Điều kiện cần hữu hiệu cho nghiệm yếu địa phương của bài toán cân bằng vectơ có ràng buộc bất đẳng thức tổng quát và áp dụng

i thiệu kh{i niệm quan trọng cần sử dụng trong chứng 
minh c{c kết quả mới của b|i b{o về đạo h|m Studniarski (xem *6, 7+) v| chúng được 
ph{t biểu như sau: 
 3 
Điều kiện cần hữu hiệu cho nghiệm yếu địa phương của bài toán cân bằng vectơ có ràng buộc bất đẳng thức< 
Định nghĩa 2.5 ([6]) Cho {nh xạ fXY: v| c{c điểm x,,1. v X mm ¢ Đạo 
 m
h|m Studniarski cấp m của f tại điểm xv, được ký hiệu dfS x(;) v v| được x{c định 
bởi 
 f x tu f x
 m 
 dS f( x ; v ) lim 
 t 0 m
 uv t
 1
nếu giới hạn tồn tại. Trong trường hợp m = 1, ta viết dS f(;) x v thay cho dS f(;) x v . Các 
nón tiếp liên sau l| cần thiết trong việc thiết lập điều kiện cần hữu hiệu cho nghiệm 
hữu hiệu yếu địa phương của b|i to{n (GVEP) v| c{c trường hợp riêng. 
Định nghĩa 2.6 ([8]) Nón tiếp liên của tập AX tại điểm xclA được định nghĩa 
bởi 
 T( A , x ) v X :   tn 0 ,1 v . nn n v sao  cho x t v A n  
Ở đ}y tn 0 thay cho một dãy số thực dương hội tụ về không. 
Định nghĩa 2.7 ([8]) Nón tiếp liên phần trong của tập tại điểm được 
định nghĩa bởi 
 IT(,) A x v X :  0 sao cho x  tu A  t (0,],  u B (,). v  
Ký hiệu (xem Luu [7]) 
 ±
 IT( A , x ) v X :  tnn 0. sao cho x t v A  n :  
Ở đ}y n : ta hiểu l| n l| số tự nhiên đủ lớn. 
Ta có bao h|m thức đúng sau: 
 ITAx(,)(,)(,) ITAx± TAx . 
Để khép lại phần n|y, chúng tôi giới thiệu một đặc trưng tương đương cho nón tiếp 
liên do Giorgi v| Guerraggio *8+ cung cấp như sau: 
Mệnh đề 2.1 ([8]) Nón tiếp liên của tập tại điểm có dạng 
 
 xxn v
 TAx( , )  vX :  xnn Ax \  , x xsaocho  0 . 
 xx v
 n
Chú ý c{c ký hiệu được sử dụng trong c{c biểu thức bên trên hiểu như sau: 
 xxn , nghĩa l| lim xxn , hay limxxn 0, 
 n n 
 4 
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, Trường Đại học Khoa học, ĐH Huế Tập 14, Số 1 (2019) 
 và U F xx0 , thay cho F xK0 ,. 
 xK 
3. KẾT QUẢ MỚI CỦA BÀI BÁO 
 Dựa vào khái niệm đạo hàm Studniarski trong không gian Banach và khái niệm 
nón tiếp liên, nón tiếp liên phần trong của tập tại điểm, trong tiểu mục này chúng tôi 
cung cấp một số điều kiện cần hữu hiệu dạng cơ bản và dạng đối ngẫu cho nghiệm 
hữu hiệu yếu và nghiệm hữu hiệu yếu địa phương của bài toán (GVEP) và áp dụng kết 
quả cho hai b|i to{n đặc biệt đó l| (GVOP) v| (GVVI). 
 Cho xK và vX . Ký hiệu 
 dFxxTCx, ; ( , ) uXdgxu : ( ;  ) int S int Q  ,
 SS  
nghĩa l| 
 dFxxvSS , ; int QvTCx  ( , )  uXdgxu : ( ; ) int S , 
trong đó dS F(,;) x x v l| đạo h|m Studniarski cấp 1 của h|m số F x,.: X Y tại 
điểm xv, v| được x{c định bởi (xem Định nghĩa 2.5) 
 F x,, x tu F x x
 1 
 dSS F(,;): x x v d F (,;) x x v lim. 
 t 0
 uv t
 Một điều kiện cần hữu hiệu cho nghiệm hữu hiệu yếu địa phương của bài toán 
(GVEP) dạng cơ bản được phát biểu như sau. 
Định lí 3.1 Cho thỏa mãn điều kiện c}n bằng F x,0 x . Giả sử rằng c{c đạo 
hàm Studniarski dS F(,;) x x v và dS g(;) x v tồn tại theo mọi phương Khi đó, 
nếu l| một nghiệm hữu hiệu yếu địa phương của b|i to{n c}n bằng vectơ với 
r|ng buộc bất đẳng thức tổng quát (GVEP) thì 
 dFxxTCx, ; ( , ) uXdgxu : ( ; ) int S  int Q  .
 SS  
Chứng minh. Giả sử rằng l| một nghiệm hữu hiệu yếu địa phương của b|i to{n 
c}n bằng vectơ với r|ng buộc bất đẳng thức tổng qu{t (GVEP). Khi đó tồn tại số thực 
dương  0 thỏa mãn 
 F x; K B ( x , )  int Q . (2) 
Ta chứng minh 
 5 
Điều kiện cần hữu hiệu cho nghiệm yếu địa phương của bài toán cân bằng vectơ có ràng buộc bất đẳng thức< 
 dFxxTCx, ; ( , ) uXdgxu : ( ;  ) int S int Q  .
 SS  (3) 
Thật vậy, ngược lại với kết luận (3) ta có thể chọn một hướng v T(,) C x sao cho 
 dS g( x ; vS )int (4) 
và 
 dS F( x , x ; vQ ) int . (5) 
Dễ thấy v T( C , x ) \ 0 . Sử dụng Mệnh đề 2.1 ta có: 
 xnn C\, x xx khi n 
Sao cho 
 xx v
 n . (6) 
 v
 xxn 
Với mỗi số tự nhiên n, ta đặt 
 xx 
 t n ,
 n v
 xxn 
 vn .
 tn
Khi đó, do (6) ta được 
 tvnn v0 v à. 
Hiển nhiên 
 xn x t n v n C  n 1. (7) 
Theo định nghĩa đạo h|m Studiniarski (Định nghĩa 2.5), ta có 
 g x tnn u g x g x g x 
 dS g( x ; v ) lim lim , (8) 
 tn 0 
 uv tt
và 
 Fxxtu ,,,, nn Fxx Fxx Fxx 
 dS F( x , x ; v ) lim lim . 
 tn 0 
 uv tt
Bởi vì intS lả tập mở nên kết hợp (4) v| (8), tồn tại số thực dương A > 0 sao cho 
 6 
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, Trường Đại học Khoa học, ĐH Huế Tập 14, Số 1 (2019) 
 g xn g x 
 int K n A . 
 t
 Hay tương đương 
 g x tnn vS n A , (9) 
bởi vì xxnn n t v do (7) v| vì nón S lồi, ta nhận được kết quả 
 g( xS ), SSS intint S 
và với mọi số thực t > 0, 
 1
 intSS int . 
 t
Để ý rằng xxn B x ,  nên tồn tại số thực B với B > A sao cho xBn x ,  và 
c{c quan hệ trong (7) và (9) đúng với mọi n B . Kết hợp (7) v| (9) cho ta kết quả sau 
 xn x t n v n K  B xn ,. B (10) 
Một c{ch tương tự như c{c bước như trên ta cũng có 
 F x,int, x tnn v Q  n C (11) 
ở đ}y C l| số dương lớn hơn B được chọn trong qu{ trình xử lý kết quả. Do đó (10) 
cũng đúng với mọi n> C. Điều n|y cùng với (11) dẫn đến một sự m}u thuẩn với điều 
kiện (1) (xem Định nghĩa 2.2) được thiết lập bên trên. Vậy, điều kiện trong (3) được 
thỏa mãn v| định lí được chứng minh đầy đủ. 
 Một hệ quả trực tiếp từ Định lí 3.1 l| kết quả sau. 
Hệ quả 3.1 Cho xK thỏa mãn điều kiện c}n bằng F x,0 x . Giả sử rằng c{c đạo 
hàm Studniarski dS F(,;) x x v và dS g(;) x v tồn tại theo mọi phương vX . Khi đó, 
nếu l| một nghiệm hữu hiệu yếu của b|i to{n c}n bằng vectơ với r|ng buộc bất 
đẳng thức tổng qu{t (GVEP) thì 
 dFxxTCx, ; ( , ) uXdgxu : ( ; ) int S  int Q  .
 SS  
Chứng minh. Bởi vì một nghiệm hữu hiệu yếu của b|i to{n (GVEP) cũng l| một 
nghiệm hữu hiệu yếu địa phương của b|i to{n đó (nhận xét trong Định nghĩa 2.2). Áp 
dụng Định lí 3.1 ta kết luận. 
 Một điều kiện hữu hiệu được ph{t biểu ở dạng đối ngẫu cho nghiệm hữu hiệu 
yếu (địa phương) của b|i to{n (GVEP) dựa theo Định lí 3.1 v| Hệ quả 3.1 như sau. 
 7 
Điều kiện cần hữu hiệu cho nghiệm yếu địa phương của bài toán cân bằng vectơ có ràng buộc bất đẳng thức< 
Định lí 3.2 Cho xK thỏa mãn điều kiện c}n bằng F x,0 x . Giả sử rằng c{c đạo 
hàm Studniarski dS F(,;) x x v và dS g(;) x v tồn tại theo mọi phương vX . Khi đó, 
nếu l| một nghiệm hữu hiệu yếu (hay nghiệm hữu hiệu yếu địa phương) của 
b|i to{n c}n bằng vectơ với r|ng buộc bất đẳng thức tổng qu{t (GVEP) thì với mọi 
v T(,) C x sao cho dS g x,int vS , tồn tại fQ \0  thỏa mãn 
 f d F x, x ;0. v 
 S (12) 
Chứng minh. Sử dụng Định lí 3.1 kết hợp với Hệ quả 3.1 ta có 
 dFxxTCx, ; ( , ) uXdgxu : ( ;  ) int S int Q  .
 SS  
 Do đó, với tùy ý v T( C , x ), sao cho int dS g x vS , ta có 
 dS F( x , x ; vQ ) int . 
Áp dụng một định lí t{ch trong Rockarfellar *9+, tồn tại fY *\ 0 sao cho 
 f d F x, x ; v f ( q )  q int Q .
 S 
Do đó, 
 f d F x,;(). x v f q  q Q
 S (13) 
Bởi vì nón Q chứa 0 nên bất đẳng thức (12) đúng. Để kiểm tra fQ ta chứng minh 
 f( qq ) 0. Q  (14) 
Thật vậy, với mọi số dương t, ta có tq Q khi q Q, nên {p dụng (13) và chuyển biểu 
thức ở vế phải sang vế tr{i, ta nhận được 
 fdFxxv, ; ftq ( ) 0  qQ ,  t 0,
 S 
hay tương đương 
 1
 fdFxxv, ; fq ( ) 0  qQt ,  0. (15) 
 t S 
Cho t trong (15) v| ta nhận được bất đẳng thức trong (14). Vậy định lí được 
chứng minh đầy đủ. 
Tiếp theo chúng tôi cung cấp một số ứng dụng của Định lí 3.2 cho c{c b|i to{n (GVOP) 
và (GVVI). 
 8 
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, Trường Đại học Khoa học, ĐH Huế Tập 14, Số 1 (2019) 
Định lí 3.3 Cho xK v| giả sử F(,)()(), x y f y  f x x y K với fXY: là 
một {nh xạ. Giả sử thêm rằng c{c đạo hàm Studniarski dS f(;) x v và dS g(;) x v tồn tại 
theo mọi phương vX . Khi đó, nếu l| một nghiệm hữu hiệu yếu (hay nghiệm 
hữu hiệu yếu địa phương) của b|i to{n tối ưu vectơ với r|ng buộc bất đẳng thức tổng 
qu{t (GVOP) thì với mọi v T(,) C x sao cho dS g x,int vS , tồn tại fQ \0  
thỏa mãn 
 f d f x;0. v 
 S (16) 
Chứng minh. Xét song hàm F: K KY được định nghĩa bởi 
 F(,)()(), x y f y  f x x y K . 
Khi đó với mỗi thỏa mãn điều kiện c}n bằng F x,0 x v| hơn nửa, 
 F( x , x ) f ( x )  f ( x ). x K 
Do vậy, đạo h|m Studniarski tồn tại theo mọi phương vX khi v| chỉ khi 
đạo h|m Studniarski dS F(,;) x x v tồn tại theo mọi phương . Ngo|i ra đẳng thức 
sau dễ d|ng kiểm tra thỏa mãn = với mọi . Áp dụng 
Định lí 3.2, tồn tại phiếm h|m tuyến tính liên tục thỏa mãn bất đẳng thức 
trong (16) và điều khẳng định n|y kết thúc chứng minh. 
Định lí 3.4 Cho v| giả sử F(,),, x y Tx y x  x y K với {nh xạ 
TKLXY:( , ). Giả sử thêm rằng đạo h|m Studniarski tồn tại theo mọi 
phương Khi đó, nếu l| một nghiệm hữu hiệu yếu (hay nghiệm hữu 
hiệu yếu địa phương) của b|i to{n bất đẳng thức biến ph}n vectơ với r|ng buộc bất 
đẳng thức tổng qu{t (GVVI) thì với mọi v T(,) C x sao cho dS g x, vS int , tồn 
tại thỏa mãn 
 f T x( v ) 0. (17) 
Chứng minh. Xét song hàm được định nghĩa bởi 
 F(,),, x y Tx y x  x y K . 
Lúc n|y với mọi thỏa mãn điều kiện c}n bằng và ngoài ra, 
 F(,),. x x T x x x  x K 
Do vậy, đạo h|m Studniarski luôn tồn tại theo mọi phương và 
 9 
Điều kiện cần hữu hiệu cho nghiệm yếu địa phương của bài toán cân bằng vectơ có ràng buộc bất đẳng thức< 
 T xv() = dS F(,;) x x v với mọi vX . 
Theo Định lí 3.2, tồn tại phiếm h|m tuyến tính liên tục fQ \0  thỏa mãn bất đẳng 
thức trong (17) v| chúng ta kết thúc chứng minh định lí. 
Chú ý 3.1 Kết quả thu được của Định lí 3.1, 3.2, 3.3, 3.4 v| Hệ quả 3.1 vẫn còn đúng 
trong trường hợp nón tiếp liên T(,) C x bị hủy bỏ v| chúng được thay thế bởi nón tiếp 
liên phần trong IT( C , x ) hay IT± ( C , x ). Cuối cùng chúng tôi cung cấp một ví dụ số để 
mô tả cho Định lí 3.2 trong trường hợp nghiệm hữu hiệu yếu địa phương như sau. 
Ví dụ 3.1 Xét b|i to{n c}n bằng vectơ có r|ng buộc bất đẳng thức tổng qu{t (GVEP), 
 22
trong đó X ¡, Y ¡ , Z ¡¡ , C [-1, ¡ 1], Q , S v à x 0. C{c {nh xạ 
F( x , .):à Xv : g¡¡2 X được định nghĩa tương ứng bởi 
 5 xx sin 
 xsin x ,2 khi x 0
 F(,), x x 4 x  x ¡ 
 0, 0 khi x 0
 2 1 k
 x tan x x x sin x khi x 
 2 sinx 2
 g( xx ),  0,1,2,... k . ¡ 
 k 
 0 khi x 
 2
Tập chấp nhận được của b|i to{n (GVEP) l| K  1, 1 . Với mỗi x Kx 1 1. 
 5 44
Suy ra h|m số y xxsin0 trên đoạn ,1, 1   v| hệ quả l| 
 4 55
 44
F x,int xQ với mọi xK  ,. Do đó, vectơ x 0 l| một nghiệm hữu 
 55
hiệu yếu địa phương của b|i to{n (GVEP). Mặt kh{c, với mọi v ¡ , bẳng tính to{n 
 v v 
trực tiếp ta được dS F( x , x ; v ) 0, và dS g(;) x v . Do đó tất cả c{c giả 
 6 2
thiết của Định lí 3.2 được thỏa mãn. Để ý rằng c{c đẳng thức đúng: 
T( C , x ) ¡ v à int S , 0 . Theo Định lí 3.2, với mọi v ¡ thỏa mãn 
 v 
d g( x ; v ) 0 , hay tương đương v ¡ \ 0 . Vậy tồn tại phiếm h|m tuyến 
 S 2
 2 f d F x, x ; v 0.
tính liên tục f f12, f ¡ với (ff12 , ) (0,0) sao cho S Thật 
vậy, bẳng phương ph{p thử trực tiếp, ta chọn hai số thực ff12 0, 0 thì 
 10 
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, Trường Đại học Khoa học, ĐH Huế Tập 14, Số 1 (2019) 
 f d F x, x ;0. v 
 (ff12 , ) (0,0) v| hơn nữa S Do đó, kết quả của Định lí 3.2 được 
kiểm tra đầy đủ. 
4. KẾT LUẬN 
 Bài báo đã chứng minh được kết quả về điều kiện cần hữu hiệu cho 
nghiệm hữu hiệu yếu v| nghiệm hữu hiệu yếu địa phương của b|i to{n c}n bằng 
vectơ có r|ng buộc bất đẳng thức tổng qu{t v| hai trường hợp đặc biệt của b|i 
toán đó l| b|i to{n tối ưu vectơ v| b|i to{n bất đẳng thức biến ph}n vectơ với 
cùng r|ng buộc theo ngôn ngữ của đạo h|m Studniarski với lớp h|m không trơn 
trong không gian Banach. Kết quả đạt được l| ho|n to|n mới v| được sử dụng 
cho việc nghiên cứu tính ổn định nghiệm của b|i to{n c}n bằng tham số v| dùng 
trong việc thiết kế thuật to{n số tìm nghiệm hữu hiệu yếu địa phương cho b|i 
to{n c}n bằng vectơ có r|ng buộc bất đẳng thức tổng qu{t trong tương lai. 
 TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1]. X. H. Gong (2008), Optimality conditions for vector equilibrium problems, J. Math. Anal. 
 Appl., 342, pp. 1455-1466. 
[2]. X. J. Long, Y. Q. Huang, Z. Y. Peng (2011), Optimality conditions for the Henig efficient 
 solution of vector equilibrium problems with constraints, Optim. Lett., 5, pp. 717-728. 
[3]. E. Blum, W. Oettli (1994), From optimization and variational inequalities to equilibrium 
 problems, Math. Stud., 63, pp. 127-149. 
[4]. M. Bianchi, N. Hadjisavvas, S. Schaible (1997), Vector equilibrium problems with 
 generalized monotone bifunctions, J. Optim. Theory Appl., 92, pp. 527-542. 
[5]. Q.H. Ansari (2000), Vector Equilibrium Problems and Vector Variational Inequalities, in 
 Vector Variational Inequalities and Vector EquilibriaMathematical Theories, Edited by Prof. 
 F. Giannessi, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht-Boston-London, pp. 1-16. 
[6]. M. Studniaski (1986), Necessary and sufficient conditions for isolated local minima of 
 nonsmooth functions, SIAM J. optim., 24, pp. 1044-1049. 
[7]. D. V. Luu (2008), Higher-order necessary and sufficient conditions for strict local Pareto 
 minima in terms of Studniarski's derivatives, Optim., 57, pp. 593-605. 
[8]. G. Giorgi, A.Guerraggio (1992), On the notion of tangent cone in mathematical 
 programming, Optim., 25, pp. 11-23. 
[9]. R.T.Rockafellar (1970), Convex Analysis, Princeton Univ. Press, Princeton. 
[10]. Tran Van Su, Nguyen Thanh Phong (2018), Điều kiện cần v| đủ tối ưu cho nghiệm hữu 
 hiệu toàn cục của bài toán cân bằng vectơ v| {p dụng, TCKH Trường Đại học Quảng Nam, 
 13, 62-72. 
 11 
Điều kiện cần hữu hiệu cho nghiệm yếu địa phương của bài toán cân bằng vectơ có ràng buộc bất đẳng thức< 
 NECESSARY EFFICIENCY CONDITIONS FOR THE LOCAL WEAKLY 
 EFFICIENT SOLUTIONS OF VECTOR EQUILIBRIUM PROBLEMS WITH 
 GENERAL INEQUALITY CONSTRAINTS AND APPLICATIONS 
 Tran Van Su, Nguyen Thanh Phong 
 Faculty of Mathematics, Quang Nam University 
 Email: vansudhdntt@gmail.com, phongspqn@gmail.com 
 ABSTRACT 
 Making use of the concept of Studniarski’s derivatives in Banach spaces in this 
 article, we study the necessary efficiency conditions for local weakly efficient 
 solutions of vector equilibrium problems with general inequality constraints. 
 These obtained results are directly applied to the vector variational inequality 
 problems and the vector optimization problem with common general inequality 
 constraints. 
 Keywords: Local weakly efficient solutions, Necessary efficiency conditions, 
 Studniarski’s derivatives, Vector equilibrium problems, Vector optimization 
 problems, Vector variational inequality problems. 
 Trần Văn Sự sinh ng|y 28/4/1983 tại Quảng Nam. Năm 2005, ông nhận 
 bẳng cử nh}n Sư phạm To{n tin tại trường Đại học Sư phạm Đ| Nẵng. 
 Năm 2009, ông nhận bằng thạc sĩ To{n Giải tích tại trường Đại học Khoa 
 học-Đại học Huế. Năm 2018, ông nhận bằng tiến sĩ To{n học chuyên 
 ngành To{n ứng dụng tại Học viện Khoa học v| Công nghệ - Viện H|n 
 l}m Khoa học v| Công nghệ Việt Nam. Năm 2009 đến nay, ông l| Giảng 
 viên khoa To{n trường Đại học Quảng Nam. 
 Lĩnh vực nghiên cứu: To{n ứng dụng, lý thuyết đối ngẫu v| điều kiện tối 
 ưu cho b|i to{n c}n bằng vectơ. 
 12