Một chứng minh ngắn cho bất đẳng thức hàm phân phối trên các tập mức

a học Trường ĐHSP TPHCM Tập 18, Số 6 (2021): 1051-1063 
Bổ đề 3.2. Cho α ∈[0, n) và  ∈ΩL1 ( ; + ) cùng với λρ,> 0, ξ ∈Ω sao cho: 
 C
 αρ( ;.λξ) ∩Ω( ) ≠∅ (3.12) 
 n−αγ
 −
 nγ n
Khi đó với mọi εε∈(0; 0 ) với ε 0 đủ nhỏ sao cho ε 0 > 3 ta có: 
 nn−−αγ αγ
 −−
 ααnnγγ
 ddΩρρ(ξε); λ ≤Ωχ (ξε);. λ (3.13) 
 B2 ρ (ξ )
 
Chứng minh. Với mọi ζξ∈ Bρ ( ) ta có thể biểu diễn toán tử cực đại cấp phân số Mα như 
là giá trị lớn nhất của hai toán tử chặt cụt của hàm  ở mức ρ > 0 đã được định nghĩa ở 
Định nghĩa 1.2 như sau: 
 ρρ
 Mα(ζ) = max{ MTαα ( ζζ) ;( )} . (3.14) 
Hơn nữa, giả thiết (3.3) giúp ta tìm được phần tử z1 ∈Ωρ (ξ ) và Mα ( z1 ) ≤ λ . Khi đó ta dễ 
dàng kiểm tra được bao hàm thức sau: 
 Brr(ζξ) ⊂⊂ B++ρρ( ) B r2( z 1) ⊂ Bz 31 r( ), với mọi r ≥ ρ . 
 ρ
Từ đó, ta có thể đánh giá Tα  bằng cách làm trội tích phân của  trên Br (ζ ) bởi tích phân 
trên của chính nó trên tập Bz31r ( ) như sau: 
 1
 Tραζ = sup r x dx
 α ( ) n ∫ ( )
 r≥ρ  (B (ζ )) ζ
 r Br ( )
 n
  (Bz31r ( )) 1
 ≤ sup rα  x dx 
 nn∫ ( ) (3.15) 
 r≥ρ (B(ζ )) ( Bz( ))
 rr31Bz31r ( )
 α 1
 ≤3n−α sup 3r x dx≤≤3nnM z 3λ .
 ( ) n ∫ ( ) α ( 1 )
 r≥ρ  (Bz( ))
 31r Bz31r ( )
Mặt khác, với r ∈(0;ρ ) tùy ý ta lại có BB(ζ) ⊂⊂() ξξ B( ) nên suy ra ≡ χ 
 rr+ρρ2 B2 ρ (ξ )
trên tập Br ()ζ và hơn nữa 
 11
 sup rαα( y) dy= sup r χ ( y) dy. 
 nn∫∫B2 ρ (ξ )
 00<≤rrρρ(BB(ζζ)) ζζ<≤ ( ( ))
 rrBBrr( ) ( )
Nói cách khác, ta có MMρρ(ζζ) = (χ )( ) . Như vậy ta có thể viết lại (3.5) dưới dạng 
 ααB2 ρ (ξ )
như sau: 
 ρρ
 MMαα(ζ) = max χ ξ (ζζ);. T α( ) 
 { ( B2 ρ ( ) ) }
Kết hợp với (3.6), ta có: 
 1056 
Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Nguyễn Thành Nhân và tgk 
 ρ n
 MMαα(ζ) ≤max χ ξ (ζ);3 λζ ,∀∈Bρ( ξ). (3.16) 
 { ( B2 ρ ( ) ) }
 n−αγ
 −
Cuối cùng, từ (3.7) có thể rút ra rằng với mọi ε sao cho ε nγ > 3n ta sẽ có: 
 nn−−αγ αγ
 −−  
 nnγγρ
 α;:ελ∩Ω ρα( ξζ) = ∈Ω M χ ξ (ζελ) > ∩Ωρ( ξ) . (3.17) 
  ( B2 ρ ( ) )
  
Từ (3.8) có thể suy ra (3.4) và ta hoàn thành chứng minh Bổ đề 3.2. 
 n
Bổ đề 3.3. Xét γ00∈(1; +∞] , γ ∈( 1, γα] , ∈  0;  và hai hàm , thỏa mãn điều kiện (A1) 
 γ
 n−αγ
 −
 nγ n
với số γ 0 ∈(1, +∞] . Khi đó với mọi ε sao cho ε > 3 , thỏa mãn 
 C C −1
 αρ( ;λξ) ∩Ω( ) ≠∅ và αε( ;,ελc ) ∩Ω ρ( ξ) ≠∅ 
với ξ ∈Ω và ρλ,0> thì ta sẽ có bất đẳng thức sau đây: 
 nγ
 −
 nn−−αγ αγ
 −−  n−αγ
 dα Ω≤ξ;. εnnγγ λ  CC ε  ρnn = ερ (3.18) 
  ρ ( )  
   
Ở đây, hằng số C chỉ phụ thuộc vào n,,αγ và c . 
Chứng minh. Nếu B2ρ (ξ ) ⊂Ω thì ta chọn R = 2ρ và υξ= . Ngược lại, nếu 
 C
B2ρ (ξ ) ∩Ω ≠∅ thì ta chọn R = 4ρ và υ ∈∂Ω sao cho ξυ− =dist ( ξ;2 ∂Ω) ≤ ρ. Theo 
cách chọn R và υ như trên, ta luôn có BB2ρ (ξυ) ⊂ R ( ) . Nhờ vậy, ta có thể đánh giá vế trái 
 n−αγ
 −
của (3.9) bằng cách áp dụng Bổ đề 3.2 với ε nγ > 3n và sử dụng tính chất của bộ ba hàm 
,,ϕψ thỏa mãn  ≤+c (ϕψ) trong Định nghĩa 1.5 với c ≥1 như sau: 
 nn−−αγ αγ
 −−
 ααnnγγ
 ddΩρ(ξε);; λ ≤Ωχρ(ξε) λ
 BR(υ)
 
 (3.19
 nn−−αγ αγ
 −−11−−
 ααccnnγγ) 
 ≤Ωddχϕ ρ(ξ); ελ +Ωχψ ρ( ξ);. ελ
 BBRR(υυ) ( )
 22
Để tiếp tục đánh giá hai biểu thức ở vế phải của (3.10), ta sử dụng Bổ đề 1.9 lần lượt với 
s =1 và s =γ >1. Đầu tiên ta viết lại đánh giá (3.10) dưới dạng biểu thức có chứa trung 
bình tích phân như sau: 
 1057 
Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Tập 18, Số 6 (2021): 1051-1063 
 n
 n−αγ n−α
 −
 α nγ c n 1
 d Ω≤ρ (ξε); λ CRn−αγ ψ( x) dx
 − n ∫
 γ  (BR (υ )) B (υ)
 ελn R
 n (3.20) 
 γ
  n−αγ
 c 1 γ
 + n ϕ
 C n−αγ R n ( x) dx .
 −  B (υ ) ∫
 nγ ( R ) BR (υ)
 ελ
 γ 0
Giả thiết ϕυ∈Ω (2R ( )) có thể viết lại thành bất đẳng thức sau: 
 1
 γ0
 
 11γ 0
 ϕϕ( x) dx≤ C ( x) dx. (3.21) 
 nn∫∫
 BB(υυ) υυ( )
 ( RR) BBRR( ) ( 2 ) 2 ( )
Với 1<≤γγ0 , áp dụng bất đẳng thức H" " lder ta có đánh giá: 
 γγ γ
 1−
 γγγ 0 γγ
 γγ00𝑜𝑜 ̈ γ 01−
 00γγ− n γ
 ϕϕ( x) dx≤=( x) dx 1,0 dx ϕ( x) dx B ( υ) 0 
 ∫∫ ∫ ∫( ( R ))
 υυ υ υ
BBRR( ) ( )  B R( ) B R( )
và từ đó dẫn đến 
 1
 1 γ0
  γ 
 11γγ0
  ϕϕ( x) dx≤ ( x) dx. (3.22) 
 nn∫∫ 
 BB(υυ) υυ( )
 ( RR) BBRR( ) ( ) ( ) 
Từ (3.12) và (3.13) ta có 
 γ
  11γ  
  ϕϕ( x) dx≤ C ( x) dx
 nn∫∫ 
 BB(υυ) υυ( )
 ( RR) BBRR( ) ( 2 ) 2 ( )  (3.23) 
 11
 ≤+C c ( x) dx c ψ ( x) dx
 nn∫∫
 BB(υυ) υυ( )
 ( 22RR) BB22RR( ) ( ) ( )
Mặt khác, từ giả thiết ta có thể tìm được zz12, ∈Ωρ (ξ ) thỏa mãn Mα ( z1 ) ≤ λ và 
 −1
Mαε ( zc2 ) ≤ ελ. Bên cạnh đó, ta có dãy các tập lồng nhau sau: 
 B2RRR(υυ) ⊂⊂ B 3( ) B 3++ρρ( z 1) ∩ B 3 R( z 2) ⊂ Bz 41 R( ) ∩ Bz 42 R( ) . 
Từ đó dẫn đến đánh giá: 
 11
 x dx ≤ 2n x dx
 nn∫∫( ) ( ) 
 (BB(υυ)) υυ( ( ))
 24RRBB22RR( ) ( )
 nn−α −α
 ≤≤24( R) Mα ( xz)( 1 ) 2 Rλ . 
 1058 
 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Nguyễn Thành Nhân và tgk 
Tức là ta đã có bất đẳng thức sau: 
 1
  x dx≤ 2.n R−α λ 
 n ∫ ( ) (3.24) 
  (B (υ )) υ
 2R B2 R ( )
Một cách tương tự, ta có 
 11
 x dx ≤ 2n x dx
 nn∫∫( ) ( ) 
 (BB(υυ)) υυ( ( ))
 24RRBB22RR( ) ( )
 nn−α −α
 ≤≤24( R) Mα  ( xz)( 1 ) 2 Rκλ . 
Nghĩa là ta đánh giá được 
 1
  x dx≤2.n R−ακλ 
 n ∫ ( ) (3.25) 
  (B (υ )) υ
 2R B2 R ( )
Dựa vào đánh giá (2.6), (3.15), (3.17) ta suy ra: 
 1
 ψx dx≤+2nn ε c ε c−−11 Rαα λ = 2, +− ελ R 
 n ∫ ( ) ( εε) (3.26) 
  (B (υ )) υ
 R BR ( )
với mọi ε ∈(0;1) . Từ (3.10), (3.14), và (3.17) ta rút ra kết luận: 
 n−αγ
 − nnγ
 dα Ωξ; εnγ λ ≤Cc 2n σε−−1nn−−α RCc nn ++ 2121σ ε αγ Rn
  ρ ( ) ( ) ( ( )) . 
 
 n−αγ
 −
 nγ n −1
Chọn ε để ε > 3 và εεcε ∈(0; ) thì ta thu được (3.9). Như vậy ta đã hoàn thành 
chứng minh Bổ đề 3.3. 
 n 1 +
Định lí 3.4. Cho γ00∈(1; +∞] , γ ∈( 1, γα] , ∈  0;  và hai hàm ,;∈ΩL ( ) thỏa mãn 
 γ
các điều kiện (A1) với số γ 0 và (A2). Khi đó tồn tại ε 0 ∈(0;1) sao cho 
 n−αγ
 −
 dαΩ;εnγ λ ≤Cd εαα Ω+; λ d Ω ;, ελ c−1
 ( ) ( ε ) (3.27) 
 
với mọi λ > 0 và εε∈(0; 0 ) . 
Chứng minh. Đầu tiên ta sẽ chứng minh bất đẳng thức sau đây: 
 n−αγ
 −
 nC;;εnγ λ∩   ελcC−1 ∩Ω ≤ ε n;. λ∩Ω
 ααε( ) ( α( ) ) (3.28) 
 
Để tiến hành, ta cần sử dụng Bổ đề 1.8 với hai tập con của Ω được định nghĩa như sau: 
 n−αγ
 −
  :;=  εnγ λ∩ C  ; ελc−1 ∩Ω =λ ∩Ω
 ααε( ) và :;.α (  ) 
 
 1059 
Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Tập 18, Số 6 (2021): 1051-1063 
Ta sẽ chứng minh hai tập này thỏa các điều kiện i) và ii) của Bổ đề 1.8. Đầu tiên ta thấy 
(3.19) hiển nhiên đúng nếu  rỗng, do đó ta chỉ xét trường hợp khi  ≠∅. Nhờ bất đẳng 
thức (3.2) trong Bổ đề 3.1 mà ta sẽ có i), cụ thể là: 
 n
 −
 nn−−αγ αγ 1 n−α
 −−   (3.29) 
 nα nnγγ−1 nn
 ( ) ≤Ωd;ελ  ≤ C ε  ε cBε ( (0)) ≤ε ( B( 0.)) 
     rr
   
Tiếp theo, điều kiện ii) sẽ được chứng minh bằng phản chứng. Cụ thể, ta giả sử
Ω(ξ ) ∩C ≠∅, với ξ ∈Ω và ρ ∈(0; r] và sẽ chỉ ra rằng: 
 ρ 
 nn
 ( ∩≤ ρρ(ξε)) ( ( ξ)). (3.30) 
Thực vậy, không mất tính tổng quát có thể giả sử ∩ρ (ξ ) ≠∅. Sử dụng kết quả (3.9) 
trong Bổ đề 3.3, ta có đánh giá sau: 
 n −nγ
 −
 nn−−αγ 1 n−α αγ
 −− n−αγ
 nnnnγγ
 ( ∩≤ ρρ(ξ)) C  εεε+ ( ( ξ)) 
  
  
 
 n
 1+
 γα(n− ) nn
 =+≤C ε ε( ρρ( ξε)) ( ( ξ)). (3.31) 
 
 n
 −
 n−αγ 1 n−α n
 − 1+
 γ γα(n− )
Trong (3.20) và (3.22) ta thấy rằng εn εε= và c >1. Do đó các bất 
  ε
 
 n n−αγ
 −
 γα(n− ) nγ n
đẳng thức này đúng cho mọi εε∈(0; 0 ) , với ε 0 đủ nhỏ để Cε 0 3. Vậy 
theo Bổ đề 1.8 ta có: nn( ) ≤ Cε ( ) , hay (3.19). Mặt khác, ta lại có nhận xét 
 n−αγ
 −
 εnγ λ∩Ω= ∪ ελ−1 ∩Ω
α;;( αε( c ) ) , thay vào (3.19) ta được: 
 
 n−αγ
 −
 dαΩ;εnγ λ ≤Cd εαα Ω+; λ d Ω ;. ελ c−1
 ( ) ( ε ) 
 
Vậy ta đã hoàn thành phép chứng minh Định lí 3.4. 
 1 +
Định lí 3.5. Cho γ 0 ∈∞(1, ] và hai hàm ,;∈ΩL ( ) thỏa mãn (A1) và (A2). Khi đó 
 n nγ 0
nếu γ 0 <∞ thì với mọi α ∈ 0,  , 0 <<q và 0 <s ≤∞ ta có: 
 γ 0 n −αγ 0
 1060 
Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Nguyễn Thành Nhân và tgk 
 qs,,qs
 MMαα∈Ω⇒∈ΩLL( ) ( ). 
Nếu γ 0 = ∞ thì mệnh đề trên đúng với mọi α ∈[0,n) , 0 <q <∞ và 0 <s ≤∞. 
Chứng minh. Để chứng minh mệnh đề trên ta có thể chứng minh tồn tại một hằng số 
C= C( n,γα0 , ,, qs) dương sao cho: 
 MMqs,,≤ qs 
 ααLL(ΩΩ) C ( ) . (3.32) 
Đầu tiên ta xét trường hợp γ 0 0 đủ nhỏ sao cho 
với mọi εε∈(0, 0 ) và λ > 0 , có: 
 n−αγ
 − 0
 αγ αα−
 d Ω;εn 0 λ ≤Cd ε Ω+; λ d Ω ;. ελ c1 
 ( ) ( ε ) (3.33) 
 
Do λ > 0 tùy ý nên ta có thể đổi biến λ thành δλ và lúc này chuẩn của Mα trong không 
gian Lorentz Lqs, (Ω) có thể viết lại dưới dạng: 
 ∞ s
 s λ
 sqα q d
 M  qs, =δqd λ Ω; δλ , ∀> δ 0. 
 α L (Ω) ∫  ( ) (3.34) 
 0 λ
Nhờ vào (3.24) và (3.25), ta có: 
 s
 nn−−αγ s αγ
 −−00∞ q
 s   λ
 nnγγ00q α d
 M  qs, = εqd λ Ω; ελ 
 α L (Ω) ∫   λ
 0   
 nn−−αγ ssαγ
 −−00s ∞∞s  s
 γγααddλλ−
 nn00q qqq 1 q (3.35) 
 ≤Cεελλ qd(Ω+;;) C ε qd λελ(Ω cε ) 
 ∫∫λλ
 00
 n−αγ s n−αγ s
 − 0 s − 0
  s  −s
 nγ 0 q nγ 0 −1
 = CCεεM  qs, +  ε εc M  qs, .
 α L (Ω) ( εα) L (Ω)
  
 nγ 0
Với 0 <s <∞ và 0 <<q , ta có thể chọn εε∈(0, 0 ) trong (3.26) sao cho 
 n −αγ 0
 1 n−αγ
 s− 0
 qnγ 1
 Cε 0 ≤ . 
 2
Từ đó, suy ra bất đẳng thức (3.23). Tiếp theo ta xét trường hợp nếu γ 0 = ∞ . Sử dụng Định lí 
3.4, ta cũng chứng minh được bất đẳng thức hàm phân phối sau: 
 n−αγ
 −
 dαΩ;εnγ λ ≤Cd εαα Ω; λ + d Ω ; ελ c−1 , ∀∈ γ 0, ∞ .
 ( ) ( ε ) ( ) 
 
 1061 
Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Tập 18, Số 6 (2021): 1051-1063 
 11α
Khi đó, với mọi 0 1 sao cho: <+. Thực hiện các 
 γ qn
bước chứng minh như trên, ta cũng chứng minh được bất đẳng thức (2.3). Vậy ta đã được 
(3.23) trong trường hợp 0 <s <∞. Chứng minh hoàn toàn tương tự cho trường hợp s = +∞. 
Như vậy ta đã hoàn thành chứng minh Định lí 3.5. 
 4. Kết luận 
 Trong bài báo này, chúng tôi đã cải tiến chứng minh của bất đẳng thức hàm phân phối 
trên tập mức dựa trên việc thu gọn giả thiết trong điều kiện đủ được đưa ra trong các bài báo 
trước đây. Kết quả này có thể nâng cao khả năng ứng dụng của phương pháp, khi vận dụng 
vào bài toán chính quy nghiệm của các phương trình đạo hàm riêng. 
  Tuyên bố về quyền lợi: Các tác giả xác nhận hoàn toàn không có xung đột về quyền lợi. 
  Lời cảm ơn: Bài báo này được tài trợ bởi Bộ Giáo dục và Đào tạo, đề tài cấp Bộ, Trường 
 Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, mã số B2021-SPS-01-T. 
 TÀI LIỆU THAM KHẢO 
Acerbi, E., & Mingione, G. (2001), Regularity results for a class of functionals with non-standard 
 growth, Arch. Ration. Mech. Anal., 156, 121-140. 
Caffarelli, L.-A, & Peral, I. (1998). On W1,p estimates for elliptic equations in divergence form, 
 Commun. Pure Appl. Math., 51(1), 1-21. 
Byun, S.-S, & Wang, L. (2004). Elliptic equations with BMO coefficients in Reifenberg domains, 
 Comm. Pure Appl. Math., 57, 1283-1310. 
Byun, S.-S, & Wang, L. (2007). Lp-estimates for general nonlinear elliptic equations, Indiana Univ. 
 Math. J., 56(6), 3193-3221. 
Byun, S.-S, & Wang, L. (2008). Elliptic equations with BMO nonlinearity in Reifenberg domains, 
 Adv. Math., 219(6), 1937-1971. 
Byun, S.-S, & Wang, L. (2012). Nonlinear gradient estimates for elliptic equations of general type, 
 Calc. Var. Partial Differential Equations, 45(3-4), 403-419. 
Mingione, G. (2007). The Calderón-Zygmund theory for elliptic problems with measure data, Ann. 
 Scuola. Norm. Super. Pisa Cl. Sci. (V), 6, 195-261. 
Mingione, G. (2010). Gradient estimates below the duality exponent, Math. Ann., 346, 571-627. 
Mingione, G. (2011). Gradient potential estimates, J. Eur. Math. Soc., 13, 459-486. 
Nguyen, T.-N., & Tran, M.-P. (2020a). Lorentz improving estimates for the p-Laplace equations with 
 mixed data, Nonlinear Anal., 200, 111960. 
Nguyen, T.-N., & Tran, M.-P. (2020b). Weighted distribution approach to gradient estimates for 
 quasilinear elliptic double-obstacle problems in Orlicz spaces, preprint, arXiv:2006.02645. 
Nguyen, T.-N., & Tran, M.-P. (2021a). Level-set inequalities on fractional maximal distribution 
 functions and applications to regularity theory, J. Funct. Anal., 280(1), 108797. 
 1062 
Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Nguyễn Thành Nhân và tgk 
Nguyen, T.-N., & Tran, M.-P. (2021b). Lorentz estimates for quasi-linear elliptic double obstacle 
 problems involving a Schrödinger term, Math. Methods Appl. Sci., 44(7), 6101-6116. 
Tran, M.-P., & Nguyen, T.-N. (2019a). Generalized good-λ techniques and applications to weighted 
 Lorentz regularity for quasilinear elliptic equations, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I, 357(8), 664-670. 
Tran, M.-P., & Nguyen, T.-N. (2019b). Weighted Lorentz gradient and point-wise estimates for 
 solutions to quasilinear divergence form elliptic equations with an application, preprint, 
 arXiv:1907.01434. 
Tran, M.-P., & Nguyen, T.-N. (2020). New gradient estimates for solutions to quasilinear divergence 
 form elliptic equations with general Dirichlet boundary data, J. Differ. Equ., 268(4), 1427-1462. 
Tran, M.-P., & Nguyen, T.-N. (2021). Global Lorentz estimates for non-uniformly nonlinear elliptic 
 equations via fractional maximal operators, J. Math. Anal. Appl., 501(1), 124084. 
Tran, M.-P., Nguyen, T.-N., & Nguyen, G.-B. (2021). Lorentz gradient estimates for a class of elliptic 
 p-Laplacian equations with a Schrödinger term, J. Math. Anal. Appl., 496(1), 124806. 
 A SHORT PROOF FOR LEVEL-SET INEQUALITIES 
 ON DISTRIBUTION FUNCTIONS 
 Nguyen Thanh Nhan1*, Tran Cat Su1, Huynh Phuoc Nguyen2 
 1Ho Chi Minh City University of Education, Vietnam 
 2Nguyen Du High School, Ho Chi Minh City, Vietnam 
 *Corresponding author: Nguyen Thanh Nhan – Email: nhannt@hcmue.edu.vn 
 Received: June 01, 2021; Revised: June 14, 2021; Accepted: June 17, 2021 
ABSTRACT 
 The regularity of solutions to quasi-linear elliptic equations is one of the most interesting 
topics of research for many mathematicians with different methods. A new method has been 
established to study this problem, via level-set inequalities on fractional maximal distribution 
functions. This method is very efficient and able to apply to many classes of partial differential 
equations. The sufficient conditions to build the level-set inequalities are key to obtain the Lorentz 
estimates in this method. In this article, we give a short proof for the level-set inequalities on 
fractional maximal distribution functions, which is based on one sufficient condition instead of two 
in a paper by Nguyen and Tran (2021a). 
 Keywords: gradient estimates; level-set inequalities on distribution functions; Lorentz spaces; 
p-Laplace equations 
 1063