Giáo trình Giải tích (Dành cho sinh viên các ngành kỹ thuật và công nghệ) - Phần 1

 Tính tích phân .
 1 + x2
 −∞
 131 Giáo trình Giải tích
 Ta có
 (  )
 ∫+∞ ∫b b
 dx dx  π
 = lim = lim arctan x = lim arctan b =
 1 + x2 b→+∞ 1 + x2 b→+∞  b→+∞ 2
 0 0 0
và
 (  )
 ∫0 ∫0 0
 dx dx  π
 = lim = lim arctan x = − lim arctan b = .
 1 + x2 b→−∞ 1 + x2 b→−∞  b→−∞ 2
 −∞ b b
Ta thu được
 ∫+∞ ∫0 ∫+∞
 dx dx dx
 = + = π.
 1 + x2 1 + x2 1 + x2
 −∞ −∞ 0
 ∫+∞
 2) Tính tích phân xe−x2 dx. Ta có
 0
 ∫+∞ ∫
 b
 2 1 2
 xe−x dx = − lim e−x d(−x2)
 → ∞
 2 b + 0
 0 (  )
 b
 1 2 
 = − lim e−x 
 2 b→+∞ 
 0
 1 2 1
 = − lim (1 − e−b ) = − .
 2 b→+∞ 2
 Ví dụ sau đây là một kết quả thường được sử dụng trong khảo sát sự hội tụ của
tích phân suy rộng loại I.
 ∫+∞
 dx
4.1.5 Ví dụ. Xét sự hội tụ của tích phân trong đó a > 0 và α ∈ R.
 xα
 a
 ∫b
 1 dx
 Ta có với b > a > 0 hàm f(x) = = x−α liên tục trên [a, b]. Do đó là
 xα xα
 a
tồn tại và 
 
 ∫b ln b − ln a nếu α = 1
 dx ( )
 =
 α  1 − −
 x  b1 α − a1 α nếu α ≠ 1.
 a 1 − α
Cho b → +∞ ta thu được
 
 ∫+∞  ∞ 6
 dx + nếu α 1
 = 1−α
 α  a
 x  nếu α > 1.
 a α − 1
 132 Giáo trình Giải tích
Vậy tích phân hội tụ khi và chỉ khi α > 1.
 Từ định nghĩa tích phân suy rộng loại I và các tính chất của giới hạn hàm số
chúng ta dễ dàng có các tính chất sau (việc chứng minh dành cho bạn đọc).
 ∫+∞
4.1.6 Định lý. Điều kiện cần và đủ để f(x)dx hội tụ là với mọi ε > 0 tồn tại
 a
b0 > a sao cho
 ∫ ∫ ∫
  b b′   b′ 
     ′
  f(x)dx − f(x)dx =  f(x)dx b0.
 a a b
 ∫+∞ ∫+∞
4.1.7 Định lý. 1) f(x)dx hội tụ khi và chỉ khi f(x)dx hội tụ với mọi A > a
 a A
và
 ∫ ∫ ∫+∞
 +∞ A
 f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx.
 a a
 A
 ∫+∞ ∫+∞
 2) Nếu f(x)dx hội tụ thì lim f(x)dx = 0.
 A→+∞
 a A
 ∫+∞ ∫+∞ ∫+∞
 (
4.1.8 Định lý. Giả sử f(x)dx và g(x)dx hội tụ. Khi đó, αf(x) +
 ) a a a
βg(x) dx hội tụ với mọi α, β ∈ R và
 ∫+∞ ∫+∞ ∫+∞
 ( )
 αf(x) + βg(x) dx = α f(x)dx + β g(x)dx.
 a a a
 Trong phần tiếp theo chúng ta sẽ nghiên cứu về tích phân suy rộng của hàm
không âm. Đối với hàm không âm ta sẽ có nhiều dấu hiệu tốt cho việc khảo sát sự
hội tụ của nó.
4.1.9 Định lý. Cho hàm f :[a, ∞) → R, f(x) > 0 với mọi x > a và f khả tích
 ∫+∞
trên mọi [a, b], (a 0 sao
 a
cho
 ∫b
 f(x)dx 6 K, ∀ b > a.
 a
 133 Giáo trình Giải tích
 Chứng minh của định lý này bạn đọc có thể tham khảo trong các tài liệu tham
khảo [1], [2], [3], [5] của chương 4.
 Định lý sau còn gọi là dấu hiệu so sánh.
4.1.10 Định lý. Cho các hàm f, g :[a, ∞) → R, 0 6 f(x) 6 g(x), ∀x > a và f, g
khả tích trên mọi [a, b], (a < b). Khi đó,
 ∫+∞ ∫+∞
 1) Nếu g(x)dx hội tụ thì f(x)dx hội tụ.
 a a
 ∫+∞ ∫+∞
 2) Nếu f(x)dx phân kỳ thì g(x)dx phân kỳ.
 a a
 Chứng minh của định lý này suy trực tiếp từ Định lý 4.1.9.
 Từ Định lý 4.1.7 và Định lý 4.1.10 ta có hệ quả sau. Chứng minh của nó dành
cho bạn đọc.
4.1.11 Hệ quả. Cho f, g :[a, ∞) → R là hai hàm không âm trên [a, +∞) và f, g
 f(x)
khả tích trên mọi [a, b], (a < b). Giả sử lim = A, (0 6 A 6 +∞). Khi đó
 x→+∞ g(x)
 ∫+∞ ∫+∞
 1) Nếu 0 6 A < +∞ và g(x)dx hội tụ thì f(x)dx hội tụ.
 a a
 ∫+∞ ∫+∞
 2) Nếu 0 < A 6 +∞ và f(x)dx phân kỳ thì g(x)dx phân kỳ.
 a a
 ∫+∞ ∫+∞
 3) Nếu 0 < A < +∞ thì f(x)dx hội tụ (phân kỳ) khi và chỉ khi g(x)dx
 a a
hội tụ (tương ứng phân kỳ).
 ∫+∞
 ln(1 + x)
4.1.12 Ví dụ. Khảo sát sự hội tụ của tích phân dx.
 1 + x5
 0
 Viết lại tích phân dưới dạng
 ∫+∞ ∫1 ∫+∞
 ln(1 + x) ln(1 + x) ln(1 + x)
 dx = dx + dx.
 1 + x5 1 + x5 1 + x5
 0 0 1
Ta chứng minh
 ∫+∞
 ln(1 + x)
 dx
 1 + x5
 1
 134 Giáo trình Giải tích
hội tụ. Thật vậy, ta có
 ln(1 + x) x 6 x 1 ∀ >
 0 < 5 < 5 5 = 3 , x 1.
 1 + x 1 + x 2x 2 2x 2
 ∫+∞ ∫+∞ ∫+∞
 dx ln(1 + x) ln(1 + x)
Từ tích phân 3 hội tụ suy ra 5 dx hội tụ. Vậy 5 dx hội
 x 2 1 + x 1 + x
 1 1 0
tụ.
 Trong phần còn lại của mục này ta sẽ nghiên cứu tích phân suy rông loại I của
hàm với dấu tùy ý.
 ∫+∞
4.1.13 Định nghĩa. Cho tích phân f(x)dx. Tích phân này được gọi là hội tụ
 a
 ∫+∞
tuyệt đối nếu tích phân |f(x)|dx hội tụ.
 a
 ∫+∞
4.1.14 Định lý. Nếu tích phân f(x)dx hội tụ tuyệt đối thì nó hội tụ.
 a
 Chứng minh của định lý này bạn đọc có thể tham khảo trong các tài liệu tham
khảo [1], [2], [3], [5] của chương 4.
4.1.15 Nhận xét. Chiều ngược lại trong định lý trên không đúng. Xét tích phân
∫+∞
 sin x
 dx. Theo phương pháp tích phân từng phần ta có
 x
1
 ∫b b ∫ ∫
 sin x cos x b cos x cosb b cos x
 dx = −  + dx = 1 − + dx.
  2 2
 x x 1 x b 1 x
 1 1
Mặt khác  
 cos x 1
   6 ∀ >
 2 2 x 1
 ∫ x x
 +∞ cos x
suy ra 2 dx hội tụ, nghĩa là
 1 x
 ∫ ∫
 b cos x +∞ cos x
 lim = dx.
 → ∞ 2 2
 b + 1 x 1 x
 cos b
Từ lim = 0 ta thu được
 b→+∞ b
 ∫+∞ ∫ ∫
 sin x b sin x +∞ cos x
 dx = lim = 1 + dx.
 → ∞ 2
 x b + 1 x 1 x
 1
 135 Giáo trình Giải tích
 ∫+∞
 sin x
Tức là dx hội tụ.
 x
 1
 ∫+∞
 sin x
 Giả sử dx hội tụ tuyệt đối. Khi đó, bất đẳng thức
 x
 a
 sin2 x sin x
 6   ∀x > 1
 x x
 ∫+∞ ∫+∞
 sin2 x sin2 x
kéo theo tích phân dx hội tụ. Viết lại tích phân dx dưới dạng
 x x
 1 1
 ∫+∞ ∫+∞ ∫+∞
 sin2 x 1 cos 2x
 dx = dx − dx.
 x 2x 2x
 1 1 1
 ∫+∞ ∫+∞
 cos 2x 1
 Tương tự như trên ta chứng minh được dx hội tụ. Suy ra dx hội
 2x 2x
 1 1
 ∫+∞
 sin x
tụ. Ta nhận được điều vô lý. Vậy x hội tụ nhưng không hội tụ tuyệt đối.
 x
 a
 Sau đây, chúng ta trình bày một vài dấu hiệu nhận biết sự hội tụ của tích phân
suy rộng loại I của hàm có dấu tuỳ ý. Đầu tiên là dấu hiệu Abel.
4.1.16 Định lý. Cho các hàm f, g :[a, +∞) → R. Nếu
 ∫+∞
 1) f(x)dx hội tụ,
 a
 2) Hàm g đơn điệu và bị chặn trên [a, +∞),
 ∫+∞
 thì f(x)g(x)dx hội tụ.
 a
 Tiếp theo là dấu hiệu Dirichlet.
4.1.17 Định lý. Cho các hàm f, g :[a, +∞) → R. Giả sử
  ∫b 
 1) f khả tích trên [a, b] và  f(x)dx 6 K với mọi b > a;
 a
 2) Hàm g đơn điệu và lim g(x) = 0.
 x→+∞
 ∫+∞
 Khi đó, f(x)g(x)dx hội tụ.
 a
 136 Giáo trình Giải tích
 Chúng ta bỏ qua chứng minh các định lý này. Nếu bạn đọc quan tâm các chứng
minh có thể tìm đọc trong các tài liệu tham khảo [1], [2], [3], [5] của chương 4. .
 ∫+∞ ∫+∞
 sin x cos x
4.1.18 Ví dụ. Với α > 0 các tích phân dx và dx hội tụ theo dấu
 xα xα
 1 1
hiệu Dirichlet.
4.2 Tích phân suy rộng loại II
 ∫b
 Trong mục này ta xét tích phân f(x)dx trong đó f là hàm không bị chặn trên
 a
[a, b]. Tích phân này còn được gọi là tích phân suy rộng loại II.
4.2.1 Định nghĩa. Cho c ∈ [a, b] và hàm số f xác định trên [a, b] trừ tại điểm
x = c. Nếu tồn tại một lân cận U của điểm c trong [a, b] sao cho f không bị chặn
trên U \{c} thì ta gọi c là điểm kì dị của f.
 1
4.2.2 Ví dụ. Điểm x = 0 là điểm kỳ dị của hàm f(x) = trên [0, 1]. Điểm x = 1
 x
 1
là điểm kỳ dị của hàm f(x) = trên [1, +∞).
 ln x
 →
4.2.3 Định nghĩa. Cho f :[a, b) R và b là điểm kì dị của f. Giả∫ sử f khả tích
 b−ε
trên mọi đoạn [a, b − ε] với 0 < ε < b − a. Nếu tồn tại giới hạn lim f(x)dx, thì
 →
 ε 0 a
 ∫b
ta gọi I là tích phân suy rộng loại II của f trên [a, b] và ký hiệu là f(x)dx. Như
 a
vậy
 ∫b ∫
 b−ε
 f(x)dx := lim f(x)dx. (4.25)
 →
 ε 0 a
 a
 Tương tự nếu f :(a, b] → R, a là điểm kì dị của f và f khả tích trên mọi đoạn
[a + ε, b] với 0 < ε < b − a thì ta định nghĩa
 ∫b ∫
 b
 f(x)dx := lim f(x)dx. (4.26)
 →
 ε 0 a+ε
 a
 Nếu c ∈ (a, b) là điểm kì dị của hàm f trên [a, b] thì ta định nghĩa
 ∫b ∫c ∫b
 f(x)dx := f(x)dx + f(x)dx,
 a a c
 137 Giáo trình Giải tích
 ∫c ∫b
trong đó các tích phân f(x)dx và f(x)dx được xác định như trên và tổng ở vế
 a c
phải là hữu hạn.
 Nếu các giới hạn trong (4.28), (4.29) tồn tại và hữu hạn thì ta nói các tích phân
tương ứng hội tụ. Nếu ngược lại thì các tích phân tương ứng được gọi là phân kỳ.
 ∫1
 dx
4.2.4 Ví dụ. Xét sự hội tụ của tích phân √ .
 1 − x2
 0
 1
 Đây là một tích phân suy rộng của hàm f(x) = √ với điểm kì dị là x = 1.
 1 − x2
Từ định nghĩa ta có
 ∫1 ∫1−ε ( 1−ε)
 dx dx  π
 √ = lim √ = lim arcsin x = lim arcsin(1 − ε) = .
 1 − x2 ϵ→0 1 − x2 ε→0  ε→0 2
 0 0 0
 ∫b
 dx
4.2.5 Ví dụ. Xét sự hội tụ của tích phân , (a < b, α ∈ R).
 (x − a)α
 a
 dx
 Đây là một tích phân suy rộng của hàm f(x) = với điểm kì dị là x = a.
 (x − a)α
Ta có 
 ∫b 
 dx ln(b − a) − ln ε nếu α = 1.
 = ( )
 α  1 − −
 (x − a) (b − a)1 α − ε1 α nếu α ≠ 1.
 a+ε 1 − α
Suy ra 
 ∫b 
 dx +∞ nếu α > 1.
 lim =
 → α  1 −
 ε 0 (x − a) (b − a)1 α nếu α < 1.
 a+ε 1 − α
 ∫b
 dx
Vì vậy hội tụ nếu α 1.
 (x − a)α
 a
4.2.6 Nhận xét. 1) Bằng phép đổi biến x = b + a − u thì điểm kì dị a của f(x)
được đưa về điểm kì dị b của hàm g(u) = f(b + a − u) trên [a, b]. Như vậy ta chỉ cần
 ∫b
khảo sát tích phân suy rộng có dạng f(x)dx với b là điểm kì dị.
 a
 1
 2) Bằng phép đổi biến x = b − thì tích phân
 y
 1 1
 ∫b−ε ∫ε ∫ε
 1 dy
 f(x)dx = f(b − ) = g(y)dy.
 y y2
 a 1 1
 b−a b−a
 138 Giáo trình Giải tích
 ∫b
Vì vậy tích phân suy rộng loại II có dạng f(x)dx có thể đưa về tích phân suy
 a
rộng loại I có dạng
 ∫∞
 g(y)dy.
 1
 b−a
Như vậy các tính chất của tích phân suy rộng loại II có thể suy ra từ các tính chất
của tích phân suy rộng loại I.
 Trong mục này, chúng ta trình bày một số tính chất cơ bản của tích phân suy
rộng loại II, bỏ qua các chứng minh. Như nhận xét trong mục trước, ta có thể nhận
được các tính chất này từ các tính chất của tích phân suy rộng loại I. Trong cả mục
 ∫b
này, chúng ta xét tích phân f(x)dx với b là điểm kì dị. Tuy nhiên các kết quả này
 a
vẫn còn đúng cho trường hợp a là điểm kì dị.
 ∫b
4.2.7 Định lý. Điều kiện cần và đủ để tích phân suy rộng f(x)dx hội tụ là với
 a
mọi ε > 0 tồn tại δ0 > 0 sao cho
 ∫
  b−δ′ 
   ′
  f(x)dx < ε với mọi δ, δ : 0 < δ, δ < δ0.
 b−δ
4.2.8 Định lý. Cho f :[a, b) → R và f(x) > 0, ∀x ∈ [a, b). Điều kiện cần và đủ
 ∫b
để tích phân suy rộng f(x)dx hội tụ là tồn tại K > 0 sao cho
 a
  ∫ 
  b−ε 
  f(x)dx < K với mọi ε ∈ (0, b − a).
 a
4.2.9 Định lý. Cho f, g :[a, b) → R là các hàm số không âm, f(x) 6 g(x) ∀x ∈
[a, b) và b là điểm kì dị của chúng. Khi đó,
 ∫b ∫b
 1) Nếu g(x)dx hội tụ thì f(x)dx hội tụ.
 a a
 ∫b ∫b
 2) Nếu f(x)dx phân kỳ thì g(x)dx phân kỳ.
 a a
 139 Giáo trình Giải tích
 f(x)
4.2.10 Hệ quả. Giả sử f,g xác định như trong định lý trên và lim = K (0 6
 x→b− g(x)
K 6 +∞). Khi đó
 ∫b ∫b
 1) Nếu 0 6 K < +∞ và g(x)dx hội tụ thì f(x)dx hội tụ.
 a a
 ∫b ∫b
 2) Nếu 0 < K 6 +∞ và g(x)dx phân kỳ thì f(x)dx phân kỳ.
 a a
 ∫b ∫b
 3) Nếu 0 < K < +∞ thì f(x)dx, g(x)dx đồng thời hội tụ hay phân kỳ.
 a a
 ∫1
 dx
4.2.11 Ví dụ. Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng .
 sinα x
 0
 1 1
 Ta có f(x) = > 0 với mọi x ∈ (0, 1]. Xét hàm g(x) = > 0 với mọi
 sinα x xα
x ∈ (0, 1]. Ta có
 f(x) xα
 lim = lim α = 1
 x→0+ g(x) x→0+ sin x
 ∫1 ∫1
 dx dx
và hội tụ khi và chỉ khi α < 1. Do đó hội tụ khi và chỉ khi α < 1.
 xα sinα x
 0 0
4.2.12 Định nghĩa. Cho f :[a, b):→ R và b là điểm kì dị của f. Tích phân suy
 ∫b ∫b
rộng f(x)dx được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu |f(x)|dx hội tụ.
 a a
 ∫b
 Rõ ràng nếu tích phân hội tụ f(x)dx hội tụ tuyệt đối thì nó hội tụ. Điều
 a
ngược lại là không đúng.
 ∫1
 sin 3xdx
4.2.13 Ví dụ. Khảo sát sự hội tụ của tích phân √ .
 x − 1
 0
 Ta có  
  sin 3x  1
 √  6 √ , ∀x ∈ [0, 1).
 x − 1 x − 1
 ∫1 ∫1   ∫1
 dx  sin 3x  sin 3xdx
Do tích phân √ hội tụ, nên √ dx hội tụ, hay √ hội tụ
 x − 1 x − 1 x − 1
 0 0 0
 ∫1
 sin 3xdx
tuyệt đối. Suy ra √ hội tụ.
 x − 1
 0
 140 Giáo trình Giải tích
 CÂU HỎI THẢO LUẬN VÀ BÀI TẬP CỦA CHƯƠNG 4
Câu hỏi thảo luận
 1) Các khái niệm nguyên hàm, tích phân không xác định, phương pháp tính
nguyên hàm của các lớp hàm hữu tỷ, vô tỷ, lượng giác.
 2) Khái niệm tích phân xác định, các tính chất của tích phân xác định. Mối liên
hệ giữa nguyên hàm và tích phân xác định. Các phương pháp tính tích phân xác
định.
 2) Các ứng dụng của tích phân xác định trong việc tính độ dài cung, diện tích,
thể tích,...; trong vật lý và kỹ thuật .
 3) Các khái niệm cơ bản của tích phân suy rộng và xét sự hội tụ của tích phân
suy rộng.
Bài tập của chương 4
 Bài∫ 1. Chọn phép biến đổi thích hợp tính các tích phân sau:
 √
 1) x2 3 1 − xdx.
 ∫
 x2
 2) √ dx.
 −
 ∫ 1 x
 dx
 3) .
 x x
 ∫ e 2 + e
 dx
 4) √ .
 1 + ex
 ∫
 x2dx
 5) √ .
 x2 − 2
 Bài∫ 2. Dùng phuơng pháp tích phân từng phần tính các tích phân sau
 1) x3e−x2 dx.
 ∫
 2) x2 sin 2xdx.
 ∫
 3) x arctan xdx.
 ∫
 4) x arcsin xdx.
 141 Giáo trình Giải tích
 ∫
 5) x3e−x2 dx.
 ∫
 6) x2 sin 2xdx.
 ∫ ∫
 7) a) eax sin bxdx, b) eax cos bxdx.
 ∫ √
 8) x2 − a2dx
 Bài∫ 3. Tính các tích phân sau
 xdx
 1) .
 (x + 1)(x + 2)
 ∫
 1
 2) dx.
 x(x2 + x + 1)
 ∫
 x + 1
 3) dx.
 x2 + 2x + 5
 ∫
 x2 + 1
 4) 2 dx.
 ∫ (x + 1)(x + 2)
 dx
 5) .
 x4 − 1
 ∫
 x + 1
 6) dx.
 x3 − 1
 Bài∫ 4. Tính các tích phân sau
 1) sin 5x. cos xdx.
 ∫
 cos4 x
 2) dx.
 sin3 x
 ∫
 sin3 x
 3) 4 dx.
 ∫ cos x
 dx
 4) .
 ∫ sin x sin 2x
 dx
 5)
 4 sin x + 3 cos x + 5
 Bài 5. Giả sử f(x) là hàm số xác định và liên tục trên đoạn [−a, a]. Chứng minh
rằng
 ∫a ∫a
 1) f(x)dx = 2 f(x)dx, nếu f(x) là hàm chẵn.
 −a 0
 142 Giáo trình Giải tích
 ∫a
 2) f(x)dx = 0, nếu f(x) là hàm lẻ.
 −a
 Bài 6. Tính các tích phân sau:
 ∫1 √ ∫e
 1) x15 1 + 3x8dx; 2) | ln x|dx.
 0 1
 e
 ∫ 1 ∫2
 2 dx
 3) √ ; 4) ex.|x − 1|dx.
 − 1 1 − x2
 2 0
 ∫1 ∫1
 xdx
 5) x. ln xdx; 6) .
 x2 + x + 1
 0 −1
 Bài 7. Tính độ dài cung của các đuờng sau:
 1) y2 = 2px, với (0 6 x 6 a), p > 0.
 1 1
 2) x = y2 − ln y, với (1 6 y 6 e).
 4 2
 Bài 8. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đuờng cho trong hệ tọa độ
Descartes:
 1) y = x2 + 1, x + y − 3 = 0.
 2) y = 0, y = (x + 1)2, x + y − 4 = 0.
 3) y2 = 2x + 1, x − y − 1 = 0.
 4) y = |x2 − 4x + 3|, y = x + 3.
 Bài 9. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay miền D được giới hạn
bởi các đồ thị hàm số
 1) y = 0, y = x3 và x = 2 quanh trục Ox.
 2) y = −x2 + 5 và y = 0 quanh trục Ox.
 x
 3) x = 0, y = và y = 4 xung quanh trục Oy.
 2
 Bài 10. Tính các tích phân sau:
 +∞ +∞
 ∫ ∫ − 1
 dx e x dx
 1) ; 2) ;
 x ln2 x x2
 e 1
 143 Giáo trình Giải tích
 ∫1 ∫2
 (x − 2)dx
 3) ln xdx; 4) √ .
 x − 1
 0 1
 TÀI LIỆU THAM KHẢO CỦA CHƯƠNG 4
[1] Nguyễn Ngọc Cư, Lê Huy Đạm, Trịnh Danh Đằng và Trần Thanh Sơn (2004),
 Giải tích 1, (Giáo trình dùng cho sinh viên Trường Đại học Xây dựng và sinh
 viên các Trường Đại học và Cao đẳng kỹ thuật), Nhà xuất bản ĐHQG-Hà nội.
[2] Đinh Huy Hoàng, Kiều Phương Chi, Nguyễn Văn Đức, Vũ Hồng Thanh, Trần
 Đức Thành (2017), Giáo trình Giải tích 1 (Dành cho sinh viên KTCN), Nhà
 xuất bản Đại học Vinh.
[3] Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải (2002), Giải tích toán học, Tập 1, Nhà xuất bản
 ĐH Sư phạm.
[4] Y.Y Liasko, AC Boiatruc (1978), Giải tích toán học, các ví dụ và bài toán, NXB
 Đại học và Trung học chuyên nghiệp.
[5] Lê Viết Ngư, Phan Văn Danh, Nguyễn Định (2000), Toán cao cấp, Tập 2 (Giải
 tích hàm một biến), Nhà xuất bản Giáo dục.