Đề tài Xây dựng câu hỏi khách quan từ bài toán tự luận

 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ 
ĐỀ TÀI: XÂY DỰNG CÂU HỎI KHÁCH 
 QUAN TỪ BÀI TOÁN TỰ LUẬN 
 Giáo viên hướng dẫn: Nguyễn Đăng Minh Phúc 
 Sinh viên thực hiện : Châu Thị Na 
 Mã sinh viên : 13S1011098 
 Lớp : 4T 
 Huế, ngày 11, tháng 4 năm 2017 
 Bài viết này sẽ đi vào tìm hiểu cách xây dựng các câu hỏi trắc nghiệm 
khách quan dựa trên bài toán tự luận tập trung chủ yếu vào chương “ Hàm số” – 
một chương vô cùng quan trọng và giữ vị trí trung tâm trong chương trình toán 
trung học phổ thông cũng như trong kì thi tốt nghiệp trung học phổ thông hay 
tuyển sinh đại học, cao đẳng. 
Bằng việc ứng dụng đạo hàm ta có thể xây dựng được các dạng bài toán về hàm 
số như : 
+ Các bài toán liên quan đến tính tăng đến tính tăng giảm của hàm số. 
+ Các bài toán liên quan đến cực trị của hàm số. 
+ Các bài toán về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số. 
+ Các bài toán về tiếp tuyến với đồ thị của hàm số. 
+ Các bài toán sự tương giao 
+ Các bài toán liên quan đến việc khảo sát đồ thị của hàm số 
Cụ thể hơn chúng ta sẽ đi vào xét các ví dụ sau đây. 
Xét các ví dụ sau: 
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau đây : 
 ( ) 
Lời giải: 
 ( ) 
 ( ) 
 ( ) 
Bảng biến thiên: 
Vậy max y = 2 tại x = -1, min y = 2/3 tại x = 1 
Phân tích 
Bài toán này là dạng tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 
phương pháp khảo sát trực tiếp gồm các bước 
+ Tính đạo hàm y’=f’(x) 
+ Tìm các điểm mà tại đó f’(x) = 0 
+ Lập bảng biến thiên của hàm số trên D rồi dựa vào đó để kết luận. 
Căn cứ vào các bước để giải quyết bài toán ta có thể hình thành ý tưởng xây dựng 
các câu hỏi trắc nghiệm khách quan kiểu như: 
+ Trong các phát biểu sau đây, phát biểu nào là sai? 
+ Hàm số này đồng biến trên khoảng nào? 
+ Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lần lượt là ? 
+ Đưa về bào toán tương giao xác định m để phương trình có số nghiêm là 1, 2, 
3, 
Câu 1: Cho hàm số 
 ( ) 
Trong các mệnh đề sau đây mệnh đề nào đúng ? 
 A. Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [-∞; -1] là 2 
 B. Đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại một điểm duy nhất 
 C. Hàm số đã cho có 1 cực trị 
 D. Giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho là 2/3 
⇒ Đáp án đúng của câu hỏi này là đáp án D 
+ Đối với câu hỏi này thì mức độ nhiễu của đáp án A là lớn nhất vì học sinh đã 
quen với cách làm đối với các hàm đa thức nên thường không quan tâm tới các 
giới hạn ở vô cực (hàm đa thức giới hạn ở vô cực là vô cùng lớn hoặc vô cùng 
bé) dẫn đến việc học sinh chỉ đi tính đạo hàm và tìm ra giá trị x mà tại đó đạo 
hàm bằng 0. Giá trị x= -1 làm đạo hàm bằng 0 và thuộc đoạn [-∞; -1] nên y=2 
(ứng với x= -1) sẽ được học sinh lựa chọn là giá trị nhỏ nhất của hàm số trên 
đoạn [-∞; -1] . 
+ Đáp án B hoặc C nằm ở năng lực tính toán của các em. 
 Đáp án B cắt trục hoành có nghĩa là ta phải đi giải phương trình y=0 số nghiệm 
của phương trình này cũng chính là số giao điểm với trục hoành. 
 ( )
 Đáp án C nếu các em không nắm chắc được cách tính đạo hàm của hàm 
 ( )
thì sẽ tính sai đạo hàm dẫn đến kết luận hàm số đã cho không có cực trị, ví dụ 
điển hình về lỗi sai của học sinh là: 
 ( ) 
 ( ) 
 ( ) 
Từ đó kết luận hàm số đạt cực trị chỉ tại một điểm x = 0 
Câu 2: Hàm số 
 ( ) 
 Đồng biến trên khoảng nào sau đây? 
A. (0;+∞) 
B. (-1;1) 
C. (-10;-5) 
D. (-1;+∞) 
Đối với câu hỏi này nếu học sinh không hiểu ý câu hỏi thì rất dễ gặp lúng túng. 
Giả sử học sinh lập bảng biến thiên đúng và tìm được các khoảng đồng biến của 
hàm số này là (-∞; -1) (1;+∞) nhưng lại không tìm đáp án thỏa mãn dẫn đến 
mất thời gian làm bài nhiều hoặc là sẽ chọn nhầm đáp án D. Thực ra ta chỉ cần 
đối chiếu đáp án đề cho với khoảng đã tìm được thì sẽ tìm được đáp án đúng là 
câu C (khoảng (-10;-5) chứa trong khoảng (-∞; -1)). 
Đối với các học sinh chọn đáp án A là do sai lỗi như ở ví dụ 1 vì đạo hàm sai 
hàm số này ( ) từ đó lập sai bảng biến thiên và kết luận hàm số 
đồng biến trong khoảng (0;+∞). 
Đối với các học sinh chọn đáp án B là do sai ở bước xét dấu y’dấn đến kết luận 
hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞; -1) (1; +∞) và đồng biến trong khoảng (-
1; 1). 
Tương tự như vậy ta có thể xây dựng thêm các câu hỏi tương tự nhưng là đối với 
khoảng nghịch biến. 
Câu 3: Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số sau trên tập xác định của 
nó là 
 ( ) 
 A. Min y = 2/3 và không tồn tại max y 
 B. Min y = 2/3 và max y = 2 
 C. Min y =1 và không tồn tại max y 
 D. Tất cả các đáp án trên đều sai 
Đáp án đúng là B. 
Như đã nói ở trên, nếu học sinh quen với cách làm bài của các hàm đa thức sẽ 
không chú ý đến giới hạn ở vô cực của hàm số từ đó cho rằng 
nên kết luận không tồn tại max y và sẽ phân vân lựa chọn giữa đáp án A và đáp 
án C. 
Nếu dùng đúng công thức đạo hàm thì học sinh sẽ tính được đạo hàm của hàm 
số này bằng 0 tại hai điểm x=1 và x=-1, mà f(1)=2/3 < f(-1)=2 nên min y = 2/3 
tại điểm x=1 ⇒ chọn đáp án A. 
Nếu dùng sai công thức đạo hàm thì học sinh sẽ tính được min y = 1 tại điểm 
x=0 ⇒ chọn đáp án C. 
Câu 4 : Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị của hàm số 
 ( ) 
Tại hai điểm phân biệt 
A. m > 1 
B. 1> m >2/3 
C. 1 < m < 2 
D. 2/3 < m < 1 1< m < 2 
Đáp án đúng của câu hỏi này là câu D 
Nếu học sinh chọn đáp án A sẽ làm sau ở bước tính đạo hàm như sau 
 ( ) 
 ( ) 
 ( ) 
Suy ra y’=0 x=0 (y = 1) và lại mắc thêm một sai lầm là không để ý đến giới 
hạn ở vô cùng bằng 1 nên sẽ lập bảng biến thiên như sau 
Từ đó kết luận 1< m < +∞. 
Đối với các học sinh chọn đáp án B hoặc C thì các học sinh này cũng làm đúng 
các bước và lập được bảng biến thiên như sau: 
Tuy đối với các khoảng ở đáp án B vs C thì vẫn thỏa mãn đường thẳng y = m cắt 
đồ thị hàm số tại hai điểm nhưng lại không phải là đáp án chính xác nhất và đầy 
đủ nhất, do đó học sinh cần thận trọng trong khi làm bài, đọc đầy đủ hết các đáp 
án một cách chi tiết để chọn được đáp án chính xác nhất. 
Như vậy chỉ với một câu tự luận ta đã có thể phân tích ra được bốn câu trắc 
nghiệm thậm chí là nhiều hơn nữa, ví dụ như ở câu hai thay vì hỏi các khoảng 
đồng biến ta có thể hỏi các khoảng nghịch biến là đã được một câu hỏi khác, hoặc 
ở câu số 4 thay vì đường thẳng y = m đơn giản ta có thể biến hóa phức tạp hơn là 
đường thẳng y = m + 1 hoặc m+ 3 
là được thêm nhiều các câu hỏi khác nhau. 
Ví dụ 2: Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số ( ) ( ) từ đó 
giải quyết bài toán sau: 
Tìm m để | | | | có 4 nghiệm phân biệt. 
Lời giải: 
 ( ) 
 ( ) 
⇒ Cực đại là (-1/2; 0), cực tiểu (1/2; -2), điểm uốn (0; -1) 
Đồ thị hàm số ( ) là 
Ta có: 
 | | | | (| |) | | | | ( ) 
Đồ thị ( ): (| |) được vẽ từ đồ thị ( ) ( ) theo quy tắc: 
 - Giữ nguyên phần đồ thị ( ) của ( ) ứng với x ≥ 0. 
 - Lấy ( ) đối xứng với ( ) qua Oy, khi đó ( ) ( ) ( ) 
Nghiệm của (*) là hoành độ giao điểm của đường thẳng ( ) với đồ thị 
( ) (| |). 
Từ đó ta có được đồ thị của hàm số (| |) như sau 
Dựa vào hình vẽ ta có thể kết luận để đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số tại 
bốn điểm phân biệt thì -2 < m < -1. 
Phân tích: 
Dựa vào các dữ kiện thu thập được trên quá trình giải quyết bài toán như điểm 
cực đại, điểm cực tiểu, điểm uốn, bảng biến thiên, đồ thị của hàm số f (x), đồ thị 
của hàm số f(|x|), ta có thể thiết lập thành nhiều câu hỏi trắc nghiệm các nhau, 
đặc biệt là các câu hỏi về mệnh đề đúng hoặc sai. Bên cạnh đó bài toán này có 
trình bày cách vẽ đồ thị của hàm số y = f(|x|) nên ta cũng lồng cách vẽ đồ thị của 
hàm số y =|f(x)| để đa dạng hóa các câu hỏi. 
Câu 1: Cho đường cong (C) ( ) . Xét các mệnh đề: 
 1. I (0; -1) là điểm uốn của (C) 
 2. Lấy đối xứng phần đồ thị của hàm số y = f(x) ứng với x ≥ 0 qua trục Oy ta 
 sẽ được đồ thị của hàm số (| |) 
 3. Hàm số đã cho đạt cực đại tại điểm x = -1/2 và cực tiểu tại điểm x = 1/2. 
Khi đó: 
 A. Phát biểu 1 và 2 đúng 
 B. Chỉ 3 đúng 
 C. Cả 1 và 3 đúng 
 D. Cả 3 mệnh đề đều đúng 
Đáp án đúng ở đây là đáp án C. 
Cả 3 phương án còn lại đều có thể là phương án nhiễu nếu như học sinh không 
nắm chắc các kiến thức cũng như các bước khi khảo sát sự biến thiên của hàm số, 
ví dụ như ở mệnh đề thứ nhất đề cập đến điểm uốn, qua kinh nghiệm dạy kèm 
của cho học sinh lớp 12 em thấy rằng học sinh rất ít khi để ý đến điểm uốn, và 
trong các bài toán về khảo sát đồ thị hàm số cũng không bắt buộc ở bước đi tìm 
điểm uốn nên dẫn đến sai sót là điều dễ hiểu. Đối với mệnh đề số hai học sinh 
cũng sẽ dễ nhận xét đó là mệnh đề đúng nếu không để ý rằng ta cần loại bỏ phần 
đồ thị ứng với x ≤ 0 của ( ). 
Câu 2: Với giá trị nào của m để hàm số | | | | có 4 
nghiệm phân biệt. 
 A. -2 < m < -1 
 B. 0 < m < 2 
 C. -2 m -1 
 D. Không tìm được giá trị m thỏa mãn 
Đáp án đúng là đáp án A. 
Thay vì vẽ đồ thị của hàm số y = f(|x|) nhiều học sinh nhầm lẫn và vẽ đồ thị của 
hàm số y = |f(x)| do đó kết luận câu B là đáp án đúng, cụ thể hơn ta có thể quan 
sát hình vẽ đồ thị hàm số y=|f(x)| như sau: 
Câu 3: Cho hàm số ( ) hình nào sau đây là hình biểu 
diễn đồ thị của hàm số y = f(|x|). 
 A. B. 
 C. D. 
Đáp án đúng là C. 
Tương tự như ở trên nếu học sinh vẽ nhầm đồ thị hàm số của hàm y = |f(x)| sẽ 
cọn đáp án B hoặc nếu không đọc kỹ đề sẽ chọn nhầm đáp án A là hình biểu diễn 
của đồ thị hàm số y = f(x). 
Câu 4: Giả sử d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số ( ) tại điểm A(xo; yo) sao cho hệ 
số góc của tiếp tuyến tại A là nhỏ nhất. Tọa độ nào của A sau đây thỏa mãn điều 
kiện này ? 
 A. (0;-1) 
 B. (-1/2; 0) 
 C. (1/2; -2) 
 D. (1;0) 
Đáp án đúng là đáp án A 
Cũng là một tính chất tổng quát của đồ thị hàm số dạng 
 ( ). 
  a > 0: Tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc nhỏ nhất. 
  a < 0: Tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc lớn nhất. 
Nếu học sinh không nắm chắc các tính chất này sẽ lựa chọn sai qua điểm cực đại 
hay cực tiểu, thậm chí là ngồi viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại 
bốn điểm đề cho rồi so sánh hệ số góc lại với nhau.