Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 1: Sự kiện ngẫu nhiên và phép tính xác suất - Nguyễn Thị Thu Thủy

 3
 P5(2) = C5 × (0, 1) × (0, 9) = 0, 0729.
 Nếu sử dụng công thức cộng và nhân xác suất với A là sự kiện "trong ca đó có đúng 2
 máy hỏng", Ai là sự kiện "máy i bị hỏng trong ca", i = 1, 2, . . . , 5, ta sẽ tính xác suất của
 A trên cơ sở phân tích:
 A = A1 A2 A3 A4 A5 + A1 A2 A3 A4 A5 + A1 A2 A3 A4 A5 + A1 A2 A3 A4 A5+
 + A1 A2 A3 A4 A5 + A1 A2 A3 A4 A5 + A1 A2 A3 A4 A5+
 + A1 A2 A3 A4 A5 + A1 A2 A3 A4 A5 + A1 A2 A3 A4 A5
 và sử dụng tính xung khắc, tính độc lập của các sự kiện. Rõ ràng việc sử dụng công thức
 (1.19) cho ví dụ này đơn giản hơn rất nhiều.
 P(A )P(A|A ) 0, 9 × C2 × (0, 1)2 × (0, 9)2 0, 04374
 (b) P(A |A) = 1 1 = 4 = = 0, 6.
 1 P(A) 0, 0729 0, 0729
Ví dụ 1.34. Hai vận động viên bóng bàn A và B đấu một trận gồm tối đa 5 ván (không có kết
quả hòa sau mỗi ván và trận đấu sẽ dừng nếu một người nào đó thắng trước 3 ván). Xác suất
để A thắng được ở một ván là 0,7.
 (a) Tính các xác suất để A thắng sau x ván (x = 3, 4, 5).
 (b) Tính xác suất để trận đấu kết thúc sau 5 ván.
1.5. Công thức Béc–nu–li 28
MI2020 – KỲ 20192 – TÓM TẮT BÀI GIẢNG Nguyễn Thị Thu Thủy
Lời giải: (a) Việc A thắng sau x ván (x = 3, 4, 5) tương đương với sự kiện "ván thứ x người A
thắng và trong x − 1 ván đầu người A thắng 2 ván". Khi đó, xác suất cần tìm là
 2 2 x−3
 px = 0, 7 × Px−1(2) = 0, 7 × Cx−1 × (0, 7) × (0, 3) ,
cụ thể:
 2 2 0
 p3 = 0, 7 × P2(2) = 0, 7 × C2 × (0, 7) × (0, 3) = 0, 343,
 2 2 1
 p4 = 0, 7 × P3(2) = 0, 7 × C3 × (0, 7) × (0, 3) = 0, 3087,
 2 2 2
 p5 = 0, 7 × P4(2) = 0, 7 × C4 × (0, 7) × (0, 3) = 0, 18522.
 (b) Sự kiện "trận đấu kết thúc sau 5 ván" tương đương với sự kiện "trong 4 ván đầu mỗi
người thắng 2 ván". Khi đó xác suất cần tìm là:
 2 2 2
 P4(2) = C4 × (0, 7) × (0, 3) = 0, 2646.
Ví dụ 1.35. Tỷ lệ phế phẩm của một lô hàng là 1%. Hỏi cỡ mẫu cần chọn ra là bao nhiêu (có
hoàn lại) sao cho trong mẫu có ít nhất 1 phế phẩm với xác suất lớn hơn 0,95?
Lời giải: Giả sử mẫu chọn ra có kích cỡ là n và việc chọn ra một sản phẩm có hoàn lại là một
phép thử Béc–nu–li với p = 0, 01. Gọi A là sự kiện "trong mẫu có ít nhất một phế phẩm" thì A
sẽ là sự kiện "trong mẫu không có phế phẩm nào". Khi đó A = A1 A2 ... A2, với Ai là sự kiện
"sản phẩm thử i lấy ra không là phế phẩm", i = 1, 2, . . . , n. Suy ra
 P(A) = 1 − P(A) = 1 − (0, 99)n.
Theo yêu cầu của đầu bài, P(A) > 0, 95 tức là 1 − (0, 99)n > 0, 95 hay 0, 05 > (0, 99)n. Từ đây
suy ra
 log 0, 05
 n > ≃ 298.
 log 0, 99
1.5.4 Số có khả năng nhất trong lược đồ Béc–nu–li
Trong lược đồ Béc–nu–li, số x0 mà tại đó xác suất đạt giá trị lớn nhất gọi là số có khả năng
nhất (hay số lần xuất hiện chắc chắn nhất).
 ∙ Nếu np − q ∈ Z thì có hai số có khả năng nhất x0 = np − q và x0 = np − q + 1.
 ∙ Nếu np = q ∈/ Z thì x0 = [np − q] + 1, ở đây [np − q] là phần nguyên của np − q.
Ví dụ 1.36. Tỷ lệ mắc một loại bệnh A ở một vùng là 10%. Trong đợt khám bệnh cho vùng đó
người ta đã khám 100 người. Tìm số người bị bệnh A có khả năng nhất? Tính xác suất tương
ứng.
Lời giải: Bài toán thỏa mãn lược đồ Béc–nu–li với n = 100, p = 0, 1. Theo bài ra ta có np − q =
100 × 0, 1 − 0, 9 = 9, 1∈ / Z. Vậy số người bị bệnh A có khả năng nhất khi khám 100 người là
 10 10 90
[9, 1] + 1 = 10 người và xác suất tương ứng là P100(10) = C100 × (0, 1) × (0, 9) ≃ 0, 1319.
1.5. Công thức Béc–nu–li 29
MI2020 – KỲ 20192 – TÓM TẮT BÀI GIẢNG Nguyễn Thị Thu Thủy
1.5.5 Công thức xấp xỉ
Khi n và k khá lớn thì việc tính toán xác suất theo (1.19) và (1.20) rất cồng kềnh và khó khăn,
vì vậy người ta tìm cách tính gần đúng các xác suất đó.
 (a) Xấp xỉ Poa-xông: Nếu n rất lớn, trong khi p rất nhỏ, xác suất theo công thức (1.19) có thể
 xấp xỉ bằng
 (λ)k
 P (k) ≃ e−λ (1.21)
 n k!
 Xác suất này được tính sẵn trong bảng giá trị hàm khối lượng xác suất Poa–xông (Phụ
 lục 5) với λ = np.
 (b) Xấp xỉ chuẩn (định lý giới hạn địa phương Moa–vrơ–Láp–la–xơ): Nếu n lớn nhưng p
 không quá bé và quá lớn ta có xấp xỉ
 ϕ(x ) k − np
 P (k) ≃ √ k , x = √ (1.22)
 n npq k npq
 2
 1 − x
 trong đó ϕ(x) = √ e 2 là hàm Gao–xơ với các giá trị được tính trong bảng giá trị
 2π
 hàm Gao–xơ (Phụ lục 1) đối với các giá trị x dương. Hàm ϕ(x) là hàm chẵn, tức là
 ϕ(−x) = ϕ(x). Khi x > 4 ta có thể lấy ϕ(x) ≃ 0.
 (c) Xấp xỉ cho công thức (1.20) (định lý giới hạn tích phân Moa–vrơ–Láp–la–xơ): Nếu n lớn
 nhưng p không quá bé và quá lớn thì xác suất trong (1.20) có thể xấp xỉ bằng
 k − np
 P (k ; k ) ≃ φ(x ) − φ(x ), x = √i , i = 1, 2 (1.23)
 n 1 2 2 1 i npq
 trong đó
 x
 Z 2
 1 − t
 φ(x) = √ e 2 dt (1.24)
 2π
 0
 là hàm Láp–la–xơ với các giá trị được tính trong bảng giá trị hàm Láp–la–xơ (Phụ lục 2)
 đối với các giá trị x dương. Hàm φ(x) là hàm lẻ, tức là φ(−x) = −φ(x). Khi x > 5 ta có
 thể lấy φ(x) ≃ 0, 5.
Ví dụ 1.37. Xác suất để sản phẩm sau khi sản xuất không được kiểm tra chất lượng bằng 0,2.
Tìm xác suất để trong 400 sản phẩm sản xuất ra có:
 (a) 80 sản phẩm không được kiểm tra chất lượng;
 (b) từ 70 đến 100 sản phẩm không được kiểm tra chất lượng.
1.5. Công thức Béc–nu–li 30
MI2020 – KỲ 20192 – TÓM TẮT BÀI GIẢNG Nguyễn Thị Thu Thủy
Lời giải: Bài toán thỏa mãn lược đồ Béc–nu–li với n = 400, p = 0, 2.
 (a) Ta phải tính P400(80) theo công thức Béc–nu–li (1.19):
 80 80 320
 P400(80) = C400 × (0, 2) × (0, 8) .
 Việc tính xác suất theo công thức này khá phức tạp vì n = 400 khá lớn, p = 0, 2 không
 quá bé hoặc quá lớn. Do đó, ta sẽ tính xấp xỉ theo (1.22):
 ϕ(0)
 P (80) ≃ ≃ 0, 04986
 400 8
 ở đây ϕ(0) = 0, 3989 được tra từ bảng giá trị hàm Gau-xơ (Phụ lục 1).
 (b) Tương tự, thay việc dùng công thức (1.20) ta sử dụng xấp xỉ (1.23):
 P400(70; 100) ≃ φ(2, 5) − φ(−1, 25) ≃ 0, 49379 + 0, 39435 = 0, 88814,
 ở đây φ(−1, 25) = −0, 39435, φ(2, 5) = 0, 49379 tra từ bảng giá trị hàm Láp–la–xơ (Phụ
 lục 2).
Ví dụ 1.38. Vận chuyển 4000 chai rượu đến một cửa hàng. Xác suất để mỗi chai rượu bị vỡ
trong quá trình vận chuyển là 0,001. Tính xác suất để có 7 chai rượu bị vỡ trong quá trình vận
chuyển.
Lời giải: Bài toán thỏa mãn lược đồ Béc–nu–li với n = 4000, p = 0, 001. Ta phải tính P4000(7)
theo công thức Béc–nu–li (1.19):
 7 7 3993
 P4000(7) = C4000 × (0, 001) × (0, 999) .
Vì n = 4000 khá lớn, p = 0, 001 khá bé, nên ta sẽ tính xấp xỉ theo (1.21):
 47
 P (7) ≃ (2, 71828)−4 ≃ 0, 05954.
 4000 7!
Ta có thể tính trực tiếp hoặc tra bảng giá trị hàm khối lượng Poa-xông (Phụ lục 5).
1.6 Công thức xác suất đầy đủ. Công thức Bay–ét
1.6.1 Công thức xác suất đầy đủ
Định lý 1.2. Giả sử các sự kiện A1, A2,..., An lập thành một hệ đầy đủ và H là một sự kiện
nào đó. Khi đó,
 n
 P(H) = ∑ P(Ai)P(H|Ai) (1.25)
 i=1
1.6. Công thức xác suất đầy đủ. Công thức Bay–ét 31
MI2020 – KỲ 20192 – TÓM TẮT BÀI GIẢNG Nguyễn Thị Thu Thủy
 Công thức (1.25) được gọi là công thức xác suất đầy đủ (hay công thức xác suất toàn
phần). Công thức này cho phép ta tính xác suất P(H) nếu biết các xác suất P(Ai) và P(H|Ai),
i = 1, 2, . . . , n.
Chứng minh. Từ giả thiết ta có H = HS = H(A1 + A2 + ··· + A2). Sử dụng tính xung khắc
của các sự kiện và công thức nhân suy ra
 P(H) = P(HA1) + P(HA2) + ··· + P)HAn
 = P(A1)P(H|A1) + P(A2)P(H|A2) + ··· + P(An)P(H|An).
1.6.2 Công thức Bay–ét
Định lý 1.3. Giả sử ta có một hệ đầy đủ A1, A2,..., An, sau đó có thêm sự kiện H nào đó. Khi
đó xác suất P(Ak|H), k = 1, 2, . . . , n, được xác định bởi:
 P(Ak)P(H|Ak)
 P(Ak|H) = n , k = 1, 2, . . . , n (1.26)
 ∑i=1 P(Ai)P(H|Ai)
 Công thức (1.26) được gọi là công thức Bay-ét.
Chứng minh. Sử dụng công thức nhân (1.10) P(Ak H) = P(Ak)P(H|Ak) = P(H)P(Ak|H).
Suy ra
 P(A )P(H|A )
 P(A |H) = k k . (1.27)
 k P(H)
Từ đây sử dụng công thức xác suất đầy đủ (1.25) suy ra công thức (1.26).
Nhận xét 1.11. (a) Các xác suất P(Ai), i = 1, 2, . . . , n đã được xác định từ trước, thường
 được gọi là xác suất tiên nghiệm.
 (b) Các xác suất P(Ai|H), i = 1, 2, . . . , n được xác định sau khi đã có kết quả thí nghiệm
 nào đó thể hiện qua sự xuất hiện của H, thường gọi là xác suất hậu nghiệm. Như vậy,
 công thức Bay–ét cho phép đánh giá lại xác suất xảy ra các sự kiện Ai sau khi đã có thêm
 thông tin về H.
Chú ý 1.7. (a) Muốn dùng công thức xác suất đầy đủ (1.25) hoặc công thức Bay–ét (1.26)
 nhất định phải có hệ đầy đủ.
 (b) Nếu (1.25) cho ta xác suất không có điều kiện thì (1.26) cho phép tính xác suất có điều
 kiện, trong đó sự kiện Ai cần tính xác suất phải là một thành viên của nhóm đầy đủ
 đang xét. Từ đó thấy rằng việc dùng công thức Bay–ét để tính xác suất có điều kiện đã
 gợi ý cho ta cách chọn nhóm đầy đủ sao cho sự kiện quan tâm phải là thành viên.
 (c) Trong trường hợp không có, hoặc rất khó xác định nhóm đầy đủ ta nên dùng công thức
 (1.26), trong trường hợp này tính P(H) sẽ khó hơn là dùng công thức (1.25).
1.6. Công thức xác suất đầy đủ. Công thức Bay–ét 32
MI2020 – KỲ 20192 – TÓM TẮT BÀI GIẢNG Nguyễn Thị Thu Thủy
Ví dụ 1.39. Một nhà máy có ba phân xưởng sản xuất ra cùng một loại sản phẩm. Xác suất để
phân xưởng 1, phân xưởng 2 và phân xưởng 3 sản xuất được sản phẩm loại một lần lượt là
0,7, 0,8 và 0,6. Từ một lô hàng gồm 20% sản phẩm của phân xưởng 1, 50% sản phẩm của phân
xưởng 2 và 30% sản phẩm của phân xưởng 3 người ta lấy ra một sản phẩm để kiểm tra.
 (a) Tính xác suất để sản phẩm được kiểm tra là loại một.
 (b) Biết sản phẩm được kiểm tra là loại một. Tính xác suất để sản phẩm này do phân xưởng
 2 sản xuất.
Lời giải: Gọi H là sự kiện "sản phẩm được kiểm tra là loại một"; Ai là sự kiện "sản phẩm được
kiểm tra do phân xưởng i sản xuất", i = 1, 2, 3. Ta thấy A1, A2, A3 tạo thành một hệ đầy đủ với
P(A1) = 0, 2, P(A2) = 0, 5 và P(A3) = 0, 3.
 (a) Áp dụng công thức xác suất đầy đủ (1.25) với P(H|A1) = 0, 7; P(H|A2) = 0, 8 và
 P(H|A3) = 0, 6 ta nhận được
 P(H) = P(A1)P(H|A1) + P(A2)P(H|A2) + P(A3)P(H|A3)
 = 0, 2 × 0, 7 + 0, 5 × 0, 8 + 0, 3 × 0, 6 = 0, 72 = 72%.
 Ý nghĩa của xác suất này là tỷ lệ sản phẩm loại một của nhà máy.
 (b) Áp dụng công thức Bay–ét (1.26) ta tính
 P(A )P(H|A ) 0, 5 × 0, 8 5
 ( | ) = 2 2 = =
 P A2 H 3 .
 ∑i=1 P(Ai)P(H|Ai) 0, 72 9
Ví dụ 1.40. Có hai lô sản phẩm: lô I có 7 chính phẩm 3 phế phẩm; lô II có 6 chính phẩm 2 phế
phẩm. Lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm từ lô I bỏ sang lô II, sau đó từ lô II lấy ngẫu nhiên ra 2 sản
phẩm.
 (a) Tính xác suất để 2 sản phẩm lấy ra sau cùng là chính phẩm.
 (b) Giả sử 2 sản phẩm lấy ra sau cùng là chính phẩm. Hãy tính xác suất để 2 chính phẩm
 này là của lô I (ban đầu).
Lời giải:
 (a) Gọi H là sự kiện "hai sản phẩm lấy ra sau cùng là chính phẩm"; Ai là sự kiện "trong 2 sản
 phẩm lấy từ lô I bỏ sang lô II có i chính phẩm", i = 0, 1, 2. Khi đó A0, A1, A2 tạo thành
 một hệ đầy đủ với
 C2 1 C1 × C1 7 C2 7
 ( ) = 3 = ( ) = 7 3 = ( ) = 7 =
 P A0 2 ; P A1 2 ; P A2 2 ;
 C10 15 C10 15 C10 15
1.6. Công thức xác suất đầy đủ. Công thức Bay–ét 33
MI2020 – KỲ 20192 – TÓM TẮT BÀI GIẢNG Nguyễn Thị Thu Thủy
 và
 C2 15 C2 21 C2 28
 ( | ) = 6 = ( | ) = 7 = ( | ) = 8 =
 P H A0 2 ; P H A1 2 ; P H A2 2 .
 C10 45 C10 45 C10 45
 Áp dụng công thức xác suất đầy đủ (1.25)
 P(H) = P(A0)P(H|A0) + P(A1)P(H|A1) + P(A2)P(H|A2)
 1 15 7 21 7 28 358
 = × + × + × = ≃ 0, 5304.
 15 45 15 45 15 45 675
 (b) Ta không thể chọn nhóm đầy đủ như trong ý (a), vì sự kiện cần tính xác suất không là
 thành viên của nhóm này. Việc chọn nhóm đầy đủ thích hợp xem như là bài tập.
Ví dụ 1.41. Một người có ba chỗ ưa thích như nhau để câu cá. Xác suất để câu được cá ở mỗi
chỗ tương ứng là 0,6; 0,7 và 0,8. Biết rằng đến một chỗ người đó thả câu 3 lần và chỉ câu được
một con cá. Tính xác suất để cá câu được ở chỗ thứ nhất.
Lời giải: Gọi Ai là sự kiện "người đó chọn chỗ thứ i", i = 1, 2, 3, A là sự kiện "câu được cá".
Khi đó,
 P(A) = P(A1)P(A|A1) + P(A2)P(A|A2) + P(A3)P(A|A3) = 0, 191,
trong đó
 1
 P(A ) = P(A ) = P(A ) = ,
 1 2 3 3
 1 1 2
 P(A|A1) = P3(1) = C3 × (0, 6) × (0, 4) = 0, 288,
 1 1 2
 P(A|A2) = P3(1) = C3 × (0, 7) × (0, 3) = 0, 189,
 1 1 2
 P(A|A3) = P3(1) = C3 × (0, 8) × (0, 2) = 0, 096.
Từ đây suy ra
 P(A )P(A|A )
 P(A |A) = 1 1 = 0, 5026.
 1 P(A)
Ví dụ 1.42. Người ta dùng một thiết bị để kiểm tra một loại sản phẩm nhằm xác định sản
phẩm có đạt yêu cầu không. Biết rằng sản phẩm có tỉ lệ phế phẩm là 0,01. Thiết bị có khả
năng phát hiện đúng sản phẩm là phế phẩm với xác suất 0,85 và phát hiện đúng sản phẩm
đạt chất lượng với xác suất 0,9. Kiểm tra ngẫu nhiên một sản phẩm, tìm xác suất sao cho sản
phẩm này:
 (a) Được kết luận là phế phẩm.
 (b) Được kết luận là đạt chất lượng thì lại là phế phẩm.
 (c) Được kết luận đúng với thực chất của nó.
Lời giải: Gọi A là sự kiện "sản phẩm được chọn là phế phẩm", P(A) = 0, 01, P(A) = 0, 99.
1.6. Công thức xác suất đầy đủ. Công thức Bay–ét 34
MI2020 – KỲ 20192 – TÓM TẮT BÀI GIẢNG Nguyễn Thị Thu Thủy
 (a) Gọi H là sự kiện "sản phẩm được kết luận là phế phẩm", khi đó H là sự kiện "sản phẩm
 được kết luận là đạt chất lượng". Theo đầu bài, P(H|A) = 0, 85, P(H|A) = 0, 9. Suy ra
 P(H) = P(A)P(H|A) + P(A)P(H|A) = 0, 01 × 0, 85 + 0, 99 × 0, 1 = 0, 1075.
 (b) P(H) = 1 − 0, 1075 = 0, 8925. Suy ra
 P(AH) P(A)P(H|A) 0, 01 × 0, 15
 P(A|H) = = = = 0, 0017.
 P(H) P(H) 0, 8925
 (c) P(AH) + P(A H) = P(A)P(H|A) + P(A)P(H|A) = 0, 01 × 0, 85 + 0, 99 × 0, 9 = 0, 8995.
Ví dụ 1.43. Một hãng hàng không cho biết rằng 5% số khách đặt trước vé cho các chuyến đã
định sẽ hoãn không đi chuyến bay đó. Do đó hãng đã đưa ra một chính sách là sẽ bán 52 ghế
cho một chuyến bay mà trong đó mỗi chuyến chỉ trở được 50 khách hàng. Tìm xác suất để tất
cả các khách đặt chỗ trước và không hoãn chuyến bay đều có ghế. Biết rằng xác suất bán được
51 vé hoặc 52 vé là như nhau và bằng 10%.
Lời giải: Gọi A là sự kiện "bán được 52 vé", B là sự kiện "bán được 51 vé", C là sự kiện "bán
được ≤ 50 vé". Khi đó A, B, C tạo thành một nhóm đầy đủ, P(A) = P(B) = 0, 1 và P(C) = 0, 8.
 Gọi H là sự kiện "tất cả các khách hàng đặt chỗ trước và không hoãn chuyến bay đều đủ
chỗ", suy ra H là sự kiện "khách hàng không đủ chỗ". Khi đó
 P(H) = P(A)P(H|A) + P(B)P(H|B) + P(C)P(H|C),
trong đó
 52 51 1
 P(H|A) = P52(0) + P52(1) = (0, 95) + 52 × (0, 95) × (0, 05) ,
 51
 P(H|B) = P51(0) = (0, 95) ,
 P(H|C) = 0.
Từ đó P(H) = 0, 0333, suy ra P(H) = 0, 6667.
Ví dụ 1.44. Ba người thợ cùng may một loại áo với xác suất may được sản phẩm chất lượng
cao tương ứng là 0,9; 0,9 và 0,8. Biết một người khi may 8 áo thì có 6 sản phẩm chất lượng cao.
Tìm xác suất để người đó may 8 áo nữa thì có 6 áo chất lượng cao.
Lời giải: Gọi A là sự kiện "trong 8 áo đầu tiên có 6 áo chất lượng cao"; Ai là sự kiện "8 áo đầu
 1
tiên do người thợ thứ i may", i = 1, 2, 3 với P(A ) = , i = 1, 2, 3. Theo công thức xác suất đầy
 i 3
đủ
 P(A) = P(A1)P(A|A1) + P(A2)P(A|A2) + P(A3)P(A|A3)
 1 h i
 = × C6 × (0, 9)6 × (0, 1)2 + C6 × (0, 9)6 × (0, 1)2 + C6 × (0, 8)6 × (0, 2)2 ≃ 0, 2.
 3 8 8 8
 Gọi B là sự kiện "trong 8 áo sau có 6 áo chất lượng cao".
 3
 P(B) = ∑ P(Ai|A)P(B|Ai A) = 0, 225,
 i=1
trong đó các xác suất P(A1|A), P(A2|A), P(A3|A) được xác định theo công thức Bay-et.
1.6. Công thức xác suất đầy đủ. Công thức Bay–ét 35