Sử dụng định lý Kronecker-Capelli giải bài toán về vị trí tương đối của hình học giải tích trong không gian

g, n cột 
 un.0 với các phần tử trong trường số thực . Cấp 
 . cao nhất của các định thức con khác 0 của A 
 A 
 được gọi là hạng của ma trận A, kí hiệu là 
 2.3. Vị trí tƣơng đối giữa hai đƣờng rank A . Nói rõ hơn, rank A r nếu có 
thẳng một định thức con cấp r của khác và 
 Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng mọi định thức con cấp lớn hơn của đều 
 bằng 0. 
d1 đi qua điểm M1, có véctơ chỉ phương u1 
 3.2. Các phép biến đổi sơ cấp dòng 
và đường thẳng d2 đi qua điểm M 2 , có véctơ 
 Cho ma trận A, các phép biến đổi sau đây 
chỉ phương u2. Khi đó, 
 được gọi là các phép biến đổi sơ cấp dòng trên 
 (a) trùng khi và chỉ khi ma trận A. 
 (a) Nhân các phần tử trên một dòng bất kì 
 uu,0 
 12 với một số thực k khác không; 
 . 
 u,0 M M 
 1 1 2 (b) Đổi chỗ 2 dòng cho nhau; 
 (c) Cộng k lần các phần tử trên dòng này 
 (b) song song khi và chỉ khi 
 vào các phần tử trên dòng kia. 
 uu,0 3.3. Ma trận bậc thang dòng 
 12 
 . 
 Ma trận có 2 tính chất sau được gọi là ma 
 u,0 M M 
 1 1 2 trận bậc thang dòng 
 (c) cắt khi và chỉ khi - Các dòng khác không luôn ở trên các 
 dòng không. 
 uu,0 
 12 - Trên hai dòng khác không thì phần tử 
 . khác không đầu tiên ở dòng dưới bao giờ cũng 
 u, u . M M 0
 1 2 1 2 ở bên phải cột chứa phần tử khác không đầu 
 tiên ở dòng trên. 
 5 
Chuyên san Khoa học Tự nhiên 
 Những kết quả sau đây đã đƣợc (c) Nếu rank A rank A k n thì 
chứng minh 
 hệ phương trình có vô số nghiệm và tập 
 (a) Mọi ma trận luôn luôn đưa được về nghiệm của nó phụ thuộc nk biến tự do. 
dạng ma trận bậc thang dòng bằng các phép 
biến đổi sơ cấp dòng. 4. Kết quả chính 
 (b) Các phép biến đổi sơ cấp dòng không Trong phần này, chúng tôi sử dụng định lý 
làm thay đổi hạng của ma trận. Kronecker-Capelli xét vị trí tương đối giữa hai 
 mặt phẳng, giữa đường thẳng với mặt phẳng và 
 (c) Hạng của một ma trận bậc thang dòng giữa hai đường thẳng trong không gian và cho 
bằng với số dòng khác không của nó. 
 các ví dụ vận dụng. 
 3.4. Hệ phƣơng trình tuyến tính 4.1. Vị trí tƣơng đối của hai mặt phẳng 
tổng quát trong không gian 
 Hệ phương trình tuyến tính tổng quát gồm Định lý 4.1.1. Trong không gian Oxyz, 
m phương trình, n ẩn có dạng 
 cho hai mặt phẳng 
 a11 x 1 a 12 x 2 ... a 1nn x b 1
 ( ):A1 x B 1 y C 1 z D 1 0, 
 a21 x 1 a 22 x 2 ... a 2nn x b 2
 1 ( ):A x B y C z D 0, 
 ............................................ 2 2 2 2 
 2 2 2 2 2 2
 am1 x 1 a m 2 x 2 ... a mn x n b m với ABCABC 0, 0.
 1 1 1 2 2 2 
 a11 a 12... a 1n ABC1 1 1
 Đặt A và 
 a a... a ABC
 Ta kí hiệu A 21 22 2n ; 2 2 2
 ... ... ... ...
 ABCD1 1 1 1
 am12 a m... a mn A . Khi đó, 
 ABCD2 2 2 2
X x x... x TT ; B b b ... b 
 1 2nm 1 2 (a) Nếu rank A rank A 2 thì () 
Khi đó, hệ 1 viết được dưới dạng AX B 
gọi là dạng ma trận của hệ phương trình tuyến cắt  . 
tính 1. Ta kí hiệu AAB  |. Ma trận A (b) Nếu rank A rank A 1 thì 
được gọi là ma trận hệ số và AAB  |  được trùng  . 
gọi là ma trận bổ sung của hệ phương trình 
 (c) Nếu 1 rank ( A ) rank ( A ) 2 thì 
 3.5. Định lý Kronecker-Capelli 
 song song  . 
 Xét hệ phương trình tuyến tính tổng quát 
gồm m phương trình, n ẩn có dạng 1. Khi đó, Chứng minh. Xét hệ phương trình tuyến 
 tính 3 ẩn có dạng 
 (a) Nếu rank A rank A thì hệ 
 A1 x B 1 y C 1 z D 1
 . 
phương trình vô nghiệm. A2 x B 2 y C 2 z D 2
 (b) Nếu rank A rank A n thì hệ Dễ dàng thấy rằng hạng của ma trận hệ số 
phương trình có nghiệm duy nhất. A và ma trận bổ sung A lớn hơn hoặc bằng 1 
 và bé hơn hoặc bằng 2. 
6 
 Tạp chí Khoa học Đại học Đồng Tháp, Tập 10, Số 3, 2021, 03-12 
 (a) Vì rank A rank A 23 nên 3n 27 18 36
 rank 
 3n 3 n 2 n mn
theo định lý Kronecker-Capelli hệ phương trình 
có vô số nghiệm và tập nghiệm phụ thuộc một 3n 27 18 36
 rank . 
biến tự do hay giao điểm của () và  là 
 0 3n 27 2 n 18 mn 36
 3
một đường thẳng trong . Vậy cắt  . Biện luận 
 (b) Vì rank A rank A 13 nên - Hai mặt phẳng cắt nhau khi 
theo định lý Kronecker-Capelli hệ phương trình rank A 2 3n 27 0
có vô số nghiệm và tập nghiệm phụ thuộc hai n 9. 
 rank A 2 2n 18 0
biến tự do hay giao điểm của và là 
một mặt phẳng trong Vậy trùng - Hai mặt phẳng song song khi 
 3n 27 0
 (c) Vì 1 rank ( A ) rank ( A ) 2 nên theo rank A 1 n 9
định lý Kronecker-Capelli hệ phương trình vô 2n 18 0 . 
 rank A 2 m 4
nghiệm. Vậy song song  . mn 36 0
 Ví dụ 4.1.2. Trong không gian Oxyz, cho - Hai mặt phẳng trùng nhau khi 
hai mặt phẳng 
 rank A 1 3n 27 0
 (P ): nx 9 y 6 z 12 0 n 9
 2n 18 0 . 
 (Q ):3 x 3 y 2 z m 0. rank A 1 m 4
 mn 36 0
 Hãy biện luận vị trí tương đối của P và Ví dụ 4.1.3. Trong không gian Oxyz, cho 
 Q theo hai tham số m và n. hai mặt phẳng (P ): x ay 3 z b 0 và 
 Giải. Xét hệ phương trình tuyến tính 3 ẩn (Q ): 2 x 4 y cz 8 0 (a, b, c là tham số). 
 nx 9 y 6 z 12 Giá trị của biểu thức T a b c khi hai mặt 
dạng . Ta có ma trận hệ số phẳng (P) và (Q) trùng nhau là 
 3x 3 y 2 z m
và ma trận bổ sung của hệ lần lượt là A. T 8. B. T 10. 
 n 96 n 9 6 12 C. T 12. D. T 14. 
A và A . 
 3 3 2 3 3 2 m Giải. Xét hệ phương trình tuyến tính 3 ẩn 
 x ay 3 z b
Khi đó, nếu n 0 thì dạng . Ta có ma trận hệ số 
 2x 4 y cz 8
 3 3 2 m
 rank A rank 2 và ma trận bổ sung của hệ lần lượt là 
 0 9 6 12
 13 a 13 ab 
 A , A . 
hay rank( A ) rank ( A ) 2, suy ra hai mặt 24 c 2 4 c 8
phẳng cắt nhau. Nếu n 0 thì Khi đó, 
 rank A rank A 
 n 9 6 12 13 ab 
 rank 
 3 3 2 m rank 
 2 4 c 8
 7 
Chuyên san Khoa học Tự nhiên 
 13 ab A1 x B 1 y C 1 z D 1
 rank . 
 0 4 2a c 6 8 2 b A x B y C z D . 
 2 2 2 2
 Hai mặt phẳng (P) và (Q) trùng nhau khi A3 x B 3 y C 3 z D 3
rank A rank A 1 Dễ dàng thấy rằng hạng của ma trận hệ số 
 A và ma trận bổ sung A lớn hơn hoặc bằng 2 
 4 2aa 0 2 và bé hơn hoặc bằng 3. 
 cc 6 0 6 . 
 (a) Vì rank A rank A 3 n nên 
 8 2bb 0 4
 theo định lý Kronecker-Capelli hệ phương 
Suy ra T a b c 12 . Chọn đáp án C. trình có nghiệm duy nhất. Vậy cắt ( ). 
 4.2. Vị trí tƣơng đối giữa đƣờng thẳng (b) Vì rank A rank A 2 nên theo 
và mặt phẳng trong không gian 
 định lý Kronecker-Capelli hệ phương trình có 
 Định lý 4.2.1. Trong không gian Oxyz, vô số nghiệm và tập nghiệm phụ thuộc một 
cho đường thẳng 
 biến tự do hay giao điểm của và () là một 
 đường thẳng trong 3. Vậy nằm trong ( ). 
 A1 x B 1 y C 1 z D 1 0
 d : 
 A2 x B 2 y C 2 z D 2 0 c. Vì 2 rank ( A ) rank ( A ) 3 nên hệ 
 phương trình vô nghiệm. Vậy song song 
với ABCABC:::: và mặt phẳng 
 1 1 1 2 2 2 với ( ). 
 ( ): A3 x B 3 y C 3 z D 3 0 Nhận xét 4.2.2. Để tính hạng của ma trận 
 2 2 2 A ta chỉ cần tính định thức detA. Ta có thể 
với ABC3 3 3 0. dùng máy tính cầm tay Casio fx-580VN X 
 hoặc các loại máy tính cầm tay khác có thể tính 
 ABC1 1 1
 được định thức cấp 3. 
Đặt A ABC và 
 2 2 2
 Nếu detA 0 thì rank( A ) 3. Suy ra 
 ABC3 3 3
 rank A rank A 3. Nếu detA 0 thì 
 ABCD1 1 1 1 rank( A ) 2. Khi đó, ta tính các định thức con 
AABCD . Khi đó, 
 2 2 2 2 cấp 3 còn lại của ma trận A , cụ thể
 ABCD3 3 3 3
 ABD1 1 1 ACD1 1 1
 BABD , CACD ,
 (a) Nếu rank A rank A 3 thì d 2 2 2 2 2 2
 ABD ACD 
cắt ( ). 3 3 3 3 3 3 
 BCD1 1 1
 (b) Nếu rank A rank A 2 thì 
 DBCD . 
 2 2 2
nằm trong 
 BCD3 3 3
 (c) Nếu 2 rank ( A ) rank ( A ) 3 thì Nếu tồn tại detB 0 hoặc detC 0 hoặc 
song song với detD 0 thì rank( A ) 3. 
 Chứng minh. Xét hệ phương trình tuyến Nếu detB detC detD 0 thì 
tính 3 ẩn có dạng rank( A ) 2. 
8 
 Tạp chí Khoa học Đại học Đồng Tháp, Tập 10, Số 3, 2021, 03-12 
 Ví dụ 4.2.3. Trong không gian Oxyz, cho (P ): 2 x 2 y z 3 0. Mệnh đề nào dưới 
 x 15 y z đây đúng? 
đường thẳng d : và mặt 
 1 3 1 A. cắt (P ). B. dP . 
phẳng (P ): 3 x 3 y 2 z 6 0. Mệnh đề nào 
dưới đây đúng? C. dP . D. dP . 
 A. d cắt nhưng không vuông góc với mặt Giải. Phương trình tổng quát của đường 
phẳng (P ). thẳng d là 
 B. vuông góc với mặt phẳng 
 3xy 2 7
 . Xét hệ phương trình tuyến 
 C. song song với mặt phẳng 2xz 2 8
 D. nằm trong mặt phẳng 3xy 2 7
 Giải. Đường thẳng có phương trình tính 3 ẩn 2xz 2 8 . Ma trận hệ số 
 33xy 2x 2 y z 3
tổng quát là . Xét hệ phương trình 
 xz 4 3 2 0
 33xy 
 A 2 0 2 . Vì detA 0 nên 
tuyến tính 3 ẩn xz 4.Ma trận hệ số 2 2 1
 3x 3 y 2 z 6
 rank( A ) 2, do đó song song hoặc nằm 
 3 1 0 trong (P ). Ta tiếp tục xác định ma trận 
A 1 0 1 . Để tính detA ta thao tác trên 3 2 0 7
 3 3 2 A 2 0 2 8 . Lần lượt tính định 
máy tính cầm tay Casio fx-580VN X như sau 2 2 1 3
 thức các ma trận con cấp 3 của A là 
 3 . 2 7 3 0 7
 Màn hình xuất hiện: B 2 0 8 , C 2 2 8 , 
 2 2 3 2 1 3
 2 0 7
 Suy ra detA 10 0, vậy d cắt (P ). Để 
 D 0 2 8 . Thao tác như trên ta tính 
kiểm tra tính vuông góc của và ()P . Ta có 
 2 1 3
ud (1, 3, 1), nP (3, 3,2). Vì tồn tại được detB detC detD 0 nên nằm 
13 trong ( ). Vậy chọn đáp án C. 
 60 nên u và n không cùng 
33 d P Chú ý. Trong bài toán này, khi ta tìm 
phương hay không vuông góc mặt phẳng được ma trận A, vì theo Định lý 4.2.1 chỉ cần 
(P ). Vậy chọn đáp án A. tồn tại một trong ba định thức con detB 0 
 hoặc detC 0 hoặc detD 0 là có thể kết 
 Ví dụ 4.2.4. Trong không gian Oxyz, cho 
 luận được song song với ()P nên để rút 
 xt 32 ngắn được thời gian làm bài trắc nghiệm ta chỉ 
đường thẳng d: y 1 3 t và mặt phẳng cần nhập ma trận B và tính detB. Nếu 
 ta kết luận ngay song song với (P ), còn nếu 
 zt 12
 9 
Chuyên san Khoa học Tự nhiên 
detB 0, ta mới nhập tiếp ma trận C, tính nghiệm. Hơn nữa, rank A 2 nên hệ 
detC rồi mới tới D. 
 uu, độc lập tuyến tính hay uu, không 
 4.3. Vị trí tƣơng đối giữa hai đƣờng 12 12
thẳng trong không gian cùng phương. Vậy và chéo nhau. 
 Trong phần này, ta xét đường thẳng có 
 b. Vì nên theo định 
phương trình ở dạng tham số. Vì thế, nếu 
phương trình đường thẳng chưa ở dạng tham lý Kronecker-Capelli hệ phương trình vô 
số thì ta chuyển về dạng tham số. nghiệm. Hơn nữa rank A 1 nên hệ 
Định lý 4.3.1. Trong không gian Oxyz, cho 
 phụ thuộc tuyến tính hay cùng phương. 
 x x11 a t
 Vậy và song song. 
hai đường thẳng 1: y y 1 b 1 t , t và 
 c. Vì rank A rank A 2 nên theo 
 z z11 c t 
 ' định lý Kronecker-Capelli hệ phương trình có 
 x x22 a t aa 
 12nghiệm duy nhất. Vậy và cắt nhau. 
 '' 
 : y y b t , t . Đặt A b b 
 2 2 2 12
 ' cc d. Vì rank A rank A 1 nên theo 
 z z22 c t 12
 định lý Kronecker-Capelli hệ phương trình có 
 a1 a 2 x 2 x 1
 vô số nghiệm và tập nghiệm phụ thuộc một 
và A b b y y . 
 1 2 2 1 biến tự do hay giao điểm của và là một 
 c1 c 2 z 2 z 1 đường thẳng. Vậy và trùng nhau. 
Khi đó, Ví dụ 4.3.2. Trong không gian Oxyz, cho 
 (a) Nếu 23 rank A rank A thì x 7 y 3 z 9
 hai đường thẳng d1 : và 
 và chéo nhau. 1 2 1
 1 2 x 3 y 1 z 1
 d :. Chọn khẳng định 
 (b) Nếu 1 rank A rank A thì và 2 1 2 3
 song song. đúng trong các khẳng định sau? 
 A. d và d cắt nhau. 
 (c) Nếu rank A rank A 2 thì và 1 2
 B. và song song. 
 cắt nhau. 
 C. và trùng nhau. 
 (d) Nếu rank A rank A 1 thì và 
 D. và chéo nhau. 
 trùng nhau. 
 Giải. Phương trình tham số của và lần 
 Chứng minh. Xét hệ phương trình tuyến 
tính 2 ần xt 7 xt 3'
 ' lượt là d1 : y 3 2 t và d2 : y 1 2 t '. Xét 
 a1 t a 2 t x 2 x 1
 ' zt 9 zt 1 3 '
 b1 t b 2 t y 2 y 1 . 
 hệ phương trình tuyến tính 2 ẩn 
 '
 c1 t c 2 t z 2 z 1
 tt '4 
 a. Vì rank A rank A nên theo định 2tt 2 ' 2. Ta có ma trận hệ số và ma trận 
lý Kronecker-Capelli hệ phương trình vô tt 3 ' 8
 bổ sung 
10 
 Tạp chí Khoa học Đại học Đồng Tháp, Tập 10, Số 3, 2021, 03-12 
 11 1 1 4 22 2 2 2
 A 22 và A 2 2 2 . A 11 và A 1 1 4 . 
 13 1 3 8 11 1 1 4
Khi đó, Khi đó, 
 rank A rank A 
 1 1 4 2 2 2
 rank 1 1 4
 rank 222 
 1 3 8 1 1 4
 1 1 4 1 1 4 
 rank 
 2 2 2
 rank 0 4 6
 0 2 12 1 1 4
 rank 
 0 0 10
 1 1 4 
 2.
 rank 0 4 6
 Suy ra 1 rank A rank A 2. Vậy 
 0 0 30
 dd. Chọn đáp án D. 
 3. 12
 Ví dụ 4.3.4. Trong không gian Oxyz, cho 
Suy ra 2 rank A rank A 3. Vậy d và 
 1 x 2 y 1 z 1
 hai đường thẳng 1 : và 
d2 chéo nhau. Chọn đáp án D. 1 3 1
 x 11 y z
 Ví dụ 4.3.3. Xét vị trí tương đối của hai :. Chọn khẳng định đúng 
 x 3 y 3 z 1 2 3 2 1
đường thẳng d : và 
 1 2 1 1 trong các khẳng định sau? 
 xt 5 2 ' A. 1 và 2 trùng nhau. 
d2 : y 1 t ' . B. và chéo nhau. 
 zt 5' C. và song song. 
 A. chéo d2. B. dd12 . D. và cắt nhau. 
 C. cắt d . D. dd. 
 2 12 Giải. Phương trình tham số của 1 và 2 
 Giải. Phương trình tham số của đường lần lượt là 
 xt 32 xt 2 xt 1 3 '
thẳng là yt 3. 1 : yt 1 3 và 2 : yt 1 2 '. 
 zt 1 zt 1 zt '
Xét hệ phương trình tuyến tính 2 ẩn Xét hệ phương trình tuyến tính 2 ẩn 
 2tt 2 ' 2 tt 3 ' 3
 tt ' 4 . Ta có ma trận hệ số và ma trận 3tt 2 ' 2. Ta có ma trận hệ số và ma trận 
 tt '4 
 tt '1
bổ sung bổ sung 
 11 
Chuyên san Khoa học Tự nhiên 
 13 133 Qua bài viết trên, chúng ta thấy rằng có 
 thể sử dụng kiến thức Đại số tuyến tính mà 
A 32 và A 3 2 2 . 
 sinh viên được học ở chương trình đại học vào 
 11 1 1 1 việc giải một số bài toán trong chương trình 
 trung học phổ thông. 
Khi đó, 
 Trong thời gian tới, chúng tôi sẽ tiếp tục 
 rank A khai thác các ứng dụng của định thức nói riêng 
 và đại số tuyến tính nói chung để giải một số bài 
 133 
 toán về điều kiện thẳng hàng, điều kiện đồng 
 rank 3 2 2 phẳng, tính thể tích khối chóp, khối hộp, khoảng 
 1 1 1 cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong 
 chương trình toán trung học phổ thông. 
 1 1 1
 Lời cám ơn: Nghiên cứu này được hỗ trợ 
 rank 133 
 bởi đề tài nghiên cứu khoa học sinh viên của 
 3 2 2 Trường Đại học Đồng Tháp mã số 
 1 1 1 SPD2020.02.05./. 
 rank 044 Tài liệu tham khảo 
 0 5 5 Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên), Văn Như Cương 
 (Chủ biên), Phạm Khắc Ban, Lê Huy 
 1 1 1 Hùng và Tạ Mân. (2012). Hình học nâng 
 rank 044 cao 12. Hà Nội: NXB Giáo dục Việt Nam. 
 0 0 0 Đoàn Quỳnh (Chủ biên), Khu Quốc Anh, 
 2. Nguyễn Anh Kiệt, Tạ Mân và Nguyễn 
 Doãn Tuấn. (2005). Giáo trình Đại số 
Suy ra, rank A rank A 2. Vậy 1 và tuyến tính và Hình học giải tích. Hà Nội: 
 NXB Đại học Quốc gia Hà Nội. 
 2 cắt nhau. Chọn đáp án D. 
 Nguyễn Hữu Việt Hưng. (2004). Đại số 
 5. Kết luận. tuyến tính. Hà Nội: NXB Đại học Quốc 
 Trong bài viết này, chúng tôi đã trình bày gia Hà Nội. 
một phương pháp giải bài toán xét vị trí tương Nguyễn Viết Đông, Lê Thị Thiên Hương, 
đối giữa hai mặt phẳng, giữa đường thẳng với Nguyễn Anh Tuấn và Lê Anh Vũ. (2009). 
mặt phẳng và giữa hai đường thẳng trong Toán cao cấp tập 2, Hà Nội: NXB Giáo 
không gian bằng cách áp dụng định lý dục Việt Nam. 
Kronecker-Capelli thông qua việc tính hạng 
của các ma trận hệ số và mở rộng. Kết quả bài Leon S. J. (2015). Linear algebra with 
viết này cung cấp cho giáo viên, sinh viên toán applications. University of Massachusetts, 
và học sinh trung học phổ thông có thêm một Dartmouth. 
cách giải khác cho bài toán xét vị trí tương đối, Trần Trọng Huệ. (2004). Giáo trình Đại số 
từ đó góp phần nâng cao hiệu quả dạy và học tuyến tính và hình học giải tích (Tập I). 
môn toán ở trường phổ thông và khoa toán các Hà Nội: NXB Đại học Quốc gia Hà Nội. 
trường đại học. 
12