Bài giảng Phương pháp tính - Chương 5: Giải gần đúng phương trình vi phân - Ngô Thu Lương

 CChhưươơnngg 55 ::GGiiaảiûûi ggaầnààn đđuúnùùngg pphhưươơnngg ttrrììnnhh vvii pphhaânâân 
Cho phương trình vi phân cấp1 
 y '(x) = f (x, y(x)) 
 =
 với điều kiện ban đầu y(x0 ) y0 . 
Tính gần đúng giá trị y(b) với b bất kỳ cho trước 
111))) PPPhhhưưươơơnnnggg ppphhhaaápùpùp EEEuuullleeerrr ::: 
 aaa)))NNNooộiäiäi ddduuunnnggg : Chia đoạn [a ,b] thành n phần đều 
nhau , bởi các điểm chia 
x0 = a < x1 = x0 + h< x2 = x0 + 2h < 
 < ... < xn = b = a + nh 
 Ngơ Thu L ươ ng – Ph ươ ng Pháp Tính 1
 yi+1 = yi + k k = h f (xi , yi ) 
 h M (2) −
bbb))) SSSaaaiii sssooố á á ::: ybyb()− () ≤ [ e L( b a ) − 1] 
 gd d 2 L
 ∂f
 L= Max( x , y )
 ∂y
VVVííí ddduuụïï : Phương trình y '(x) =1+(x − y)2 
với điều kiện ban đầu y(2) = 1 . 
Tính gần đúng nghiệm y(2.6) với bước h =0.2 
 Ngơ Thu L ươ ng – Ph ươ ng Pháp Tính 2
222))) PPPhhhưưươơơnnnggg ppphhhaaápùpùp EEEuuullleeerrr cccaaảiûiûi tttiiieeếnánán 
 aa))) NNNoộiäiäi dduunnngg : 
 k + k
 y + = y + 1 2 
 i 1 i 2
 k1 = hf ( xi , yi ) 
 k 2 = hf ( xi+1, yi + k1 ) 
 Ngơ Thu L ươ ng – Ph ươ ng Pháp Tính 3
VVVííí ddduuụ ï ï : Giải phương trình y '(x) =1+(x − y)2 với 
 điều kiện ban đầu y(2) = 1 trong ví dụ trước theo 
 phương pháp Euler cải tiến , kết quả như sau : 
 Ngơ Thu L ươ ng – Ph ươ ng Pháp Tính 4
333))) CCCooônânânggg ttthhhưưứcùcùc RRRuuunnngggeee ––– KKKuuuttttttaaa bbbaaậcäcäc 444 ::: 
aaa))) CCCoônânâ ggg ttthhhưứcùcùc 
 1
 y(xi+1) = y(xi) + (k1 + 2k2 + 2k3 + k4 ) 
 6
 k1 = hf (xi , yi ) 
 h k
 k = hf (x + , y + 1) 
 2 i 2 i 2
 k
 k = hf (x + h , y + 2 ) 
 3 i 2 i 2
 k4 = h f (xi+1, yi + k3) 
 Ngơ Thu L ươ ng – Ph ươ ng Pháp Tính 5
VVVííí ddduuụ ï ï : Giải phương trình y '(x) =1+(x − y)2 với 
điều kiện ban đầu y(2) = 1 trong ví dụ trước theo 
phương pháp Runge-Kutta , kết quả như sau : 
 Ngơ Thu L ươ ng – Ph ươ ng Pháp Tính 6
444))) GGGiiiaaảiûiûi hhheeệ ä ä ppphhhưưươơơnnnggg tttrrrìììnnnhhh vvviii ppphhhaaânânân cccaaấpápáp 111 ::: 
 y '= F(x, y, z)
 Giả sử ta cần giải hệ :  trong đó 
 z '=G(x, y, z)
 y = y(x),z = z(x) là những hàm phải tìm và thỏa 
 điều kiện ban đầu y(x0) = y0 , z(x0) = z0 
PPPhhhưưươơơnnnggg ppphhhaaápùpùp EEEuuullleeerrr 
 yi+1 = yi + h F(xi, yi , zi ) 
 = +
 zi+1 zi hG(xi, yi , zi ) 
 Ngơ Thu L ươ ng – Ph ươ ng Pháp Tính 7
 y '(x) = z(x)
VVVííí ddduuụ ï ï ::: Cho hệ  
 z '(x) = 2z(x) − y(x) + x
 với điều kiện y(0) = 1 , z(0) = 0 . 
Tìm y(1) và z(1) nếu số bước chia là n = 4 
 Ngơ Thu L ươ ng – Ph ươ ng Pháp Tính 8
555))) GGGiiiaaảiûiûi ppphhhưưươơơnnnggg tttrrrìììnnnhhh vvviii ppphhhaaânânân cccaaấpápáp cccaaaooo ::: 
Giải phương trình vi phân cấp 2 
y ''(x) + p(x) y '(x) + q(x) y(x) = f (x) 
 /
 điều kiện đầu = = 
với đđiieềuàu kkiieệnän đđaầuàu y(x0) y0 , y '(x0) y0 
ĐĐĐưưưaaa vvveeề à à hhheeệ ä ä ppphhhưưươơơnnnggg tttrrrìììnnnhhh vvviii ppphhhaaânânân cccaaấpápáp 111 bằng phép 
đổi biến y '(x) = z(x) , y ''(x) = z '(x) 
 y '= z
Hệ  với điều kiện 
 z '= − p(x) z − q(x) y + f (x)
 = = / =
ban đầu y(x0) y0 và z(x0) y 0 z0. 
Hệ này đã biết cách giải 
 Ngơ Thu L ươ ng – Ph ươ ng Pháp Tính 9