Đề thi học kỳ I môn Đại số tuyến tính - Ca 2 - Năm học 2010-2011 (Có đáp án)

 ĐỀ THI HỌC KỲ I NĂM HỌC 2010-2011
 Môn học: Đại số tuyến tính.
 Thời gian làm bài: 90 phút. Đề thi gồm 8 câu.
 Sinh viên không được sử dụng tài liệu.
 HÌNH THỨC THI: TỰ LUẬN. CA 2
 2 + 6 i
Câu 1 : Cho z thỏa phương trình ( √3 + 2 i) z + = 3 iz + ( 3 + i) ( 2 i) . Tính 10√z.
 1 + i −
 1 1 1 2 1 2
    − 
Câu 2 : Cho hai ma trận A = 1 2 1 và B = 3 0 1 .
    
  1 1 2   1 4 2 
 Tìm ma trận X thỏa 3 B + AX = I, trong đó I là ma trận đơn vị cấp 3.
Câu 3 : Trong IR3, cho tích vô hướng
 ( x, y) = ( ( x1, x2, x3) , ( y1, y2, y3) ) = 4 x1y1 + 5 x2y2 + 2 x2y3 + 2 x3y2 + 2 x3y3.
 Tìm khoảng cách giữa hai vécto u = ( 1 , 2 , 1 ) và v = ( 2 , 1 , 3 ) .
 −
Câu 4 : Tìm cơ sở và số chiều của không gian nghiệm của hệ
 x1 + x2 x3 2 x4 = 0
  − −
  2 x1 + x2 3 x3 5 x4 = 0
  − −
  7 x1 + 4 x2 8 x3 1 3 x4 = 0
 − −
  5 x1 + 3 x2 7 x3 1 2 x4 = 0
  − −
Câu 5 : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3 IR3, biết ma trận của f trong cơ sở
 −→ 1 1 2
  − 
 E = ( 1 , 1 , 1 ) , ( 1 , 1 , 0 ) ; ( 1 , 0 , 1 ) là A = 2 3 5 .
 { }  
  3 7 8 
 Tìm ma trận của f trong cơ sơ E1 = ( 1 , 2 , 1 ) , ( 1 , 1 , 2 ) ; ( 1 , 1 , 1 ) .
 { }
Câu 6 : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3 IR3, biết nhân của f sinh ra bởi hai vécto ( 1 , 1 , 2 ) , ( 1 , 2 , 1 )
 và f( 1 , 1 , 0 ) = ( 1 , 1 , 0 ) . Tìm−→ tất cả các trị riêng và vécto riêng của ánh xạ f.
 − − 2 2 2
Câu 7 : Đưa dạng toàn phương f( x1, x2, x3) = 2 x1 +8 x2 +2 x3 2 x1x2 +4 x1x3 +6 x2x3 về dạng chính
 tắc bằng biến đổi Lagrange (biến đổi sơ cấp). Nêu rõ−phép đổi biến.
Câu 8 : Cho ma trận vuông thực A cấp 2, X1,X2 IR2 là hai vécto cột, độc lập tuyến tính. Biết
 ∈ 100
 A X1 = X2,A X2 = X1. Tìm tất cả trị riêng và vécto riêng của A .
  
 CHỦ NHIỆM BỘ MÔN
 1
 ðáp án ð đi s tuyn tính 2011 – Ca 2. 
 Thang đim: câu 1, 2, 5, 6: 1.5 đim, các câu cịn li 1 đim. 
 Nu cách làm đúng, đáp án sai, thì vn cho đim tùy theo mc đ. 
 3− 3i 3 2 π   π  
 Câu 1: z= =cos −  + i sin  − 
 −  
 3 i 2 12   12   
 π   π  
 − +k2π − + k 2 π
 3 2     
 ⇒ 10 z=10 cos12  + i sin  12   , k = 0,1,...,9 
 2 10 10
     
    
   
 − −
 7 3 6  − −  − −   − 
   3 117 3 6 332 10
 : AX=IB − 3 = − 9 1 − 3 =−1 − = −  − −  =  −  
Câu 2   ⇒ XAIB.3()  11091  3   1643 
       
 −3 − 12 − 5  −101  − 3125 − −   − 1091 − 
Câu 3: v− u =(1, − 1,4) ⇒ ||( v− u) || = v − u , v − u = 25 = 5 
 1 1− 1 − 2 0  1 1− 1 − 2 0  x= − x
   1 4
 − −   − − −   =
 2 1 3 5 0 0 1 1 1 0  x2 x 4
 Câu 4: Vit  dng ma trn:  →   ⇒  
 74− 8 − 130   00240   x= −2 x
       3 4
 − −  ∈
 53 7 120   00000   x4 R
Câu 5: Gi P là ma trn chuyn cơ s t E sang E1. Tìm P ta gii h: 
 1 1 1 1 1 1  2 2 1 
   = − 
 1 1 0 2 1 1  suy ra P 0 1 0  suy ra ma trn ca f trong cơ s E1 là: 
 1 0 1 1 2 1  −1 0 0 
 2 1− 3 
 =−1 = − − 
 B P AP 1 1 2  
 −6 3 11 
Câu 6: Ta cĩ: f(1,1,2) = 0, f ( 1,2,1) = 0 suy ra (1,1,2)T và (1,2,1)T là 2 VTR ng vi TR λ = 0 
 f (1,1,0) = −( 1,1,0) nên (1,1,0)T là VTR ng vi TR λ = −1 
  = ()()TT
 Eλ=0 1,1,2 , 1,2,1
 Vì 3 vecto (1,1,2)T, (1,2,1)T, (1,1,0)T cĩ hng bng 3 nên: 
 T
 Eλ=− = ()1,1,0
  1 
 (khơng cịn tr riêng khác na) 
 x 215  8  2 32
Câu 7: f=2 x −2 + x  + x + x  − x 
 12 3  2 2 15 3  15 3
  = +1 − 19
  x1 y 1 y 2 y 3
 2 15
  15 32
 Phép bin đi:  8 Dng chính tc: =2 + 2 − 2
 x= y − y f2 y1 y 2 y 3
  2 2 3 2 15
  15 
  x= y
  3 3
 
  x
 = −2 +
  y1 x 1 x 3
  2
 
 = + 8
  y2 x 2 x 3
 Hoc phép bin đi  15
  y= x
  3 3
  
 2= 2 = 2
Câu 8: ta cĩ: AXXAXX1 1, 2 2 nên X1,X2 là 2 vecto riêng ng vi TR λ=1 ca A , do đĩ X1,X2 
cũng là 2 vecto riêng ng vi TR λ=1 ca ma trn A100. 
 100 100 =
Vì X1,X2 đltt nên A khơng cịn TR nào khác. Vây: EAXXλ =1( ) 1, 2