Giáo trình Toán cho tin học - Ngành: Tin học ứng dụng

C không thẳng hàng. 
Tam giác ABC gồm: 
- Ba cạnh: AB, BC, CA; 
- Ba góc: 𝐴,̂ 𝐵,̂ 𝐶 ̂; 
 Chu vi tam giác 
Công thức tính chu vi tam giác thường áp dụng cho tất cả các dạng tam giác thường 
phổ biến với các cạnh thay đổi. 
P = a + b + c 
Trong đó: a, b, c lần lượt là ba cạnh của tam giác. 
 Diện tích tam giác 
- Diện tích tam giác bằng nửa tích một cạnh với chiều cao ứng với cạnh đó 
- Công thức Heron 
Gọi S là diện tích và độ dài 3 cạnh tam giác lần lượt là a, b, và c. 
𝑆 = √𝑝(𝑝 − 𝑎)(𝑝 − 𝑏)(𝑝 − 𝑐) 
với p là nửa chu vi của tam giác: 
𝑝 =
𝑎 + 𝑏 + 𝑐
2
 Bài 4: Một số công thức tính toán hình học cơ bản 
KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN Trang 64 
* Đặc biệt: Diện tích tam giác vuông bằng nửa tích hai cạnh góc vuông. 𝑆 =
1
2
𝑎. 𝑏 
3. Tứ giác 
- Tứ giác ABCD là hình gồm bốn đoạn thẳng AB,BC,CD,DA trong đó bất kì 
đoạn thẳng nào cũng không cùng nằm trên một đường thẳng. 
- Tứ giác lồi là tứ giác luôn nằm trong một nửa mặt phẳng mà bờ là đường thẳng 
chứa bất kì cạnh nào của tứ giác. 
- Tổng các góc của một tứ giác bằng 360o. 
3.1. Hình thang 
Định nghĩa: Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song. 
Tính chất: 
- Nếu một hình thang có hai cạnh bên song song thì hai cạnh bên bằng nhau, hai 
cạnh đáy bằng nhau. 
- Nếu một hình thang có hai cạnh đáy bằng nhau thì hai cạnh bên song song và 
bằng nhau. 
 Hình thang vuông 
 Bài 4: Một số công thức tính toán hình học cơ bản 
KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN Trang 65 
Định nghĩa: Hình thang vuông là hình thang có một góc vuông. 
 Hình thang cân 
Định nghĩa: Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau. 
Tính chất: 
- Trong hình thang cân, hai cạnh bên bằng nhau. 
- Trong hình thang cân, hai đường chéo bằng nhau. 
Dấu hiệu nhận biết: 
- Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau là hình thang cân. 
Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân 
3.2. Hình bình hành 
Định nghĩa: Hình bình hành là tứ giác có các cạnh đối song song 
Tính chất 
- Các cạnh đối bằng nhau 
- Các góc đối bằng nhau 
- Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. 
Dấu hiệu nhận biết: 
 Bài 4: Một số công thức tính toán hình học cơ bản 
KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN Trang 66 
- Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành. 
- Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành. 
- Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành. 
- Tứ giác có các góc đối bằng nhau là hình bình hành. 
- Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình 
hành. 
3.3. Hình chữ nhật 
Định nghĩa: Hình chữ nhật là tứ giác có bốn góc vuông. 
Tính chất: 
- Hình chữ nhật có tất cả các tính chất của hình bìnhhành, của hình thang cân.- Hai 
đường chéo của hình chữ nhật bằng nhau và cắtnhau tại trung điểm của mỗi đường 
Dấu hiệu nhận biết: 
- Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật. 
- Hình thang cân có một góc vuông là hình chữ nhật. 
- Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật. 
- Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật 
3.4. Hình thoi 
Định nghĩa: Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau 
Tính chất: 
– Hình thoi có tất cả các tính chất của hình bình hành 
 Bài 4: Một số công thức tính toán hình học cơ bản 
KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN Trang 67 
– Hai đường chéo vuông góc với nhau 
– Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc của hình thoi. 
Dấu hiệu nhận biết: 
– Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình thoi 
– Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi 
– Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi 
– Hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình thoi 
3.5. Hình vuông 
Định nghĩa: Hình vuông là tứ giác có bốn góc vuông và có bốn 
cạnh bằng nhau 
Tính chất: Hình vuông có tất cả các tính chất của hình chữ nhật 
và hình thoi 
Dấu hiệu nhận biết: 
– Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông 
– Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình vuông 
– Hình chữ nhật có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình vuông 
– Hình thoi có một góc vuông là hình vuông 
– Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông 
Nhận biết: Một tứ giác vừa là hình chữ nhật, vừa là hình thoi thì tứ giác đó là hình vuông 
* Diện tích tứ giác 
Tứ giác Công thức Hình vẽ 
1. Hình chữ nhật: Diện tích 
hình chữ nhật bằng tích hai 
kích thước của nó. 
S a b 
a: là độ dài chiều rộng 
b: là độ dài chiều dài 
 Bài 4: Một số công thức tính toán hình học cơ bản 
KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN Trang 68 
2. Hình vuông: Diện tích 
hình vuông bằng bình 
phương cạnh của nó: 
S a2 
a: độ dài 1 cạnh hình 
vuông 
3. Hình thang: Diện tích 
hình thang bằng nửa tích 
của tổng hai đáy với chiều 
cao 
𝑆 =
1
2
(𝑎 + 𝑏)ℎ 
a: Độ dài đáy lớn 
b: Độ dài đáy nhỏ 
h: Độ dài đường cao 
4. Hình bình hành: Diện 
tích hình bình hành bằng 
tích của một cạnh với 
chiều cao tương ứng của 
nó. 
S 
h: Độ dài chiều cao 
a: Độ dài cạnh tương ứng 
5. Hình thoi: Diện tích 
của hình thoi bằng nửa 
tích hai đường chéo 
𝑆 =
1
2
𝑐. 𝑑 
c;d: là độ dài hai đường 
chéo của hình thoi 
6. Tứ giác có hai đường 
chéo vuông góc: Diện tích 
bằng nửa tích hai đường 
chéo. 
𝑆 =
1
2
𝑑1𝑑2 
d1, d2: là độ dài hai đường 
chéo 
 Bài 4: Một số công thức tính toán hình học cơ bản 
KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN Trang 69 
4. Hình lăng trụ đứng 
Trong hình lăng trụ đứng: 
- A, B, C, D, A’, B’, C’, D’ là các đỉnh 
- Các mặt ABB’A’, BCC’B’ là những hình chữ nhật, gọi 
là các mặt bên. 
- Các đoạn AA', BB’, CC’, DD’ song song với nhau và 
bằng nhau, gọi là các cạnh bên. 
- Hai mặt ABCD, A’B’C’D’ là hai đáy 
Hình lăng trụ có hai đáy là tứ giác nên gọi là lăng trụ đứng tứ 
giác. Kí hiệu: ABCD.A’B’C’D’ 
Hình hộp chữ nhật, hình lập phương là những hình lăng trụ đứng. Hình lăng trụ đứng có 
đáy là hình bình hành được gọi là hình hộp đứng. 
* Diện tích xung quanh của hình lăng trụ đứng 
Diện tích xung quanh của hình lăng trụ đứng bằng chu vi đáy nhân với chiều cao. 
Sxq = 2.p.h (p là nửa chu vi đáy, h là chiều cao) 
Diện tích toàn phần của lăng trụ đứng bằng tổng của diện tích xung quanh và diện tích 
hai đáy. 
* Thể tích của hình lăng trụ đứng 
Thể tích hình lăng trụ đứng bằng diện tích đáy nhân với chiều cao. 
Công thức tính thể tích hình lăng trụ đứng: V = S.h (S là diện tích đáy, h là chiều cao ) 
 Hình hộp chữ nhật. 
- Hình hộp chữ nhật có 6 mặt là các hình chữ nhật. 
- Nếu các kích thước của hình hộp chữ nhật là a, 
b, c (cùng đơn vị đo) thì thể tích của hình hộp 
chữ nhật đó là: V = a.b.c 
 Hình lập phương 
- Hình lập phương là hình hộp chữ nhật có 6 mặt 
là những hình vuông. 
- Thể tích của hình lập phương cạnh a là: V = a3 
5. Hình chóp 
 Hình chóp 
- Hình chóp là hình có mặt đáy là một đa giác, các mặt bên là những tam giác 
có chung một đỉnh. Đỉnh chung này gọi là đỉnh của hình chóp. 
 Bài 4: Một số công thức tính toán hình học cơ bản 
KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN Trang 70 
- Đường thẳng đi qua đỉnh và vuông góc với mặt phẳng đáy gọi là đường cao 
của hình chóp. 
- Hình bên là hình chóp S.ABCD có đỉnh là 
S, đáy là tứ giác ABCD, ta gọi là hình chóp 
tứ giác. 
 Hình chóp đều 
Hình chóp đều là hình chóp có mặt đáy là một đa 
giác đều, các mặt bên là những tam giác cân bằng 
nhau có chung đỉnh (S là đỉnh của hình chóp). 
 Hình chóp cụt đều 
Cắt hình chóp đều bằng một mặt phẳng song song với 
đáy. Phần hình chóp nằm giữa mặt phẳng đó và mặt 
phẳng đáy của hình chóp gọi là hình chóp cụt đều. 
Mỗi mặt bên của hình chóp cụt đều là một hình thang 
cân 
- Diện tích xung quanh của hình chóp đều bằng tích của nửa chu vi đáy với trung 
đoạn 
Sxq p.d (p là nửa chu vi đáy, d là trung đoạn của hình chóp đều) 
- Diện tích toàn phần của hình chóp bằng tổng của diện tích xung quanh và diện 
tích đáy. 
- Công thức tính thể tích: V= 
1
3
 S.h (S là diện tích đáy, h là chiều cao). 
 Bài 4: Một số công thức tính toán hình học cơ bản 
KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN Trang 71 
BÀI TẬP 
1. Cho lần lượt ba cạnh của tam giác ABC là 
a) a = 7, b = 4, c = 2; 
b) a = 5, b = 6, c = 9; 
c) a = 3, b = 4, c = 5; 
d) a = 6, b = 6, c = 8; 
Xác định tam giác, loại tam giác. Tính chu vi diện tích. 
2. Cho hình tròn tâm O. Tính chu vi, diện tích của hình tròn, biết: 
 a) Bán kính = 5 cm 
 b) Bán kính = 3 cm 
3. Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của hình hộp chữ nhật khi 
biết lần lượt 2 cạnh và chiều cao như sau: 
 a) 5cm, 4cm, 6cm; 
 b) 7cm, 2cm, 3cm; 
4. Cho hình chóp đều có đáy là hình vuông cạnh và đường cao lần lượt như sau: 
 a) 4cm, 7cm; 
 b) 3cm, 5cm; 
Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần, thể tích của các hình trên. 
Bài 5: Ma trận 
KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN Trang 72 
Bài 5. MA TRẬN 
Giới thiệu: 
Bài này cung cấp khái niệm về ma trận; Các dạng ma trận và các phép toán cơ 
bản trên ma trận. 
Mục tiêu: 
+ Trình bày khái niệm ma trận 
+ Trình bày các phép toán cơ bản trên ma trận 
+ Trình bày ma trận vuông và các khái niệm liên quan 
1. Ma trận 
 Định nghĩa: 
Ma trận A cấp m n trên R là một bảng số hình chữ nhật gồm m hàng và n cột được 
biểu diễn như sau: 
(
𝑎11 𝑎12  𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22  𝑎2𝑛
⋮ ⋮ ⋮
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2  𝑎𝑚𝑛
) = (𝑎𝑖𝑗)𝑚×𝑛, ∀𝑖 = 1,𝑚
̅̅ ̅̅ ̅̅ , 𝑗 = 1, 𝑛̅̅ ̅̅ ̅ 
Trong đó: 
- Aij R: là phần tử thuộc dòng i và cột j của ma trận A 
- m: số dòng của ma trận A, 
- n: số cột của ma trận A. 
- (ai1 ai2 . . . ain): dòng thứ I của ma trận A. 
- 
(
𝑎1𝑗
𝑎2𝑗
.
.
.
𝑎𝑚𝑗)
: 𝑐ộ𝑡 𝑡ℎứ 𝑗 𝑐ủ𝑎 𝑚𝑎 𝑡𝑟ậ𝑛 𝐴. 
Ký hiệu Mm n(R) là tập hợp các ma trận cấp m n trên R. 
2. Các dạng đặc biệt của ma trận. 
2.1. Ma trận dòng 
Ma trận dòng là ma trận có một dòng và n cột, ký hiệu là A = (a1 a2 ... an) 
Ví dụ: (2 −8 3) 
2.2. Ma trận cột 
Bài 5: Ma trận 
KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN Trang 73 
Ma trận cột là ma trận có m dòng và một cột, ký hiệu là: 𝐴 = (
𝑎1
𝑎2
 ⋮
𝑎𝑚
) 
𝑉í 𝑑ụ: 𝐴 = (
1
3
−4
0
) 
2.3. Ma trận không (0) 
Ma trận không là ma trận có tất cả các phần tử đều bằng 0, ký hiệu 0 = 0m n 
Ví dụ: 0 = 03 2 = (
0 0
0 0
0 0
); 0 = (
0 0
0 0
) 
2.4. Ma trận vuông cấp n 
Ma trận vuông cấp n là ma trận có số dòng và số cột bằng n, ký hiệu là 
(
𝑎11 𝑎12  𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22  𝑎2𝑛
⋮ ⋮ ⋮
𝑎𝑛1 𝑎𝑛2  𝑎𝑛𝑛
) = (𝑎𝑖𝑗)𝑛 
Tập hợp các ma trận vuông cấp n được ký hiệu: A Mn (R). 
Đường thẳng đi qua các phần tử a11, a22 , a33 ,..., ann được gọi là đường chéo chính 
của ma trận A. Đường thẳng đi qua các phần tử a1n, a2(n-1) , a3(n-2), ..., an1 được gọi là 
đường chéo phụ của ma trận A. 
Ví dụ (
1 1 −4
1 2 0
−4 0 −3
) là một ma trận vuông. Đường thẳng đi qua các phần tử 1,2,-
3 là đường chéo chính. 
2.5. Ma trận tam giác 
Ma trận tam giác trên là ma trận vuông có các phần tử nằm phía dưới đường chéo chính 
đều bằng 0. 
 Ví dụ. 𝐴 = (
1 2 3
0 2 4
0 0 −1
) 
Ma trận tam giác dưới là ma trận vuông có các phần tử nằm phía trên đường chéo chính 
đều bằng 0. 
 Ví dụ. 𝐴 = (
1 0 0
0 2 0
−5 4 −1
) 
Bài 5: Ma trận 
KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN Trang 74 
2.6. Ma trận chéo 
Ma trận chéo là ma trận vuông có: 
aij 0, i j (các phần tử ngoài đường chéo chính = 0) 
Ví dụ. 𝐴 = (
1 0 0
0 2 0
0 0 −3
) 
2.7. Ma trận đơn vị cấp n 
Ma trận đơn vị cấp n là ma trận chéo có các phần tử nằm trên đường chéo chính bằng 1. 
Ký hiệu là I = In . 
 Ví dụ: 𝐼2 = (
1 0
0 1
); 𝐼3 = (
1 0 0
0 1 0
0 0 1
); 𝐼4 = (
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
) 
2.8. Ma trận chuyển vị 
Chuyển vị của ma trận A là ma trận có được từ A bằng cách viết các hàng của ma trận 
A theo thứ tự thành cột, ký hiệu là At. 
𝑉í 𝑑ụ: 𝐶ℎ𝑜 𝐴 = (
1 1 −4
1 2 1
−5 2 −3
) .𝐾ℎ𝑖 đó 𝐴𝑡 = (
1 1 −5
1 2 2
−4 1 −3
) 
2.9. Ma trận đối xứng 
Ma trận vuông A=(aij)n gọi là ma trận đối xứng nếu aij = aji, i, j = 1, 𝑛̅̅ ̅̅ ̅, 𝑡ứ𝑐 𝑙à A = At 
𝑉í 𝑑ụ:𝑀𝑎 𝑡𝑟ậ𝑛 𝐴 = (
1 1 −4
1 2 0
−4 0 −3
) là một ma trận đối xứng. 
3. Các phép toán trên ma trận 
3.1. Phép cộng ma trận: 
Tổng hai ma trận cùng cấp A = (aij)m×n và B = (bij)m×n là một ma trận cùng cấp, 
ký hiệu A + B, được xác định bởi A + B = (cij)m×n với cij = aij + bij; i = 1, 2, , m; j = 
1, 2, , n. 
Ví dụ: A = (
−1 2 1
4 −2 −3
3 0 5
) ; 𝐵 = (
0 3 1
1 1 −2
4 0 3
) 
Thế thì A+ B = (
−1 5 2
5 −1 −5
7 0 8
) 
3.2. Phép nhân số với ma trận: 
Bài 5: Ma trận 
KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN Trang 75 
Cho số a và ma trận A = (aij)m×n. Tích của a với ma trận A là một ma trận cùng 
cấp, ký hiệu aA, được xác định bởi aA = (bij)m×n với bij = a.aij; i = 1, 2, , m; j = 1, 2, 
, n. 
Ví dụ: Cho a = 2, ma trận A = (
1 −2 3
4 0 2
), thế thì 2A = (
2 −4 6
8 0 4
) 
3.3. Phép nhân ma trận: 
Cho hai ma trận A = (aij)m×n và B = (bjp)n×p. Tích của A với B là ma trận, kí hiệu 
AB, được xác định bởi AB = (cik)m×p với 𝐜𝐢𝐤 = ∑ 𝐚𝐢𝐣𝐛𝐣𝐤;
𝐤
𝐣=𝟏 i = 1, 2, , m; k = 1, 2, , 
p. 
Ví dụ: Cho hai ma trận A = (
1 −2 3
4 0 2
) và B = (
2 3
−1 1
4 2
) 
Thế thì 𝐴𝐵 = (
𝑐11 𝑐12
𝑐21 𝑐22
), ta có: 
c11 = 1.2 + (-2).(-1) + 3.4 = 16 
c12 = 1.3 + (-2).(1) + 3.2 = 7 
c21 = 4.2 + (0).(-1) + 2.4 = 16 
c22 = 4.3 + (0).(1) + 2.2 = 16 
Vậy 𝐴𝐵 = (
16 7
16 16
) 
Bài 5: Ma trận 
KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN Trang 76 
BÀI TẬP 
1. Cho các ma trận A, B, C như sau. Tìm ma trận chuyển vị của chúng. 
𝐴 = (
−2 1 2
−1 −1 3
) 𝐵 = (
−1 0 4
−2 1 −2
3 5 0
) 𝐶 = (
0 4 1
1 2 0
2 −1 1
) 
2. Cho các ma trận A, B, C như sau. Tìm -2A, 3B, -5C 
𝐴 = (
−4 0 1
−3 −2 −1
) 𝐵 = (
−1 3 1
2 1 2
3 1 −3
) 𝐶 = (
1 2 −2
2 1 −1
−2 −1 1
) 
3. Cho các ma trận A, B, C như sau. Tính 𝐴 × 𝐵, 𝐴 × 𝐶, 𝐶 + 𝐵 
a) 𝐴 = (
1 −3 2
0 1 −4
) 𝐵 = (
−1 2 1
4 −2 −3
3 0 5
) 𝐶 = (
0 3 1
1 1 −2
4 0 3
) 
b) 𝐴 = (
0 1 2
1 2 −3
) 𝐵 = (
−1 0 1
2 3 −2
3 −1 0
) 𝐶 = (
0 3 1
1 2 −3
2 1 3
) 
c) 𝐴 = (
2 1 0
1 2 4
) 𝐵 = (
−1 0 1
−2 1 −2
3 4 0
) 𝐶 = (
4 4 1
1 2 0
2 −1 3
) 
4. Cho các ma trận A, B, C như sau. Tính 2𝐴 × −3𝐵,−3𝐴 × 2𝐶,−3𝐶 + 2𝐵 
a) 𝐴 = (
−2 1 2
−1 −1 3
) 𝐵 = (
−1 0 4
−2 1 −2
3 5 0
) 𝐶 = (
0 4 1
1 2 0
2 −1 1
) 
b) 𝐴 = (
−2 3 1
0 −2 −4
) 𝐵 = (
−1 0 1
5 1 2
3 3 0
) 𝐶 = (
0 3 1
1 1 0
2 −1 1
) 
Tài liệu tham khảo 
KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN Trang 77 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
1. Phạm Văn Thiều - Đặng Hữu Thịnh, Toán học rời rạc ứng dụng trong tin học, Khoa 
học và kỹ thuật Hà Nội, 2003. 
2. Nguyễn Hữu Anh, Toán rời rạc, Lao động Xã hội, 2013. 
3.  
4. https://giasutriviet.edu.vn/giai-phuong-trinh-bac-hai.html 
5.https://toanhoc247.com/chuyen-de-giai-phuong-trinh-va-he-phuong-trinh-bac-nhat-
hai-an-a12167.html 
6. https://giasutriviet.edu.vn/chu-vi-va-dien-tich-hinh-tron.html 
7.https://expressmagazine.net/posts/view/1253/chuyen-doi-so-tu-thap-phan-sang-nhi-
phan 
8.https://expressmagazine.net/posts/view/1252/cac-phep-toan-can-ban-tren-so-nhi-
phan 
9.https://maths.uel.edu.vn/Resources/Docs/SubDomain/maths/TOAN%20CAO%20C
AP%20CHAPTER%201%20VER1.pdf 
10. https://vndoc.com/uoc-so-la-gi-boi-so-la-gi/download