Đại số đường đi Leavitt thỏa mãn tính Hermite

 436 
 ĐẠI SỐ ĐƯỜNG ĐI LEAVITT THỎA MÃN TÍNH HERMITE 
 SV. Vũ Nhân Khánh 
 ThS. Ngô Tấn Phúc 
 Tóm tắt. Trong bài viết này, chúng tôi đưa ra một điều kiện cần để đại số 
đường đi Leavitt của một đồ thị hữu hạn với hệ số trên trường là vành Hermite. Ngoài 
ra, chúng tôi cũng giới thiệu một số ví dụ về lớp đại số này. 
1. Mở đầu 
 Trong bài viết này, ta ký hiệu E là một đồ thị hữu hạn, K là một trường tùy ý. 
Đại số đường đi Leavitt của E với hệ tử trên K , ký hiệu LEK (), là cấu trúc đại số 
được giới thiệu năm 2005 bởi G. Abrams và G. Aranda Pino trong [1]. Trong suốt thập 
kỷ qua, cấu trúc đại số này luôn nhận được sự quan tâm đặc biệt của những chuyên gia 
về Lý thuyết vành. Lý do là, Lý thuyết vành vốn rất thiếu các ví dụ trực quan, trong 
khi với đại số đường đi Leavitt ta có thể dễ dàng phân biệt các cấu trúc vành thông qua 
các đặc trưng đồ thị. Nói cách khác, ta có thể dùng vài nét vẽ đồ thị hết sức trực quan 
để phân biệt các cấu trúc vành phức tạp. 
 Một trong những hướng nghiên cứu chủ yếu về đại số đường đi Leavitt là thiết lập 
mối liên hệ một đối một giữa một bên là các tính chất (đồ thị) của E và một bên là các 
tính chất (vành, môđun, đại số) của . Đó cũng là hướng tiếp cận vấn đề của bài viết 
này. Mục tiêu của chúng tôi là tìm đặc trưng của đồ thị để là vành Hermite. 
2. Nội dung chính 
 Trước tiên, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm và kết quả liên quan đến nội 
dung chính. Các ký hiệu trong phần này chúng tôi dựa vào [1], [2], [3] và [4]. 
 Một đồ thị EEEsr (,,,)01 là một bộ bao gồm hai tập hợp E0 và E1 và hai ánh 
xạ rsEE,: 10 . Các phần tử của được gọi là các đỉnh (vertices) và các phần tử của 
E1 được gọi là các cạnh (edges). Đối với bất kì cạnh e trong E1 , se được gọi là gốc 
(source) của e và re được gọi là ngọn (range) của e . Đồ thị được 
gọi là hữu hạn nếu các tập E0 và E1 là các tập hữu hạn phần tử. 
 Nếu s e v và rew thì ta nói rằng v phát ra (emits) e và w nhận vào e . 
Nếu rese với e, e E1 thì ta nói rằng e và e là kề nhau (adjacent). Với mỗi 
 12 12 1 2
cạnh e trong E1 ta gọi e là cạnh thực, kí hiệu e* là cạnh tương ứng với e và gọi e* là 
cạnh ảo. Tập hợp các cạnh ảo kí hiệu là ()E1*. Vậy (){|}.EeeE1 **1 
 Một đường đi (path) p trong một đồ thị E là chuỗi các cạnh 
 pe ee12... n 
sao cho r eii s e 1 với mọi in 1,2,..., 1. Ta cũng gọi s():() p s e1 và r():() p r en 
lần lượt là gốc và ngọn của p . Một đường đi gồm n cạnh được gọi là có độ dài n , và 
chúng ta viết l p n. 
 437 
 Ta kí hiệu tập hợp của tất cả các đường đi trong E bởi E* . Đối với một đường 
đi p e e E ... * ta định nghĩa p0 là tập của tất cả các đỉnh trong p , nghĩa là 
 1 n 
 0
 pserei ii ,:1,2,... . 
 Hơn nữa, nếu q e1... em với mn thì ta nói rằng q là một đoạn đầu của p . 
 Một đường đi được gọi là một chu trình (cycle) nếu s p r p và 
 s e s eij đối với mọi ij . Nói cách khác, một chu trình là một đường đi mà bắt 
đầu và kết thúc trên cùng một đỉnh và không đi qua bất kì đỉnh nào quá một lần. Nếu 
một đồ thị E không chứa bất kì một chu kì nào, nó được gọi là đồ thị không có chu 
trình (acyclic graph). 
 1
 Một cạnh eE được cho là một lối ra (exit) của đường đi p e e 1... n nếu tồn tại 
một in 1,. . . ,  sao cho s e s e i nhưng ee i . Nếu đồ thị E chứa các chu trình mà 
mọi chu trình đều không có lối ra thì E được gọi là đồ thị không có lối ra (no-exit graph). 
 Trong đồ thị E , một đỉnh v được gọi là sink nếu như sv 1 , nếu v không 
phải là sink thì được gọi là đỉnh chính quy (regular). 
 Định nghĩa 1 ([1, Definition 1.3]). Cho E E E( s , ,r ,01 ) là một đồ thị và K là 
một trường bất kỳ. Đại số đường đi Leavitt của đồ thị E với hệ số trên trường K , kí 
 01 1 *
hiệu LEK , là K -đại số phổ dụng với tập sinh là các tập EE, và E thỏa mãn 
các điều kiện sau đây: 
 0
 (A1) vvvijiji  đối với mọi vvEij, ( ij là kí hiệu Kronecker); 
 (A2) seeeere và reeeese ** * với mọi eE 1 ; 
 * 1
 (CK1) eereijijj  với mọi eeEij, ; 
 (CK2) vee * với mọi vE 0 . 
  eEs 1 ev: 
 Với mỗi vành R , ta kí hiệu VR là nửa nhóm Aben của các lớp mô đun xạ ảnh 
hữu hạn sinh với phép toán là  . Nếu P là một mô đun xạ ảnh hữu hạn sinh thì ta kí 
hiệu phần tử của VR chứa là P. 
 Theo [5] với mỗi đồ thị E ta định nghĩa nửa nhóm M E như sau. Ta kí hiệu T là 
nửa nhóm tự do giao hoán (viết theo lối cộng) với tập sinh là E0 . Định nghĩa quan hệ 
trên T như sau 
 Mvr e  
 e sv 1 
 0
với mọi đỉnh chính quy vE . Kí hiệu E là quan hệ tương đẳng trên T sinh ra bởi 
quan hệ ()M ở trên. Khi đó MTEE / và ta có thể kí hiệu các phần tử của M E là 
 x , với xT . Như vậy, hai phần tử x n v và y m v được gọi là bằng 
   vE 0 v vE 0 v
nhau trong nếu ta có thể áp dụng quan hệ ()M cho các đỉnh trong x và y (với số 
 438 
lần có thể khác nhau) để đến một bước nào đó, hệ số của các đỉnh tương ứng trong x 
và y là như nhau. 
 Trong [5], các tác giả đã chứng minh rằng: 
 Định lý 1 [5, Theorem 3.5]. Cho E là một đồ thị và K là một trường bất kì. 
Khi đó ánh xạ v v L E K là một đẳng cấu nửa nhóm từ M E đến V L EK . Đặc 
biệt, với đẳng cấu này, ta có vLE . 
 vE 0 K 
 Theo [7], vành Hermite là một vành thỏa mãn tính IBN và mọi môđun ổn định 
tự do đều là tự do. Ta có đặc trưng sau đây cho vành Hermite. 
 Định lý 2 [7, Corollary 0.4.2]. Vành R là vành Hermite nếu với mọi số tự 
nhiên mn, , với mọi R -môđun Q , R Rnm Q kéo theo nm và Q là một -môđun 
tự do với số chiều là nm . 
 Trong [1] các tác giả đã chỉ ra rằng để LEK () là vành đơn thì đặc trưng đồ thị 
của E là mọi chu trình đều phải có lối ra. Ở đây, chúng tôi muốn khảo sát trường hợp 
đối ngẫu với đặc trưng đồ thị đó. Kết quả chính mà chúng tôi thu được là nếu là 
vành Hermite thì E là đồ thị không có lối ra. 
 Trước tiên, chúng tôi đưa ra một tiêu chuẩn để LEK là vành Hermite. 
 Bổ đề 1. Cho EEEsr (,,,)01 là đồ thị hữu hạn có 
 0
 E { v12 , v ,..., vh } 
 h
và K là một trường bất kỳ. Khi đó là vành Hermite nếu và chỉ nếu  xn v ii 
 i 1
 hh
 mvxnv ii   
 ii 11
 h
kéo theo nm và xnmv  i . 
 i 1
 h
 Chứng minh. Theo Định lí 1, ta có thể đồng nhất vi với LEK trong 
 i 1
M E . 
 Nhắc lại rằng LEK là vành Hermite nếu và chỉ nếu với mọi -môđun Q , 
 mn
 LEQLEKK  
kéo theo và Q là một -môđun tự do với số chiều là . Vì là một 
 h
 0
 -môđun tự do nên phải có dạng Q  ni v i|, v i E n i . 
 i 1
 439 
 Mặt khác, trong M E 
 m
 LELELELE  ....
 KKKK 
 m
 LELELEKKK ... 
 m 
 mLE K 
 h
 mv  i .
 i 1
 mn
 Vậy, để LEQLEKK  thì trong M E ta phải có 
 hhh
 mvn  vnviiii . 
 iii 111
 Suy ra điều phải chứng minh. □ 
 Với tiêu chuẩn kiểm tra tính Hermite của LEK ở Bổ đề 1, chúng tôi thu được 
kết quả chính là Định lý 3 và một số ví dụ về lớp đồ thị mà đại số đường đi Leavitt của 
chúng là vành Hermite. 
 Định lý 3. Cho E là một đồ thị hữu hạn và K là một trường tùy ý. Khi đó nếu 
đại số đường đi Leavitt LEK () của E với hệ tử trên K là một vành Hermite thì E là 
đồ thị không có lối ra. 
 Chứng minh. Giả sử E là đồ thị chứa chu trình cee 1.... n 
trong đó en 1 là một lối ra của c nh 1 . 
 Gọi vii s e i1, n và vrenn 11 . 
 hh
 Xét xv n 1 . Ta có xv  n 1 0 và vxvii   . 
 ii 11
 Thật vậy, áp dụng quan hệ ()M trên M E cho v1 ở vế phải ta được 
 h
 vvvvvvinh  2123 ...  . 
 i 1
 Tiếp tục áp dụng quan hệ ()M trên M E cho v2 thì vv23. Khi đó 
 h
 vi  v3 v n 1 v 2 v 3 ... v h . 
 i 1
 Tiếp tục quá trình trên, ta được v2 v 3.... vn v 1 . 
 hh 
 Khi đó, vi  v1 v 2 ... v h v n 1  v i  x. 
 ii 11 
 Theo Bổ đề 1, LEK không phải là vành Hermite. □ 
 440 
 Ví dụ 1. Xét E là đồ thị như hình vẽ sau 
 Khi đó LEK là vành Hermite. 
 Chứng minh. Giả sử xn vn1 vn 12233445566 vn vn vn vni ,,1,6i thỏa 
mãn m[][][] vvvvvvxn123456123456 vvvvvv 1 
 Từ (1) suy ra có các số không âm kkiii,'(1,2,3,4,5) để khi ta áp dụng quan hệ 
()M trong M CE() ki lần cho vi đối với vế trái, k 'i lần cho (i 1 ,2 ,3 ,4 ,5 ) đối với vế 
phải, từ (1) ta được hệ 
 mnnm 11
 mnnmm 
 212
 mnnmm 323
 mnnmm 424 2 
 mnnmmm 
 5345
 mnnm 65
 mkkiiii '(1,5)
 Từ (2) ta nhân hai phương trình đầu với 2 rồi cộng tất cả các phương trình lại 
theo từng vế, ta được: 8(n m ) 2 n1 2 n 2 n 3 n 4 n 5 n 6 (3 ) 
suy ra mn . Như vậy, theo Bổ đề 1, ta chỉ còn phải chứng tỏ rằng 
 [x ] ( n m )[ v1 v 2 v 3 v 4 v 5 v 6 ] (4) 
 Áp dụng quan hệ ()M trong như sau 
 Bảng 1. Số lần áp dụng quan hệ ()M lên các đỉnh ở hai vế của (4) : 
 Vế trái Vế phải 
 Đỉnh Số lần Đỉnh Số lần 
 v1 ln11 lnm'1 
 v2 lln212 l''21 l n m 
 v3 l3 l 2 n 3 llnm''32 
 v4 l4 l 2 n 4 l''42 l n m 
 v5 l5 l 3 l 4 n 5 l'''5 l 3 l 4 n m 
 441 
 Khi đó (4) trở thành 
 (22)[8()]nnnnnnvnm12345666 v  (5) 
 Ta thấy (5) được suy ra từ (3). □ 
 Ví dụ 2. Xét E là đồ thị như hình vẽ sau 
 Khi đó LEK là vành Hermite. 
 Chứng minh. Giả sử xn vnwni12,,1,2i thỏa mãn 
 mvwxnvw[][][] (5) 
 Từ (5) suy ra có các số không âm kii k,i ' ( 1 ,2 ) để khi ta áp dụng quan hệ ()M 
trong M CE() k1 (tương ứng k2 ) lần cho v (tương ứng w) đối với vế trái, k '1 (tương 
ứng k '2 ) lần cho (tương ứng ) đối với vế phải, từ (5) ta được hệ 
 m n n1 k'ii k
 (6) 
 m n n2 k' 1 k 1
 Cộng theo vế hệ (6), ta được 
 2()nmnn 12 (7) 
suy ra mn . Như vậy, ta chỉ còn phải chứng tỏ rằng 
 [x ] ( n m )[ v w ] (8) 
 Áp dụng quan hệ ()M trong cho đỉnh v1 ở vế phải nm lần và ở vế trái 
 n1 lần, khi đó (8) trở thành 
 ()[2()]nnwnm12 w (9) 
 Ta thấy (9) được suy ra từ (7). □ 
3. Kết luận 
 Bài viết đã xác định được tiêu chuẩn cho tính Hermite của LEK của một đồ 
thị hữu hạn E (Bổ đề 1), từ đó thu được kết quả là điều kiện cần để của một đồ 
thị hữu hạn E thỏa mãn tính Hermite (Định lý 3). Một số ví dụ về lớp đồ thị mà đại số 
đường đi Leavitt của chúng là vành Hermite (Ví dụ 1, Ví dụ 2) gợi cho ta một hi vọng 
rằng có thể xác định được điều kiện đủ để thỏa mãn tính Hermite. 
 442 
 Tài liệu tham khảo 
[1]. G. Abrams and G. Aranda Pino (2005), “The Leavitt path algebra of a graph”, 
 Journal of Algebra, (293), p. 319-334. 
[2]. G. Abrams, P. Ara and M. S. Molina, Leavitt path algebras, Lecture Notes in 
 Mathematics series, Springer-Verlag Inc. (to appear). 
[3]. G. Abrams, G. Aranda Pino and M. Siles Molina (2008), “Locally finite Leavitt 
 path algebras”, Israel J. Math, (165), p. 329-348. 
[4]. G. Abrams and M. Kanuni (2013), “Cohn path algebras have invariant basic 
 number, arXiv id:1303.2122v2. 
[5]. P. Ara, A. Moreno and E. Pardo (2007), “Nonstable K-theory for graph 
 algebras”, Algebra Represent Theory, 2(10), p. 157-178. 
[6]. P. M. Cohn (2000), “From Hermite rings to Sylvester domains”, Proc. Amer. 
 Math. Soc, 7(128), p. 1899-1904. 
[7]. P. M. Cohn (2006), Free ideal rings and localization in general rings, New 
 Mathematical Monographs, 3. Cambridge University Press, Cambridge. 
[8]. T. Y. Lam (2006), Serre's problem on projective modules, Springer 
 Monographs in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin.