Bài giảng Phương pháp tính - Chương 8: Xấp xỉ hàm số bằng đa thức đa thức nội suy Lagrange - Hà Thị Ngọc Yến

XẤP XỈ HÀM SỐ BẰNG ĐA THỨC
 ĐA THỨC NỘI SUY LAGRANGE
 Hà Thị NgọcYến
 Hà nội, 2/2017
 ĐA THỨC NỘI SUY
-Chobộđiểm
 x ,,,[,]yfx  xxijxab
 ii i in 0, i j i
- Đathứcbậc không quá n, Px n đi qua 
 bộđiểmtrênđượcgọilàđathứcnộisuy
 x
 vớicácmốcnộisuy iin 0,
-Khiđó
 f xPx n 
 ĐA THỨC NỘI SUY
 x ,,yxxij  ,
• Định lý: Vớibộđiểm iiin 0, i j
 cho trước, đathứcnộisuytồntạivàduy
 nhất
 ĐA THỨC NỘI SUY
 2 n
Pxnn a01 axax 2  ax
 aaxaxax 2  n y
 on10 20 0 0
 2 n
 aaxaxaxon 11 21  1 y 1
Pxni  y i i0, n 
 
 2 n
 aaxaxax  y
 on12 n nnn
 ĐA THỨC NỘI SUY
• Định thức n
 1 xx00
 n
 1 xx11
  xxij 0.
  ij 
 n
 1 xxnn
•Vậyhệ có nghiệm duy nhất hay đathứcnộisuy
 tồntại và duy nhất
 Nội suy Lagrange
• Đathức Lagrange cơ bản
 1 ij 
 Lij xLn deg i 
 0 ij 
• Đathứcnội suy Lagrange 
 n
 Pxnii  y Lx 
 i 0
 ĐA THỨC NỘI SUY LAGRANGE
fx Pxnn Rx 
 n
 xx 01 xx xx iin 1 xx 1 xx 
Pxnn  y .
  ji 
 i 0 xxxxii 01 xx iiiiin 1 xx 1 xx 
 Mn 1
Rxnn w 1 x
 n 1!
 n
wni 1 xxx  
 i 0
 ĐA THỨC NỘI SUY LAGRANGE
• Đặt
 Ft Rnn t kw 1 t 
•Chọnk saocho
 Fx :0 fx Pnn x kw 1 x 
• F(t) có ít nhất n+2 nghiệm phân biệt nên F’(x) có
 ít nhất n+1 nghiệm phân biệt, ..
ĐA THỨC NỘI SUY LAGRANGE
 (1)n 
  [,],ab F 0
 n 1
  [,],ab f k n 1! 0
 n 1
 f 
 k
 n 1!
 n 1
 f 
 Rxn w n 1 x
 n 1! 
 ĐT NỘI SUY NEWTON
 x
•Vídụ: xét hàm số y 3
 x -1 0 1
 y 1/3 1 3
 ĐT NỘI SUY LAGRANGE
 xx 1 112
Lx1 x x
 10 11 2 2
 xx 11 2
Lx2 x 1
 0101 
 xx 1 112
Lx3 x x
 1110 2 2
 1242
Lx L x L x31 L x x x
 33312 3
ĐT NỘI SUY LAGRANGE
 1110 
 fL 31.14 
 10 10