Phương pháp chứng minh bất đẳng thức sử dụng đường cong tiếp xúc

 TNU Journal of Science and Technology 226(07): 277 - 285 
THE METHOD PROVING INEQUALITY BY USING TANGENTIAL CURVE 
Le Anh Tuan* 
Ha Noi University of Industry 
 ARTICLE INFO ABSTRACT 
 Received: 04/12/2000 Inequality and related problems is a growing problem that attracts the 
 attention of many people studying primary mathematic. Inequality 
 Revised: 28/5/2021 issues occupy an important position in elementary math and are used 
 Published: 31/5/2021 a lot in national and international exams for excellent students. We 
 know there are many techniques and methods to prove the inequality. 
KEYWORDS With the aim of developing methods and techniques to prove the 
 inequality. In this paper, using the extended Jensen inequality, we 
Inequality develop the tangent method into the tangent curve method to prove 
Tangential some inequality problems under non-linear conditions. 
Curve 
Tangent 
Covex function 
PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 
SỬ DỤNG ĐƯỜNG CONG TIẾP XÚC 
Lê Anh Tuấn 
Trường Đại học Công nghiệp Hà Nội 
 THÔNG TIN BÀI BÁO TÓM TẮT 
 Ngày nhận bài: 04/12/2000 Bất đẳng thức và các vấn đề liên quan là một vấn đề đang ngày càng 
 phát triển và thu hút được sự quan tâm của nhiều người nghiên cứu 
 Ngày hoàn thiện: 28/5/2021 toán sơ cấp trong và ngoài nước. Các vấn đề về bất đẳng thức chiếm 
 Ngày đăng: 31/5/2021 một vị trí khá quan trọng đối với toán sơ cấp và được sử dụng tương 
 đối nhiều trong đề thi các kỳ thi học sinh giỏi quốc gia và quốc tế. 
TỪ KHÓA Chúng ta biết có rất nhiều kỹ thuật, phương pháp chứng minh bất 
 đẳng thức. Với mục tiêu phát triển các phương pháp và kỹ thuật 
Bất đẳng thức chứng minh bất đẳng thức, trong bài báo này, bằng việc sử dụng bất 
Tiếp xúc đẳng thức Jensen mở rộng, chúng tôi phát triển phương pháp tiếp 
 tuyến thành phương pháp đường cong tiếp xúc để chứng minh một số 
Đường cong 
 bài toán bất đẳng thức với điều kiện không tuyến tính. 
Tiếp tuyến 
Hàm lồi 
DOI: https://doi.org/10.34238/tnu-jst.3819 
Email: tuansl83@yahoo.com 
 277 Email: jst@tnu.edu.vn 
 TNU Journal of Science and Technology 226(07): 277 - 285
1 Phương pháp đường cong tiếp xúc
 Nhiều bài toán trong thực tế dẫn đến việc chúng ta cần chứng minh các bất đẳng thức với
các điều kiện cho trước như bất đẳng thử sau.
 n
 X
 f(xi) > nf(x0), (1)
 i=1
 Pn
trong đó x0, x1, x2, . . . , xn ∈ I, thỏa mãn điều kiện i=1 l(xi) = n.l(x0) với l là một hàm phù
hợp nào đó.
 Ngoài ra các bài toán dạng bất đẳng thức như trên được nghiên cứu, chứng minh bằng các
phương pháp khác nhau ([1],[2], [3], [4]).
 Pn x
Ngoài ra, có thể thấy rằng, nếu chọn f là hàm lồi, l(x) = x và x = i=1 i thì bất đẳng thức
 0 n
(1) nhận lại bất đẳng thức Jensen [5]. Phát triển của bất đẳng thức Jensen ta được khi ta tìm
một hàm g(x) = kx + m sao cho f(x) ≥ g(x) với mọi x nằm trong một khoảng nào đó chứa x0
và f(x0) = g(x0) ta được phương pháp chứng minh được gọi là phương pháp tiếp tuyến được
giới thiệu trong [6] và [7].
 Trường hợp hàm f và l bất kì. Vấn đề cần quan tâm ở đây là tìm các hàm f(x), g(x) =
k.l(x) + m; giá trị x0 sao cho bất đẳng thức (1) đúng.
Về mặt hình học: Đồ thị của hàm y = f(x) sẽ luôn nằm trên đồ thị hàm số y = g(x) và tiếp
xúc với đồ thị hàm y = g(x) tại điểm có hoành độ x0. Việc tìm hàm g(x) như trên được gọi là
phương pháp đường cong tiếp xúc.
 Định lý sau đây cho ta một điều kiện đủ để bất đẳng thức (1) đúng.
Định lý 1. Cho f và l là các hàm số xác định trên khoảng mở I. Giả sử rằng các hàm số f và
l khả vi tại điểm x0 ∈ I. Đặt
 ( 0
 0 khi l (x0) = 0,
 k = 0 , m = f(x ) − kl(x ).
 f (x0) 0 0 0
 0 khi l (x ) 6= 0,
 l (x0) 0
Nếu với mọi x ∈ I ta luôn có f(x) ≥ k.l(x) + m thì bất đẳng thức (1) là đúng cho hàm số f tại
x0.
Chứng minh. Từ giả thiết ta có
 n n
 X X
 f(xi) ≥ (k.l(xj) + m)
 j=1 j=1
 n
 X
 = k l(xi) + mn
 j=1
 = n(kl(x0) + m) = nf(x0),
điều này kéo theo bất đẳng thức (1).
 Cũng theo Định lý 1, bất đẳng thức Jensen là đúng tại điểm x0 với một hàm f bất kì có thể
lồi hoặc không lồi, nhưng có đồ thị nằm trên tiếp tuyến tại điểm x0.
 Vậy để sử dụng phương pháp này. Ta sẽ tìm hàm g(x) = kl(x) + m sao cho bất đẳng thức
(1) đúng. Trường hợp này đồ thị hàm y = g(x) sẽ tiếp xúc với đồ thị hàm y = f(x) tại điểm x0.
Sau đây là một số ví dụ áp dụng và các bài tập tương tự để thấy sư ưu việt của phương pháp
trên.
  278 Email: jst@tnu.edu.vn
 TNU Journal of Science and Technology 226(07): 277 - 285
Ví dụ 1. ([2]) Cho a, b, c, d, e là các số không âm thỏa mãn
 1 1 1 1 1
 + + + + = 1.
 4 + a 4 + b 4 + c 4 + d 4 + e
Chứng minh rằng
 a b c d e
 + + + + ≤ 1. (2)
 4 + a2 4 + b2 4 + c2 4 + d2 4 + e2
Chứng minh. Xét hàm số
 x k
 f(x) = , g(x) = + m,
 4 + x2 4 + x
 4
với x ≥ 0 và các số k và m thỏa mãn f(1) = g(1), f 0(1) = g0(1). Suy ra k = −3, m = . Vì bất
 5
đẳng thức
 x 4 3
 ≤ −
 4 + x2 5 4 + x
tương đương với bất đẳng thức
 (x − 1)2(x + 1) ≥ 0
nên nó x ≥ 0. Ta có thể quan sát điều này thông qua hình vẽ sau
  279 Email: jst@tnu.edu.vn
 TNU Journal of Science and Technology 226(07): 277 - 285
 Từ đó suy ra
 a b c d e
 + + + +
 4 + a2 4 + b2 4 + c2 4 + d2 4 + e2
  1 1 1 1 1 
 ≤ 4 − 3 + + + + = 1.
 4 + a 4 + b 4 + c 4 + d 4 + e
Bất đẳng thức này cho ta bất đẳng thức cần chứng minh.
2 Một số bài toán áp dụng
Bài 1. [3] Cho a, b, c và d là các số thực dương thỏa mãn a2 + b2 + c2 + d2 = 1. Chứng minh
rằng √ √ √ √ √ √ √ √
 1 − a + 1 − b + 1 − c + 1 − d ≥ a + b + c + d.
 √ √
Chứng minh. Xét hàm số f(x) = 1 − x − x, g(x) = kx2 + m với x ∈ (0, 1). Chú ý rằng với
 1 1 1
a = b = c = d = thì bất đẳng thức trở thành đẳng thức. Ta tìm k, m thỏa mãn f = g
 2 2 2
 1 1
và f 0 = g0 . Suy ra k, m thỏa mãn hệ phương trình
 2 2
  k
 0 = + m
 √ 4 .
 − 2 = k
 √  1
Suy ra g(x) = − 2 x2 − .
 4
 Ta chứng minh rằng với mọi x ∈ (0, 1)
 √ √ √  1
 1 − x − x ≥ − 2 x2 − . (3)
 4
Thật vậy, bất đẳng thức (3) tương đương với
 1 − 2x (1 − 2x)(1 + 2x)
 √ √ ≥ √
 1 − x + x 2 2
 √ √ √
 (1 − 2x)(2 2 − (1 + 2x)( 1 − x + x))
 ⇔ √ √ √ ≥ 0
 2 2( 1 − x − x)
  √  1 − 2x √ 
 ⇔ (1 − 2x) 2 2 − (1 + 2x) √ √ + 2 x ≥ 0
 1 − x + x
  2x − 1 √ √ √ 
 ⇔ (1 − 2x) √ √ (1 + 2x) + 2( 2 − x − 2x x) ≥ 0
 1 − x + x
  2x − 1 √ √ √ √ 
 ⇔ (1 − 2x) √ √ (1 + 2x) + 2(1 − 2x)( 2x + x + 2) ≥ 0
 1 − x + x
 √ !
 √ √ √ √ √ (1 + 2x)(1 + 2x)
 ⇔ (1 − 2x)2(1 + 2x) 2( 2x + x + 2) − √ √ ≥ 0
 1 − x + x
 √ √  √ √ √ √ √ 
 ⇔ (1 − 2x)2(1 + 2x) 2( 2x + x + 2) 1 − x + 2x − 1 ≥ 0,
bất đẳng thức cuối đúng với mọi x ∈ (0, 1) vì
 √ √ √ √ √ √
 2( 1 − x + x) ≥ 2 1 − x + x = 2 > 1.
  280 Email: jst@tnu.edu.vn 
 TNU Journal of Science and Technology 226(07): 277 - 285
Vậy bất đẳng thức (3) đúng. Áp dụng với x bẳng a, b, c, d ta được
 √ √ √ √ √ √ √ √
 1 − a + 1 − b + 1 − c + 1 − d − a − b − c − d
 √
 ≥ − 2(a2 + b2 + c2 + d2 − 1) = 0.
Từ đó ta có điều phải chứng minh.
Bài 2. (Chetkovski, 2012: 187, bài toán 37) Cho a, b và c là các số thực dương thỏa mãn abc ≥ 1.
Chứng minh rằng
  1  1  1  27
 a + b + c + ≥ .
 a + 1 b + 1 c + 1 8
 1
Chứng minh. Xét các hàm số f(x) = x + , g(x) = kxm với x > 0. Chú ý rằng với
 1 + x
a = b = c = 1 thì bất đẳng thức trở thành đẳng thức vì vậy ta tìm k, m thỏa mãn f(1) =
 3 1
g(1), f 0(1) = g0(1). Suy ra k = và m = .
 2 2
 Ta chứng minh f(x) ≥ g(x) với mọi x > 0. Thậy vậy
 1 3 1 √ 2 √
 x + ≥ x 2 ⇔ ( x − 1) (2x + x + 2) ≥ 0.
 1 + x 2
Bất đẳng thức sau đúng với mọi x > 0. Áp dụng với x bằng a, b, c ta được
  1  1  1  27√ 27
 a + b + c + ≥ abc ≥ .
 a + 1 b + 1 c + 1 8 8
Bất đẳng thức được chứng minh.
Bài 3. [3] Cho a, b và c là các số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca = 3. Chứng minh rằng
 (a7 − a4 + 3)(b5 − b2 + 3)(c4 − c + 3) ≥ 27.
  281 Email: jst@tnu.edu.vn
 TNU Journal of Science and Technology 226(07): 277 - 285
 7 4 5 2 4 2
Chứng minh. Xét các hàm số f1(x) = x − a + 3, f2(x) = x − b + 3, f3(x) = x − x + 3,
 3 3 3
g1(x) = k1x + m1, g2(x) = k2x + m2, g3(x) = k3x + m3 với x > 0. Chú ý rằng với a =
b = c = 1 thì bất đẳng thức trở thành đẳng thức. Ta chon các k1, m1, k2, m2, k3, m3 thỏa mãn
 0 0 0
fi(1) = gi(1), fi (1) = gi(1) với i = 1, 2, 3. Từ fi(1) = 3 và fi (1) = 3 ta suy ra
 3
 g1(x) = g2(x) = g3(x) = x + 2.
Từ các bất đẳng thức (x − 1)2(x2 + x + 1) ≥ 0 và (x − 1)2(x2 + x + 1)(x + 1) ≥ 0 đúng với mọi
x > 0 ta suy ra bất đẳng thức sau là đúng
 x7 − x5 + 3 ≥ x5 − x2 + 3 ≥ x4 − x + 3 ≥ x3 + 2.
Mặt khác ta có
 (a + b + c)2 ≥ 3(ab + bc + ca),
suy ra
 (a7 − a4 + 3)(b5 − b2 + 3)(c4 − c + 3) ≥ (a3 + 2)(b3 + 2)(c3 + 2)
 = (a3 + 13 + 13)(13 + b3 + 13)(13 + 13 + c3) ≥ (a + b + c)3
 3
 ≥ (3(ab + bc + ca)) 2 = 27.
Bất đẳng thức được chứng minh.
Bài 4. [3] Cho a, b và c là các số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca = 3. Chứng minh rằng
 (a7 − a4 + 3)(b5 − b2 + 3)(c4 − c + 3) ≥ 27.
 7 4 5 2 4 2
Chứng minh. Xét các hàm số f1(x) = x − a + 3, f2(x) = x − b + 3, f3(x) = x − x + 3,
 3 3 3
g1(x) = k1x + m1, g2(x) = k2x + m2, g3(x) = k3x + m3 với x > 0. Chú ý rằng với a =
b = c = 1 thì bất đẳng thức trở thành đẳng thức. Ta chon các k1, m1, k2, m2, k3, m3 thỏa mãn
 0 0 0
fi(1) = gi(1), fi (1) = gi(1) với i = 1, 2, 3. Từ fi(1) = 3 và fi (1) = 3 ta suy ra
 3
 g1(x) = g2(x) = g3(x) = x + 2.
Từ các bất đẳng thức (x − 1)2(x2 + x + 1) ≥ 0 và (x − 1)2(x2 + x + 1)(x + 1) ≥ 0 đúng với mọi
x > 0 ta suy ra bất đẳng thức sau là đúng
 x7 − x5 + 3 ≥ x5 − x2 + 3 ≥ x4 − x + 3 ≥ x3 + 2.
Mặt khác ta có
 (a + b + c)2 ≥ 3(ab + bc + ca),
suy ra
 (a7 − a4 + 3)(b5 − b2 + 3)(c4 − c + 3) ≥ (a3 + 2)(b3 + 2)(c3 + 2)
 = (a3 + 13 + 13)(13 + b3 + 13)(13 + 13 + c3) ≥ (a + b + c)3
 3
 ≥ (3(ab + bc + ca)) 2 = 27.
Bất đẳng thức được chứng minh.
 2 2 2
Bài 5. [3] Cho a, b và c là các số thực dương thỏa mãn a 3 + b 3 + c 3 = 3. Chứng minh rằng
 2 2 2 4 4 4
 a + b + c ≥ a 3 + b 3 + c 3 .
  282 Email: jst@tnu.edu.vn
 TNU Journal of Science and Technology 226(07): 277 - 285
 √
Chứng minh. Xét f(x) = x2 − x4/3, g(x) = kx2/3 + m, với x ∈ (0, 3 9). Chú ý rằng với a = b =
c = 1 thì bất đẳng thức trở thành đẳng thức. Ta chon k và m thỏa mãn f(1) = g(1), f 0(1) = g0(1).
Suy ra k = 1, m = −1, g(x) = x2/3 − 1.
 Vì bất đẳng thức x2 − x4/3 ≥ x2/3 − 1 tương đương với (x2/3 − 1)2(x2/3 + 1) ≥ 0, suy ra bất
đẳng thức đúng. Từ đó ta có
 a2 + b2 + c2 − a4/3 − b4/3 − c4/3 ≥ a2/3 + b2/3 + c2/3 − 3 = 0.
Bất đẳng thức được chứng minh.
Bài 6. [4] Cho a, b, c và d là các số thực không âm. Chứng minh rằng
 a b c d 4
 + + + ≥ .
 b2 + c2 + d2 c2 + d2 + a2 d2 + a2 + b2 a2 + b2 + c2 a + b + c + d
Chứng minh. Theo bất đẳng thức Cauchy- Schwarz, ta có
  a b c d 
 + + + (a + b + c + d)
 b2 + c2 + d2 c2 + d2 + a2 d2 + a2 + b2 a2 + b2 + c2
 r r r r !
 a2 b2 c2 d2
 ≥ + + + .
 b2 + c2 + d2 c2 + d2 + a2 d2 + a2 + b2 a2 + b2 + c2
  283 Email: jst@tnu.edu.vn
 TNU Journal of Science and Technology 226(07): 277 - 285
Do đó, ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức
 r r r r
 a2 b2 c2 d2
 + + + ≥ 2. (4)
 b2 + c2 + d2 c2 + d2 + a2 d2 + a2 + b2 a2 + b2 + c2
Vì đây là bất đẳng thức thuần nhất nên không mất tính tổng quát ta giả sử a2 +b2 +c2 +d2 = 4.
Khi đó bất đẳng thức (4) được viết lại thành
 a b c d
 √ + √ + √ + √ ≥ 2.
 4 − a2 4 − b2 4 − c2 4 − d2
 x √
Xét hàm số f(x) = √ , g(x) = kx2 +m với x ∈ [0, 2). Chú ý rằng với a = b = 2, c = d = 0
 4 − x2 √
thì bất đẳng thức trở thành đẳng thức. Ta chọn các số k, m thỏa mãn f(0) = f(0), f( 2) =
 √ √ √ 1 x2
g( 2), f 0( 2) = g0( 2). Suy ra k = , m = 0, g(x) = .
 2 2
 x x2
Với mọi x ∈ [0, 2) ta có bất đẳng thức √ ≥ đúng vì nó tương đương với x2(x2 −2)2 ≥ 0.
 4 − x2 2
Áp dụng với x bằng a, b, c, d ta được
 a b c d a2 + b2 + c2 + d2
 √ + √ + √ + √ ≥ = 2.
 4 − a2 4 − b2 4 − c2 4 − d2 2
Bất đẳng thức được chứng minh.
  284 Email: jst@tnu.edu.vn
 TNU Journal of Science and Technology 226(07): 277 - 285 
3 Kết luận 
 Trong bài báo này, bằng việc sử dụng bất đẳng thức Jensen suy rộng, chúng tôi đã đưa ra 
một phương pháp mới để chứng minh một số lớp các bài toán bất đẳng thức với điều kiện cho 
trước không tuyến tính. Đó là phương pháp dùng đường cong tiếp xúc. Đây là phương pháp 
tổng quát của phương pháp tiếp tuyến đã được đưa ra trước đó trong [6] và [7]. 
 TÀI LIỆU THAM KHẢO/ REFERENCES 
[1] S. T. Berkolaiko and S. B. Katok,"One inductive metho d to pro of inequalities," Kvant. N8., no. 8, pp. 
 33-36, 1970. 
[2] Z. Ccetkovski, Inequalities, Springer, 2012. 
[3] Z. Cvetkovski, Inequalities Theorems, Techniques and Selected Problems. SpringerVerlag Berlin 
 Heidelberg, 2012. 
[4] K. H. Pham, Secrets in Inequalities, Editura Gil, Zalău, 2007. 
[5] O. Izhboldin and L. Kurlyandchik, "Jensen’s inequalities," Kvant. N8., vol. 3, pp. 7-10, 2000. 
[6] Y. K. Li, “Using tangent lines to prove Inequalities," Mathematical Excalibur, vol. 10, no. 5, pp. 1-4, 
 2005. 
[7] I. Ibatulin and A. N. Lepes, “Using tangent lines to prove inequalities (Part II),” Mathematical 
Excalibur, vol. 18, no. 5, pp. 1-4, 2014. 
 285 Email: jst@tnu.edu.vn