Nhóm con của nhóm nhân của đại số nhóm

 TẠP CHÍ KHOA HỌC HO CHI MINH CITY UNIVERSITY OF EDUCATION 
 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH JOURNAL OF SCIENCE 
 Tập 18, Số 6 (2021): 1064-1070 Vol. 18, No. 6 (2021): 1064-1070 
 ISSN: 
 2734-9918 Website:  
 Bài báo nghiên cứu* 
 NHÓM CON CỦA NHÓM NHÂN CỦA ĐẠI SỐ NHÓM 
 Lê Văn Chua 
 Trường Đại học An Giang, Việt Nam 
 Tác giả liên hệ: Lê Văn Chua – Email: lvchua.tag@moet.edu.vn 
 Ngày nhận bài: 14-4-2021; ngày nhận bài sửa: 21-4-2021; ngày duyệt đăng: 12-5-2021 
TÓM TẮT 
 Cho G là nhóm và F là trường. Một nhóm con H trong nhóm nhân ()FG của đại số 
nhóm FG được gọi là gần á chuẩn tắc nếu tồn tại một dãy các nhóm con 
 H= Hrr H−1 H 1 H 0 = (), FG 
sao cho với mỗi 0,ir hoặc Hi+1 là nhóm con chuẩn tắc của Hi hoặc Hi+1 có chỉ số hữu 
hạn trong Hi . Trong bài báo này, chúng tôi chứng minh nếu G là một nhóm luỹ linh hữu hạn, F 
là một trường pythagore, F chỉ thừa nhận thứ tự archimedes và mọi đại số chia quaternion A trên 
F đẳng cấu với đại số quaternion thông thường A = −1, − 1 thì mọi nhóm con gần á chuẩn tắc 
 F ( )F
trong nhóm nhân ()FG của đại số nhóm FG là chuẩn tắc trong ().FG 
 Từ khóa: nhóm con gần á chuẩn tắc; đại số nhóm; Trường pythagore 
1. Giới thiệu 
 Cho G là một nhóm. Một nhóm con H của G được gọi là á chuẩn tắc trong G nếu 
tồn tại một dãy các nhóm con 
 HHHHHG==rr−1 1 0 , 
và là gần á chuẩn tắc trong nếu tồn tại một dãy các nhóm con 
 HHHHHG=rr −1 1 0 = , 
sao cho với mỗi hoặc là nhóm con chuẩn tắc của hoặc có chỉ số 
hữu hạn trong Hi (Hartley, 1989). Theo định nghĩa trên, ta dễ dàng nhận thấy rằng mọi 
nhóm con á chuẩn tắc của một nhóm đều là nhóm con gần á chuẩn tắc. Lớp các nhóm con 
gần á chuẩn tắc của nhóm tuyến tính tổng quát đã được nghiên cứu đầu tiên bởi Wehrfritz 
(1993). Gần đây, các tác giả Nguyen, Mai và Bui (2017) đã chứng minh được rằng, nếu D 
là một vành chia với tâm vô hạn và n là số nguyên dương lớn hơn 1 thì mọi nhóm con gần 
Cite this article as: Le Van Chua (2021). Subgroups of the unit groups of a group algebra. Ho Chi Minh City 
University of Education Journal of Science, 18(6), 1064-1070. 
 1064 
Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Lê Văn Chua 
á chuẩn tắc trong GLn ( D) là chuẩn tắc. Tuy nhiên, với n =1, tức là với nhóm nhân 
GL1 ( D) = D của vành chia D thì kết quả này không còn đúng nữa. Cụ thể là có nhiều lớp 
vành chia chứa nhóm con gần á chuẩn tắc nhưng không chuẩn tắc. Greenfield (1978), đã xây 
dựng một nhóm con á chuẩn tắc (do đó gần á chuẩn tắc) trong một vành chia, nhưng không 
chuẩn tắc. Các tác giả Trinh, Mai và Bui (2020) đã xây dựng ví dụ về một nhóm con gần á 
chuẩn tắc trong một vành chia, nhưng không á chuẩn tắc và do đó không chuẩn tắc. Le (2019) 
đã chứng minh được rằng nếu là vành chia quaternion thực thì mọi nhóm con gần á chuẩn 
tắc của nhóm nhân đều là chuẩn tắc trong . Trong bài báo này, chúng tôi sẽ mở rộng 
kết luận này bằng cách chứng minh nếu A là một đại số chia quaternion trên một trường 
pythagore F, F chỉ thừa nhận thứ tự archimedes và A đẳng cấu với đại số chia quaternion 
thông thường AFF=( − 1, − 1) thì mọi nhóm con gần á chuẩn tắc của nhóm nhân A là chuẩn 
tắc trong A . Áp dụng kết quả này, chúng tôi chứng minh nếu G là một nhóm luỹ linh hữu 
hạn, F là một trường pythagore, F chỉ thừa nhận thứ tự archimedes và mọi đại số chia 
 A F A = −1, − 1
quaternion trên đẳng cấu với đại số quaternion thông thường F ( )F thì mọi 
nhóm con gần á chuẩn tắc trong nhóm nhân ()FG của đại số nhóm FG là chuẩn tắc trong 
().FG 
 Các kí hiệu trong bài báo này là các kí hiệu thường dùng. Chẳng hạn, nếu D là vành 
chia thì ZD( ) được kí hiệu là tâm của D, tức là ZD( ) gồm các phần tử giao hoán với các 
phần tử còn lại trong D, tập hợp DD = \0  là một nhóm nhân của D. Giả sử G là một 
nhóm con của D . Ta nói rằng G là nhóm con trung tâm nếu GZD ( ). 
2. Nhóm con gần á chuẩn tắc của nhóm nhân trong đại số nhóm trên một trường 
pythagore 
 Giả sử F là một trường. Ta nói rằng F là trường thực hình thức nếu −1 không là một 
tổng của các bình phương trong F. Chú ý rằng một trường thực hình thức luôn có đặc số 0. Tuy 
nhiên, một trường có đặc số 0 chưa chắc là trường thực hình thức, chẳng hạn trường số phức 
 . Một trường F được gọi là pythagore nếu nó là trường thực hình thức và mọi tổng của các 
bình phương trong F lại là một bình phương trong F. Ví dụ, trường số thực là pythagore, 
trường số hữu tỉ không là pythagore. Nếu F là một trường thực hình thức thì F có ít nhất 
một thứ tự bởi tiêu chuẩn Artin-Schreier. Giả sử là một thứ tự trên F. Nhắc lại rằng, một giá 
trị tuyết đối trên F là ánh xạ : F → 0 thoả mãn các điều kiện sau: 
 (i) = 0 nếu và chỉ nếu = 0. 
 (ii) =  với mọi ,. F 
 1065 
Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Tập 18, Số 6 (2021): 1064-1070 
 (iii) +  +  với mọi ,. F 
 Ta nói rằng  F là vô cùng bé nếu n  1 với mọi số nguyên dương n. Một thứ tự 
trên F được gọi là không archimedes nếu F có một phần tử vô cùng bé khác 0, ngược lại, nó 
được gọi là archimedes. 
 Cho F là một trường và a,. b F Nhắc lại rằng, một đại số chia quaternion A= (,) a b F 
trên F là một đại số chia trên F được sinh bởi các phần tử i và j thoả mãn 
 i22= a,,. j = b ij = − ji 
 Đặt k= ij A. Chú ý rằng k2 = − ab,,. ik = − ki = aj kj = − jk = bi Khi ab= = −1, đại số 
chia quaternion AFF=( − 1, − 1) được gọi là đại số quaternion thông thường trên F. Đặc biệt, 
nếu F = thì A được gọi là vành chia quaternion thực và được kí hiệu là . Giả sử 
 t xi yj zk A, ta gọi t xi yj zk là liên hợp của trong A. Chuẩn 
của A được định nghĩa bởi 
 N t2 ax 2 by 2 abz 2. 
 Chú ý rằng NNN với mọi ,.A Đặt 
AAN(1) * | 1 . Dễ dàng kiểm tra được A(1) là một nhóm con chuẩn tắc 
không trung tâm của A*. 
 Để đi đến kết luận chính của bài báo này, trước hết, ta nhắc lại khái niệm lõi của nhóm 
con trong một nhóm. Lõi của nhóm con H trong một nhóm G được định nghĩa bởi 
 1 
 CoreG H aHa .
 aG
 Chú ý rằng CoreG H là nhóm con chuẩn tắc lớn nhất của G chứa trong H. Hơn 
 GH:
nữa, nếu chỉ số hữu hạn thì GH: CoreG cũng hữu hạn. Nếu H là một nhóm con 
chuẩn tắc có chỉ số hữu hạn trong G, nghĩa là G:, H n thì aHn với mọi aG. 
 Tiếp theo, ta cũng cần nhắc đến khái niệm đồng nhất thức trên nhóm. Giả sử G là một 
nhóm với tâm ZG( ) là tập hợp tất cả các phần tử aG sao cho a giao hoán với mọi phần 
 gG,
tử và x12,,, x xn là n biến không giao hoán. Một biểu thức có dạng 
 m m m
 x,,, x x a x12 a x a xt a 
 1 2n 1 i12 2 i t it t 1
 G,
được gọi là một đơn thức suy rộng trên trong đó ajj G, i 1,2, , n , nếu với mọi 
jt1,2, , 1, các điều kiện và kéo theo a không thuộc ZG, 
 iijj1 mmjj1 0 j 1
 1066 
Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Lê Văn Chua 
(Golubchik, & Mikhalev, 1982; Tomanov, 1985). Giả sử H là nhóm con của G. Ta nói rằng 
 1 là một đồng nhất thức của H hoặc H thỏa đồng nhất thức 1 trên G nếu 
 c, c , , c 1
 12 n với mọi c12,,,. c cn H 
 Các tác giả Nguyen, Mai và Bui (2017) đã chứng minh kết quả sau: 
Mệnh đề 2.1. 
 Cho D là một vành chia với tâm F vô hạn và H là một nhóm con gần á chuẩn tắc 
trong nhóm nhân D . Khi đó, nếu H thỏa một đồng nhất thức trên D thì H là nhóm con 
trung tâm. 
 Kết luận sau được coi là một mở rộng kết quả của Mahmoudi (2020). 
Mệnh đề 2.2. 
 Cho A là một đại số chia quaternion trên một trường pythagore F, F chỉ thừa nhận 
thứ tự archimedes và A đẳng cấu với AF . Giả sử H là một nhóm con không trung tâm của 
A . Khi đó, các điều kiện sau là tương đương: 
 (i) là nhóm con gần á chuẩn tắc của A . 
 (ii) là nhóm con á chuẩn tắc của 
 (iii) là nhóm con chuẩn tắc của 
 (iv) chứa A(1). 
 Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh (i ) ( iv ). Giả sử là một nhóm con không 
trung tâm của Bởi một kết luận của Casolo và Mainardis (2001), H chứa một nhóm con 
K của A sao cho K là nhóm con á chuẩn tắc của A và chỉ số HK:  hữu hạn. Đặt 
NK= CoreH ( ) là lõi của K trong H. Dễ dàng nhận thấy N là một nhóm con á chuẩn tắc của 
A và nhóm thương HN là hữu hạn. Ta sẽ chứng minh N là nhóm con không trung tâm của 
A . Thật vậy, giả sử N là nhóm con trung tâm của A , tức là NF . Khi đó, với mọi aH , 
ta có an  N F trong đó n là cấp của nhóm thương HN. Lấy một phần tử AF\. Rõ 
ràng H thỏa một đồng nhất thức xxn n−− n n =1 trên A . Theo Mệnh đề 2.1, H là nhóm 
con trung tâm của A . Điều này dẫn đến mâu thuẫn. Do đó N là một nhóm con không trung 
 (1)
tâm của A . Bởi một kết luận của Mahmoudi (2020), N chứa A(1) và do đó H chứa A . 
Mệnh đề được chứng minh. 
 Như một hệ quả của Mệnh đề 2.2, ta nhận được kết quả sau: 
Hệ quả 2.3. 
 Cho là một đại số chia quaternion trên một trường pythagore F, chỉ thừa nhận 
thứ tự archimedes và đẳng cấu với Khi đó, mọi nhóm con gần á chuẩn tắc của nhóm 
 1067 
Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Tập 18, Số 6 (2021): 1064-1070 
nhân A là chuẩn tắc trong A . 
 Áp dụng Hệ quả 2.3 để nghiên cứu cấu trúc của nhóm con gần á chuẩn tắc trong nhóm 
nhân của đại số nhóm. Cho G là một nhóm và F là một trường. Nhắc lại rằng, một đại số nhóm 
FG là tập hợp của tất cả các phần tử có dạng  agg , trong đó aFg . Phép toán cộng và 
 gG 
phép toán nhân trong FG được cho bởi 
 ag g +  b g g =  ( a g + b g ) g
 g G g G g G
 a g b h= a b g.
 g  h  ( h hg−1 )
 g G h G g, h G
 Bây giờ ta sẽ phát biểu và chứng minh kết quả chính của bài báo này. 
Định lí 2.4. 
 Cho G là một nhóm luỹ linh hữu hạn và F là một trường pythagore. Giả sử F chỉ 
thừa nhận thứ tự archimedes và mọi đại số chia quaternion A trên F đẳng cấu với AF . 
Khi đó, mọi nhóm con gần á chuẩn tắc trong nhóm nhân ()FG của đại số nhóm FG là 
chuẩn tắc trong ().FG 
 Chứng minh. Giả sử H là một nhóm con gần á chuẩn tắc của ().FG Ta sẽ chứng minh 
H là một nhóm con chuẩn tắc của ().FG Thật vậy, nếu H là nhóm con trung tâm của ()FG 
thì rõ ràng H là chuẩn tắc trong ().FG Giả sử H là nhóm con không trung tâm của ().FG 
Chú ý rằng F là trường có đặc số 0. Bởi một kết luận của Roquette (1958), tồn tại các số 
nguyên dương n12,,, n nk và các đại số chia quaternion AAA12,,, k trên F sao cho 
  : FG→ M A M A M A 
 n12( 12) n( ) nk ( k )
là đẳng cấu. Khi đó  cảm sinh một đẳng cấu mà ta vẫn kí hiệu lại bởi  , 
  :().FG → GL A GL A GL A 
 n12( 12) n( ) nk ( k )
Với mọi 1, ik ta xét phép chiếu chính tắc 
 :.GL A GL A GL A → GL A 
 i n12( 12) n( ) nki( k) n( i )
 Do H là nhóm con gần á chuẩn tắc của ()FG và  là đẳng cấu nên dễ dàng kiểm 
tra được  H là nhóm con gần á chuẩn tắc của GL A GL A GL A . Chú 
 ( ) n12( 12) n( ) nk ( k )
ý rằng  (H ) có dạng 
  (HHHH) =12 k , 
 1068 
Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Lê Văn Chua 
trong đó H là nhóm con của GL A với mọi 1. ik Rõ ràng HH= là nhóm 
 i nii ( ) ii( ( ))
con gần á chuẩn tắc của GL A . Nếu n 2 thì H là nhóm con chuẩn tắc của GL A 
 nii ( ) i i nii ( )
bởi một kết luận của Nguyen, Mai và Bui (2017). Nếu ni =1 thì là nhóm con chuẩn tắc 
của bởi Hệ quả 2.3. Do đó là nhóm con chuẩn tắc của với mọi số 
nguyên dương ni . Điều này dẫn đến  (H ) là nhóm con chuẩn tắc của nhóm 
GL A GL A GL A . Như một hệ quả, ta có H là nhóm con chuẩn tắc của 
 n12( 12) n( ) nk ( k )
().FG Định lí được chứng minh. 
3. Kết luận 
 Cho G là một nhóm luỹ linh hữu hạn , F là một trường pythagore và F chỉ thừa 
nhận thứ tự archimedes và mọi đại số chia quaternion A trên F đẳng cấu với đại số 
quaternion thông thường AF . Khi đó, chúng tôi nhận được một cấu trúc của nhóm con gần 
á chuẩn tắc của nhóm nhân trong đại số FG là, nhóm mọi nhóm con gần á chuẩn tắc trong 
nhóm nhân ()FG của đại số nhóm là chuẩn tắc trong ().FG Với một nhóm G và 
một trường F bất kì, chúng tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu cấu trúc của nhóm con gần á chuẩn tắc 
của nhóm nhân của đại số nhóm FG. 
 ❖ Tuyên bố về quyền lợi: Tác giả xác nhận hoàn toàn không có xung đột về quyền lợi. 
 TÀI LIỆU THAM KHẢO 
Casolo, C., & Mainardis, M. (2001). Groups in which every subgroup is f-subnormal. J. Group 
 Theory, 4, 341-365. 
Golubchik, I. Z., & Mikhalev, A. V. (1982). Generalized group identities in the classical groups. Zap. 
 Nauch. Semin. Lomi An SSSR, 114, 96-119. 
Greenfield, G. R. (1978). A note on subnormal subgroups of division algebras. Can. J. Math, 30, 
 161-163. 
Hartley, B. (1989). Free groups in normal subgroups of unit groups and arithmetic groups. Contemp. 
 Math, 93, 173-177. 
Hazrat, R., & Wadsworth, A. R. (2009). On maximal subgroups of the multiplicative group of a 
 division algebra. J. Algebra, 322, 2528-2543. 
Le, V. C. (2019). Nhom con cua nhom nhan trong vanh chia quaternion thuc [Subgroups of the 
 multiplicative group of the division ring of real quaternions]. Ho Chi Minh City University of 
 Education Journal of Science, 12(16), 975-981. 
 1069 
Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Tập 18, Số 6 (2021): 1064-1070 
Mahmoudi, M. G. (2020). On normal subgroups of the unit group of a quaternion algebra over a 
 pythagorean field. Bull. Iran. Math. Soc, 46, 253-262. 
Nguyen, K. N., Mai, H. B., & Bui, X. H. (2017). Free subgroups in almost subnormal subgroups of 
 general skew linear groups. Algebra i Analiz, 28(5), 220-235, English translation in St. 
 Petersburg Math. J., 28(5), 707-717. 
Roquette, P. (1958). Realisierung yon Darstellungen endlicher nilpotenter Gruppen. Archiv. Math. 
 9, 241-250. 
Tomanov, G. M. (1985). Generalized group identities in linear groups. Math. USSR, Sbornik, 51, 33-46. 
Trinh, T. D., Mai, H. B., & Bui, X. H. (2020). On division subrings normalized by almost subnormal 
 subgroups in division rings. Periodica Mathematica Hungarica, 80, 15-27. 
Wehrfritz, B. A. F. (1993). A note on almost subnormal subgroups of linear groups. Proc. Am. Math. 
 Soc, 117(1), 17-21. 
 SUBGROUPS OF THE UNIT GROUPS OF A GROUP ALGEBRA 
 Le Van Chua 
 An Giang University, Vietnam 
 Corresponding author: Le Van Chua – Email: lvchua.tag@moet.edu.vn 
 Received: April 14, 2021; Revised: April 21, 2021; Accepted: May 12, 2021 
ABSTRACT 
 Let G be a group and F a field. A subgroup H of the unit group ()FG of the group 
algebra FG is said to be almost subnormal if there exists a sequence of subgroups 
 H= Hrr H−1 H 1 H 0 = (), FG 
such that for any 0, ir either Hi+1 is normal in Hi or Hi+1 has the finite index in Hi . In this 
paper, we show that if G is a finite nilpotent group, F is a pythagorean field, F admits only 
archimedean orderings, and every quaternion division algebra A over F is isomorphic to the 
ordinary quaternion algebra AFF=( − 1, − 1) , then almost every subnormal subgroup of the unit 
group ()FG of the group algebra FG is normal in ().FG 
 Keywords: almost subnormal subgroup; group algebra; pythagorean field 
 1070