Giáo trình Toán ứng dụng (Mới nhất)

, B, C, D, E:
a) vào một chiếc ghế dài sao cho A, B ở hai đầu ghế?
b) vào một chiếc ghế dài sao cho A, B, C luôn ở cạnh nhau?
c) vào một bàn tròn sao cho A, B luôn ở cạnh nhau?
Đáp số: a) 12; b) 36; c) 12.
Bài A.4. Có 20 điểm phân biệt trong mặt phẳng trong đó có 8 điểm thẳng hàng. Nối 20 điểm
đó lại với nhau. Hỏi:
a) có bao nhiêu đường thẳng phân biệt?
b) có bao nhiêu tam giác?
Đáp số: a) 163; b) 1084.
Bài A.5. Cho phương trình: x + y + z = 12
a) Tìm số nghiệm nguyên dương của phương trình sao cho x, y, z đôi một phân biệt.
b) Tìm số nghiệm nguyên dương của phương trình.
c) Tìm số nghiệm nguyên không âm của phương trình.
Đáp số: a) 42; b) 55; c) 91.
Bài A.6. Cho tập hợp A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. Từ A có thể tạo ra bao nhiêu:
a) số tự nhiên chẵn 4 chữ số?
b) số tự nhiên chẵn 4 chữ số đôi một phân biệt.
c) số tự nhiên 7 chữ số, trong đó chữ số 2 có mặt đúng 2 lần, số 3 có mặt đúng 3 lần, các chữ số
khác có mặt không quá 1 lần?
Đáp số: a) 1176; b) 420; c) 3960.
Bài A.7. Thầy giáo có 12 cuốn sách đôi một khác nhau trong đó có 5 cuốn sách Toán, 4 cuốn
sách tiếng Anh và 3 cuốn sách Triết học. Thầy muốn lấy ra 6 cuốn và đem tặng cho 6 sinh viên
186 PHỤ LỤC A. GIẢI TÍCH TỔ HỢP
khác nhau mỗi em một cuốn.
a) Giả sử thầy giáo chỉ muốn tặng các cuốn sách thuộc hai thể loại Toán và tiếng Anh, hỏi có
tất cả bao nhiêu cách tặng?
b) Giả sử thầy giáo muốn rằng sau khi tặng sách xong, mỗi một trong ba thể loại đều còn lại ít
nhất một cuốn. Hỏi có tất cả bao nhiêu cách tặng?
Đáp số: a) 60480; b) 579600.
Bài A.8. Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy gồm 6 ghế. Người ta muốn xếp
chỗ ngồi cho 6 sinh viên lớp A và 6 sinh viên lớp B vào bàn nói trên. Hỏi có bao nhiêu cách xếp
trong mỗi trường hợp sau:
a) Bất cứ 2 sinh viên nào ngồi cạnh nhau hoặc đối diện nhau thì khác lớp nhau.
b) Bất cứ 2 sinh viên nào ngồi đối diện nhau thì khác lớp nhau.
Đáp số: a) 1036800; b) 33177600.
Phụ lục B
Sử dụng CNTT giải toán thống kê
 Tất cả các SV ở năm thứ nhất đều đã được trang bị những kiến thức cơ bản của Tin học. Việc
giải các bài toán bằng máy tính điện tử (MTĐT) cũng đã trở nên quen thuộc đối với các em.
 Trong quá trình ngồi trên ghế nhà trường, SV không chỉ tiếp thu các tri thức thông qua bài
giảng của GV mà họ còn có thể tự mình tìm kiếm, kiến tạo ra những tri thức mới thông qua
sách báo, tài liệu, mạng internet... Việc GV dành ra thời gian để hướng dẫn cho SV giải các bài
toán thống kê bằng cách sử dụng các công cụ của CNTT sẽ tăng thêm khả năng hứng thú, tính
tò mò trong khoa học, kích thích hoạt động tìm tòi khám phá của SV, từ đó dẫn tới việc hình
thành kiến thức và kỹ năng mới.
 Sau đây chúng tôi trình bày cách thức thể hiện của một số công cụ CNTT hỗ trợ cho việc
giải các bài toán thống kê, kết hợp cùng các ví dụ tương ứng.
B.1. Đối với máy tính điện tử cầm tay
B.1.1. Tính các đặc trưng của mẫu
•Ví dụ B.1 Gặt ngẫu nhiên 365 điểm trồng lúa của một huyện ta có bảng số liệu sau:
 X 25 30 33 34 35 36 37 39 40
 n 6 13 38 74 106 85 30 10 3
Tính x, S2, Sˆ2, S, Sˆ.
 Đối với Casio FX570ES
Nhập các số liệu
 - Ấn các phím: Shift Mode 4 1
 - Ấn các phím: Mode 3
 - Ấn các phím: 1 1 - Var
Hiện ra bảng:
 187
188 PHỤ LỤC B. SỬ DỤNG CNTT GIẢI TOÁN THỐNG KÊ
 x freq
Dùng phím Replay để di chuyển qua lại giữa 2 cột x và freq
Nhập cột x:
 25 =
 30 =
 33 =
 34 =
 35 =
 36 =
 37 =
 39 =
 40 =
Nhập cột freq: Dùng phím Replay di chuyển qua cột freq, dòng 25
 6 =
 13 =
 38 =
 74 =
 106 =
 85 =
 30 =
 10 =
 3 =
Nhập xong ấn phím AC Xem kết quả:
 - Ấn các phím: Shift 1 5 1 = → n = 365 (cỡ mẫu).
 - Ấn các phím: Shift 1 5 2 = → X = 34, 795 (tạ/ha).
 - Ấn các phím: Shift 1 5 4 = → Sˆ = 2, 072 (độ lệch chuẩn mẫu
 đã hiệu chỉnh).
 - Ấn các phím: Shift 1 5 3 = → S = 2, 069 (độ lệch chuẩn mẫu
 chưa hiệu chỉnh).
∗ Chú ý: khi nhập số liệu ta có thể dùng các phím để:
 - Xoá 1 dòng dữ liệu: di chuyển đến dòng cần xoá và ấn Del
B.1. ĐỐI VỚI MÁY TÍNH ĐIỆN TỬ CẦM TAY 189
 - Chèn thêm 1 dòng dữ liệu: di chuyển đến dòng cần chèn và nhấn các phím
 Shift 1 3 1 Ins
 - Xoá toàn bộ nội dung đã nhập
 Shift 1 3 2 Del - A
 Đối với các loại máy f x − 500MS, f x − 350MS, f x − 350TL, f x − 570MS
 Nhập các số liệu:
 - Ấn các phím: MODE 2 để chuyển máy sang chế độ SD
 hoặc MODE MODE 2 để chuyển máy sang chế độ SD
 - Ấn các phím: 25 Shift , 6 data (Phím M+)
 - Ấn các phím: 30 Shift , 13 data
 - Ấn các phím: 33 Shift , 38 data
 - Ấn các phím: 34 Shift , 74 data
 - Ấn các phím: 35 Shift , 106 data
 - Ấn các phím: 36 Shift , 85 data
 - Ấn các phím: 37 Shift , 30 data
 - Ấn các phím: 39 Shift , 10 data
 - Ấn các phím: 40 Shift , 3 data
Xem kết quả:
 - Ấn các phím: Shift S - VAR 1 = → X = 34, 795
 - Ấn các phím: Shift S - VAR 2 = → Sˆ = 2, 072
 - Ấn các phím: Shift S - VAR 3 = → S = 2, 069
∗ Chú ý: Xoá SD bằng lệnh: Shift MODE 2 =
 Đối với các loại máy f x − 220MS, f x − 500A, f x − 95, f x − 82Super
Nhập số liệu:
 - Ấn các phím: MODE . (Dấu chấm) để đưa máy về chế độ SD
 - Ấn các phím: Shift Sac 26 × 6 data (Phím M+)
 - Ấn các phím: 30 × 13 data
 - Ấn các phím: 33 × 38 data
190 PHỤ LỤC B. SỬ DỤNG CNTT GIẢI TOÁN THỐNG KÊ
 - Ấn các phím: 34 × 74 data
 - Ấn các phím: 35 × 106 data
 - Ấn các phím: 36 × 85 data
 - Ấn các phím: 37 × 30 data
 - Ấn các phím: 39 × 10 data
 - Ấn các phím: 40 × 3 data
Xem kết quả:
 - Ấn các phím: Shift n → 365
 - Ấn các phím: Shift X → 34, 795
 - Ấn các phím: Shift Sˆ → 2, 072
 - Ấn các phím: Shift S → 2, 069
∗ Chú ý: Xoá SD bằng lệnh: MODE 0
B.1.2. Bài toán tìm hàm hồi quy
Vào REG ấn:
MODE 3 (máy fx 500MS, 95MS)
Máy khác
MODE MODE 2 (fx 570MS)
- Màn hình hiện:
 ↑ ↓
  
- Ấn số tương ứng ta sẽ và chức năng muốn chọn.
1 (Lin) (tuyến tính) y = A + Bx
2 (Log) (logait) y = A + B ln x
3 (Exp) (mũ) y = Aebx (ln y = ln A + Bx)
 1 (Pwr) (luỹ thừa) y = Aeb (ln y = ln A + B ln x)

B.1. ĐỐI VỚI MÁY TÍNH ĐIỆN TỬ CẦM TAY 191
 2 (Inv) (nghịch đảo) y = A + B.1/x
 3 (Quad) (bậc hai) y = A + Bx + Cx2
Trước khi tính toán phải ấn
 SHIFT CLR 1 (Sel) =
để xoá bộ nhớ của thống kê.
- Nhập dữ liệu theo cú pháp: ’DT.
- Các kết quả theo dữ liệu đã nhập được gọi theo bảng sau:
- Trừ y = A + Bx + Cx2
192 PHỤ LỤC B. SỬ DỤNG CNTT GIẢI TOÁN THỐNG KÊ
- Riêng với y = A + Bx + Cx2 thì theo bảng sau:
- Các giá trị này có thể dùng như các biến trong các biểu thức tính.
* Hồi quy tuyến tính y = A + Bx
•Ví dụ B.2 Áp suất theo nhiệt độ trong bảng sau:
 Nhiệt độ 10◦C 15◦C 20◦C 25◦C 30◦C
 Áp suất 1003hpa 1005hpa 1010hpa 1011hpa 1014hpa
Hãy dùng Hồi quy tuyến tính y = A + Bx để tính A, B và hệ số tương quan r, áp suất ở 18◦C.
 2  ∑ xy−nx.y 
Tìm nhiệt độ khi áp suất 1000hpa, hệ số tới hạn r và số hiệp biến n−1 .
Vào Mode RED
Ấn 1 (Lin)
 SHIFT CLR 1 (Sel) = (xoá nhớ)
(Khi ấn DT dữ liệu được nhập và màn hình hiện giá trị của n).
Ấn tiếp
B.1. ĐỐI VỚI MÁY TÍNH ĐIỆN TỬ CẦM TAY 193
Hệ số A = 997.4
Hệ số B = 0.56
Hệ số tương quan r = 0.982607368
Tìm áp suất ở 18◦C = 1007.48
Nhiệt độ ở 1000 hpa = 4.642857143
r2 = 0.965517241
Số hiệp biến = 35
* Hồi quy bậc hai: A + Bx + Cx2.
•Ví dụ B.3 Cho bảng sau
 xi 29 50 74 103 118
 yi 1.6 23.5 38.0 46.4 48
Theo công thức hồi quy bậc hai hãy tìm các hệ số A, B, C sau đó tìm yˆ với x = 16 và xˆ với
y = 20.
Ở Mode RED
Ấn 3 (Quad)
 SHIFT CLR 1 (Sel) = (xoá nhớ thống kê)
Tính hệ số A = −35.59856934
Tính hệ số B = 1.4959856934
194 PHỤ LỤC B. SỬ DỤNG CNTT GIẢI TOÁN THỐNG KÊ
Tính hệ số C = −6.71629667 × 10−3
Tính yˆ khi xi = 16 (=13.38291067)
Tính xˆ1 khi yi = 20 (=47.14556728)
Tính xˆ2 khi yi = 20 (=175.5872105)
Chú ý về nhập dữ liệu
 - Ấn DT DT để nhập dữ liệu hai lần.
 - Dùng phím SHIFT ; để nhập nhiều dữ liệu giống nhau. Ví dụ nhập "20, 30" năm lần thì
 ấn 20 ’ 30 SHIFT ; 5 DT.
 - Kết quả được gọi không cần thứ tự như bảng trên.
 - Vẫn có phần chú ý như ở SD.
 - Xem thêm phần tính P(t), Q(t), R(t) ở phần bổ sung cho máy Casio fx 570 MS.
 - Các số nhớ A, B, C, D, E, F, X, Y không dùng được thống kê SD và hồi quy RED. Khi vào
 các chương trình này, các giá trị số nhớ được gán trước bị xoá hết.
B.2. Dùng phần mềm Excel
B.2.1. Tính toán trong bài toán ước lượng
•Ví dụ B.4 Bảng số liệu sau cho độ lệch X của 200 chi tiết máy với kích thước chuẩn. Với mức ý
nghĩa α = 0, 05 hãy kiểm tra giả thiết độ lệch X là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn N aσ2
.
 Thứ tự Khoảng (xi−1, xi) ni Thứ tự Khoảng (xi−1, xi) ni
 1 (-20, -15) 7 6 (5, 10) 41
 2 (-15, -10) 11 7 (10, 15) 26
 3 (-10, -5) 20 8 (15, 20) 17
 4 (-5, 0) 24 9 (20, 25) 7
 5 (0, 5) 44 10 (25, 30) 3
  2
  2

Lời giải. Giả thiết H0 : X ∼ N a, σ , đối thiết H1 : X ∼ N a, σ
 +) Lập bảng Excel ước lượng các tham số a = X và σ = S0 và vẽ đa giác tần suất:
B.2. DÙNG PHẦN MỀM EXCEL 195
 TT A B C D E F G
  
2
 1 TT (xi−1, xi xi ni fi ni · xi ni xi − X
 2 1 (-20, -15) -17.5 7 0.035 -122.5 3250.818
 3 2 (-15, -10) -12.5 11 0.055 -137.5 3012.928
 4 3 (-10, -5) -7.5 20 0.1 -150 2668.05
 5 4 (-5, 0) -2.5 24 0.12 -60 1029.66
 6 5 (0, 5) 2.5 44 0.22 110 105.71
 7 6 (5, 10) 7.5 41 0.205 307.5 488.0025
 8 7 (10, 15) 12.5 26 0.13 325 1856.465
 9 8 (15, 20) 17.5 1 0.085 297.5 3075.343
 10 9 (20, 25) 22.5 7 0.035 157.5 2382.818
 11 10 (25, 30) 27.5 3 0.015 82.5 1649.708
 12 200 1 810 19519.5
 13 X = 810/200 = 4.05
 √
 14 S0 = 19519.5/199 = 9.903936
 Chọn cột E làm trục tâm, cột C làm trục hoành ta có đa giác tần suất. Đồ thị cho ta hình
 dạng của hàm mật độ của phân phối chuẩn.
 +) Thực hiện chia khoảng: Vì n10 = 3 < 5 nên ta ghép khoảng 10 vào khoảng 9, vậy ta có
 bảng:
 Thứ tự Khoảng (xi−1, xi) ni Thứ tự Khoảng (xi−1, xi) ni
 1 < -15 7 6 (5, 10) 41
 2 (-15, -10) 11 7 (10, 15) 26
 3 (-10, -5) 20 8 (15, 20) 17
 4 (-5, 0) 24 9 (20, 25) 10
 5 (0 ,5) 44
196 PHỤ LỤC B. SỬ DỤNG CNTT GIẢI TOÁN THỐNG KÊ
 Như vậy ta có k = 9, r = 2.
 2
 Lập bảng Excel tính Qn và χ6,0.05, trong bảng Excel cột B ta chỉ ghi các cận dưới của các
 khoảng.
 TT A B C D E
 2
 1 ni pi (ni − npi) /npi
 2 1 -15 7 0.02721 0.44604605
 3 2 -10 11 0.050794 0.06966124
 4 3 -5 20 0.102413 0.01136968
 5 4 0 24 0.160879 2.07749498
 6 5 5 44 0.196912 0.5413946
 7 6 10 41 0.187795 0.31523907
 8 7 15 26 0.139551 0.13073038
 9 8 20 17 0.080798 0.04371067
 10 9 10 0.053648 0.04960009
 11 200 Qn = 3.68524676
 2
 12 χ6,0.05 12.5915774
  

 Để tính các xác suất pi i = 1, 9 ta thực hiện các lệnh sau:
 D2 = NORMDIST(B2,4.05,9.903936,TRUE)
 D3 = NORMDIST(B3,4.05,9.903936,TRUE)-NORMDIST(B3,4.05,9.903936,TRUE)
 Sau đó dùng Autofill từ D4 đến D9
 D10 = 1-NORMDIST(B9,4.05,9.903936,TRUE)
 Ta cũng có thể tra bảng hàm Laplace tính các xác suất Pi trên các khoảng
    
  
 xi − 4, 05 xi−1 − 4, 05
 (x − , x ) i = 1, 9 với: P = φ − φ .
 i 1 i i 9, 9039 9, 9039
 2
 Vậy Qn = 3, 68524776 < χ6,0.05 = 12, 59 chấp nhận H0, hay X có phân phối chuẩn
 N(4,3;94,26).
B.2.2. Tính toán các đặc trưng của mẫu
•Ví dụ B.5 Đo chiều cao của 100 sinh viên năm thứ nhất ta được bảng thống kê (tính bằng
cm).
 X 150-154 154-158 158-162 162-166 166-170 170-174 174-178
 SV 10 14 24 28 12 8 4
Chọn x0 = 160 và lập bảng tính Excel ta được:
B.2. DÙNG PHẦN MỀM EXCEL 197
 TT A B C D E
 2
 1 X ni xi − x0 ni (xi − x0) ni (xi − x0)
 2 152 10 -8 -80 640
 3 156 14 -4 -56 224
 4 160 24 0 0 0
 5 164 28 4 112 448
 6 168 12 8 96 768
 7 172 8 12 96 1152
 8 176 4 16 64 1024
 9 n = 100 B = 232 C = 4256
 B
 10 X = n + x0 = 162.32
 2 C  
2
 11 S = n − X − x0 = 37.1176
 12 S = 6.09734
•Ví dụ B.6 Hai máy A và B cùng sản xuất một chi tiết có độ dài X. Để kiểm tra độ chính xác
của mỗi máy, định kỳ 6 tháng một lần người ta lấy mỗi máy một lô gồm 1000 sản phẩm và kiểm
tra độ dài của chúng. Nếu độ lệch trung bình của mỗi lô vượt quá 5 mm thì máy cần duy tu lại.
Bảng thống kê một lần của hai máy được cho dưới đây:
 1222 1226 1230 1234 1238 1242 1246 1250 1254
 Độ dài
 1226 1230 1234 1238 1242 1246 1250 1254 1256
 n(A) 5 20 80 190 360 300 30 10 5
 m(B) 70 90 110 140 170 170 140 90 20
Hãy kiểm tra xem máy nào đã cần duy tu lại.
Lời giải. Chọn x0 = 1236 và lập bảng tính theo Excel:
198 PHỤ LỤC B. SỬ DỤNG CNTT GIẢI TOÁN THỐNG KÊ
  
2  
2
 X xi xi − x0 ni A miB ni (xi − x0) mi (xi − x0) ni xi − A mi xi − B
 1222-1226 1224 -12 5 70 -60 -840 720 10080
 1226-1230 1228 -8 20 90 -160 -720 1280 5760
 1230-1234 1232 -4 80 110 -320 -440 1280 1760
 1234-1238 1236 0 190 140 0 0 0 0
 1238-1242 1240 4 360 170 1440 680 5760 2720
 1242-1246 1244 8 300 170 2400 1360 19200 10880
 1246-1250 1248 12 30 140 360 1680 4320 20160
 1250-1254 1252 16 10 90 160 1440 2560 23040
 1254-1258 1256 20 5 20 100 400 2000 8000
 1000 1000 B1=3920 B2=3560 C1=37120 C2=82400
 B1 B2
 A = n + x0 = 1239.92 B = n + x0 = 1239.56
 0
 2 C2  
2 2 n 2
 SA = n − A − x0 = 21.7536 SA = n−1 · SA = 21.77538
 0
 2 C2  
2 2 n 2
 SB = n − B − x0 = 69.73 SB = n−1 · SB = 69.7962
 0 0
 SA = 4.6664 SB = 8.3544
Như vậy máy A không cần duy tu còn máy B phải duy tu.
B.2.3. Các phân phối xác suất
•Ví dụ B.7 Quan sát số lượng ô tô vào xúc tại một máy xác trong khoảng thời gian định sẵn
tại một mỏ than người ta thu được bảng kết quả sau:
 Số ô tô 0 1 2 3 4 5
 Số khoảng thời gian 75 55 30 12 3 1
 λm −λ
Hãy kiểm tra xem số liệu trên có tuân theo quy luật phân phối Poát-Xông pm = m! e không?
Trong đó Pm là xác suất trong khoảng thời gian trên có m ô tô xuất hiện tại máy xúc.
Lời giải. Lập bảng Excel ước lượng tham số λ = X và vẽ đa giác tần suất, gọi số ô tô là X, số
khoảng thời gian là ni:
 X 0 1 2 3 4 5
 ni 75 55 30 12 3 1 176
 fi 0.426136 0.3125 0.170455 0.068182 0.017045 0.005682 1
 λ ≈ X = 0.954545
B.2. DÙNG PHẦN MỀM EXCEL 199
 1 −0.621212
 Đa giác tần suất có dạng hàm mật độ của phân phối Poát-Xông. Các xác suất pm = m! e
lập bảng tính Qn ta được:
 TT A B C D
 2
 1 X ni pi (ni − npi) /npi
 2 0 75 0.384987 0.774082
 3 1 55 0.367488 1.448107
 4 2 30 0.175392 0.024461
 5 3 12 0.055806 0.482998
 6 4 3 0.013317 0.183674
 7 5 1 0.002542 0.682274
 8 176 Qn = 3.595594
 2
 9 χ4,0.05 = CHIINV(0.05, 4) = 9.487728
 Để tính các pi trong Excel ta thực hiện:
C2 = POISSON(A2,0.954545,FALSE)
Sau đó Autofill từ C3 đến C7.
Số bậc tự do k = 6, r = 1 ta có k - r - 1 = 6 - 1 - 1 = 4.
 2
 χ4,0.05 = 9, 487728 > Qn = 3, 595594.
 Vậy bảng số liệu thu được tuân theo phân phối Poát-Xông.
 Trong phần này chúng tôi đã giới thiệu cách sử dụng một số máy tính điện tử cá nhân thông
dụng và phần mềm Excel để giải một số bài toán trong thống kê. Với sự phát triển mạnh mẽ
của công nghệ thông tin, ngày càng nhiều thế hệ máy tính và phần mềm mới ra đời, đó sẽ là
một thuận lợi lớn cho SV. Do đó yêu cầu sử dụng được MT ĐT các nhân và các phần mềm hỗ
trợ giải toán là một điều cần thiết. Các công cụ này sẽ giúp chúng ta giải quyết nhanh chóng
200 PHỤ LỤC B. SỬ DỤNG CNTT GIẢI TOÁN THỐNG KÊ
các bài toán nói chung và thống kê nói riêng, góp phần nâng cao tính chính xác và kịp thời;
đồng thời tiết kiệm thời gian tính toán cho một bài toán, rèn luyện tư duy thuật giải.
201