Khôi phục và xấp xỉ hàm số bằng phương pháp tuyến tính trong không gian Besov

) 
 jP d ()
 Khi đó, từ định nghĩa của B-spline suy ra toán tử Q bị chặn trên C()d và 
 Q(), fdd  f trong đó  | (j ) |. 
 CC()() 
 jP d ()
 Ký hiệu 21r là tập hợp các đa thức đại số có bậc không vƣợt quá 2r − 1. Một 
toán tử Q đƣợc xác định từ (2.2 - 2.3) tái tạo lại 21r , tức là Q(),, p p p 21r đƣợc 
gọi là một toán tử giả nội suy trong C(d ). 
 Giả sử Q là một toán tử giả nội suy từ (2.2 - 2.3), cho h > 0 và một hàm f xác 
 d
định trên , chúng ta xác định toán tử Qh(., ) bởi Q( f ; h ): hh  Q  1/ ( f ), ở đây 
 1
 h (,)(/)f x f x h . Từ định nghĩa của Q(,) f h , ta cóQfxh(,;)   (,;)( fkhMhxk ),
 k 
với (,;)()().f k h   j f() h k j 
 jP d ()
 Toán tử Qh(., ) có các tính chất tƣơng tự nhƣ toán tử Q , cũng đƣợc gọi là một 
toán tử giả nội suy trong C(d ). Nhƣng Qh(., ) không đƣợc định nghĩa cho f trên I d , 
và do đó không khôi phục đƣợc hàm số f với các điểm lấy mẫu trong I d . Một cách 
tiếp cận đƣợc GS.TSKH Đinh Dũng đề xuất trong [4,5] để xây dựng toán tử giả nội 
suy cho một hàm số trên I d là mở rộng nó bằng các đa thức nội suy Lagrange. 
 k
 Cho một số nguyên không âm k, đặt xj j2, j . Nếu f là một hàm số trên I, 
Ký hiệu Ukk( f ) , V ( f ) lần lƣợt là các đa thức nội suy Lagrange tại 2r điểm bên trái 
 x,,, x x
 x0,,, x 1 x 2r 1 và 2r điểm bên phải 2k 2rr 1 2 k 2 3 2 k trên đoạn I đƣợc xác định bởi: 
 29 
 TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 51.2020 
 21r 2sk s fx ( ) s 1
 U( f , x ) : f ( x ) 2 k 0 ( x x ),
 kj0  s! 
 s 1 j 0 
 21r 2sk s fx ( ) s 1
 V( f , x ) : f ( x ) 2 kk 2 2r 1 ( x x ).
 k 2kk 2r 1  2 2 r 1 j
 s 1 s! j 0
 Hàm số f đƣợc định nghĩa là hàm số mở rộng của f trên nhƣ sau: 
 Uk ( f , x ), x 0,
 fk ( x ) f ( x ), 0 x 1, 
 Vk ( f , x ), x 1.
 Nếu f liên tục trên I thì f liên tục trên . Giả sử Q là một toán tử giả nội suy 
(2.2 - 2.3) trong C( ). Chúng ta xây dựng toán tử Qk xác định bởi 
 k
 Qkk( f , x ): Q() f , x ;2 , x I , 
với hàm f trên I. Khi đó, 
 Qk( f , x )  a k,, s ( f ) M k s ( x ),  x I , 
 s J() k
 Trong đó: J( k ): s , r s 2k r 
 kk
 và: ak, s(): f ()() f k ,;2 s   ()2( j f k s j ). 
 ||j 
 Chúng ta nhận thấy Qk cũng là toán tử giả nội suy trên CI(). Cho f là hàm số 
trên I d Giả sử Q là một toán tử giả nội suy có dạng (2.2)-(2.3) trong C(d ). Chúng ta 
xây dựng toán tử nhiều biến Qk đƣợc xác định bởi 
 d
 Qk( f , x )  a k,, s ( f ) M k s ( x ),  x I , 
 s J() k
 d kk 0
 ở đây J(): k s , r si 2 r ,1,2,, i  d là tập hợp các giá trị của s sao 
 d
cho Mk,s không đồng nhất bằng 0 trên I . Chú ý rằng 
 a( f )  a (( a ( a ( f ))), (2.4) 
 k,,,, s k s12 k s k sd
 Ở đây các hàm hệ số a đƣợc áp dụng tƣơng tự cho hàm số một biến khi xem 
 k,si
f là hàm số một biến xi với các biến còn lại cố định. 
 Tƣơng tự nhƣ toán tử Q và Q(.; h), thì toán tử là tuyến tính bị chặn trên 
 d
 CI() và tái tạo 21r . Đặc biệt, chúng ta có: 
 Q(), f  C. f
 k CC()()dd (2.5) 
 Với mỗi f C() I d , với hằng số C không phụ thuộc k và Q ( *) ,  , ở đây * 
 kr21 
 d d
là hạn chế của trên I . Toán tử nhiều biến Qk đƣợc gọi là toán tử giả nội suy trên CI( ). 
 Cho k , đặt qk : = Q k - Q k 1 với quy ƣớc Q 1 (f) = 0. Ta định nghĩa Qk bởi Qqkk  . 
 kk 
30 
 TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 51.2020 
 Bổ đề 1. Giả sử f C() I d . Khi đó, ta có 
 f Q f C ( f ,2 k ) . 
 kr 2 (2.6)
 Do đó: f Qk f 0, k . (2.7)
 Chứng minh. 
 Bất đẳng thức (2.6) đƣợc suy ra từ (2.29)-(2.31) trong [4] và bất đẳng thức (2.5). 
Cho bất kỳ f C() I d , từ (2.7) f có thể biểu diễn thành chuỗi 
 f  qk ( f ), (2.8) 
 k 
 với qk()(), f  c k,, s f M k s 
 s J() k
 d
 Chuỗi này hội tụ theo chuẩn trong LI (), ở đây ck,s là các phiếm hàm hệ số của f, 
đƣợc xác định nhƣ dƣới đây. Đầu tiên xác định ck,s cho hàm số một biến (d = 1). Cụ thể 
 ck,,, s( f ) : a k s ( f ) a k s ( f ), k 0,
 21r 2r 
 ak , s():2 f a k 1, m (), f k 0,():0, a 0, s f 
  j
 (,)(,)m j Cr k s 
 Ở đây Cksr (,):(,):2 mjmjrsmJk , ( 1),0 j 2, r với k 0, Cr (0, s ): 0 . 
 Trong trƣờng hợp hàm nhiều biến, chúng ta xác định ck,s tƣơng tự nhƣ (2.4) cho 
 a , tức là c( f )  c (( c ( c ( f ))), ở đây các hàm hệ số c áp dụng cho hàm số 
 k,s k,,,, s k s12 k s k sd k,si
một biến f khi xem f là hàm số với biến xi với các biến còn lại cố định. 
 Ký hiệu Ann()() f B f nếu Ann().() f C B f ở đây C là hằng số độc lập với n và 
f ∈ W; Ann()() f B f nếu Ann()() f B f và Bnn()()f A f . 
 Cho k ký hiệu Σ(k) là không gian các B-splines Mk,s, s∈J(k). Nếu 0 < p ≤ ∞ 
thì g ∈ Σ(k) đƣợc biểu diễn bởi g  as M k, s và đẳng thức sau (xem [5]) 
 s J() k
 ‖‖ga2, dk/ p  
 pspk, (2.9)
 1/ p
 Ở đây aa: | |p , với vế phải thay bằng supremum khi p = ∞. 
 ss pk, 
 s J() k 
 Từ (2.9) cho hàm số liên tục f trên I d , chúng ta có các nửa chuẩn sau đây 
tƣơng đƣơng với nhau 
 1/
 
 B( f ):  q ( f ) / (2 k ) 
 2  k p 
 k 
 1/
 
 dk/ p k
 B3,():()/) f  2 cks f (2
   pk, 
 k 
 Định lý sau đây đã đƣợc chứng minh trong [7,8]. 
 31 
 TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 51.2020 
 Định lý 1. Cho 0, p  và hàm số  sao cho tồn tại các hằng số  ,0 
và CC12, thỏa mãn 
 (t ). t  C  ( t ). t , t t ; t , t I , 
 1 (2.10)
 (t ). t C  ( t ). t , t t ; t , t I .
 2 
 Khi đó, chúng ta có 
 d
i) Nếu  và 2r thì một hàm số fB  có thể biểu diễn thành chuỗi (2.8) 
 p p,
và B( f ) f . 2.11 
 2 B 
 p,
 1
ii) Nếu min (2rr ,2 1 ) và g là một hàm số đƣợc biểu diễn bởi g  gk   c k, s M k, s 
 p k k s J() k
 1/
 
 k 
thỏa mãn: B4 ( g ) : gk /  (2 ) , thì gB p, và g B4 ( g ). 
  p  Bp,
 k 
 d 1
iii) Nếu  và min(2rr ,2 1 ) thì một hàm số f xác định trên Id thuộc 
 p p
 
 Bp, khi và chỉ khi f có thể biểu diễn thành chuỗi có dạng (2.8) thỏa mãn điều kiện 
(2.11). Hơn nữa, chuẩn f  là tƣơng đƣơng với chuẩn Bf2 (). 
 Bp,
 Hệ quả 1. Cho 0, p  và  thỏa mãn các giả thuyết của ý (ii) trong 
Định lý 1. Khi đó, với bất kỳ k , chúng ta có: ‖ ‖ ‖ ‖ ∈ 
 3. KHÔI PHỤC HÀM SỐ BẰNG PHƢƠNG PHÁP TUYẾN TÍNH 
 n
 Định nghĩa 5. Cho Xx {}jn là n điểm của I d ,  là họ n hàm 
 nj 1 nj  j 1
 d d
số thuộc không gian LIq (). Để khôi phục hàm số f đƣợc xác định trên I từ các 
giá trị lấy mẫu f( x1 ), , f ( xn ) , chúng ta định nghĩa phƣơng pháp tuyến tính dựa trên 
giá trị lấy mẫu LXn( n , n ,.) bởi công thức sau đây 
 n
 L(,,):() X f f x j (3.1) 
 n n n j
 j 1
 d
 Cho WLI q (). Chúng ta nghiên cứu tính tối ƣu của phƣơng pháp tuyến tính 
 có dạng (1.4) để khôi phục hàm số fW từ n giá trị lấy mẫu trên bằng đại lƣợng 
 sau (,W L ( Id )):infsup f L ( X ,  ,). f 
 n q n n n q
 Xnn, fW 
32 
 TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 51.2020 
 d
 Định nghĩa 6. Cho số nguyên không âm m , đặt K():{(,): m k s k , k m , s I ()} k , 
 d d k
ở đây I(){ k s :0 si 2, i 1,,}  d và ký hiệu Mm() là tập hợp gồm các 
B-splines Mks, ,,() k m s J k . Chúng ta định nghĩa toán tử Rm của các hàm số 
 fB  bởi và lƣới Gm() của các điểm trong I d , 
 p, Rm():()(), f  q k f   c k,, s f M k s
 k m k m s J() k
G():{2 m k s :(,) k s K ()}. m 
 Bổ đề 2. Toán tử Rm xác định một phƣơng pháp tuyến tính có dạng (3.1) trên 
lƣới Gm(). Cụ thể, 
 k
 Rm( f ) L n ( X n ,  n , f )  f (2 s ) k, s , 
 (,)()k s K m
 Ở đây X: G ( m ),  :  , n: | G ( m ) | (2kd 1) ,  đƣợc xác 
 n n k, s(,)()k s K m  ks,
 km 
định là tổ hợp tuyến tính của không quá N các B-splines Mks, M() m với N độc lập 
với k,, j m và f . 
 Định lý 2. Cho 0 pq , , ,  thỏa mãn các điều kiện của Định lý 1 và 
  d/ p , min(2,2 r r 11/ p ) . Giả sử với mỗi n , m là số lớn nhất thỏa 
mãn |G ( m ) | n . (3.2) 
 Khi đó Rm xác định phƣơng pháp tuyến tính lấy mẫu tối ƣu cho 
  ** k
 n:(,) nUL p, q nhƣ sau: Rm( f ) L n ( X n ,  n , f )  f (2 s ) k, s , 
 (,)()k s K m
 Ở đây X**: G (){2:(,) m k s k s K ()}, m  :  , và chúng ta có đánh 
 n n k, s(,)()k s K m
 1/d (1/pq 1/ ) 
giá tiệm cận sau đây: supf  Rmn ( f ) ( n ) n . (3.4)
  q
 fU p, 
 Chứng minh 
 Đánh giá cận trên. Chúng ta dễ thấy rằng 
 2dmGm ( )  (2 k 1) d 2 dk 2 dm . 
 k m k m
 dm
 Do đó, từ (3.2) thì: 2.n (3.5) 
 Trƣờng hợp pq . Xuất phát từ bất đẳng thức ff dẫn đến chứng minh 
 qp
 
cho trƣờng hợp này với qp . Do BBpp,,  , chúng ta chỉ cần chứng minh (3.4) 
  m
cho U p, . Chúng ta lấy tùy ý m , supf  Qm ( f ) (2 ). (3.6)
  q
 fU p, 
 
 Lấy bất kỳ fU p, . Đặt  min(p ,1), sử dụng Đinh lý 1 chúng ta nhận đƣợc 
 f Q()() f‖‖‖ q f
 m p k p
 km 
 sup[]qf ( ) / (2 kk ) (2 ) (3.7) 
 k p 
 k km 
 
 f (2 kk ) (2 ) .
 B 
 p, k m k m 
 33 
 TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 51.2020 
 Từ (2.10) chúng ta suy ra rằng (2 k ) (2 m )2 () k m cho bất kỳ km . 
 Do đó, chúng ta tiếp tục đánh giá (3.7) nhƣ sau 
 
 f Q() f {(2)2  m ()() k m }   (2) m  {2 k m  }   (2). m 
 m p 
 k m k m
Điều này đồng nghĩa với việc chứng minh bất đẳng thức (3.6). Chú ý rằng số giá trị 
lấy mẫu trong Qfm () là |Gm ( ) | . Chúng ta xác định Rmm()() f Q f . Bởi (3.5), 
chúng ta nhận đƣợc: supf  Q ( f ) ( n 1/d ). 
 m q
 fU 
 Trƣờng hợp pq . Đầu tiên chúng ta xem xét trƣờng hợp pq . Cho 
 q
 fB  , Bởi [6, Bổ đề 5.3] chúng ta có: f R( f ) {2(//)d p d q k q ( f ) } q . 
 p, mkp  p
 k m
 Nếu  q , thì 
 1/
 f R( f ) {2(//)d p d q k q ( f ) }
 mkqp 
 km 
 1/
 sup2(//)d p d q k (2 k ) {qf ( ) / (2 k )} (3.8) 
  k p
 km km 
 f sup2(//)d p d q k (2 k )
 B
 p, km 
 Từ (2.10) chúng ta nhận đƣợc: (2 k )2 k  (2 m )2 m ,km . 
 Do đó: (2)2 k(/ dpdqk /)  (2)2 m (/ dpdqm /)((/ 2 dpdqmk /))( ) ,km , (3.9) 
 k(//)(//) dpdqk m dpdqm 
 Suy ra (2 )2  (2 )2 , km . Cho fU p, , từ bất đẳng 
thức cuối cùng và (3.8) chúng ta thấy rằng: f  R( f ) (2 m )2(//) d p d q m . 
 m q
 Bởi bất đẳng thức cuối cùng và (3.5) chúng ta suy ra đƣợc 
 f  R()(). f n 1/d n (1/ p 1/ q ) (3.10) 
 m q 
 Đánh giá cận trên của n cho trƣờng hợp  q đƣợc chứng minh. 
 Nếu  q thì 
 q
 f R( f ) {2(//)d p d q k q ( f ) } q
 mkqp
 km 
 {(2)2  k(//) d p d q k }{ qqf () /  (2)}. k q
  k p
 km 
 Hơn nữa, có một số q* thỏa mãn 1/qq 1/ 1/ * . Áp dụng bất đẳng thức 
Holder, chúng ta có 
34 
 TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 51.2020 
 1/q
 kk(//)d p d q k qq
 f R( f ) {  (2 )2 } { q ( f ) /  (2 )}
 m qp km k 
 1/q* 1/
 kk(//)d p d q k q* 
 { (2 )2 } {qf ( ) / (2 )}
 k m k m k p 
 1/q*
 k (//)d p d q k q*
 f  { (2 )2 } . (3.11)
 B 
 p, km 
 Sử dụng (3.9) chúng ta tiếp tục ƣớc lƣợng (3.11) nhƣ sau
 1/q*
 *
 f R( f )  (2 mdpdqm )2(//) {2 ((//))() dpdqmkq }  (2 mdpdqm )2 (//) . (3.12)
 m q 
 km 
 Từ (3.12), (3.5) chúng ta nhận đƣợc (3.10). Đánh giá cận trên của n đƣợc 
chứng minh cho pq . 
 Trong trƣờng hợp pq , chứng minh tƣơng tự nhƣ trƣờng hợp pq 
bằng cách sử dụng bất đẳng thức sau 
 f R( f ) 2dk/ p q ( f ) . 
 mk  p
 km 
 d d
 Đánh giá cận dƣới. Nếu WLI q (), thì từ định nghĩa của nq(WLI , ( )) chúng 
 d
ta có: nq(W , L ( I )) inf sup f . (3.13) 
 j n d j q
 Xnj {} x 1 I f W: f ( x ) 0, j 1,  , n
 Cố định một số r 2m với số nguyên không âm m sao cho min(r , r 1 1/ p ) . 
 Cho một số nguyên  m. Xem xét hình hộp J() s I d 
 d  m m
 JsxI():{ :2 sxj j 2 ( s j 1), j 1,,},  dsZ (), 
 dm 
 Ở đây: Z():{ s :0 sj 2 1, j 1,,}.  d 
 Với mỗi n cho trƣớc, chúng ta tìm đƣợc  thỏa mãn 
 dm() 
 n2 | Z ( ) | 2 n . (3.14) 
 jn d
 Đặt Xxnj {} 1 là một tập con tùy ý gồm n điểm trong I . Do 
 J()() s J s  với ss , và |Zn ( ) | 2 , có ZZ*()() thỏa mãn |Zn* ( ) | 
vàX{  J ( s )}  . (3.15) 
 n sZ *()
 Trƣờng hợp pq . Xem xét hàm số g* () xác định bởi 
 */* dp
 g:   (2 )2 M,rs r /2 , s Z ( ), 
 Ở đây M,rs r /2 là B-splines có bậc r . Bởi (2.9) chúng ta có 
 35 
 TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 51.2020 
 g*(//)(2  )2 d p d q (3.16) và g* (2  ). 
 q p
 * 
 Do đó, từ Hệ quả 1 tồn tại  0 độc lập với  và n sao cho gU p, . Chú ý 
rằng M( x ), x J ( s ), cho bất kỳ, sZ *() và do đó, từ (3.15) 
 ,rs r /2 
 g*( xj ) 0, j 1,  , n . Từ (3.13), (3.16) và (3.14) chúng ta nhận đƣợc 
 g*(). n 1/d n (1/ p 1/ q ) 
 n q
 Chúng ta chứng minh xong đánh giá cận dƣới của n cho trƣờng hợp pq . 
 Trƣờng hợp pq . xét hàm số g* () xác định bởi 
 * 
 gM:  (2 ) ,rs r /2 . 
 sZ * ()
 Từ (2.9) thấy rằng: g* (2  ), và g* (2  ). 
 q p
 * 
 Do đó từ Hệ quả 1 có  0 độc lập với  và n sao cho gU p, . Chú ý rằng 
 g*( xj ) 0, j 1,  , n . Từ (3.13), (3.14), (3.17) chúng ta suy ra 
 gn*( 1/d ). 
 n q
 Đánh giá cận dƣới của n cho trƣờng hợp pq đƣợc chứng minh. 
 4. KẾT LUẬN 
 Trong bài báo này, chúng tôi nghiên cứu vấn đề khôi phục và xấp xỉ hàm số bằng 
phƣơng pháp không thích nghi cho lớp hàm số không tuần hoàn thuộc không gian 
Besov có độ trơn đẳng hƣớng. chúng tôi đạt đƣợc kết quả mới đó là xây dựng phƣơng 
pháp tuyến tính và đánh giá tốc độ hội tụ của phƣơng pháp qua đại lƣợng đặc trƣng. 
 TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1] Ronald A. Devore (1988), Vasil A. Popov, Interpolation of Besov spaces, 
 Transactions of the American Mathematical Society, 305, 397-413. 
[2] E. Novak, H. Triebel (2006), Function spaces in Lipschitz domains and optimal 
 rates of convergence for sampling, Constr. Approx, 23, 325-350 
[3] Dinh Dung, Mai Xuan Thao (2002), Approximate recovery of periodic functions 
 using wavelet decompositions, Acta Math. Vietnamica, 27, pp. 185-195. 
[4] Dinh Dung (2009), Non-linear sampling recovery based on quasi-interpolant 
 wavelet representations, Adv. Comput. Math, 30, 375-401. 
[5] Dinh Dung (2011), Optimal adaptive sampling recovery, Adv. Comput. Math, 
 31, 1-41. 
36 
 TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 51.2020 
[6] Dinh Dung (2011), B-spline quasi-interpolant representations and sampling 
 recovery of functions with mixed smoothness, Journal of Complexity, 27, 541-567. 
[7] Dinh Dung (2016), Sampling and cubature on sparse grids based on a B-spline 
 quasiinterpolation, Found. Comp. Math, 16, 1193-1240. 
[8] Nguyen Manh Cuong, Mai Xuan Thao (2017), Adaptive sampling recovery of 
 functions with bounded modulus of smoothness, Acta Mathematica Vietnamica, 
 42, 113-127. 
 RECOVERY OF FUNCTIONS IN BESOV-TYPE SPACES BY 
 LINEAR SAMPLING METHODS 
 Nguyen Manh Cuong, Bui Khac Thien 
 ABSTRACT 
 We study the recovery and approximation of the class of non-periodic 
functions in Besov space with isotropic smoothness by non-adaptive linear method. 
Constructing a linear method based on the sampling value, specifically in this 
paper is the operator, evaluating the approximate error of the method by the 
characteristic quantity 
 Keywords: Quasi-interpolation representation, Besov-type spaces, linear 
sampling method. 
* Ngày nộp bài:31/7/2020; Ngày gửi phản biện: 3/8/2020; Ngày duyệt đăng: 28/10/2020 
* Bài báo này là kết quả nghiên cứu từ đề tài cấp cơ sở mã số ĐT-2018-21 của Trường 
Đại học Hồng Đức. 
 37