Bài giảng Olympic sinh viên môn Đại số

nếu A là một toán tử chuẩn tắc và A = SU là biểu diễn
 trong tọa độ cực của nó thì SU = US.
 Bài tập 4.20. Cho A, B và AB là các ma trận chuẩn tắc. Chứng minh rằng BA cũng là
một ma trận chuẩn tắc.
52 Chương 4. Các ma trận có dạng đặc biệt
 §5. MA TRẬN LUỸ LINH
 5.1 Các định nghĩa và tính chất
 Định nghĩa 4.24. Ma trận A vuông cấp n được gọi là luỹ linh nếu tồn tại số nguyên k sao
 cho Ak = 0. Nếu có thêm Ak 1 = 0 thì k được gọi là bậc lũy linh của ma trận A.
 − 6
 Định lý 4.25. Bậc luỹ linh của một ma trận lũy linh bằng cấp cao nhất của các khối
 Jordan của nó.
 Định lý 4.26. Cho A là ma trận luỹ linh, vuông cấp n. Khi đó An = 0.
 Định lý 4.27. Đa thức đặc trưng của một ma trận vuông cấp n lũy linh bằng λn.
 Định lý 4.28. Cho A là một ma trận vuông cấp n. Chứng minh rằng A lũy linh khi và chỉ
 khi tr(Ap)= 0 với mọi p = 1,2,..., n.
 Định lý 4.29. Cho A : V V là một toán tử tuyến tính và W là một không gian con bất
 →
 biến của V. Đặt A : W W và A : V/W V/W là các toán tử cảm sinh bởi toán tử A.
 1 → 2 →
 Chứng minh rằng nếu A1 và A2 là lũy linh thì A cũng là lũy linh.
 5.2 Bài tập
 Bài tập 4.21. A là ma trận lũy linh nếu và chỉ nếu tất cả giá trị riêng của A đều bằng 0.
 Bài tập 4.22. Chứng minh rằng nếu A là ma trận lũy linh thì I A là ma trận khả
 −
 nghịch.
 Chứng minh. Ta có
 k 2 k 1
 I = I A = (I A)(I + A + A + ... + A − )
 − −
 Bài tập 4.23. Chứng minh rằng với mọi ma trận vuông A luôn có thể phân tích A = B + C
 với C là một ma trận lũy linh và B là ma trận chéo hóa được và BC = CB.
 Bài tập 4.24. Cho A và B là các ma trận vuông cùng cấp thỏa mãn B là ma trận lũy linh
 và AB = BA. Chứng minh rằng det(A + B)= det A
 Bài tập 4.25. Cho A và B là các ma trận vuông cùng cấp thỏa mãn A2008 = I; B2009 = 0 và
 AB + 4A + 2009B = 0. Chứng minh rằng (A + B) là ma trận không suy biến.
 5. Ma trận luỹ linh 53
 Bài tập 4.26. (2000) Cho A và B là các ma trận vuông cùng cấp thỏa mãn A1999 =
0; B2000 = 0 và AB = BA. Chứng minh rằng (A + B + I) khả nghịch.
 Chứng minh. Nhận xét rằng (A + B)3999 = 0 nên (A + B) là ma trận luỹ linh, suy ra điều
 phải chứng minh.
 Bài tập 4.27. Cho A và B là các ma trận vuông cùng cấp thỏa mãn A1999 = I; B2000 = I và
 AB = BA. Chứng minh rằng (A + B + I) khả nghịch.
 Chứng minh. Giả sử (A + B + I) suy biến. Khi đó tồn tại vecto X khác 0 sao cho (A + B +
 I)X = 0. Hay (A + I)X = BX suy ra (A + I)1999X = B1999X = X, suy ra ((A + I)1999 +
 − − −
 I)X = 0. Theo gỉa thiết (A2000 I)x = 0.
 −
 Ta sẽ chứng minh hai đa thức (x + 1)1999 + 1 và x2000 1 là nguyên tố cùng nhau. Thậy
 −
 vậy, giả sử chúng có nghiệm chung là z. Khi đó (z + 1)1999 = 1 và z2000 = 1. Từ đó suy ra
 −
 môđun của z và (z + 1) đều là 1. Do đó, arg z = 2π và
 ± 3
 4000π 4000π 4π 4π
 z2000 = cos ± + sin ± = cos ± + sin ± = 1
 3 3 3 3 6
 Vậy tồn tại các đa thức P(x) và Q(x) để P(x)[(x + 1)1999 + 1]+ Q(x)(x2000 1)= 1
 −
 Từ đó suy ra [P(A)[(A + 1)1999 + 1]+ Q(A)(A2000 I)]X = X hay X = 0, mâu thuẫn với
 −
 việc chọn X. Vậy ta có điều phải chứng minh
 Bài tập 4.28. (IMC) Cho hai ma trận vuông cấp n, A và B. Giả sử tồn tại (n + 1) số
 t1, t2,..., tn phân biệt sao cho các ma trận Ci = A + ti B là các ma trận lỹ linh với mọi
 i = 1, ..., n + 1. Chứng minh rằng A và B cũng là các ma trận lũy linh
 Bài tập 4.29. Tìm các ma trận A, B sao cho λA + µB là luỹ linh với mọi λ, µ nhưng không
 1 1
tồn tại ma trận P sao cho P− AP và P− BP là các ma trận tam giác.
54 Chương 4. Các ma trận có dạng đặc biệt
 §6. TOÁN TỬ CHIẾU -MA TRẬN LŨY ĐẲNG
 6.1 Các định nghĩa và tính chất
 Định nghĩa 4.30. Toán tử P được gọi là toán tử chiếu (hay luỹ đẳng) nếu P2 = P.
 Định lý 4.31. Tồn tại một cơ sở của không gian sao cho ma trận của toán tử chiếu có dạng
 diag(1,...,1,0,...,0).
 Hệ quả 4.32. Có một tương ứng 1-1 giữa toán tử chiếu và phân tích V = W W của
 1 ⊕ 2
 không gian V. Nói rõ hơn, với mỗi phân tích V = W W , tồn tại toán tử chiếu P thỏa
 1 ⊕ 2
 mãn P(w1 + w2) = w1; và ngược lại, với mỗi toán tử chiếu P có một phân tích tương ứng
 V = Im P KerP.
 ⊕
 Toán tử P khi đó có thể được gọi là toán tử chiếu lên W1 theo hướng W2.
 Hệ quả 4.33. Nếu P là toán tử chiếu thì rank P = tr P.
 Hệ quả 4.34. Nếu P là toán tử chiếu thì I P cũng là một toán tử chiếu, hơn nữa Ker(I
 − −
 P)= Im P và Im(I P)= KerP.
 −
 Định lý 4.35. Toán tử chiếu P là Hermitian nếu và chỉ nếu Im P KerP.
 ⊥
 Định lý 4.36. Toán tử chiếu P là Hermitian nếu và chỉ nếu Px x với mọi x.
 | |≤
 Các toán tử chiếu Hermitian P và Q được gọi là trực giao nếu Im P Im Q, nghĩa là
 ⊥
 PQ = QP = 0.
 Định lý 4.37. Cho P1,..., Pn là các toán tử chiếu Hermitian. Khi đó toán tử P = P1 + ... +
 P là toán tử chiếu nếu và chỉ nếu P P = 0 với mọi i = j.
 n i j 6
 Định lý 4.38 (Djokovíc, 1971). Cho V = V ... V , ở đó V = 0 với mọi i = 1,..., k.
 1 ⊕ ⊕ k i 6
 Đặt P : V V là các phép chiếu trực giao và A = P + ... + P . Khi đó 0 A 1, và
 i → i 1 k ≤ | | ≤
 A = 1 nếu và chỉ nếu V V với mọi i = j.
 | | i ⊥ j 6
 6.2 Bài tập
 Bài tập 4.30. Cho P là một toán tử chiếu và V = Im P KerP. Chứng minh rằng nếu
 ⊕
 Im P KerP thì Pv là hình chiếu trực giao của v lên Im P.
 ⊥
 Bài tập 4.31. Cho A là một ma trận vuông cấp n. Chứng minh rằng các điều kiện sau là
 tương đương
 6. Toán tử chiếu - Ma trận lũy đẳng 55
 a. A là ma trận lũy đẳng.
 b. Cn = Im A + KerA với Ax = x với mọi x Im A.
 ∈
 c. KerA = Im(I A)
 −
 d. rank(A)+ rank(I A)= n
 −
 e. Im(A) Im(I A)= 0
 ∩ − { }
 Bài tập 4.32. Cho A là một ma trận vuông cấp n. Chứng minh rằng A là lũy đẳng khi và
chỉ khi rank(A)= tr(A) và rank(I A)= tr(I A).
 − −
 Bài tập 4.33. Cho P1 và P2 là các toán tử chiếu. Chứng minh rằng
 1. P1 + P2 là toán tử chiếu khi và chỉ khi P1P2 = P2P1 = 0.
 2. P P là toán tử chiếu khi và chỉ khi P P = P P = P .
 1 − 2 1 2 2 1 2
 Bài tập 4.34 (Định lý ergodic). Cho A là ma trận unita. Chứng minh rằng
 1 n 1
 lim ∑− Aix = Px,
 n ∞ n
 → i=0
 ở đó P là một phép chiếu Hermitian lên Ker(A I).
 −
 Bài tập 4.35. Cho A và B là các ma trận vuông cấp n. Chứng minh rằng nếu AB = A và
 BA = B thì A, B là các ma trận lũy đẳng.
 Bài tập 4.36. Cho A và B là các ma trận vuông cấp n, lũy đẳng. Tìm điều kiện cần và đủ
để (A + B) là ma trận lũy đẳng.
 Bài tập 4.37. Cho A là ma trận lũy đẳng. Chứng minh rằng (A + I)k = I + (2k 1)A với
 −
mọi k N.
 ∈
 Bài tập 4.38. (OL) Cho A, B là các ma trận cùng cấp, lũy đẳng và AB + BA = 0. Tính
 det(A B).
 −
 Bài tập 4.39. Cho A, B là các ma trận cùng cấp, lũy đẳng và I (A + B) khả nghịch. CMR
 −
 tr(A)= tr(B).
 Bài tập 4.40. Cho A1, A2,..., Ak là các toán tử tuyến tính trên không gian véctơ n chiều
 V sao cho A1 + A2 + ... + Ak = I. Chứng minh rằng nếu các điều kiện sau là tương đương
 1. A1,..., Ak là các toán tử chiếu.
56 Chương 4. Các ma trận có dạng đặc biệt
 2. A A = 0 với mọi i = j.
 i j 6
 3. rank A1 + ... + rank Ak = n.
 Bài tập 4.41. Cho A1, A2,..., Ak là các ma trận lũy đẳng. Chứng minh rằng nếu A1 +
 A + ... + A = I thì A A = 0 với mọi i = j.
 2 k i j 6
 7. Ma trận đối hợp 57
 §7. MA TRẬN ĐỐI HỢP
Định nghĩa 4.39. Toán tử tuyến tính (hoặc ma trận) A được gọi là đối hợp nếu A2 = I.
 Dễ dàng kiểm chứng rằng P là ma trận lũy đẳng nếu và chỉ nếu 2P I là ma trận đối hợp.
 −
 Định lý 4.40. Tồn tại một cơ sở của không gian sao cho ma trận của toán tử đối hợp có
 dạng diag( 1,..., 1).
 ± ±
 Chú ý 4.41. Nếu A là toán tử đối hợp thì V = Ker(A + I) Ker(A I).
 ⊕ −
 Định lý 4.42 (Djokovíc, 1967). Ma trận A có thể biểu diễn được dưới dạng tích của 2 ma
 1
 trận đối hợp nếu và chỉ nếu các ma trận A và A− là đồng dạng.
 Hệ quả 4.43. Nếu B là một ma trận khả nghịch sao cho XT BX = B thì X có thể biểu diễn
được dưới dạng tích của 2 ma trận đối hợp. Nói riêng, mọi ma trận trực giao đều có thể
biểu diễn được dưới dạng tích của 2 ma trận đối hợp.
 1
 Bài tập 4.42. Chứng minh rằng A là ma trận đối hợp nếu và chỉ nếu 2 (I + A) là ma trận
lũy đẳng.
58 Chương 4. Các ma trận có dạng đặc biệt
 §8. MA TRẬN HOÁN VỊ (HAY CÒN GỌI LÀ MA TRẬN GIAO
 HOÁN)
 8.1 Định nghĩa
 c0 c1 c2 ... cn 1
 −
 cn 1 c0 c1 ... cn 2
  − − 
 Định nghĩa 4.44. Ma trận hoán vị là ma trận có dạng C = cn 2 cn 1 c0 ... cn 3
  − − − 
  . . . .. . 
  . . . . . 
  
  c c c ... c 
  1 2 3 0 
 0 1 0 ... 0  
  0 0 1 ... 0 
 . . . .. .
 Ma trận P =  . . . . .  được gọi là ma trận hoán vị cơ sở.
  . 
  .. 
  0 0 0 1 
  
  1 0 0 ... 0 
  
  
 8.2 Bài tập
 n T 1
 Bài tập 4.43. Chứng minh rằng P = I; P = P− . Tìm các giá trị riêng của P.
 n 1
 Bài tập 4.44. Cho f (x)= c0 + c1x + ... + cn 1x − . Chứng minh rằng
 −
 a. C = f (P)
 b. Các giá trị riêng của C là f (ωk), k = 0,1,..., n 1. với ω là căn bậc n của 1.
 −
 n 1
 c. det C = ∏− f (ωi)
 i=0
 Bài tập 4.45. Cho A, B là các ma trận hoán vị. Chứng minh rằng A và B giao hoán và AB
 cũng là một ma trận hoán vị.
 Bài tập 4.46. Cho A là một ma trận hoán vị. Chứng minh rằng rank(Ak) = rank(A) với
 mọi k.
 CHƯƠNG 5
 CÁC BẤT ĐẲNG THỨC MA TRẬN
 §1. CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CHO MA TRẬN ĐỐI XỨNG VÀ
 HERMITIAN
 1.1 Các định lý cơ bản
 Định nghĩa 5.1. Cho A, B là các ma trận Hermitian. Ta viết A > B (tương ứng A B)
 ≥
 nếu A B là ma trận xác định dương (tương ứng xác định không âm).
 −
 1 1
 Định lý 5.2. Nếu A > B > 0 thì A− < B− .
 Định lý 5.3. Nếu A > 0 thì A + A 1 2I.
 − ≥
 Định lý 5.4. Nếu A là ma trận thực và A > 0 thì
 1
 (A− x, x)= max(2(x, y) (Ay, y)).
 y −
 A1 B
Định lý 5.5. Cho A = > 0. Khi đó det A det A1 det A2.
 B∗ A2! ≤
 Hệ quả 5.6 (Bất đẳng thức Hadamard). Nếu A = (aij) là ma trận xác định dương, thì
 det A a a ... a và dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi A là ma trận đường chéo.
 ≤ 11 22 nn
 Hệ quả 5.7. Nếu X là một ma trận bất kì, thì
 2 2
 det X ∑ x1i ... xni .
 | |≤ i | | | |
 59
60 Chương 5. Các bất đẳng thức ma trận
 A B
 Định lý 5.8. Cho A = 1 > 0 là ma trận xác định dương, ở đó B là một ma trận
 B∗ A2!
 vuông. Khi đó det B 2 det A det A .
 | | ≤ 1 2
 Định lý 5.9. Cho αi > 0, ∑ αi = 1 và Ai > 0. Khi đó
 α A + ... + α A A α1 ... A αk .
 | 1 1 k k|≥| 1| | k|
 Định lý 5.10. Cho λ là các số phức bất kì và A 0. Khi đó
 i i ≥
 det(λ A + ... + λ A ) det( λ A + ... + λ A ).
 | 1 1 k k |≤ | 1| 1 | k| k
 Định lý 5.11. Cho A và B là các ma trận thực xác định dương, và A1, B1 là các ma trận
 thu được từ ma trận A, B tương ứng bằng cách xóa đi các hàng đầu tiên và cột đầu tiên
 của nó. Khi đó
 A + B A B
 | | | | + | |
 A + B ≥ A B
 | 1 1| | 1| | 1|
 1.2 Bài tập
 Bài tập 5.1. Cho A và B là các ma trận vuông cấp n > 1, ở đó A > 0 và B 0. Chứng
 ≥
 minh rằng A + B A + B và dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi B = 0.
 | |≥| | | |
 Bài tập 5.2. Cho A và B là các ma trận Hermitian và A > 0. Chứng minh rằng det A
 ≤
 det(A + iB) và dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi B = 0.
 | |
 Bài tập 5.3. Cho Ak và Bk là các ma trận con cấp k ở phía trên, góc trái của các ma trận
 xác định dương A và B sao cho A > B. Chứng minh rằng
 A > B .
 | k| | k|
 Bài tập 5.4. Cho A và B là các ma trận thực đối xứng và A 0. Chứng minh rằng nếu
 ≥
 C = A + iB là ma trận không khả nghịch, thì Cx = 0 với x là một véctơ thực khác 0 nào
 đó.
 Bài tập 5.5. Cho A là ma trận vuông cấp n và A > 0. Chứng minh rằng
 1
 A 1/n = min tr(AB),
 | | n
 ở đó giá trị nhỏ nhất được lấy trên tất cả các ma trận B xác định dương có định thức bằng
 1.
 Bài tập 5.6. Cho A là ma trận thực đối xứng xác định dương. Chứng minh rằng
 0 x1 ... xn
 x1 
 det . 0
 . ≤
  . A 
  
 x 
  n 
  
 2. Các bất đẳng thức cho trị riêng 61
 §2. CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CHO TRỊ RIÊNG
 2.1 Các bất đẳng thức cơ bản
 Định lý 5.12 (Bất đẳng thức Schur). Cho λ1,..., λn là các trị riêng của ma trận A =
 n
 (aij)1 . Khi đó
 n n
 2 2
 ∑ λi ∑ aij ,
 i=1 | | ≤ i,j=1 | |
 và dấu bằng xảy ra nếu và chỉ nếu A là một ma trận chuẩn tắc.
 Định lý 5.13. Cho λ1,..., λn là các trị riêng của ma trận A = B + iC, ở đó B và C là các
ma trận Hermitian. Khi đó
 n n n n
 2 2 2 2
 ∑ Re λi ∑ bij và ∑ Im λi ∑ cij .
 i=1 | | ≤ i,j=1 | | i=1 | | ≤ i,j=1 | |
 Định lý 5.14 (H. Weyl). Cho A và B là các ma trận Hermitian, C = A + B. Cho các trị
 riêng của các ma trận trên được xếp theo thứ tự tăng dần lần lượt là α ... α ,
 1 ≤ ≤ n
 β ... β , γ ... γ . Khi đó
 1 ≤ ≤ n 1 ≤ ≤ n
 a) γi αj + βi j+1 với i j,
 ≥ − ≥
 b) γi αj + βi j+n với i j.
 ≤ − ≤
 B C
 Định lý 5.15. Cho A = là một ma trận Hermitian. Giả sử các trị riêng của A
 C∗ D!
 và B được xếp theo thứ tự tăng dần sau: α ... α , β ... β . Khi đó
 1 ≤ ≤ n 1 ≤ ≤ m
 αi βj αi+n m.
 ≤ ≤ −
Định lý 5.16. Cho A và B là các phép chiếu Hermitian, nghĩa là A2 = A và B2 = B. Khi
 đó các trị riêng của AB là thực và nằm trong khoảng [0,1].
 Định nghĩa 5.17. Các giá trị σi = √µi,ởđó µi là các trị riêng của ma trận A∗ A, được gọi
là các giá trị kì dị của ma trận A.
 Chú ý 5.18. Nếu A là một ma trận Hermitian xác định không âm thì các giá trị kì dị của
 A và các trị riêng của A là trùng nhau. Nếu A = SU là phân tích trong tọa độ cực của
 A, thì các giá trị kì dị của A trùng với các trị riêng của ma trận S. Với ma trận S, tồn tại
 một ma trận unita V sao cho S = VΛV∗, ở đó Λ là ma trận đường chéo. Do đó, mọi ma
 trận A có thể được biểu diễn dưới dạng A = VΛW, ở đó V và W là các ma trận unita và
 Λ = diag(σ1,..., σn).
62 Chương 5. Các bất đẳng thức ma trận
 Định lý 5.19. Cho σ ,..., σ là các giá trị kì dị của ma trận A, ởđó σ ... σ , và đặt
 1 n 1 ≥ ≥ n
 λ ,..., λ là các trị riêng của ma trận A, với λ ... λ . Khi đó
 1 n | 1|≥ ≥| n|
 λ ... λ σ ... σ với m n.
 | 1 m|≤ 1 m ≤
 Định lý 5.20. Cho σ ... σ là các giá trị kì dị của ma trận A và đặt τ ... τ là
 1 ≥ ≥ n 1 ≥ ≥ n
 các giá trị kì dị của ma trận B. Khi đó
 n
 tr(AB) ∑ σiτi.
 | | ≤ i=1
 2.2 Bài tập
 n
 Bài tập 5.7 (Gershgorin discs). Chứng minh rằng mọi trị riêng của ma trận (aij)1 nằm
 trong một trong các đĩa sau akk z ρk,ởđó ρk = ∑ akj .
 | − |≤ i=j | |
 6
 Bài tập 5.8. Chứng minh rằng nếu U là một ma trận unita và S 0, thì tr(US) tr S.
 ≥ | | ≤
 Bài tập 5.9. Chứng minh rằng nếu A và B là các ma trận xác định không âm, thì
 tr(AB) tr A. tr B.
 | | ≤
 Bài tập 5.10. Cho A và B là các ma trận Hermitian. Chứng minh rằng
 tr(AB)2 tr(A2B2).
 ≤
 Bài tập 5.11 (Cullen, 1965). Chứng minh rằng lim Ak = 0 nếu và chỉ nếu một trong các
 k ∞
 điều kiện sau được thỏa mãn: →
 a) giá trị tuyệt đối của các trị riêng của A nhỏ hơn 1;
 b) tồn tại một ma trận xác định dương H sao cho H A HA > 0.
 − ∗
 Giá trị kì dị
 Bài tập 5.12. Chứng minh rằng nếu tất cả các giá trị kì dị của ma trận A là bằng nhau,
 thì A = λU,ởđó U là một ma trân unita.
 Bài tập 5.13. Chứng minh rằng nếu các giá trị kì dị của ma trận A bằng σ1,..., σn, thì
 các giá trị kì dị của ma trận adj A bằng Πi=1σi,..., Πi=nσi.
 6 6
 Bài tập 5.14. Cho σ1,..., σn là các giá trị kì dị của ma trận A. Chứng minh rằng các trị
 0 A
 riêng của ma trận bằng σ1,..., σ, σ1,..., σn.
 A∗ 0 ! −
 CHƯƠNG 6
 ĐA THỨC
63