paper, we study a method to represent fuzzy structures.We introduce an 
 algebraic structure with functional symbols. A special lattice is called linguistic 
 residuated lattice with two important logics: Łukasiewicz and Godel. An important 
 theory for logic reasoning called deduction theorem is introduced. 
 Keyworks: Deduction theorem, fuzzy logic, Hedge algebra, Lattice theory. 
 33 
Suy diễn trên cấu trúc mờ dựa trên đại số gia tử 
 Nguyễn Văn Hán sinh ngày 13/11/1967 tại Quảng Bình. Năm 1990, ông 
 tốt nghiệp cử nhân Vật lý tại Trường Đại học Sư phạm, ĐH Huế, Năm 
 2000 tốt nghiệp kỹ sư Khoa học máy tính tại trường Đại học Bách khoa Hà 
 Nội; Năm 2011 tốt nghiệp Thạc sĩ chuyên ngành Mạng máy tính & Truyền 
 thông tại Học viện Bưu chính Viễn thông thành phố Hồ Chí Minh. Từ 
 năm 1990, ông tham gia giảng dạy và hiện đang là Giảng viên khoa Công 
 nghệ thông tin Trường Cao đẳng Công thương TP. HCM. Hiện đang là 
 NCS ngành Khoa học máy tính của Trường Đại học Khoa học, Đại học 
 Huế. 
 Lĩnh vực nghiên cứu: Logic mờ. 
 Nguyễn Công Hào sinh năm 1976 tại Thừa Thiên Huế. Ông tốt nghiệp cử 
 nhân chuyên ngành Toán – Tin học năm 1997 tại Trường Đại học Sư 
 phạm, Đại học Huế và thạc sĩ Công nghệ thông tin năm 2002 tại Trường 
 Đại học Bách Khoa Hà Nội. Ông nhận học vị tiến sĩ chuyên ngành Bảo 
 đảm toán học cho máy tính và Hệ thống tính toán tại Viện Công nghệ 
 thông tin Hà Nội năm 2008. Hiện ông đang công tác tại Đại học Huế. 
 Lĩnh vực nghiên cứu: Cơ sở dữ liệu mờ, các phương pháp tính toán mềm, 
 các phương pháp lập luận xấp xỉ. 
 34