Một số tính chất cơ ản của hàm dẫn xuất

 TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 51.2020 
 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ ẢN CỦA HÀM DẪN XUẤT 
 Nguyễn Mạnh Hùng1 
 TÓM TẮT 
 Bài báo đưa ra chứng minh cho một số định lý cơ bản về hàm dẫn xuất của đại 
lượng ngẫu nhiên nhận các giá trị nguyên, không âm. 
 Từ khóa: Hàm dẫn uất, đại lượng ngẫu nhiên nguyên, không âm. 
 1. ĐẶT VẤN ĐỀ 
 Chúng ta đều biết: mỗi phân phối xác suất đều đƣợc xác định một cách duy nhất 
bởi một hàm đặc trƣng t E eitX . Tuy nhiên việc nghiên cứu các hàm đặc trƣng 
nói chung phức tạp và đòi hỏi vận dụng lý thuyết hàm biến phức. 
 Đối với các đại lƣợng ngẫu nhiên nhận giá trị nguyên, không âm có một cách 
khác đơn giản hơn để nghiên cứu phân phối xác suất, đó là nghiên cứu thông qua 
những hàm biến thực dạng đa thức hoặc chuỗi, gọi là các hàm dẫn xuất. Trong bài báo 
này chúng tôi chứng minh các tính chất cơ bản của hàm dẫn xuất mà trong tài liệu [1] 
không trình bày hoặc trình bày chƣa cụ thể. 
 2. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU 
 Định nghĩa 2.1. [1] Cho đại lƣợng ngẫu nhiên X nhận các giá trị nguyên, 
 Xi
không âm với P( X i ) pi , ( i 0,1,2, ...) . Hàm số f() s Es pi s đƣợc gọi là 
 i 0
hàm dẫn xuất của đại lƣợng ngẫu nhiên X. 
 Nhận xét 2.1. Nếu fs() là hdx của đại lƣợng ngẫu nhiên thì fe()it là hàm 
đặc trƣng của nó. 
 Ví dụ 2.1. Cho đại lƣợng ngẫu nhiên X có phân bố xác suất nhƣ sau: 
 X 0 1 2 3 4 5 
 P 0,1 0,15 0,25 0,2 0,1 0,2 
 Theo định nghĩa 1.1, hàm dẫn xuất của X là 
 fE(s) sX 0,1 0,15ss 0,25 2 0,2 s 3 0,1 ss 4 0,2 5 . 
 Ví dụ 2.2. [2] Cho đại lƣợng ngẫu nhiên có phân phối xác suất nhị thức với 
tham số np, . Theo định nghĩa 1.1, hàm dẫn xuất của là 
 nn
 X i i n i i ii n i
 f() s Es Cnn p q s C ps q . 
 ii 00
1 Khoa Khoa học Tự nhiên, Trường Đại học Hồng Đức 
114 
 TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 51.2020 
 Biểu thức cuối cùng chính là khai triển nhị thức Newton ps q n . 
 Vậy hàm dẫn xuất của đại lƣợng ngẫu nhiên có phân phối nhị thức với tham số 
 n
 np, là f s ps q . 
 Ví dụ 2.3. Cho đại lƣợng ngẫu nhiên X có phân phối xác suất Poisson với tham 
số  0. Theo định nghĩa 1.1, hàm dẫn xuất của X là 
 i
 i  
  e s e  s 1
 f( s) Es X si e . e s e . 
 i 00ii! i !
 Vậy hàm dẫn xuất của đại lƣợng ngẫu nhiên có phân phối Poisson với tham số 
 là: f s e s 1 . 
 Định nghĩa 2.2. ([1]) Cho đại lƣợng ngẫu nhiên X nhận các giá trị nguyên 
 i
không âm với P( X i ) qi , ( i 0,1,2,...). Hàm số g() s  qi s đƣợc gọi là hàm dẫn 
 i 0
xuất phụ của đại lƣợng ngẫu nhiên . 
 Ví dụ 2.4. Cho đại lƣợng ngẫu nhiên có phân bố xác suất nhƣ sau: 
 X 0 1 2 X 0 1 2 
 P 0,1 0,5 0,4 Q 0,9 0,4 0 
 Theo định nghĩa 1.2, hàm dẫn xuất của là: g()s 0,9 0,4s . 
 Ví dụ 2.5. Cho đại lƣợng ngẫu nhiên có phân phối xác suất Poisson với tham 
số . Theo Định nghĩa 1.2, hàm dẫn xuất của là 
 k   s 1 
  eei 1
 gs( )  s . 
 i 01 k i k! 1 s
 Hàm dẫn xuất phụ của đại lƣợng ngẫu nhiên có phân phối Poisson với tham số là 
 1 e s 1 
 gs . 
 1 s
 Nhận xét 2.2. a) Hàm dẫn uất fs ác định ít nhất trên đoạn  1;1. 
 b) Hàm dẫn uất phụ gs ác định ít nhất trên đoạn . 
 i
 c) Chuỗi hàm  psi . hội tụ đều trên đoạn  ;   1;1 về hàm fs , do đó 
 i 0
 i 1 
ta có thể lấy đạo hàm 2 vế f s  i.. pi s . Thay s 1vào công thức trên ta được 
 i 0
 f 1.  i pi . Suy ra EX f 1 . Vậy fs ác định tại khi và chỉ khi EX tồn tại. 
 i 0
 115 
 TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 51.2020 
 Định lí 2.1. [1] Cho f s , g s lần lượt là hàm dẫn uất và hàm dẫn uất phụ 
 1 fs 
của đại lượng ngẫu nhiên X. Khi đó nếu s 1 thì gs . 
 1 s
 i i
 Chứng minh. Ta có g() s  qi s  psi . 
 i 0 i 01 k i 
 2
 Do đó: g( s ) 1 p0 1 p 0 p 1 s 1 p 0 p 1 p 2 s 
 2 2 2 2
 1s s p0 1 s s p 1 s s p 2 s 
 11 ss 2
 p0 p 1 p 2 
 1 s 1 s 1 s 1 s
 1 2
 1 p0 p 1 s p 2 s 
 1 s
 1 i
 1  psi 
 1 s i 0
 1 fs 
 . 
 1 s
 Định lý đƣợc chứng minh. 
 Định lí 2.2. [1] Cho X là đại lượng ngẫu nhiên nhận các giá trị nguyên không 
âm. Nếu EX tồn tại thì gs ác định tại s 1và EX g 1. 
 Chứng minh. Nếu tồn tại, dễ thấy 
 f s f 1 f s 1 1 f s 
 Do đó EX lim lim lim 
 s 1s 1 s 1 s 1 s 1 1 s
 Từ định lý 2.1 suy ra: EX lim g s g 1 . 
 s 1
 Định lý đƣợc chứng minh. 
 Định lí 2.3. [1]) Cho là đại lượng ngẫu nhiên nhận các giá trị nguyên không 
âm. Nếu DX tồn tại thì f s , g s ác định tại và 
 22
 DX f 1 f 1 f 1 2 g 1 g 1 g 1 . 
 Chứng minh. Ta có 
 DX E X EX 2
 2
 EX2 2 E X .EX EX (Xem [1]) 
 EX2 EX 2
 2
 2 
 i . pi f 1 (xem Định lý 2.2) 
 i 0
116 
 TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 51.2020 
 2
 i i 1 . pii i . p f 1 
 ii 00
 2
 f 1 f 1 f 1 . 
 (Do DX tồn tại nên f 1 tồn tại hay fs xác định tại s 1). 
 1 fs 
 Tiếp theo, từ Định lý 2.1 ta có gs . 
 1 s
 Suy ra: f s 1. g s s g s 
 f s g s g s s. g s 
 f s g s 2. g s s g s . 
 Do fs xác định tại nên fg 1 2 1 , do đó gs xác định tại và ta có: 
 2
 DX ff 1 1 f 1 
 2
 2gg 1 1 g 1 .
 22
 Vậy DX f 1 f 1 f 1 2 g 1 g 1 g 1 . 
 Định lý đƣợc chứng minh. 
 Định lí 2.4. [1] Cho XY, là hai đại lượng ngẫu nhiên độc lập nhận các giá trị 
nguyên không âm với P X i pi và P Y i qi . Đặt ZXY thì hàm dẫn 
 uất của đại lượng ngẫu nhiên Z là fZXY s f s . f s , (với fXY s , f s lần 
lượt là hai hàm dẫn uất của hai đại lượng ngẫu nhiên ). 
 Chứng minh 
 XY 
 Ta có fZXY s f s Es . 
 X Y
 Suy ra fsZ Es .s . 
 X Y
 Nên fsZ Es .Es (vì XY, là hai đại lƣợng ngẫu nhiên độc lập, xem [2]) 
 Do đó . 
 Định lý đƣợc chứng minh. 
 Định lí 2.5. [1] Nếu XXX12, , , n là n đại lượng ngẫu nhiên độc lập nhận các 
 n
giá trị nguyên không âm và XX  i thì hàm dẫn uất của đại lượng ngẫu nhiên 
 i 1
 117 
 TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 51.2020 
 n
 X là f s f s , (với fs là hàm dẫn uất của hai đại lượng ngẫu nhiên 
 XX  i Xi 
 i 1
 Xi , i 1, n ). 
 Định lý 2.5 là mở rộng đơn giản Định lý 2.4, do đó việc chứng minh Định lý 2.5 
hoàn toàn dựa trên chứng minh của Định lý 2.4. 
 Vậy hàm dẫn xuất của tổng các đại lƣợng ngẫu nhiên độc lập bằng tích các hàm 
dẫn xuất của từng đại lƣợng ngẫu nhiên thành phần. 
 Hệ quả 2.1. Nếu XXX12, ,..., n là n đại lượng ngẫu nhiên độc lập có cùng phân 
 n
phối ác suất thì hàm dẫn uất của XX  i (tổng các đại lượng ngẫu nhiên đó) là 
 i 1
 n
 fX s f s , với fs là hàm dẫn uất chung của các đại lượng ngẫu nhiên 
 XXX12, , , n . 
 TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1] Feller W. (1957), An Introduction to Variational the probability theory and its 
 applications, V. I. 2nd ed. John Wiley and Sons, Inc., New York; Chapman and 
 Hall, Ltd., London. 
[2] Phạm Văn Kiều (2000), Xác suất thống kê, Nxb. Giáo dục, Hà Nội. 
[3] Kagan A. M., Linnik Yu. V., Rao R. (1972), Các bài toán đặc trưng của thống kê 
 toán học (Tiếng Nga), Moskva, “Nauka”. 
 SOME BASIC PROPETIES FOR GENERATING FUNCTION 
 Nguyen Manh Hung 
 ABSTRACT 
 In this paper, we present proofs of some basic results for generating function of 
random variables receiving integer and non-negative values. 
 Keywords: Generating function, random variable receiving integer, non-
negative values. 
* Ngày nộp bài: 15/10/2019; Ngày gửi phản biện: 25/11/2019; Ngày duyệt đăng: 28/10/2020 
118