Bài giảng Toán rời rạc - Chương 1: Tập hợp, quan hệ - Nguyễn Đức Nghĩa

KHMT, ĐHBK Hà Nội
 Có phả i tấ t cả cá c hà m đề u tí nh đượ c bở i má y tí nh Nội dung
 • Chẳ ng hạ n, số thự c 0.72 tương ứng vớ i hà m 1.1. Tập hợp 
 f(0) = 7; f(1)=2; f(x) = 0, x > 1. 1.2. Phép toán tập hợp
 • Như vậ y, tương ứng vừ a xây dự ng giữ a hà m f Î F và số thự c 1.3. Đại số tập hợp
 af là tương ứng 1-1. 1.4. Biểu diễn tập hợp trên máy tính
 • Do đó F có cù ng lự c lượ ng vớ i [0,1] và vì thế cũ ng có cù ng 1.5. Quan hệ
 lự c lượ ng vớ i R. 1.6. Ánh xạ
 • Từ đó suy ra có nhiều hà m hơn là chương trì nh và vì thế tồ n 1.7. Quan hệ tương đương và Quan hệ thứ tự
 tạ i hà m trong F không thể tí nh đượ c bở i bấ t cứ chương trì nh
 1.8. Lực lượng của tập hợp. 
 nà o.
 1.9. PP qui nạp toán học. Định nghĩa tập hợp theo qui nạp. 
 191 192
Toán rời rạc - NGUYỄN ĐỨC NGHĨA, Bộ môn KHMT, ĐHBK Hà Nội Toán rời rạc - NGUYỄN ĐỨC NGHĨA, Bộ môn KHMT, ĐHBK Hà Nội
 1.9 . Định nghĩa tập hợp theo qui nạp . 
 1.9.1 . Chứng minh bằng qui nạp toán học
 Phương pháp qui nạp toán học
 1.9.1. Phương pháp qui nạ p toá n họ c • Đây là kỹ thuật chứng minh rất hữu ích khi ta phải chứng
 1.9.2. Đị nh nghĩa tậ p hợ p theo qui nạ p minh mệnh đề P(n) là đúng với mọi số tự nhiên n ³ n0.
 • Tương tự như nguyên lý “hiệu ứng domino”.
 • Sơ đồ chứng minh: 
 P(n0)
 "n³n0 (P(n)®P(n+1))
 Kết luận: "n³n P(n)
 0 “Nguyên lý qui nạ p toán họ c 
 thứ nhấ t”
 “The First Principle
 of Mathematical Induction ”
 193 194
Toán rời rạc - NGUYỄN ĐỨC NGHĨA, Bộ môn KHMT, ĐHBK Hà Nội Toán rời rạc - NGUYỄN ĐỨC NGHĨA, Bộ môn KHMT, ĐHBK Hà Nội
 Tính đúng đắn của qui nạp
 The “Domino Effect ”
 (The principle of Well-Ordering)
 • Bước # 1: Domino #0 đổ. • Tính đúng đắn của chứng minh qui nạp là hệ quả của “nguyên lý
 • Bước # 2: Với mọi nÎN,
 nếu domino # n đổ, thì domino # n+1 về thứ tự tốt ” (PWO ) sau đây : “Mỗi tập con khác rỗng các số
 cũng đổ. nguyên không âm đều có phần tử nhỏ nhất”.
 • Kết luận: Tất cả các quân bài 6
 domino đều đổ! – " Æ ¹ S Í N : $m Î S : "n Î S : m £ n
 5
 4
 3 • Chứ ng minh tí nh đú ng đắ n củ a nguyên ly ́ qui nạ p.
 Chú ý:
 2 • Gia ̉ sử P(n) không đú ng vớ i mọ i n. Khi đó từ PWO suy ra tập
 điều này xảy ra
 1
 ngay cả khi {n|ØP(n)} có phần tử nhỏ nhất m. Do P(1) là đúng nên m>1. Ta
 có vô hạn 0 có P(m−1) là đúng, theo chứ ng minh qui nạ p suy ra P(( m−1)+1)
 quân bài domino! = P(m) là đúng?!
 195 196
Toán rời rạc - NGUYỄN ĐỨC NGHĨA, Bộ môn KHMT, ĐHBK Hà Nội Toán rời rạc - NGUYỄN ĐỨC NGHĨA, Bộ môn KHMT, ĐHBK Hà Nội
 Qui nạp mạnh
 Sơ đồ chứng minh bằng qui nạp yếu (Second Principle of Induction – Strong Induction)
 Giả sử ta cần chứng minh P(n) là đúng "n ³ m . • Sơ đồ chứng minh:
 • Cơ sở qui nạp: Chứng minh P(m) là đúng. P(m) P là đúng trong mọi tình huống trước
 • Giả thiết qui nạp: Giả sử P(n) là đúng "n³m: ( " m £ k £ n P(k)) ® P(n+1)
 Kết luận "n³m: P(n)
 • Bước chuyển qui nạp: Chứng minh P(n+1) là đúng.
 • Sự khác biệt với sơ đồ qui nạp “yếu” ở chỗ:
 • Kết luận: Theo nguyên lý qui nạp ta có P(n) là đúng "n ³ m.
 – bước chuyển qui nạp sử dụng giả thiết mạnh hơn : P(k)
 là đúng cho mọi số nhỏ hơn m £ k < n+1, chứ không
 phải chỉ riêng với k=n như trong nguyên lý qui nạp thứ
 nhất.
 197 198
Toán rời rạc - NGUYỄN ĐỨC NGHĨA, Bộ môn KHMT, ĐHBK Hà Nội Toán rời rạc - NGUYỄN ĐỨC NGHĨA, Bộ môn KHMT, ĐHBK Hà Nội
 Sơ đồ chứng minh bằng qui nạp mạnh Ví dụ 1
 Giả sử ta cần chứng minh P(n) là đúng "n ³ m. Ví dụ 1. CMR mọ i sô ́ nguyên dương n>1 đề u có thê ̉ viế t dướ i dạ ng tí ch củ a
 cá c sô ́ nguyên tô ́.
 • Cơ sở qui nạp: Chứng minh P(m) là đúng. CM: Gọ i P(n) là mệ nh đề “n có thê ̉ viế t dướ i dạ ng tí ch củ a cá c sô ́ nguyên tô ́”.
 • Giả thiết qui nạp: Giả sử P(k) là đúng " m £ k £ n. Cơ sở qui nạ p: P(2) là đú ng, vì 2 là sô ́ nguyên tô ́.
 Chuyể n qui nạ p: Gia ̉ sử P(k) là đú ng vớ i mọ i k £ n.
 • Bước chuyển qui nạp: Chứng minh P(n+1) là đúng. Xé t P(n+1) :
 • Kết luận: Theo nguyên lý qui nạp ta có P(n) là đúng "n ³ m. Trườ ng hợ p 1 : n+1 là sô ́ nguyên tô ́ Þ P(n+1) là đúng
 Trườ ng hợ p 2 : n+1 là hợ p sô ́, 
 tứ c là , n+1=ab trong đó 2 £ a £ b ㄈ n+1
 Theo gia ̉ thiế t qui nạ p, ca ̉ a va ̀ b đề u có thê ̉ viế t dướ i dạ ng tí ch
 củ a cá c sô ́ nguyên tô ́.
 Þ P( n+1) là đú ng. 
 Theo nguyên ly ́ qui nạ p mạ nh, P(n) là đú ng vớ i mọ i nÎZ va ̀ n >1.
 199 200
Toán rời rạc - NGUYỄN ĐỨC NGHĨA, Bộ môn KHMT, ĐHBK Hà Nội Toán rời rạc - NGUYỄN ĐỨC NGHĨA, Bộ môn KHMT, ĐHBK Hà Nội
 Ví dụ 2 Cơ sở qui nạp: Bảng 22 x 22 
 Ví dụ 2. Chứng minh rằng luôn có thể phủ kín bàn cờ
 kích thước 2n ´ 2n (n > 1) bởi các quân bài hình chữ T
 (T-omino).
 201 202
Toán rời rạc - NGUYỄN ĐỨC NGHĨA, Bộ môn KHMT, ĐHBK Hà Nội Toán rời rạc - NGUYỄN ĐỨC NGHĨA, Bộ môn KHMT, ĐHBK Hà Nội
 Cơ sở qui nạp: Bảng 22 x 22 Cơ sở qui nạp: Bảng 22 x 22
 203 204
Toán rời rạc - NGUYỄN ĐỨC NGHĨA, Bộ môn KHMT, ĐHBK Hà Nội Toán rời rạc - NGUYỄN ĐỨC NGHĨA, Bộ môn KHMT, ĐHBK Hà Nội
 Bước chuyển qui nạp
 Cơ sở qui nạp: Bảng 22 x 22
 Giả sử ta có thể phủ kín bàn cờ kích thước 2n ´ 2n. Ta phải
 chứng minh có thể phủ kín bàn cờ kích thước 2n+1 ´ 2n+1.
 Thực vậy, chia bàn cờ 2n+1 ´ 2n+1 ra thành 4 phần, mỗi phần
 kích thước 2n ´ 2n. Theo giả thiết qui nạp mỗi phần này
 đều có thể phủ kín bởi các quân bài chữ T. Đặt chúng vào
 bàn cờ 2n+1 ´ 2n+1 ta thu được cách phủ cần tìm.
 205 206
Toán rời rạc - NGUYỄN ĐỨC NGHĨA, Bộ môn KHMT, ĐHBK Hà Nội Toán rời rạc - NGUYỄN ĐỨC NGHĨA, Bộ môn KHMT, ĐHBK Hà Nội
 Ví dụ 3 Ví dụ 3
 • Trên mặt phẳng vẽ n đường thẳng ở vị trí tổng quát. Hỏi ít nhất • Cơ sở qui nạp . Khi n = 1, mặt phẳng được chia làm hai phần,
 phải sử dụng bao nhiêu màu để tô các phần bị chia bởi các một phần sẽ tô màu xanh, phần còn lại tô màu đỏ .
 đường thẳng này sao cho không có hai phần có chung cạnh • Chuyể n qui nạ p. Giả sử khẳng định đúng với n-1, ta chứng
 nào bị tô bởi cùng một màu? minh khẳng định đúng với n.
 • P(n): Luôn có thể tô các phần được chia bởi n đường thẳng vẽ • Thực vậy, trước hết ta vẽ n-1 đường thẳng . Theo giả thiết qui
 ở vị trí tổng quát bởi 2 màu xanh và đỏ sao cho không có hai nạp có thể tô màu các phần sinh ra bởi hai màu thoả mãn điều
 kiện đặt ra.
 phần có chung cạnh nào bị tô bởi cùng một màu.
 • Bây giờ ta vẽ đường thẳng thứ n. Đường thẳng này chia mặt
 phẳng ra làm hai phần, gọi là phần A và B.
 207 208
Toán rời rạc - NGUYỄN ĐỨC NGHĨA, Bộ môn KHMT, ĐHBK Hà Nội Toán rời rạc - NGUYỄN ĐỨC NGHĨA, Bộ môn KHMT, ĐHBK Hà Nội
 Ví dụ 3 Ví dụ 3
 • Các phần của mặt phẳng được chia bởi n đường thẳng ở bên
 Đ
 nửa mặt phẳng B sẽ giữ nguyên màu đã tô trước đó . Trái lại,
 các phần trong nửa mặt phẳng A mỗi phần sẽ được tô màu đảo
 ngược xanh thành đỏ và đỏ thành xanh. X
 • Rõ ràng: X
 X
 – Hai phần có chung cạnh ở cùng một nửa mặt phẳng A hoặc Đ
 B là không có chung màu. Đ
 – Hai phần có chung cạnh trên đường thẳng thứ n rõ ràng Đ X
 cũng không bị tô cùng màu (do màu bên nửa A bị đảo Đ
 ngược) .
 • Vậy P(n) đúng. Theo qui nạp khẳng định đúng với mọi n.
 209 210
Toán rời rạc - NGUYỄN ĐỨC NGHĨA, Bộ môn KHMT, ĐHBK Hà Nội Toán rời rạc - NGUYỄN ĐỨC NGHĨA, Bộ môn KHMT, ĐHBK Hà Nội
 Ví dụ 3 Ví dụ 4. Phủ lướ i 2n´2n bở i viên gạ ch chữ L
 Cho lướ i ô vuông kí ch thướ c 
 A Đ
 B 2n´2n bị đụ c mấ t mộ t ô tù y ý.
 X
 X Có thể phủ kí n lướ i bở i viên 
 Đ gạ ch chữ L ?
 Đ
 X
 X
 Đ
 X
 X
 Đ
 X Đ X Đ
 Đ
 Khẳ ng đị nh: 
 X
 Luôn phủ đượ c vớ i mọ i n. Ví dụ : Lướ i 8´8:
 211 212
Toán rời rạc - NGUYỄN ĐỨC NGHĨA, Bộ môn KHMT, ĐHBK Hà Nội Toán rời rạc - NGUYỄN ĐỨC NGHĨA, Bộ môn KHMT, ĐHBK Hà Nội
 Chứ ng minh: Phủ lướ i 2n´2n
 Cơ sở : Rõ rà ng lướ i 2´2 có thể phủ đượ c. Chứ ng minh mang tí nh xây dự ng. Nó chỉ ra cho ta cá ch phủ 
 lướ i sử dụ ng gạ ch chữ L:
 Chuyể n qui nạ p: Giả sử có thể phủ kí n lướ i 2n´2n. Để chỉ ra có 
 thể phủ lướ i 2n+1´2n+1, ta chia lướ i thà nh 4 lướ i con:
 Xé t 3 ô ở trung tâm:
 Đặ t viên gạ ch L và o giữ a. 
 Bố n lướ i con mỗ i lướ i đề u có kí ch
 thướ c 2n´2n và bị khuyế t mộ t ô,
 có thể phủ kí n theo giả thiế t qui nạ p.
 Lưu ý: Chứ ng minh bằ ng qui nạ p
 mang tí nh xây dự ng
 Ví dụ lướ i 8´8:
 213 214
Toán rời rạc - NGUYỄN ĐỨC NGHĨA, Bộ môn KHMT, ĐHBK Hà Nội Toán rời rạc - NGUYỄN ĐỨC NGHĨA, Bộ môn KHMT, ĐHBK Hà Nội
 Ví dụ 5. Trò chơi với các que diêm Ví dụ 5. Trò chơi với các que diêm
 (Game with Matches) (Game with Matches)
 • Hai đấu thủ luân phiên thực hiện việc nhặt ra một số lượng • Chiến lược chơi của người đi sau:
 dương que diêm từ một trong hai đống diêm. Người thắng • Gọi P(n) là mệnh đề : “Người đi sau thắng nếu mỗi đống diêm có n que.”
 cuộc là người nhặt những que diêm cuối cùng. • Basis step: P(1) là đúng, vì mỗi đống chỉ có 1 que diêm, do đó sau khi
 người đi trước lấy que diêm khỏi đống này thì đến lượt mình, người đi sau
 lấy que diêm duy nhất còn lại ở đống kia và trở thành người thắng cuộc .
 • Inductive step: Giả sử P(j) là đúng với mọi 1 ≤ j ≤ k.
 • Ta chứng minh P(k+1) là đúng, nghĩa là người đi sau là người thắng khi
 mỗi đống có k+1 que diêm.
 • Giả sử người đi trước lấy r que diêm từ một trong hai đống, khi đó số que
 diêm còn lại ở đống này là k+1–r.
 • Chứng minh rằng : Nếu như số lượng diêm ở hai đống diêm là • Bằng cách nhặt số lượng diêm như người đi trước từ đống diêm kia người
 bằng nhau thì người đi sau luôn có cách chơi giành phần thứ hai tạo ra tình huống khi cả hai đống có cùng số lượng diêm là k+1–r.
 thắng . Theo giả thiết qui nạp người đi sau là người giành phần thắng .
 215 216
Toán rời rạc - NGUYỄN ĐỨC NGHĨA, Bộ môn KHMT, ĐHBK Hà Nội Toán rời rạc - NGUYỄN ĐỨC NGHĨA, Bộ môn KHMT, ĐHBK Hà Nội
 Ví dụ 6 Ví dụ 6
 Ví dụ 6. Số điề u hoà Hk, k =1, 2, 3,, đượ c đị nh nghĩ a bở i
 1 1 1
 H = 1+ + + ... +
 k 2 3 k
 Chứ ng minh rằ ng vớ i mọ i số nguyên không âm n, ta có
 (theo giả thiế t qui nạ p)
 n
 H ³1 + .
 2n 2
 Chứ ng minh. Giả sử P(n) là mệ nh đề “H2n ³ 1+ n/2”.
 Cơ sở qui nạ p: P(0): H20 = H1 = 1 ³ 1+ 0/2.
 Chuyể n qui nạ p: Giả sử P(k) đú ng vớ i k nà o đó , nghĩ a là ta có
 k
 H ³1 + .
 2k 2
 Xé t P(k+1). Ta có Vậ y P(k+1) là đú ng. 
 Theo qui nạ p, P(n) là đú ng vớ i mọ i n không âm.
 217 218
Toán rời rạc - NGUYỄN ĐỨC NGHĨA, Bộ môn KHMT, ĐHBK Hà Nội Toán rời rạc - NGUYỄN ĐỨC NGHĨA, Bộ môn KHMT, ĐHBK Hà Nội
 1.9.2 . Đị nh nghĩ a tậ p hợ p theo qui nạ p
 Ví dụ 1.
 (Recursively defined sets)
 • Để định nghĩa tập S một cách đệ qui ta cần thực hiện các bước Ví dụ 1. Tập S được định nghĩa đệ qui bởi
 sau đây – (B): 3ÎS
 – Bước cơ sở (Base Step) (B) : Một tập con S0 (tập S0 có thể chỉ gồm 1
 phần tử) ban đầu của S. – (R): Nếu x Î S và y Î S thì x+y Î S.
 – Bước qui nạp (Recursive Step) (R) : Các qui tắc cho phép xây dựng
 các phần tử mới của S từ các phần tử đã có. • Chứng minh: S là tập các số nguyên dương chia hết cho 3, tức 
 – Qui tắc loại trừ (Exclusive Rule) (E) : Khẳng định rằng tập S chỉ chứa là S = { 3, 6, 9, 12, 15, 18,  }
 các phần tử được xây dựng bởi các qui tắc (B) và (E).
 • Gọi A là tập các số nguyên dương chia hết cho 3. 
 • Do qui tắc loại trừ bắt buộc phải có, vì vậy trong các ví dụ
 định nghĩa tập hợp theo qui nạp dưới đây ta không nêu qui tắc • Để chứng minh A= S, ta chứ ng minh A Í S và S Í A.
 này.
 219 220
Toán rời rạc - NGUYỄN ĐỨC NGHĨA, Bộ môn KHMT, ĐHBK Hà Nội Toán rời rạc - NGUYỄN ĐỨC NGHĨA, Bộ môn KHMT, ĐHBK Hà Nội
 Ví dụ 1. Ví dụ 1.
 (i) A Í S : Ta phải chứ ng minh mọ i số nguyên chia hế t cho 3 đề u (ii) S Í A : Ta có
 thuộ c và o S. Ta chứ ng minh bằ ng qui nạp toán học. • Bướ c cơ sở : Cầ n chỉ ra tấ t cả cá c phần tử ban đầ u củ a S đề u
 Gọi P(n) là khẳng định 3n Î S. thuộ c A. Ta có 3 thuộ c A. Khẳ ng đị nh là đú ng.
 • Cơ sở qui nạ p: P(1) là đú ng, vì 3 thuộ c S. • Bướ c qui nạ p: Cầ n chỉ ra rằ ng (x + y) là thuộ c A nế u x và y là
 • Chuyể n qui nạ p: Ta cầ n chứ ng minh nế u P(n) đú ng thì P(n+1) thuộ c S. Thự c vậ y nế u x và y đề u thuộ c S, thì 3 | x và 3 | y. Từ đó
 cũ ng đú ng. suy ra 3 | (x + y). Do đó x+y Î A.
 • Thự c vậ y, giả sử 3n thuộ c S. Do 3n thuộ c S và 3 thuộ c S, nên • Vậ y S Í A.
 theo đị nh nghĩ a đệ qui củ a S ta có 3n + 3 = 3(n + 1) thuộ c S.
 • Vậ y: A Í S. • Từ (i) và (ii) suy ra A = S.
 221 222
Toán rời rạc - NGUYỄN ĐỨC NGHĨA, Bộ môn KHMT, ĐHBK Hà Nội Toán rời rạc - NGUYỄN ĐỨC NGHĨA, Bộ môn KHMT, ĐHBK Hà Nội
 Ví dụ 2. Ví dụ 3
 Ví dụ 2. Tập các xâu trên bảng chữ cái å , ký hiệu là å* có thể • Ví dụ 3. Mộ t công thứ c hợ p lệ củ a cá c biế n, cá c số và cá c pháp
 toá n từ tậ p {+, -, *, /, ^} có thể đị nh nghĩa như sau:
 định nghĩa đệ qui như sau:
 • Cơ sở : x là công thứ c hợ p lệ nế u x là biế n hoặc là số .
 – (B) lÎå * ( l là xâu rỗng)
 • Qui nạ p: Nế u f, g là cá c công thứ c hợ p lệ thì 
 – (R) Nếu wÎå * và xÎå thì wx Îå *.
 (f + g), ( f – g), ( f * g), ( f / g), ( f ^ g) 
 Ví dụ: å = { a, b, c }
 la lb lc là công thứ c hợ p lệ .
 å* = { l, a , b , c , aa , ab , ac , ba , bb , bc , 
 • Theo đị nh nghĩa ta có thể xây dự ng cá c công thứ c hợ p lệ như:
 abcabccba, } (x – y); (( z / 3) – y);
 (( z / 3) – (6 + 5)); (( z / (2 * 4)) – (6 + 5))
 223 224
Toán rời rạc - NGUYỄN ĐỨC NGHĨA, Bộ môn KHMT, ĐHBK Hà Nội Toán rời rạc - NGUYỄN ĐỨC NGHĨA, Bộ môn KHMT, ĐHBK Hà Nội
 Ví dụ Ví dụ 6.
 • Ví dụ 4. Định nghĩa đệ qui độ dài length( w) của xâu w Î å* • Ví dụ 6. Xét A là tập các xâu nhị phân được định nghĩa đệ qui 
 như sau
 – (B) length( l) = 0 – (B) lÎA (l là xâu rỗng)
 – (R) Nếu wÎå * và xÎå thì length( wx)= length( w)+1. – (R) Nếu bÎ A thì 0b1Î A .
 Xâu nhị phân thuộc A có dạng như thế nào?
 • Ví dụ 5. Định nghĩa đệ qui của tập các xâu nhị phân độ dài • lÎA, 0l1= 01Î A, 001 1 Î A
 chẵn . • A={ l, 01 , 0011, 000111, }
 – (B) lÎS (l là xâu rỗng) • Như vậy một xâu nhị phân aÎA phải có dạng
 a = 000 0111 1 
 – (R) Nếu bÎ S thì 0b0, 0b1, 1b0, 1b1Î S .
 n số n số
 225 226
Toán rời rạc - NGUYỄN ĐỨC NGHĨA, Bộ môn KHMT, ĐHBK Hà Nội Toán rời rạc - NGUYỄN ĐỨC NGHĨA, Bộ môn KHMT, ĐHBK Hà Nội
 Bài tập
 • Chú ý: Để chứng minh các khẳng định liên quan đến tập được Quetions?
 định nghĩa đệ qui, thông thường ta sử dụng qui nạp toán học.
 • Bài tập: 
 • 1. Chứng minh khẳng định trong ví dụ 6.
 • 2. Xét tập S gồm các xâu trên bảng chữ cái { a, b } được định nghĩa đệ qui 
 như sau:
 – (B): ab Î S
 – (R): Nếu ax Î S thì axx Î S, với mọi xâu x;
 Nếu abbbx Î S thì ax Î S.
 (i) Hỏi xâu abbbbb có thuộc S hay không? Nếu trả lời khẳng định thì chỉ 
 ra cách xây dựng, trái lại hãy chứng minh là không có.
 (ii) Câu hỏi tương tự (i) đối với xâu abbb .
 (iii) Hãy mô tả tính chất của xâu trong S. Chứng minh. 
 227 228
Toán rời rạc - NGUYỄN ĐỨC NGHĨA, Bộ môn KHMT, ĐHBK Hà Nội Toán rời rạc - NGUYỄN ĐỨC NGHĨA, Bộ môn KHMT, ĐHBK Hà Nội
 Ví dụ 4.
 • Tậ p cá c số hữ u tỷ dương Q+= {x/y | x, y Î Z+} là đế m đượ c
 229 230
Toán rời rạc - NGUYỄN ĐỨC NGHĨA, Bộ môn KHMT, ĐHBK Hà Nội Toán rời rạc - NGUYỄN ĐỨC NGHĨA, Bộ môn KHMT, ĐHBK Hà Nội
 Tậ p cá c số hữ u tỷ Q = { x/y | x, y Î Z, y ¹ 0 } là đế m đượ c
 3
 0 1
 2
 231
Toán rời rạc - NGUYỄN ĐỨC NGHĨA, Bộ môn KHMT, ĐHBK Hà Nội