Đề thi học kỳ I môn Đại số tuyến tính - Ca 1 (Có đáp án)

 ĐỀ THI HỌC KỲ I NĂM HỌC 2009-2010
 Môn học: Đại số tuyến tính.
 Thời gian làm bài: 90 phút. Đề thi gồm 7 câu.
 Sinh viên không được sử dụng tài liệu.
 HÌNH THỨC THI: TỰ LUẬN
 CA 1
 7 4 1 6
 2010
Câu 1 : Cho ma trận A =  2 5 8 . Tính A , biết A có hai trị riêng là 1 và 3 .
 2 2 5
  
  − − − 
Câu 2 : Tìm chiều và một cơ sở TRỰC CHUẨN của không gian nghiệm của hệ phương trình
 x1 + x2 x3 2 x4 = 0
 − −
 2 x1 + x2 3 x3 5 x4 = 0
  − −
  3 x1 + x2 5 x3 8 x4 = 0
  − −
 5 x1 + 3 x2 7 x3 1 2 x4 = 0
 − −
 
 
Câu 3 : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3 IR3, biết ma trận của f trong cơ sở chính tắc là
 2 1 1 −→
 −
 A =  1 3 4 . Tìm ma trận của f trong cơ sở E = ( 1 , 2 , 1 ) , ( 1 , 1 , 2 ) ; ( 1 , 1 , 1 ) .
 1 1 0 { }
  
  − 
Câu 4 : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3 IR3, biết ma trận của f trong cơ sở
 −→ 2 1 1
 −
 E = ( 0 , 1 , 1 ) , ( 1 , 0 , 1 ) ; ( 1 , 1 , 1 ) là A =  3 2 4 . Tìm cơ sở và số chiều của kerf.
 { } 4 3 9
  
  
Câu 5 : ChoA là ma trận vuông tùy ý, thực, cấp n, thoả A10 = 0 . Chứng tỏ rằng A chéo hoá được khi
 và chỉ khi A là ma trận không.
 1 2 3
 −
Câu 6 : Tìm m để ma trận A =  2 5 1  có ba trị riêng dương (có thể trùng nhau).
 −3 1 m
  
  
Câu 7 : Trong hệ trụctoạ độ Oxy cho đường cong ( C) có phương trình 5 x2+2 xy+5 y2 2 √2 x+4 √2 y = 0 .
 −
 Nhận dạng và vẽ đường cong ( C) .
 Đáp án đề thi Đại số tuyến tính, năm 2009-2010, ca 1
 Thang điểm: Câu 1, 2, 3, 4, 5, 6: 1.5 điểm; câu 7: 1.0 điểm.
 2 1 4 1 0 0
 1 − − −
 Câu 1(1.5đ). Chéo hóa ma trận ( 1đ) A = P DP − ; P =  1 1 0 . D =  0 3 0 .
 −1 0 1 0 0 3
    
 1 1 4  1 0 0  
 2010 2010 1 1 2010 2010
 A = PD P − , tính ra được P − =  1 2 4 ; D =  0 3 0 .
 1 1 3 0 0 3 2010
    
 Câu 2 (1.5đ). Tìm một cơ sở tùy ý của không − gian− nghiệm:−  E = ( 2 , 1 , 1 , 0 ) , ( 3 , 1 , 0 , 1 )
 { − − }
 Dùng quá trình Gram-Schmidt đưa về cơ sở trực giao: E1 = ( 2 , 1 , 1 , 0 ) , ( 4 , 1 , 7 , 6 )
 1 1 { − − }
 Chuẩn hóa, có cơ sở trực chuẩn: E2 = ( 2 , 1 , 1 , 0 ) , ( 4 , 1 , 7 , 1 )
 { √ 6 − √ 67 − }
 1
 1 1 1
Câu 3 (1.5đ). Có nhiều cách làm. Ma trận chuyển cơ sở từ chính tắc sang E là: P =  2 1 1 
 1 2 1
  
 8 1 1 6  
 1
Ma trận của ánh xạ tuyến tính trong cơ sở E là B = P − AP = 2 1 2
  − − − 
 3 9 2
 T  − − − 
Câu 4(1.5đ) . Giả sử x Kerf;[x] = ( x1, x2, x3) . Khi đó f( x) = 0 [f( x)] = 0 A [x] = 0
 ∈ E ⇔ E ⇔  E
 2 1 1 x1 0 6 α
 −
 3 2 4 x2 = 0 [x] = 1 1 α x = ( 1 0 α, 7 α, 4 α) .
⇔       ⇔ E  − ⇔ − −
 4 3 9 x3 0 α
        
Dim( Kerf) = 1 , cơ sở: ( 1 0 , 7 , 4 ) .  
 10 −
Câu 5 (1.5đ). Vì A = 0 nên A chỉ có một trị riêng là λ = 0 (theo tính chất, nếu λ0 là TR của A,
 10 10 1
thì λ0 là TR của A . A chéo hóa được A = P D P − , D là ma trận 0 nên A = 0 .
 ⇔  
Câu 6 (1.5đ). Ma trận đối xứng thực có ba trị riêng dương, suy ra dạng toàn phương tương ứng xác
 định dương ( hay ma trận đã cho xác định dương). Theo Sylvester, A xác định dương khi và chỉ khi
 các định thức con chính dương δ1 = 1 > 0 , δ2 = 1 > 0 , δ3 = det( A) = m 5 8 > 0 m > 5 8 .
 ⇔ − ⇔
 2 2 5 1
 Câu 7(1.0đ). Xét dạng toàn phương 5 x1 + 2 x1x2 + 5 x2 có ma trận A = . Chéo hóa trực
  1 5 
 1 1 1 6 0
giao ma trận A bởi ma trận trực giao P = − và ma trận chéo D =
 √2  1 1   0 4 
 1 1 1 1
Đường cong ( C) có ptrình trong hệ trục Ouv với hai véctơ cơ sở là , , − , là:
 √2 √2  √2 √2 
 1 2 3 2 11
6 ( u + 6 ) + 4 ( v + 4 ) = 12 . Đây là đường cong ellipse. Hệ trục Ouv thu được từ hệ Oxy bằng cách
 quay 1 góc 4 5 o ngược chiều kim đồng hồ.
 2