Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê - Bài 1: Biến cố và xác suất

, và vì thế 
 phủ nhận nhà sản xuất, thì ta cũng có thể có sai lầm. 
 Nguyên lý chỉ đề cập “trong một phép thử” chứ không phải thực hiện thật nhiều 
 phép thử. Chẳng hạn trong ví dụ trên, nếu ta kiểm tra liên tiếp thật nhiều sản phẩm 
 cho đến khi tìm được sản phẩm hỏng để bác bỏ sự khẳng định của nhà sản xuất, thì 
 đó không phải dựa trên suy luận của nguyên lý xác suất nhỏ. 
 Trong thực tế, việc xem xét một mức xác suất được coi là rất nhỏ hoặc rất lớn sẽ tùy thuộc 
 vào từng bài toán cụ thể. Xác suất để một chiếc xe buýt đến bến muộn là 0,05 có thể được 
 coi là rất nhỏ nhưng xác suất để chiếc xe đó bị cháy rụi là 0,05 thì lại là quá lớn. 
1.6. Mối quan hệ giữa các biến cố 
 Tình huống dẫn nhập và các bài toán đặt ra ở trên có cấu trúc tương đối đơn giản, chỉ 
 còn có một sự kiện xảy ra trong một bối cảnh đơn nhất. Trong thực tế các biến cố 
 phức tạp hơn, có thể là kết hợp của hai hoặc nhiều sự kiện, trong những bối cảnh khác 
 nhau. Khi đó việc tính các xác suất trở nên khó khăn hơn. Để tính được xác suất của 
 biến cố phức tạp, ta phân tách thành các biến cố đơn giản hơn và tính toán trên từng 
 phần đơn giản đó, rồi kết hợp lại để có được kết quả cuối. 
 Ví dụ 1.14. Sử dụng ví dụ 1.7: Trong công ty có người học Kinh tế, có người học 
 Ngoại ngữ, có người học cả hai và cũng có người không học ngành nào trong hai 
 ngành trên. Khi đó nếu xét các biến cố A là “có học về Kinh tế”; B là “có học về 
 Ngoại ngữ” thì khi đề cập đến các biến cố “có học cả hai ngành”, “có học ít nhất một 
 ngành”, “chỉ học đúng một ngành”, “không học ngành nào trong hai ngành” có thể 
 được mô tả qua biến cố A và B hay không? Khi chọn ngẫu nhiên lần lượt hai người, 
 tùy thuộc và người thứ nhất có học ngành nào hay không mà muốn chọn người thứ hai 
 phải học ngành khác, thì mô tả và tính xác suất biến cố “người thứ hai học Kinh tế khi 
14 TXTOKT02_Bai1_v1.0014109205 
 Bài 1: Biến cố và xác suất 
 người thứ nhất học Ngoại ngữ” hay biến cố “người thứ hai không học ngành giống 
 của người thứ nhất” sẽ được thể hiện thế nào? 
 Để hiểu được sự phân tách và kết hợp các biến cố như trên, ta xét việc mô tả mối quan 
 hệ giữa các biến cố, để chuẩn bị cho bài giảng sau. 
1.6.1. Tích các biến cố 
 Khi tổng hợp hai biến cố, cần xét trường hợp các biến cố này và biến cố kia cùng đồng 
 thời xảy ra, khi đó ta có khái niệm biến cố tích (hay còn gọi là giao của hai biến cố). 
 Định nghĩa 1.6 – Biến cố tích: Biến cố C được gọi là tích của hai biến cố A và B, ký 
 hiệu là C = A.B nếu C xảy ra khi cả hai biến cố A và B cùng xảy ra. 
 Có thể mô tả trên hình vẽ như trong hình 1.2. 
 A 
 B 
 C = A.B  
 Hình 1.2. Tích hai biến cố 
 Trong hình 1.2, biến cố A được tương ứng với hình tròn bên trái, biến cố B tương ứng 
 với hình tròn bên phải, thì tích của A và B là phần giao nhau, hình cái lá giữa hai hình 
 tròn đó. C xảy ra khi cả A và B đồng thời xảy ra. 
 Ví dụ 1.15. Một người đầu tư vào hai dự án. 
 Đặt A là biến cố “dự án thứ nhất có lãi”; 
 B là biến cố “dự án thứ hai có lãi”; 
 C là biến cố “cả hai dự án cùng có lãi”. 
 Ta thấy, biến cố C xảy ra khi cả hai biến cố A và B cùng xảy ra. Vì vậy: C = A.B 
 Mở rộng: Biến cố A được gọi là tích của n biến cố A1, A2 An, ký hiệu là 
 n
 A  Ai nếu A xảy ra khi tất cả các biến cố A1, A2 An cùng xảy ra. 
 i 1
 Ví dụ 1.16. Nhà đầu tư đánh giá n dự án. 
 Đặt: Ai là biến cố “dự án thứ i có lãi”, i = 1, 2, 3 
 A là biến cố “cả n dự án cùng có lãi”. 
 Ta thấy, biến cố A xảy ra khi cả n biến cố A1, A2 An cùng xảy ra. 
 n
 Vì vậy: A  Ai 
 i 1
 Định nghĩa 1.7 – Tính độc lập: Hai biến cố A và B được gọi là độc lập với nhau nếu 
 việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không làm thay đổi xác suất xảy ra của 
 biến cố kia và ngược lại. 
TXTOKT02_Bai1_v1.0014109205 15 
 Bài 1: Biến cố và xác suất 
 Trong trường hợp việc biến cố này xảy ra hay không xảy ra làm thay đổi xác suất xảy 
 ra của biến cố kia thì hai biến cố đó được gọi là phụ thuộc nhau. 
 Ví dụ 1.17. Một hộp đựng 10 sản phẩm trong đó có 6 chính phẩm và 4 phế phẩm. 
 Người ta lần lượt lấy ra 2 sản phẩm theo hai phương thức: 
 (a) lấy có hoàn lại (nghĩa là lấy ra một sản phẩm rồi bỏ sản phẩm đó trở lại hộp, rồi 
 lấy sản phẩm thứ hai). 
 (b) lấy không hoàn lại (nghĩa là lấy ra một sản phẩm, giữ bên ngoài hộp, rồi lấy sản 
 phẩm thứ hai). 
 Đặt: A là biến cố “Lấy được chính phẩm ở lần thứ nhất”. 
 B là biến cố “Lấy được chính phẩm ở lần thứ hai” . 
 Ta sẽ xem xét mối quan hệ độc lập và phụ thuộc giữa hai biến cố A và B trong hai 
 phương thức lấy này. 
 (a) Trong phương thức lấy có hoàn lại: Do sản phẩm lấy lần đầu được bỏ trở lại hộp 
 mới tiếp tục lấy sản phẩm thứ hai nên việc lần thứ nhất có lấy được chính phẩm 
 hay không sẽ không làm thay đổi khả năng lấy được chính phẩm ở lần thứ hai. Có 
 nghĩa là, việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố A không làm thay đổi xác suất 
 xảy ra của biến cố B. Cũng vậy, việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố B không 
 làm thay đổi xác suất xảy ra của biến cố A. Vì vậy, trong trường hợp này A và B 
 là độc lập với nhau. 
 (b) Phương thức lấy không hoàn lại: Do sản phẩm lấy lần đầu không được bỏ trở lại 
 hộp và tiếp tục lấy sản phẩm thứ hai nên việc lần thứ nhất có lấy được chính phẩm 
 hay không sẽ làm thay đổi khả năng lấy được chính phẩm ở lần thứ hai. Có nghĩa 
 là, việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố A sẽ làm thay đổi xác suất xảy ra của 
 biến cố B. Vì vậy, trong trường hợp này A và B là phụ thuộc nhau. 
 Mở rộng: Các biến cố A1, A2 An được gọi là độc lập toàn phần với nhau nếu mỗi 
 biến cố bất kỳ trong n biến cố trên độc lập với một tổ hợp bất kỳ của các biến cố còn lại. 
 Ví dụ 1.18. Tung một đồng xu n lần, gọi Ai = (Đồng xu xuất hiện mặt ngửa ở lần tung 
 thứ i), i = 1,2 n khi đó các biến cố A1, A2 An độc lập toàn phần với nhau. 
1.6.2. Tổng các biến cố 
 Định nghĩa 1.8 – Biến cố tổng: Biến cố C được gọi là tổng của hai biến cố A và B, 
 ký hiệu là C = A + B, nếu C xảy ra khi có ít nhất một trong hai biến cố A hoặc B xảy ra. 
 Có thể minh họa biến cố tổng trong hình 1.3. 
 A B 
  
 C = A + B 
 Hình 1.3. Tổng hai biến cố 
16 TXTOKT02_Bai1_v1.0014109205 
 Bài 1: Biến cố và xác suất 
 Trong hình 1.3, biến cố tổng C gồm toàn bộ phần hình số 8 do A và B bao phủ. Như 
 vậy có thể thấy C gồm phần chỉ có A mà không có B, chỉ có B mà không có A, và 
 phần chung của A và B. 
 Lưu ý: cụm từ “A hoặc B” dễ bị nhầm lẫn là “chỉ là A hoặc chỉ là B”. Ở đây phải hiểu 
 “A hoặc B” là ít nhất một trong hai. 
 Ví dụ 1.19. Một người đi chào hàng ở hai nơi (và chỉ ở hai nơi, không có nơi nào 
 khác nữa). 
 Đặt: A là biến cố “nơi thứ nhất đặt hàng” 
 B là biến cố “nơi thứ hai đặt hàng” 
 C là biến cố “có đơn đặt hàng” 
 Ta thấy, biến cố C xảy ra khi có ít nhất một trong hai biến cố A hoặc B xảy ra. 
 Vì vậy: C = A + B 
 Mở rộng: Biến cố A được gọi là tổng của n biến cố A1, A2 An, ký hiệu là 
 n
 A  Ai nếu A xảy ra khi có ít nhất một trong n biến cố xảy ra. 
 i 1
 Ví dụ 1.20. Người đi chào hàng ở n nơi. 
 Đặt: Ai là biến cố “nơi thứ i đặt hàng” với i = 1, 2,.., n 
 A là biến cố “có nơi đặt hàng” hay “có ít nhất một nơi đặt hàng” 
 Ta thấy, A xảy ra khi có ít nhất 1 trong n biến cố A1, A2 An xảy ra. 
 n
 Vì vậy: A  Ai 
 i 1
 Định nghĩa 1.9 – Tính xung khắc: Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc với 
 nhau nếu chúng không thể cùng xảy ra trong một phép thử. 
 Trong trường hợp chúng có thể cùng xảy ra trong một phép thử thì gọi là hai biến cố 
 không xung khắc. Khi A và B xung khắc thì biến cố tích của chúng là không thể xảy ra: 
 A và B xung khắc A.B =  
 Có thể mô tả hai biến cố xung khắc trong hình 1.4. 
 Trong hình 1.4, hai hình tròn A và B không có điểm chung, phần giao giữa chúng 
 bằng rỗng. 
 A B 
 A.B =   
 Hình 1.4. Hai biến cố xung khắc 
 Ví dụ 1.21: Khi gieo một con xúc sắc thì biến cố A là “xuất hiện mặt một chấm” và 
 biến cố B là “xuất hiện mặt hai chấm” là xung khắc với nhau, vì chúng không thể 
 cùng xảy ra trong phép thử này. 
TXTOKT02_Bai1_v1.0014109205 17 
 Bài 1: Biến cố và xác suất 
 Ví dụ 1.22. Với kết quả cuối cùng về lợi nhuận của một dự án đầu tư thì biến cố “có 
 lãi” và biến cố “bị lỗ” là hai biến cố xung khắc, vì với một dự án không thể cùng vừa 
 có lãi vừa là bị lỗ. 
 Tuy nhiên nếu với hai dự án đầu tư khác nhau, biến cố “dự án thứ nhất có lãi” và biến 
 cố “dự án thứ hai bị lỗ” là không xung khắc, vì chúng có thể cùng xảy ra. 
 Mở rộng: Nhóm các biến cố A1, A2 An được gọi là xung khắc từng đôi nếu bất kỳ 
 hai biến cố trong n biến cố đều xung khắc với nhau. 
 Ví dụ 1.23. Gieo một con xúc sắc cân đối và đồng chất. 
 Đặt Ai là biến cố “xuất hiện mặt i chấm”, với i = 1,2,,6 khi đó các biến cố A1; 
 A2;; A6 được gọi là xung khắc từng đôi vì 2 biến cố bất kì trong 6 biến cố này đều 
 xung khắc với nhau. 
 Định nghĩa 1.10 – Nhóm đầy đủ: Các biến cố A1, A2 An được gọi là một nhóm đầy 
 đủ các biến cố nếu trong kết quả của một phép thử sẽ xảy ra một và chỉ một trong các 
 biến cố đó. 
 Về mặt khái niệm, các biến cố A1, A2 An tạo nên một nhóm đầy đủ nếu chúng xung 
 n
 khắc từng đôi và tổng của chúng là một biến cố chắc chắn (  Ai  ). 
 i 1
 Nói một cách đơn giản hơn, một nhóm biến cố là đầy đủ nếu chúng lấp đầy toàn bộ 
 các trường hợp và không có phần nào trùng lặp nhau. 
 Có thể minh họa nhóm đầy đủ các biến cố trong hình 1.5. 
 A1 A A A A A A A A A A
 2 3 4 1 2 3 1 2 3 4 
 A5 
 (a) (b) (c) 
 Hình 1.5. Minh họa nhóm đầy đủ và không phải nhóm đầy đủ 
 Trong hình 1.5, hình (a) các biến cố A1, A2, A3, A4 tạo thành nhóm đầy đủ, chúng 
 riêng biệt nhau và lấp đầy toàn bộ mọi khoảng trống. Hình (b) các biến cố A1, A2, A3 
 không tạo thành nhóm đầy đủ vì chúng không lấp đầy toàn bộ. Hình (c) A1, A2, A3, 
 A4, A5 không tạo thành nhóm đầy đủ vì tuy chúng lấp đầy toàn bộ nhưng lại có phần 
 trùng nhau. 
 Ví dụ 1.24. Với kết quả cuối cùng về lợi nhuận của một dự án đầu tư: 
 Các biến cố: “có lãi”, “hòa vốn”, “bị lỗ” tạo thành nhóm đầy đủ. 
 Các biến cố: “có lãi”, “hòa vốn” không tạo thành nhóm đầy đủ. 
 Các biến cố: “có lãi”, “hòa vốn”, “bị lỗ”, “lãi trên 1 tỷ” không tạo thành nhóm đầy đủ. 
 Các biến cố: “có lãi”, “không có lãi” tạo thành nhóm đầy đủ. 
18 TXTOKT02_Bai1_v1.0014109205 
 Bài 1: Biến cố và xác suất 
 Ví dụ 1.25. Gieo một con xúc sắc cân đối và đồng chất. 
 Đặt Ai là biến cố “xuất hiện mặt i chấm”, với i = 1, 2,, 6 
 Ta thấy, trong kết quả của phép thử sẽ xảy ra một và chỉ một trong 6 biến cố A1, A2 A6. 
 Vì vậy, nhóm biến cố A1, A2 A6 tạo thành một nhóm đầy đủ các biến cố. 
 Định nghĩa 1.11 – Biến cố đối lập: Hai biến cố gọi là đối lập với nhau nếu chúng tạo 
 nên một nhóm đầy đủ các biến cố. 
 A 
 Ā 
  
 Hình 1.6. Hai biến cố đối lập 
 Ký hiệu biến cố đối lập của A là Ā. 
 Hay nói cách khác: hai biến cố đối lập là khi thực hiện một phép thử thì sẽ xảy ra một 
 và chỉ một trong hai biến cố đó. 
 Như vậy A.Ā =  và A + Ā = . 
 Có thể minh họa hai biến cố đối lập qua hình 1.6. Trong hình này biến cố đối lập của 
 A là toàn bộ phần bên ngoài hình tròn A. 
 Ví dụ 1.26. Với một người đi thi, biến cố đối lập của “đỗ” là biến cố “trượt”. 
 Tuy nhiên với nhiều người đi thi, biến cố đối lập của “tất cả cùng đỗ” không phải là 
 “tất cả cùng trượt”. 
 Biến cố đối lập của “tất cả cùng đỗ” là “có ít nhất một người trượt” (hay “không phải 
 tất cả cùng đỗ”). 
 Đây là chỗ hay nhầm lẫn của sinh viên về biến cố đối lập. 
 Ví dụ 1.27. Với kết quả lợi nhuận của một dự án đầu tư, biến cố đối lập của “có lãi” là 
 “không có lãi”, hoặc “hòa vốn hoặc lỗ”. 
 Khi đầu tư vào 4 dự án, biến cố đối lập của “tất cả các dự án cùng có lãi” là “có ít nhất 
 một dự án không có lãi”. 
 Ví dụ 1.28. Với thông tin về người lao động tại một công ty như trong ví dụ 1.7, 
 người lao động có thể học về Kinh tế hoặc không, có thể học Ngoại ngữ hoặc không. 
 Khi chọn ngẫu nhiên một người lao động: 
 Đặt A là biến cố “có học về Kinh tế”; 
 Đặt B là biến cố “có học về Ngoại ngữ”. 
 Khi đó ta có bảng: 
 Ngành học Có học ngoại ngữ (B) Không học ngoại ngữ (B) 
 A.B 
 Có học kinh tế (A) A.B 
 (25 người) (7 người) 
 Không học về kinh tế (Ā) A.B A.B 
 (15 người) (3 người) 
TXTOKT02_Bai1_v1.0014109205 19 
 Bài 1: Biến cố và xác suất 
 Khi đó mô tả các biến cố như sau: 
 Biến cố Ā là “không học về kinh tế” 
 Biến cố B là “không học về ngoại ngữ” 
 Biến cố A.B là “học cả hai ngành” 
 Biến cố A + B là “học ít nhất một ngành” 
 Biến cố A.B là “không học ngành nào” 
 Biến cố “chỉ học kinh tế” là A.B 
 Biến cố “chỉ học ngoại ngữ” là A.B 
 Biến cố “chỉ học đúng một ngành” là A.B + A.B 
 Cũng nhận thấy các mối quan hệ như sau: 
 A và B không xung khắc. 
 A.B và A.B xung khắc; A.B và A.B xung khắc. 
 Các biến cố: A.B, A.B , A.B , A.B tạo thành nhóm đầy đủ. 
 A + B = A.B + A.B + A.B (biến cố tổng “A hoặc B” gồm: “cả A và B” + “chỉ có 
 A” + “chỉ có B”). 
20 TXTOKT02_Bai1_v1.0014109205 
 Bài 1: Biến cố và xác suất 
Tóm lược cuối bài 
 Để quan sát một hiện tượng nào đó có xảy ra hay không ta cần thực hiện phép thử. Hiện 
 tượng có thể xảy ra hoặc không xảy ra trong kết quả của phép thử được gọi là biến cố. 
 Khả năng xảy ra biến cố trong phép thử gọi là xác suất của biến cố đó. 
 Đối với các biến cố giản đơn có thể tìm xác suất bằng định nghĩa cổ điển với điều kiện là các 
 kết cục của phép thử phải là hữu hạn và đồng khả năng. Với phương pháp liệt kê, ta đếm số 
 lượng các phần tử và tính xác suất theo công thức cổ điển. Với trường hợp lấy nhiều phần tử, 
 phải áp dụng công thức tổ hợp để tính số kết cục. 
 Khi các kết cục của phép thử là không đồng khả năng hoặc không hữu hạn thì có thể dùng 
 định nghĩa thống kê về xác suất nếu có thể tiến hành một số lớn các phép thử. 
 Một biến cố phức hợp thường được biễu diễn thông qua tích hoặc tổng của các biến cố giản 
 đơn. Khi một biến cố được biểu diễn qua tích của các biến khác thì cần xem xét tính độc lập 
 và phụ thuộc giữa các biến cố đó. Khi một biến cố được biểu diễn qua tổng của các biến cố 
 khác thì cần xem xét tính xung khắc, không xung khắc của các biến cố đó. 
TXTOKT02_Bai1_v1.0014109205 21 
 Bài 1: Biến cố và xác suất 
Câu hỏi ôn tập 
1. Thế nào là phép thử, thế nào là kết cục và biến cố? 
2. Thế nào là xác suất? Xác suất có lớn hơn 1 hoặc nhỏ hơn 0 được không? 
3. Xác suất là khách quan hay chủ quan? 
4. Công thức tính xác suất theo định nghĩa cổ điển như thế nào? 
5. Để tính xác suất theo định nghĩa cổ điển cần lưu ý điều kiện gì? 
6. Công thức và cách tính tổ hợp như thế nào? 
7. Tại sao phải dùng định nghĩa thống kê về xác suất trong nhiều trường hợp? 
8. Tần suất là gì? 
9. Nguyên lý xác suất nhỏ và lớn cho biết điều gì? 
10. Thế nào là tích của hai biến cố, là tích của nhiều biến cố? 
11. Thế nào là tổng của hai biến cố, là tổng của nhiều biến cố? 
12. Thế nào là hai biến cố độc lập? 
13. Thế nào là hai biến cố xung khắc? 
14. Thế nào là nhóm đầy đủ các biến cố? 
15. Hai biến cố đối lập là gi? 
22 TXTOKT02_Bai1_v1.0014109205