Giáo trình Xác suất thống kê - Phần 1

tiêu chuẩn, nếu đƣờng kính của 
nó sai lệch so với đƣờng kính thiết kế không quá 0,33mm. Cho biết đƣờng kính của 
loại chi tiết máy đó là đại lƣợng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với độ lệch là 0,3mm. 
Tìm số chi tiết đạt tiêu chuẩn trung bình khi sản xuất 200 chi tiết. 
 Giải: 
Gọi X là số chi tiết đạt tiêu chuẩn trong số 200 chi tiết sản xuất ra. 
  X B (200, p) 
trong đó p là xác suất sản xuất đƣợc một chi tiết đạt tiêu chuẩn. 
Rõ ràng, số chi tiết đạt tiêu chuẩn trung bình khi sản xuất 200 chi tiết là kì vọng của X. 
Để tính E(X), trƣớc hết ta tìm p. 
Gọi Y là đƣờng kính của loại chi tiết máy đó. Theo đề bài, Y N ( ; 0,32). Do đó 
 0,33
 p P Y  0,33 2  1 2 (1,1) 1 
 0,3 
Tra bảng hàm số Laplace, ta đƣợc (1,1) = 0,8643. 
Suy ra: p = 0,7286 
 E(X) = np = 200 * 0,7286 = 145,72. 
Nhƣ vậy, khi sản xuất 200 chi tiết, trung bình có khoảng 146 chi tiết đạt tiêu chuẩn. 
 Ví dụ 13: Sản phẩm của một nhà máy đƣợc đóng thành từng hộp, mỗi hộp 10 
sản phẩm. Gọi X là số sản phẩm loại một có trong hộp. Cho biết X có phân phối xác 
suất nhƣ sau 
 X 7 8 9 10 
 P 0,2 0,3 0,3 0,2 
86 Giáo trình Xác suất thống kê 
 Tiến hành kiểm tra 300 hộp theo cách sau. 
 Mỗi hộp chọn ngẫu nhiên 3 sản phẩm để kiểm tra. Nếu thấy có ít nhất 2 sản phẩm 
loại một thì nhận hộp đó. 
 a) Tìm xác suất để có ít nhất 240 hộp đƣợc nhận. 
 b) Tìm số hộp đƣợc nhận có khả năng lớn nhất. 
 Giải: 
 Xem phép thử là kiểm tra một hộp, ta có n = 300 phép thử độc lập. Gọi N là biến 
cố nhận hộp. Ta tính P(N) = p. 
 Gọi Ni là biến cố có i sản phẩm loại một trong 3 sản phẩm đƣợc kiểm tra ở mỗi 
hộp, i= 0,3. 
 Ta có: N = N2 + N3 và N2, N3 xung khắc. 
 Do đó: P(N) = P(N2) + P(N3). 
 Gọi Mk là biến cố có k sản phẩm loại một trong số 10 sản phẩm của hộp, k = 0,10 
 Theo đề bài, M7, M8, M9, M10 tạo thành một nhóm đầy đủ (vì chúng xung khắc 
từng đôi và tổng xác suất bằng 1). 
 Áp dụng công thức xác suất đầy đủ, ta có 
 P(N2) = P(M7)P(N2/M7) +  + P(M10)P(N2/M10), 
 P(N3) = P(M7)P(N3/M7) +  + P(M10)P(N3/M10). 
 Các xác suất P(Mk), k = 7,10, đã đƣợc cho trong bảng phân phối xác suất của X; 
bằng định nghĩa ta tính đƣợc: 
 P(Ni/Mk) , i = 2,3 ; k = . 
 2 1 3
 C7C3 C7
 Chẳng hạn: P(N2/M7) = 3 , P(N3/M7) = 3 . 
 C10 C10
 2 1 2 1 2 1
 C7C3 C8C2 C9C1
 Suy ra: P(N2) = 0,2. 3 + 0,3 3 + 0,3 3 + 0,2.0 = 0,335, 
 C10 C10 C10
Trƣờng ĐHSPKT Nam Định 87 
 3 3 3
 C7 C8 C9
 P(N3) = 0,2. 3 + 0,3. 3 + 0,3 3 + 0,2.1 = 0,41. 
 C10 C10 C10
 Vậy: P(N) = 0,335 + 0,41 = 0,745. 
a) Gọi Y là số hộp đƣợc nhận trong 300 hộp đã kiểm tra. 
Ta cần tìm P(240 Y 300). 
Ta có Y B(300 ; 0,745), vì n khá lớn , p không quá lớn, không quá bé nên có thể 
xem Y có xấp xỉ phân phối chuẩn Y N(, 2), với  = np = 223,5 ; 
 2 = np(1 – p) = 56,9925,  = 7,5493. 
Áp dụng hàm số Laplace, ta đƣợc 
 300 223,5 240 223,5 
 P(240 Y 300) =   
 7,5493 7,5493 
 = Φ(10,13) – Φ(2,186) = 1 – 0,9854 = 0,0146. 
b) Ta có: Y B(300 ; 0,745) và n = 300, p = 0,745, q = 0,255 
 (n + 1)p = 224,245 = 224. 
Vậy, số hộp đƣợc nhận có khả năng lớn nhất là 224 hộp. 
 2.4.4. Phân phối “khi bình phƣơng” 
 a) Định nghĩa: Đaị lƣơṇ g ngâũ nhiên liên tục X đƣơc̣ goị là có phân phố i khi 
  
bình phương với n bâc̣ tƣ ̣ do, ký hiệu X ~  n x nếu hàm mâṭ đô ̣của nó có daṇ g: 
 0 , x 0
 nx
 1
 xe22
 f(x) = , x 0 
 n n
 2 2  
 2
 x 1 t
 trong đó:  (x) t e dt , x > 0 là hàm Gamma 
 0
 Chú ý: 
88 Giáo trình Xác suất thống kê 
 1) Nếu X1, X2, ..., Xn là các biến ngẫu nhiên đôc̣ lâp̣ và có cùng phân phối chuẩn 
 n
 2
tắc N(0; 1) thì Xi có phân phối “khi bình phƣơng” với bậc tự do n. 
 i1 
  
 2) Tìm giá trị  n của phân phối  có thể dùng hàm MS-Excel: 
 
  n  CHIINV(α , n) 
  
 b) Định lý: Nếu X ~  n x thì EX = n , VX = 2n 
 2.4.5. Phân phối Student 
 Phân phối Student do Wililam S.Gosset đƣa ra năm 1908 (Student là bút danh bài 
báo công bố của Wililam S.Gosset). 
 Định nghĩa: Đaị lƣơṇ g ngâũ nhiên liên tục X đƣơc̣ goị là có phân phố i Student 
với n bâc̣ tƣ ̣ do, ký hiệu X ~ T(n) nếu hàm mâṭ đô ̣đƣơc̣ xác điṇ h bởi: 
 n n
  2 
 2 x 2
 f(x) = 1 
 n1 n1 
 (n 1)  
 2
 trong đó:  (x) tx 1 e t dt , x > 0 là hàm Gamma 
 0
 Khi đó: 
 . Với n > 1: E(T) = 0 (f(t) là hàm chẵn). 
 n
 . Với n > 2: V(T) = 
 n 2
Trƣờng ĐHSPKT Nam Định 89 
 Chú ý: 
 X
 1) Nếu X, X1, X2, ... Xn độc lập cùng phân phối N(0, 1) thì: có phân 
 n
 2
  X i
 i 1
 n
phối Student với bậc tự do n. 
 2) Tìm giá trị tn của phân phối Student với n bậc tự do có thể dùng hàm MS-
Excel: tn( ) = TINV( , n - 1) 
90 Giáo trình Xác suất thống kê 
 BÀI TẬP CHƢƠNG 2 
 2.1. Cho đại lƣợng ngẫu nhiên X có bảng phân phối xác suất sau đây 
 X 0 1 2 3 4 5 6 7 
 P 0 a 2a 2a 3a a2 2a2 7a2 + a 
 a) Tính a. 
 b) Tính P(X 5), P(X < 3). 
 1
 c) Tìm giá trị bé nhất của k sao cho P(X k) . 
 2
 2.2. Trong một hộp có 10 sản phẩm, trong đó có 2 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên 3 sản 
 phẩm. Gọi X là số phế phẩm trong các sản phẩm lấy ra. Hãy lập bảng phân phối 
 xác suất và hàm phân phối xác suất của X. Vẽ đồ thị hàm số đó. 
 2.3. Một túi chứa 10 tấm thẻ đỏ và 6 tấm thẻ xanh. Chọn ngẫu nhiên ra 3 tấm thẻ. 
 a) Gọi X là số thẻ đỏ lấy đƣợc. Hãy lập bảng phân phối xác suất của X. 
 b) Giả sử rút mỗi tấm thẻ đỏ đƣợc 5 điểm, thẻ xanh đƣợc 8 điểm. Gọi Y là 
 số điểm tổng cộng trên 3 thẻ rút ra. Hãy tìm hàm phân phối xác suất của Y. 
 2.4. Có hai hộp bi, hộp thứ nhất có 3 bi xanh và 1 bi đỏ, hộp thứ hai có 2 bi xanh và 
 2 bi đỏ. Từ hộp thứ nhất lấy ra 2 viên bi bỏ vào hộp thứ hai. Sau đó lại lấy 2 
 viên bi từ hộp thứ hai bỏ vào hộp thứ nhất. Gọi X, Y là số bi đỏ tƣơng ứng lấy 
 ra ở hai hộp. Hãy lập bảng phân phối xác suất của X, Y. Tính EX, EY 
 2.5. Cho hai đại lƣợng ngẫu nhiên X và Y độc lập với các bảng phân phối xác suất 
 nhƣ sau 
 X -1 0 1 2 Y -1 0 1 
 P 0,2 0,3 0,3 0,2 P 0,3 0,4 0,3 
 Hãy lập bảng phân phối xác suất của X2, X + Y, 2Y, X – Y, XY. 
 2.6. Gieo đồng thời hai con súc sắc. Gọi X1, X2 lần lƣợt là số chấm xuất hiện trên 
 hai con súc sắc đó. Tìm bảng phân phối xác suất của các đại lƣợng ngẫu nhiên 
 sau đây: 
 a) Y1 = X1 + X2 
 b) Y2 = X1 – X2 
 c) Y3 = max(X1, X2). 
Trƣờng ĐHSPKT Nam Định 91 
 2.7. Một nhóm có 10 ngƣời gôm 6 nam va 4 nữ, chọn ngẫu nhiên ra 3 ngƣời. Gọi X 
 là số nữ trong nhóm. Lập bảng phân phối xác suất của X và tính EX, VX,
 modX. 
 2.8. Một tổ học sinh có 10 nam và 6 nữ. Chọn hú hoạ ra một nhóm 3 ngƣời. Lập 
 bảng phân phối xác suất của số nữ trong nhóm 3 ngƣời đó. Một tổ học sinh có 
 10 nam và 6 nữ. Chọn hú hoạ ra một nhóm 3 ngƣời. Lập bảng phân phối xác 
 suất của số nữ trong nhóm 3 ngƣời đó và tính kỳ vọng, phƣơng sai của chúng. 
 2.9. Hai xạ thủ A và B tập bắn, mỗi ngƣời bắn hai phát. Xác xuất băn trúng đích của 
 A trong mỗi phát là 40%, còn của B là 50%. Gọi X là số phát trúng của A trừ đi 
 số phát trúng của B. 
 a) Tìm phân bố xác suất của X. 
 b) Tìm phân bố xác suất của Y = |X|. 
 2.10. Một ngƣời có một chùm chìa khóa gồm 5 chiếc giống nhau, trong đó chỉ có 2
 chiếc mở đƣợc cửa. Ngƣời đó thử ngẫu nhiên từng chiếc (thử xong bỏ ra ngoài) 
 cho đến khi tìm đúng chìa mở đƣợc cửa. Gọi X là số lần thứ cần thiết. Hãy lập 
 bảng phân phối xác suất và tính kì vọng, phƣơng sai của X. 
 2.11. Cho X, Y là hai đại lƣợng ngẫu nhiên độc lập có bảng phân phối xác suất nhƣ 
 sau 
 X 0 1 2 3 Y 0 1 2 3 4 
 P 0,4 0,3 0,2 0,1 P 0,1 0,3 0,4 0,15 0,05 
 Tìm bảng phân phối xác suất và tính kì vọng, phƣơng sai của X + Y, XY. 
 2.12. Cho ĐLNN X có bảng phân bố xác suất nhƣ sau: 
 x 1 3 5 7 9 
 p(x) 0,1 0,2 0,3 0,3 0,1 
 Tìm phân bố xác suất của Y=min {X, 4} 
 2.13. Một túi chứa 10 thẻ đỏ và 6 thẻ xanh. Chọn ngẫu nhiên ra 3 tấm thẻ (không 
 hoàn lại). 
 a) Gọi X là số thẻ đỏ .Tìm phân bố xác suất của X và tính EX , VX. 
 b) Giả sử rút mỗi thẻ đỏ đƣợc 5 điểm và rút mỗi thẻ xanh đƣợc 8 điểm .Gọi 
 Y là số điểm tổng cộng trên ba thẻ rút ra .Tìm phân bố xác suất của Y. 
 Tính EY, VY. 
92 Giáo trình Xác suất thống kê 
 2.14. Cho hai ĐLNN X và Y Có phân bố xác suất nhƣ sau: 
 X 0 1 2 3 4 5 
 p(x) 0,15 0.3 0.25 0.2 0.08 0.02 
 Y 0 1 2 3 4 5 
 p(y) 0,3 0.2 0.2 0.15 0.1 0.05 
 a) Tính EX ,EY 
 b) Tìm P X+Y 3  nếu X và Y độc lập. 
 2.15. Cho ĐLNN liên tục X có hàm mật độ 
 cx 2 (1 x) khi x [0,1]
 f (x) 
 0 khi x [0,1]
 a) Tìm hằng số c 
 b) Tính EX , VX 
 c) Tìm mod 
 d) Tìm P{0,4 X 0,6} 
 e) Tìm hàm phân phối F(x) 
 2.16. Cho ĐLNN X có hàm mật độ 
 kx(2 x) khi x [0,2]
 f(x) 
 0 khi x [0,2]
 a) Xác định hằng số k 
 b) Vẽ đồ thị của f(x) 
 c) Tính EX, VX 
 d) Tìm P{X > 1,5} và P{<0,9 < X < 1,1} 
 2.17. Tuổi thọ của một loại côn trùng nào đó là một ĐLNN X ( tính bằng tháng) với 
 hàm mật độ: 
 kx 2 (4 x) khi x [0,4]
 f (x) 
 0 khi x [0,4]
 a) Xác định k và vẽ đồ thị của hàm f(x) 
 b) Tính EX , VX 
 c) Tìm mod của X 
Trƣờng ĐHSPKT Nam Định 93 
 d) Tìm hàm phân phối F(x) 
 e) Tìm xác suất để côn trung chết trƣớc khi nó đƣợc 1 tháng tuổi. 
 2.18. Cho ĐLNN X có hàm mật độ 
 x
 k khi x [ 2,0]
 4
 x
 f(x) k khi x [0,2]
 4
 0 khi x [ 2,2]
 a) Xác định hằng số k 
 b) Tìm kỳ vọng và phƣơng sai của X. 
 c) Tìm hàm phân phối F(x) 
 2.19. Cho ĐLNN X có hàm mật độ 
 kx khi x [0,1]
 f (x) k khi x [1,4] 
 0 khi x [0,4]
 a) Tìm hằng số k 
 b) Tìm kỳ vọng, phƣơng sai và medX 
 c) Tìm hàm phân phối F(x) 
 2.20. Cho ĐLNN X có hàm mật độ 
 k x nÕu x 0,4
 f(x) 
 0 nÕu x 0,4
 a) Tìm hằng số k 
 b) Tìm kỳ vọng, phƣơng sai và median 
 c) Tìm hàm phân phối F(x) 
 2.21. Trọng lƣợng của một con gà 6 tháng tuổi là một ĐLNN X (đơn vị kg) có hàm 
 mật độ: 
 k(x 2 1) khi x [2,3]
 f (x) 
 0 khi x [2,3]
 a) Xác định hằng số k 
94 Giáo trình Xác suất thống kê 
 b) Tìm trọng lƣợng trung bình của con gà 6 tháng tuổi và độ lệch chuẩn. 
 c) Tìm hàm phân phối F(x) 
 d) Vẽ đồ thị của f(x) 
 2.22. Diện tích của một chiếc lá của một loại cây nào đấy là một ĐLNN X (đơn vị 
 cm2) với hàm mật độ 
 kx 2 (x 2) 2 khi x [0,2]
 f (x) 
 0 khi x [0,2]
 a) Xác định k và vẽ đồ thị của hàm f(x) 
 b) Tìm kỳ vọng và phƣơng sai của X 
 2.23. Cho ĐLNN X có hàm mật độ 
 kx 3/ 2 khi x 1
 f (x) 
 0 khi x 1
 a) Tìm k 
 b) Hàm phân bố F(x) 
 2.24. Cho ĐLNN X có hàm mật độ 
 3
 (1 x 2 ) khi x [ 1,1]
 f (x) 4 
 0 khi x [ 1,1]
 Tìm kỳ vọng và phƣơng sai của X 
 2.25. Cho ĐLNN X có hàm mật độ 
 3x 2 khi x [0,1]
 f (x) 
 0 khi x [0,1]
 a) Tính kỳ vọng và phƣơng sai của X 
 b) Tìm medX 
 2.26. Cho hàm mật độ của một biến ngẫu nhiên X 
 0 x 2
 f (x) a(x 2)(4 x) 2 x 4 
 0 x 4
 a) Xác định hằng số a 
 b) Tính kỳ vọng, phƣơng sai, mod và trung vị của X. 
Trƣờng ĐHSPKT Nam Định 95 
 2.27. Cho hàm mật độ của một biến ngẫu nhiên X 
 ksinx khi x 0,
 2 
 f(x) = 
 0 khi x 0,
 2
 a) Xác định hằng số k 
 b) Tính kỳ vọng, phƣơng sai, mod và trung vị của X. 
 2.28. Cho ĐLNN X có hàm mật độ 
 3
 (1 x 2 ) khi x [ 1,1]
 f (x) 4 
 0 khi x [ 1,1]
 Tìm kỳ vọng và phƣơng sai của Y 2X 2 
 2.29. Cho ĐLNN X có hàm mật độ 
 3x 2 khi x [0,1]
 f (x) 
 0 khi x [0,1]
 Xét Y 2 X . Tìm: a) P{0,5 1} 
 2.30. Trọng lƣợng của một toa tàu là một đại lƣợng ngẫu nhiên có giá trị trung bình 
 bằng 65 tấn và độ lệch chuẩn là 0,9 tấn. Tìm xác suất để trọng lƣợng toa tàu 
 không vƣợt quá 70 tấn nhƣng vẫn lớn hơn 60 tấn, biết rằng trọng lƣợng này 
 tuân theo luật phân phối chuẩn. 
 2.31. Xác suất để một hạt thóc giống bị hỏng là 0,006. Tính xác suất sao cho trong số 
 1000 hạt thóc giống có 
 a) đúng 6 hạt hỏng. 
 b) không ít hơn 3 hạt hỏng. 
 c) không nhiều hơn 5 hạt hỏng. 
 2.32. Xác suất sinh một bé trai là 0,51. Tìm xác suất để trong 200 em bé, số bé trai ít 
 hơn số bé gái. 
 2.33. Ở một xí nghiệp may xuất khẩu, sau khi quần áo may xong, ngƣời ta đóng 
 thành từng hộp, mỗi hộp 3 bộ quần áo. Khi đóng hộp có thể xảy ra hiện tƣợng 
96 Giáo trình Xác suất thống kê 
 xếp áo quần nhầm số. Cho biết xác suất xếp áo đúng số là 0,7; xếp quần đúng 
 số là 0,8 và hộp sẽ đƣợc chấp nhận nếu có ít nhất một bộ quần áo xếp đúng số. 
 a) Kiểm tra ngẫu nhiên 100 hộp của xí nghiệp. Tìm xác suất để 50 hộp đƣợc 
 chấp nhận. 
 b) Phải kiểm tra ít nhất bao nhiêu hộp để xác suất có ít nhất một hộp đƣợc 
 chấp nhận lớn hơn hay bằng 0,9. 
 2.34. Träng l•îng cña con bß lµ mét §LNN ph©n bè chuÈn víi kú väng lµ 250kg vµ 
 ®é lÖch tiªu chuÈn 40kg. T×m x¸c suÊt ®Ó con bß cã träng l•îng 
 a) NÆng h¬n 300kg 
 b) NhÑ h¬n 175kg 
 c) Trong kho¶ng 260kg ®Õn 270kg 
 2.35. Thêi gian tõ nhµ ®Õn tr•êng cña sinh viªn B×nh lµ mét §LNN cã ph©n bè chuÈn. 
 BiÕt r»ng 65% sè ngµy B×nh ®i ®Õn tr•êng mÊt h¬n 20 phót cßn 8% sè ngµy mÊt 
 h¬n 30 phót. 
 a) T×m thêi gian trung b×nh vµ ®é lÖch tiªu chuÈn cña thêi gian ®Õn tr•êng 
 b) NÕu B×nh xuÊt ph¸t tõ nhµ tr•íc giê vµo häc 25 phót th× x¸c suÊt ®Ó B×nh 
 ®i häc muén lµ bao nhiªu? 
 c) B×nh cÇn ph¶i xuÊt ph¸t tr•íc giê vµo häc bao nhiªu phót ®Ó kh¶ n¨ng bÞ 
 muén häc lµ bÐ h¬n 0,02. 
 2.36. ChiÒu dµi cña mät lo¹i c©y lµ mét §LNN cã ph©n bè chuÈn. Trong mét mÉu 
 gåm 640 c©y cã 25 c©y thÊp h¬n 18m vµ 110 c©y cao h¬n 24m. 
 a) T×m kú väng vµ ®é lÖch tiªu chuÈn cña c©y 
 b) ¦íc l•îng sè c©y cã ®é cao trong kho¶ng tõ 16m ®Õn 20m trong mÉu 
 nãi trªn. 
2.37. Chiều cao X (m) của sinh viên tuân theo luật phân phối chuẩn N (1,55; 0,01). 
 Tính xác suất để sinh viên có chiều cao nằm trong khoảng từ 1,53 đến 1,58. 
2.38. Giả sử X là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với kỳ vọng 2100 và độ lệch 
 tiêu chuẩn 200. Hãy tính: 
 a) P{X > 2400} 
 b) P{1700 < X < 2200} 
 c) Xác định a để P{X > a} = 0,03 
Trƣờng ĐHSPKT Nam Định 97 
2.39. Xác suất sinh một bé trai là 0,51. Tìm xác suất để trong 200 em bé, số bé trai ít 
 hơn số bé gái. 
2.40. Một đề thi gồm 45 câu hỏi, với mỗi câu hỏi thí sinh cần chọn một trong bốn câu 
 trả lời kèm theo, trong đó chỉ có một câu trả lời đúng. Một sinh viên hoàn toàn 
 không học bài, khi đi thi chọn ngẫu nhiên một trong bốn câu trả lời. Tìm xác 
 suất để sinh viên đó trả lời đúng 30 câu hỏi. 
2.41. Một máy tính điện tử gồm 10000 bóng bán dẫn, chia làm ba loại. Loại một có 
 1000 bóng, xác suất hỏng của mỗi bóng là 0,0005. Loại hai có 3000 bóng, xác
 suất hỏng tƣơng ứng là 0,0003. Loại ba có xác suất hỏng tƣơng ứng là 0,0001. 
 Máy tính ngừng làm việc nếu có ít nhất hai bóng bán dẫn bị hỏng. Tìm xác suất 
 máy tính ngừng làm việc, nếu các bóng hỏng hay tốt độc lập với nhau. 
2.42. Một máy sản xuất hàng loạt sản phẩm. Các sản phẩm đƣợc xem là đạttiêu
 chuẩn nếu trọng lƣợng của nó sai lệch so với trọng lƣợng quy định không quá 
 0,588. Biết trọng lƣợng của sản phẩm do máy sản xuất ra là một đại lƣợng ngẫu 
 nhiên có phân phối chuẩn với phƣơng sai 0,09. Tìm xác suất để trong 10 sản 
 phẩm do máy sản xuất sẽ có ít nhất 4 sản phẩm đạt tiêu chuẩn.