Nửa nhóm liên tục đều trong không gian Banach xác suất

 TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 51.2020 
 NỬA NHÓM LIÊN TỤC ĐỀU 
 TRONGKHÔNG GIAN BANACH XÁC SUẤT 
 Lê Thị Oanh1 
 TÓM TẮT 
 Trong bài báo này, chúng tôi xin giới thiệu khái niệm nửa nhóm liên tục đều 
trong không gian Banach xác suất và chứng minh tính chất đặc trưng của toán tử sinh 
của nửa nhóm liên tục đều. 
 Từ khóa: Không gian Banach xác suất, toán tử ngẫu nhiên, nửa nhóm liên tục 
đều, toán tử sinh. 
 1. ĐẶT VẤN ĐỀ 
 Lý thuyết toán tử ngẫu nhiên không chỉ là mở rộng ngẫu nhiên của lý thuyết toán 
tử tất định mà nó còn có nhiều áp dụng quan trọng trong các lĩnh vực khác nhau nhƣ 
phƣơng trình tiến hóa ngẫu nhiên, điểm bất động lý thuyết toán tử ngẫu nhiên đƣợc 
nghiên cứu theo nhiều hƣớng khác nhau [1-5]. Gần đây trong tài liệu số [1-4,6] các tác 
giả đã đƣa ra khái niệm nửa nhóm ngẫu nhiên liên tục mạnh trong không gian Banach 
xác suất và chứng minh một số tính chất của nó. Trong bài báo này, chúng tôi giới thiệu 
khái niệm nửa nhóm liên tục đều trong không gian Banach xác suất và chứng minh các 
tính chất đặc trƣng của nó. 
 2. NỘI DUNG 
 2.1. Toán tử ngẫu nhiên trên không gian Banach xác suất 
 Giả sử ,F, là không gian xác suất đầy đủ, ký hiệu là không gian các 
biến ngẫu nhiên thực. Trong bài báo này, sự hội tụ trong là hội tụ theo xác suất. 
Nếu dãy ∈ hội tụ tới trong thì ta viết . Với ∈
 thỏa mãn hầu chắc chắn khi đó ta viết . Ký hiệu 
 { ∈ }. 
 Định nghĩa 1. [6]. Một cặp ‖ ‖ đƣợc gọi là một không gian định chuẩn xác 
suất nếu là modul trái trên đại số và ‖ ‖ là ánh xạ từ đến sao cho 
các tính chất sau là thỏa mãn 
 1. ‖ ‖ khi và chỉ khi với là phần tử không của . 
 2. ‖ ‖ ‖ ‖+‖ ‖ với ∈ . 
 3. ‖ ‖ ‖ ‖ với ∈ và ∈ . 
 Ánh xạ ‖ ‖ gọi là chuẩn ngẫu nhiên trên X . 
1 Khoa Khoa học Tự nhiên, Trường Đại học Hồng Đức 
 127 
 TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 51.2020 
 Định nghĩa 2. Giả sử là một không gian định chuẩn xác suất. 
 1. Một dãy  là hội tụ tới ∈ nếu ‖ ‖ hội tụ đến 0 trong . 
 2. Một dãy  là dãy Cauchy nếu ‖ ‖ với 
mỗi . 
 3. đƣợc gọi là không gian Banach xác suất nếu mọi dãy Cauchy  là hội tụ. 
 Định nghĩa 3. [4]. Giả sử là một không gian định chuẩn xác suất. 
 1. Ánh xạ : DX  đƣợc gọi là toán tử ngẫu nhiên nếu miền xác định 
 (  ) là một không gian định chuẩn xác suất và với , ∈ (  ) và ∈
 , ta có: 
  1uu 1 2 2   
 Một toán tử ngẫu nhiên  : XXđƣợc gọi là toán tử ngẫu nhiên trên . 
 2. Một toán tử ngẫu nhiên : DX  đƣợc gọi là chặn theo xác suất nếu 
 ∈ {‖  ‖ } với { ∈ (  ) ‖ ‖ } là hình cầu đơn vị 
của (  ). 
 3. Một toán tử ngẫu nhiên : DX  đƣợc gọi là bị chặn hầu chắc chắn 
(viết tắt: a.s) nếu tồn tại biến ngẫu nhiên ∈ sao cho u ‖ ‖ với ∈
 (  ). 
 4. Một toán tử ngẫu nhiên : DX  đƣợc gọi là đóng nếu mỗi dãy 
 uDn  sao cho limuun , lim ugn , thì gu  . 
 n n 
 : DX  
 5. Một toán tử ngẫu nhiên đƣợc gọi là liên tục nếu mỗi dãy 
 uDn  D ,
 sao cho limuun lim un u . 
 n n 
 Định lý 1. [4]. Giả sử X là một không gian Banach xác suât và giả sử ta có 
 : DX  
 là một toán tử ngẫu nhiên. Các mệnh đề sau là tƣơng đƣơng: 
 (i)  là bị chặn a.s. 
 (ii)  là bị chặn theo xác suất. 
 (iii)  là liên tục. 
 2.2. Nửa nhóm liên tục đều của các toán tử ngẫu nhiên 
 Định nghĩa 4. [4]. Cho X là không gian Banach xác suất và Tt là họ 
 t 0, 
các toán tử ngẫu nhiên trong không gian Banach xác suất X. Khi đó Tt đƣợc gọi 
là nửa nhóm trên X nếu: 
128 
 TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 51.2020 
 1. TI 0. 
 2. T s t T s T t  ts, 0. 
 3. Nửa nhóm Tt  đƣợc gọi là liên tục mạnh nếu uX thì ánh xạ: 
 t T t u từ 0, vào X là liên tục. 
 4. Nửa nhóm Tt đƣợc gọi là bị chặn nếu  L 0 và một biến ngẫu nhiên 
 t 0, 
L L0 phụ thuộc L sao cho T t u L u ,  uX. 
 Định nghĩa 5. [3]. Cho Tt là một nửa nhóm liên tục mạnh trong không gian 
 X.Ta định nghĩa: 
 T t u u T t u u
 D A  u X :  lim và Au lim 
 t 0 t t 0 t
  
 Thì ánh xạ ADAX: đƣợc gọi là toán tử sinh của nửa nhóm Tt .
  
 Định nghĩa 6. Một nửa nhóm Tt đƣợc gọi là nửa nhóm liên tục đều nếu: 
 t 0
 limT t h T t 0  t 0 . 
 t 0
 Nhận xét: Một nửa nhóm liên tục đều là nửa nhóm liên tục mạnh. 
 Định lý 2. Nửa nhóm liên tục đều khi và chỉ khi limT t I 0. 
 t 0 
 Chứng minh 
 Điều kiện cần. Cho Tt là một nửa nhóm liên tục đều, hiển nhiên ta có: 
 limT t I 0. 
 t 0 
 Điều kiện đủ. Cho Tt là nửa nhóm thỏa mãn limT t I 0 ta sẽ chỉ ra 
 t 0 
Tt là nửa nhóm liên tục đều. 
 Thật vậy, với h 0 ta có: 
 P
 TthTt TtThI TtThI t T h I  0 
 P
 TthTt TthITh TthTh I t T h I  0 
 Ví dụ: Cho A là toán tử tuyến tính liên tục trong không gian Banach xác suất V. 
 n
 tA 
Khi đó T t etA :  là một nửa nhóm liên tục đều. 
 n 0 n!
 tAkk
 Chứng minh:1) Chuỗi  là chuỗi dƣơng hội tụ theo dấu hiệu 
 k 0 k!
 tA
D’Alembert suy ra e tồn tại. 
 129 
 TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 51.2020 
 2) Tt là toán tử tuyến tính, bị chặn trong X. Ta sẽ chứng minh 
T t s T t . T s hay e t s A etA. e sA . Thật vậy: 
 tn A n s m A m tn A n s m A m tn A n s k n A k n
 eetA.. sA = .
 nm!! nm!!  n!! n k
 nm 00 mn,0 nk 00 
 ( k m n, m 0,0 k n ) 
 n
 n n k n k k k n
 1!n t A s A t s A t s A
  .  e . 
 n!!!nk 00 n k k n 0 n!
 tAnn
 Tt bị chặn vì: T t  etA. 
 n 0 n!
 3) Tt là nửa nhóm vì Tt là toán tử tuyến tính và T 0. e0.A I 
 tA tA0
 4) Tt là liên tục đều t0 0, , tức là: limee . 
 tt 0
 Thật vậy: 
 tA t A t t t A t A t A t t A t A t A t t A t A t t A
 e e0 e0 0 e 0 e 0. e 0 e 0 e00 e00 I e e I 
 hA
 Đặt h t t0 0. Ta sẽ chứng minh limeI . 
 h 0
 kk
 hAkk hA
 Thật vậy: ehA I  e hA 1. 
 kk 11kk!!
 Định lý 3. Tt đƣợc gọi là nửa nhóm liên tục đều. Khi đó, ML  , 
 t 0 
 L  sao cho : T t M. e t . 
 Chứng minh: Chọn M Max 1, L nên ML  , M 1 , hơn nữa 
 T t M,  t  0, L 
 Bằng phƣơng pháp quy nạp, ta có: T nt Mn ,  t  0, L , n N 
 Cố định t 0, tồn tại nN sao cho nT t n 1. T Khi đó: 
 ln M
 nT
 t n 1 nln MT t ln M 
 T t T n 1 M M... e M e M e với L0  
 n 1 T
 Định lý 4. Toán tử A là toán tử sinh của nửa nhóm toán tử liên tục đều trên 
không gian Banach xác suất X khi và chỉ khi A là toán tử bị chặn. 
 Chứng minh: Điều kiện đủ, nếu A là toán tử bị chặn thì là toán tử sinh của 
 tAnn
nửa nhóm toán tử liên tục đều. Xét nửa nhóm T t  etA 
 n 0 n!
 Ta sẽ chứng minh Tt nửa nhóm liên tục đều. 
130 
 TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 51.2020 
 T x x x 1 tA x t22 A x A x tA2 x t 2 A 3 x 3
 Xét A x ... A x .... Ax 
 tt 1! 2! 1! 2! 3!
 T x x x tA2 x t 2 A 3 x A2 x tA 3 x tkk A 2 
 Ax ... t .... t x
 t 2! 3! 2! 3!k 0 2 k !
 22 kk
 tkk A x t A
 t tM x 0( t 0)( M ) 
 kk 00 2 kk ! 2 !
 là chuỗi dƣơng hội tụ. 
 Điều kiện cần, Tt là nửa nhóm liên tục đều bất kỳ. Khi đó toán tử sinh A là 
toán tử bị chặn. 
 1t 1 t 1 t
 I Tsds ITsds ITsds 
 t0 t 0 t 0
 Do tính liên tục đều limI T s 0 t0 sao cho: I T s M 1,  s  0, t0  
 s 0 
 t 1
 1 0 1 t
 I T s ds M 1,  t  0, t0   I T s ds,  t  0, t0  
 t t 
 0 0
 1
 t0
 Ta sẽ chứng minh: A T t I T s ds l X . 
 0 
 0
 11t t t
 Thật vậy, vì: A 1 Th I Tsds Tshds Tsds 
 hh 
 0 0 0
 11 t s T t h h 
 Tsds Tsds Tsds Tsds 
 hh ht00 
 11 t h h s h 
 Tsds Tsds Ttsds Tsds 
 hh t 0 0 0 
 11 h h h
 Tt Tsds Tsds TsdsTt I 
 hh 0 0 0
 11th
 Lấy giới hạn hai vế: lim Th ITsds lim TsdsTt I 
 hx 0 hh 
 00 
 T
 ATsds ITt I Tt I 
 0
 1
 T
 ATt Tt I Tsds lX 
 0
 131 
 TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 51.2020 
 3. KẾT LUẬN 
 Trong bài báo này, chúng tôi đã trình bày khái niệm nửa nhóm liên tục đều trong 
không gian Banach xác suất và chứng minh tính chất đặc trƣng của toán tử sinh của nửa 
nhóm liên tục đều và gần đây nhóm chúng tôi đƣa ra khái niệm nửa nhóm ngẫu nhiên 
liên tục mạnh trong không gian Banach xác suất và chứng minh một số tính chất của nó. 
 TÀI LIỆU THAM KHẢO 
 [1] D.H. Thang and T.N. Anh (2010), On random equations and applications to random 
 point theorems, Random Oper. Stochastic Equations 18, pp. 199-212. 
[2] D.H. Thang, T.C. Son (2016), On the convergence of the product of independent 
 random operators, Stochas.Int. J.Prob, Stochas. Process. 88,927-945. 
[3] D.H. Thang, T.C .Son và N .Thinh (2019), Semigroups of continuous module 
 Homomorphisms on complex complete random normed modules, Lithuanian 
 Mathematical Journal, 59(2): 229 - 250. 
[4] D.H. Thang, N .Thinh, Tr.X. Quy (2016), Abstract random linear operators on 
 probabilistic unitary spaces, J.Korean Math. Soc. 53,2 347-362. 
[5] T.X. Guo. (1996), Module homomorphisms on random normed modules, China 
 Northeast. Math. J., 12 (1): 102-114. 
[6] D.H. Thang (1987), Random Operator in Banach spaces, Probab. Math. Statist. 
 8,155-157. 
 UNIFORMLY CONTINUOUS SEMIGROUPS IN 
 PROBABILITY BANACH SPACES 
 Le Thi Oanh 
 ABSTRACT 
 In this paper, we introduce the notion of uniformly continuous semigroups in 
probability Banach spaces and prove the common properties of the generator 
operator of a uniformly continuous semigroup. 
 Keywords: Probability Banach spaces, random operators, uniformly continuous 
semigroup, generator operators. 
* Ngày nộp bài:30/6/2020; Ngày gửi phản biện: 14/7/2020; Ngày duyệt đăng: 28/10/2020 
* Bài báo này là kết quả nghiên cứu từ đề tài cấp cơ sở mã số ĐT-2019-18 của 
Trường Đại học Hồng Đức. 
132