Bài giảng Phương pháp tính - Chương 7: Phương pháp Lặp đơn – Lặp Jacob giải phương trình ax=b - Hà Thị Ngọc Yến

PP LẶP ĐƠN – LẶP JACOBI 
 GIẢI PT Ax = b
 Hà Thị NgọcYến
 Hà nội, 2/2017
 Ý tưởng phương pháp
- Đưavề phương trình tương đương
 Ax b x Bx d
-Lập dãy số
 m
 xBxdxnn 10, 
-Nếu dãy hộitụ thì giớihạn là nghiệmcủa
 phương trình
 Chuẩncủavéctơ
• Định nghĩa: chuẩnlàmột ánh xạ thỏamãn
 các tính chấtsau:
 .:m 
 uu 0, " " 0
 ku   k u k u m
 uv u v
 Chuẩnvéctơ
•Cácchuẩnthường gặp
 xx max i 
 im 1,
 m
 xx 
 1  i
 i 1
 m
 xx 2
 2  i
 i 1
 Sự hộitụ của dãy véctơ
• Định nghĩa: 
 nn 
 xxxxnn **0  
 n 
 xximni  i *1,
•Chuẩntương đương: Hai chuẩnp vàq 
 đượcgọilàtương đương nếu
  CC,0, C x x C x
 12 1p qp 2
 Sự hộitụ của dãy véctơ
•Nếu hai chuẩnp vàq tương đương thì
 dãy véctơ hộitụ theo chuẩnp khivàchỉ
 khinóhộitụ theo chuẩnq
•Mọichuẩn trong không gian véctơ hữu
 hạnchiều đềutương đương
Chuẩncủa ma trận
 Ax
 AAx supp sup
 ppx
 xx 01p p
 m
 Aa max
  ij
 im 1, j 1
 m
 Aa max
 1  ij
 jm 1, i 1
 AAA max  T
 2 i 
 Sự hộitụ củaPP lặp đơn
•NếuthìdãyB 1 xBxdxnn 10 , 
 hộitụ tới nghiệm đúng duy nhấtcủaphương
 trìnhx Bx d theo đánh giá
 B n
 xx * xx 
 n 1 B 10
 B
 xx * xx 
 nnn1 B 1
 Các bướccm sự hộitụ củaPP
• Dãy xn là dãy Cauchy nên hộitụ
•Giớihạncủa dãy là nghiệm duy nhấtcủa
 phương trình
• Cm hai công thứcsaisố
 Phương pháp lặp Jacobi
•Ma trậnchéotrội hàng
 m
 aaii  ij
 j 1
 ji 
•Ma trậnchéotrộicột
 m
 aa 
 ii ji
 j 1
 ji 
 PP lặp Jacobi
• A là ma trậnchéotrội hàng:
 ab a 
 0 12 1m 1
 aa a 
 11 11 11 
 a ab 
 21 0  22m
 Bd aa; a 
 22 22 22 
    
 aa b
 mm12 0 m 
 aamm mm amm 
 PP lặp Jacobi
• A là ma trậnchéotrộicột:
 1
 00
 a
 xy 11 
 11 1
 xy00 
 22 a 
  22 
  
 xymm 
 1 
 00
 amm
 Lặp Jacobi
• A là ma trậnchéotrộicột:
 a a
 0 12  1m
 aa
 22 mm b 
 a a 1
 21 0  2m b 
 Bd aa; 2 
 11 mm  
  
 b
 aa m 
 mm12 0
 aa11 22