Bài giảng Giải tích II - Chương 6: Tích phân mặt - Nguyễn Văn Quang

Cho hàm 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) xác định trên mặt cong 𝑆.

Chia 𝑆 thành 𝑛 mặt con: 𝑆1, 𝑆2, , 𝑆𝑛 rời nhau (không chồng lên nhau).

Diện tích tương ứng: ∆𝑆1, ∆𝑆2, , ∆𝑆𝑛.

Trên mỗi mặt 𝑆𝑖 lấy điểm 𝑀𝑖(𝑥𝑖, 𝑦𝑖, 𝑧𝑖) tùy ý.

Lập tổng Riemann

Bài giảng Giải tích II - Chương 6: Tích phân mặt - Nguyễn Văn Quang trang 1

Trang 1

Bài giảng Giải tích II - Chương 6: Tích phân mặt - Nguyễn Văn Quang trang 2

Trang 2

Bài giảng Giải tích II - Chương 6: Tích phân mặt - Nguyễn Văn Quang trang 3

Trang 3

Bài giảng Giải tích II - Chương 6: Tích phân mặt - Nguyễn Văn Quang trang 4

Trang 4

Bài giảng Giải tích II - Chương 6: Tích phân mặt - Nguyễn Văn Quang trang 5

Trang 5

Bài giảng Giải tích II - Chương 6: Tích phân mặt - Nguyễn Văn Quang trang 6

Trang 6

Bài giảng Giải tích II - Chương 6: Tích phân mặt - Nguyễn Văn Quang trang 7

Trang 7

Bài giảng Giải tích II - Chương 6: Tích phân mặt - Nguyễn Văn Quang trang 8

Trang 8

Bài giảng Giải tích II - Chương 6: Tích phân mặt - Nguyễn Văn Quang trang 9

Trang 9

Bài giảng Giải tích II - Chương 6: Tích phân mặt - Nguyễn Văn Quang trang 10

Trang 10

Tải về để xem bản đầy đủ

pdf 98 trang xuanhieu 5220
Bạn đang xem 10 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Giải tích II - Chương 6: Tích phân mặt - Nguyễn Văn Quang", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên

Tóm tắt nội dung tài liệu: Bài giảng Giải tích II - Chương 6: Tích phân mặt - Nguyễn Văn Quang

Bài giảng Giải tích II - Chương 6: Tích phân mặt - Nguyễn Văn Quang
ương tự như đối với tích phân 
 đường loại 2. 
 푃 + 푄 + 푅 = − 푃 + 푄 + 푅 
 푆+ 푆−
 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 53 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Cách tính 
 Nếu 퐅 = 푃( , , )퐢 + 푄( , , )퐣 + 푅( , , )퐤 là trường vector liên tục 
 xác định trên mặt định hướng S, hướng dương của S trùng với vector 
 pháp đơn vị n, thì tích phân mặt của F trên S là: 
 Fd S F  n dS
 SS
 Nếu S được cho bởi hàm vector r(u, v), thì: 
 rr rr 
 F  uvdS F( r (u , v )) uv  r r dudv
 uv
 S rruv D(,) u v rruv 
 F( r (u , v ))  ( r r ) dudv
 uv
 D(,) u v
 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 54 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Cách tính 
Các hàm P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) xác định trên mặt định hướng S : z z ( x , y ).
Vector pháp tuyến đơn vị hướng về phía dương của mặt S: n cos ,cos  ,cos  .
 z z 1
cos x ,cos  y ,cos  
 22 2 2 2 2
 1 z x z y 1 z x z y 1 z x z y 
 dxdy 2 2
 Mặt khác: dS 1. z xy z dxdy
 cos
 Do đó, I P cos Q  cos  R  cos  dS
 S
 P  zxy Q  z R ( 1) dxdy .
 Dxy
 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 55 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Cách tính 
 Cho 푆 là mặt định hướng có phương trình: = ( , ). 
 Hình chiếu của 푆 trên mp Oxy là miền . 
 ′ ′
 Vector pháp tuyến: 퐥 = , , = ±(− , − , 1). 
 Dấu (+) , (-) được chọn sao cho 퐥 hướng về phía dương của mặt S. 
 푃 + 푄 + 푅 = (푃 + 푄 + 푅 ) 
 +
 푆 
 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 56 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Cách tính 
 Cho 푆 là mặt định hướng có phương trình: = ( , ). 
 Hình chiếu của 푆 trên mp Oyz là miền . 
 ′ ′
 Vector pháp tuyến: 퐥 = , , = ±(1, − , − ). 
 Dấu (+) , (-) được chọn sao cho 퐥 hướng về phía dương của mặt S. 
 푃 + 푄 + 푅 = (푃 + 푄 + 푅 ) 
 +
 푆 
 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 57 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Cách tính 
 Cho 푆 là mặt định hướng có phương trình: = ( , ). 
 Hình chiếu của 푆 trên mp Oxz là miền . 
 ′ ′
 Vector pháp tuyến: 퐥 = , , = ±(− , 1, − ). 
 Dấu (+) , (-) được chọn sao cho 퐥 hướng về phía dương của mặt S. 
 푃 + 푄 + 푅 = (푃 + 푄 + 푅 ) 
 +
 푆 
 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 58 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Ví dụ 
 +
 Tính = 푺+ + + . Trong đó 푆 là phía ngoài 
 của mặt cầu: 2 + 2 + 2 = 푅2. 
 Tham số mặt S qua hệ tọa độ cầu: 
 = 푅 표푠휑푠𝑖푛휃
 = 푅푠𝑖푛휑푠𝑖푛휃 ; 0 ≤ 휃 ≤ , 0 ≤ 휑 ≤ 2 
 = 푅 표푠휃
 i j k
 rr  RRsin sin  cos sin  0
 RRRcos cos  sin cos  sin 
 RRR2cos sin 2 i 2 sin sin 2  j 2 sin  cos  k
 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 59 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Ví dụ 
 퐫휑 × 퐫휃 hướng vào trong mặt cầu, ngược hướng với phía ngoài của mặt cầu. 
 Do đó: 
 I F( r ( ,  ))  ( r r ) d d  
  
 D(,) 
 = 푅 표푠휑푠𝑖푛휃. 푅2 표푠휑푠𝑖푛2휃 + 푅푠𝑖푛휑푠𝑖푛휃. 푅2푠𝑖푛휑푠𝑖푛2휃
 휑휃
 + 푅 표푠휃. 푅2푠𝑖푛휃 표푠휃 휑 휃 = 
 2 
 = 푅3푠𝑖푛휃 휑 휃 = 푅3 휑 푠𝑖푛휃 휃 = 4 푅3 
 휑휃 0 0
 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 60 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Ví dụ 
 Tính = 푺+ + + . 
 Trong đó 푆+ là phía ngoài của vật thể được giới hạn bởi các mặt: 
 = 1 − 2 − 2, = 0. 
 = 푺+ + + = 
 = + + + + 
 푺 
 + + + + 
 푺 
 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 61 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
 2 2
푆1: = 1 − − . Do đó: 
 ′ ′
 = −2 , = −2 
Hình chiếu của 푆1 xuống mặt phẳng Oxy là miền: 
 2 2
 = { , : + ≤ 1} 
 + +
푆1 hướng ra ngoài nên vector pháp tuyến của mặt 푆1 : 
 ′ ′
 퐥 = (− , − , 1) 
 + + = + + (1 − 2 − 2) = 
 + +
푺 푺 
 ′ ′ 2 2 2 2
= − . − . + (1 − − ) = 1 + 4 − − 
 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 62 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Chuyển sang hệ tọa độ cực: = 표푠휑, = 푠𝑖푛휑. 
 휑 = { , 휑 : 0 ≤ ≤ 1,0 ≤ 휑 ≤ 2 } 
Do đó: 
 1 + 4 − 2 − 2 = 1 + 4 2 표푠휑푠𝑖푛휑 − 2 . . 휑 = 
 휑
 2 1 2 
 1 
= − 3 + 4 3 표푠휑푠𝑖푛휑 휑 = + 표푠휑푠𝑖푛휑 휑 = 
 4 2
 0 0 0
 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 63 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
푆2: = 0. Do đó: 
 ′ ′
 = = 0 
Hình chiếu của 푆2 xuống mặt phẳng Oxy là miền: 
 2 2
 = { , : + ≤ 1} 
 + + = + + 0. 
 + +
푺 푺 
= . 0 + . 0 + 0. −1 = 0. = 0 
 = + + = 
 2
 푺+
 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 64 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Ví dụ 
 Tính 푺+(2 + ) + (2 + ) + (2 + ) . 
 Trong đó 푆+ là phía phần của mặt phẳng + + = 3 nằm trong hình 
 trụ 2 + 2 = 2 , phía dương là phía dưới nhìn từ hướng dương của Oz. 
 푆: = 3 − − . Do đó: 
 ′ ′
 = = −1. 
 푆+ là phía dưới nhìn từ hướng dương của trục Oz. 
 ′ ′
 Vector pháp tuyến của mặt 푆 có dạng: 퐥 = ( , , −1). 
 2 2
 = , : + ≤ 2 
 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 65 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
 (2 + ) + (2 + ) + (2 + ) = 
푺+
= (2 + ) + (2 + 3 − − ) + (6 − 2 − 2 + ) 
 푺+
 ′ ′
= 2 + + − + 3 − 1. (6 − − 2 ) 
= −9 
= −9. 푆 = −9 
 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 66 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Ví dụ 
 Tính = 푆+ + 
 Trong đó 푆+ là phần của mặt phẳng = 2 − giới hạn bởi mặt 
 = 2 + 2, phía dương là phía dưới nhìn từ hướng dương của trục Oz. 
 푆: = 2 − . Do đó: 
 ′ ′
 = −1, = 0. 
 푆+ là phía dưới nhìn từ hướng dương của trục Oz. 
 ′ ′
 Vector pháp tuyến của mặt 푆 có dạng: 퐥 = ( , , −1). 
 1 9
 = , : 2 + 2 ≤ 2 − = { , : ( + )2+ 2 ≤ } 
 2 4
 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 67 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
 = + = + (2 − ) = 2 =
 푆+ 푆+ 푆+
 2
 3 9 
 = 2. −1. = −2. 푆 = −2 = − 
 2 2
23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 68 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Ví dụ 
 +
 Tính I = 푆+ , trong đó 푆 là phía ngoài của vật thể: 
 Ω: 2 + 2 ≤ 푅2; ≥ 0, ≥ 0, 0 ≤ ≤ ℎ 
 Mặt 푆 được chia thành 5 mặt gồm: 
 • Hai mặt đáy 푆1, 푆2. 
 • Hai mặt bên 푆3, 푆4 nằm trong mp: = 0, = 0. 
 • Mặt trụ cong 푆5. 
 = + = + + 
 푆 푺 
 + + + + + 
 푺 푺 
 + + + + . 
 푺ퟒ 푺 
 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 69 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
푆3: = 0 nên + = (0.0 + 0. −1 + . 0) = 0. 
 푺 
푆4: = 0 nên + = (0. −1 + 0.0 + . 0) = 0. 
 푺ퟒ 
 2 2 ,
푆5: = 푅 − nên + = (0.1 + 0. − + . 0) = 0. 
 푺 
푆1: = 0 nên + = (0.0 + 0.0 + . 0. −1) = 0. 
 푺 
 ′ ′
푆2: = ℎ → = = 0. Vector pháp tuyến của mặt 푆2: 퐥 = (0,0,1) 
 = { , : 2 + 2 ≤ 푅2, ≥ 0, ≥ 0} 
 = + = ℎ 
 푺 
23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 70 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Chuyển sang hệ tọa độ cực: = 표푠휑, = 푠𝑖푛휑. 
 휑 = { , 휑 : 0 ≤ ≤ 푅, 0 ≤ 휑 ≤ /2} 
 = = ℎ 푠𝑖푛휑. . 휑 = 
 +
 푺 휑
 /2 푅
= ℎ 푠𝑖푛휑 휑 2 = 
 0 0
 푅3
= ℎ 
 3
23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 71 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Công thức Stokes 
 Giả sử mặt cong 푆 trơn, định hướng, có biên là đường cong . Hàm số 
 푃, 푄, 푅, và các đạo hàm riêng cấp 1 của chúng liên tục trên mặt 푆 thì: 
 휕푅 휕푄 휕푃 휕푅 휕푄 휕푃
 푃 + 푄 + 푅 = − + − + − 
 휕 휕 휕 휕 휕 휕 
 + 푆+
 Sự phụ hợp về chiều lấy tích phân trên 
 đường cong C và phía dương của mặt S: 
 • Đi theo chiều lấy tích phân trên 
 đường cong C, mặt S nằm ở bên tay 
 trái. 
 • Hướng từ chân lên đầu là hướng của 
 vecto pháp tuyến của mặt S. 
 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 72 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Công thức Stokes 
 Dạng vector: Cho trường vector 퐅 = 푃퐢 + 푄퐣 + 푅퐤, và mặt định hướng 
 S có biên C. 
 퐅 ∙ 퐫 = 푆 퐫퐨퐭퐅 ∙ 퐧 푆 
 Trong đó: 
 rr 
 n uv
 rruv 
 i j k
   
 rotF 
 x  y  z
 PQR
 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 73 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Ví dụ 
 2 2
 Tính = + − + + , trong đó là giao tuyến của 
 mặt 2 + 2 = 1 và mặt + = 2, chiều của như hình vẽ. 
 Ta có 푃 = − 2, 푄 = , 푅 = 2. Áp dụng 
 công thức Stokes: 
 2 2
 = − + + = 푆+ 1 + 2 
 +
 Trong đó 푆 là mặt định hướng, có vector pháp 
 tuyến hướng lên trên, nhìn từ phía dương của 
 trục Oz. 
 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 74 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Ví dụ 
 Do đó: 
 = 푆+ 1 + 2 = ( , ) 1 + 2 
 Chuyển sang hệ tọa độ cực: = 표푠휑, = 푠𝑖푛휑 
 , 휑 = { , 휑 : 0 ≤ 휑 ≤ 2 , 0 ≤ ≤ 1} 
 2 1
 = 1 + 2 푠𝑖푛휑 . . 휑 = 휑 1 + 2 푠𝑖푛휑 
 ( ,휑) 0 0
 2 
 1 2
 = + 푠𝑖푛휑 휑 = 
 2 3
 0
 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 75 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Ví dụ 
 2 2
 Tính = + − + + , trong đó là giao tuyến của 
 mặt 2 + 2 = 1 và mặt + = 2, chiều của như hình vẽ. 
 Cách 2: 
 Tham số đường cong C qua hệ tọa độ trụ: 
 = 표푠휑, = 푠𝑖푛휑, = 2 − 푠𝑖푛휑 
 0 ≤ 휑 ≤ 2 
 2 
 = 푠𝑖푛3휑 + 표푠2휑 − (2 − 푠𝑖푛휑)2 표푠휑 휑 = 
 0
 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 76 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Ví dụ 
 2 2 2
 Tính 3 − + 3 − + 3 − , trong đó C là giao 
 của mặt phẳng 2 + = 2 và mặt paraboloid = 2 + 2 ngược chiều 
 kim đồng hồ nhìn từ phía dương của trục Oz. 
 S là phần mặt 2 + = 2 nằm trong 
 paraboloid. 
 Mặt S có phương trình: = 2 − 2 . 
 S là mặt định hướng, phía trên của mặt S là 
 phía dương, nhìn từ phía dương của trục Oz. 
 Vector pháp tuyến của S là: 퐥 = (2,0,1). 
 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 77 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Ví dụ 
 Theo Stokes: 
 2 2 2
 I (3 xydx ) (3 yzdy ) (3 zxdz )
 C
 RQPRQP      
 dydz dzdx dxdy
 S y  z  z  x  x  y 
 2zdydz 2 xdzdx 2 ydxdy
 S
 2(2 2x )2 2 x .0 2 y dxdy
 Dxy
 2 2
 2  4 4x y dxdy 48 Dxy ( x , y ): x 1 y 3
 Dxy
 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 78 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Ví dụ 
 Tính + + 2 − + , trong đó C là giao của mặt 
 = 2 và mặt 2 + 2 = 1, chiều của ngược chiều kim đồng hồ nhìn 
 từ phía dương của trục Oz. 
 S là phần mặt = 2 nằm trong hình trụ 
 2 + 2 = 1. 
 S là mặt định hướng, phía trên của mặt S 
 là phía dương, nhìn từ phía dương của 
 trục Oz. 
 Vector pháp tuyến của S là: 퐥 = (0, −2 , 1). 
 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 79 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Ví dụ 
 Theo Stokes: 
 I ( x y ) dx (2 x z ) dy ydz
 C
 RQPRQP      
 dydz dzdx dxdy
 S y  z  z  x  x  y 
 2dydz 0 dzdx 1 dxdy
 S
 Vì hình chiếu S xuống Oyz có diện tích bằng 0, nên 2dydz 0 I 1 dxdy
 SS
 I 1 dxdy 
 xy22 1
 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 80 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Ví dụ 
 Tính = + + , trong đó là giao tuyến của mặt cầu: 
 2 + 2 + 2 = 푅2 và mặt phẳng + + = 0, chiều của ngược 
 chiều kim đồng hồ nhìn từ phía dương của trục Oz. 
 Cách 1: S là phần mặt + + = 0 nằm trên mặt cầu 2 + 2 + 2 = 푅2. 
 Ta có: 푃 = , 푄 = , 푅 = . Theo Stokes: 
 = − + + 
 푆
 S là mặt định hướng, phía trên của mặt S là phía 
 dương, nhìn từ phía dương của trục Oz. 
 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 81 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Ví dụ 
 Vector pháp tuyến của 푆: 퐥 = (1,1,1). 
 1 1 1
 Vector pháp tuyến đơn vị của 푆: 퐧 = ( , , ). 
 3 3 3
 = −3 = −3. 푡( ( , )) = −3. 푡 푆 . 표푠훾 
 ( , )
 1
 = −3. 푡 푆 . = − 3 푅2 
 3
 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 82 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Ví dụ 
 Cách 2: Tham số hóa đường cong . 
 Phương trình hình chiếu 1 của trên mp Oxy: 
 2 2 2
 1: + + = 푅 /2. 
 Đưa dạng toàn phương 휔 = 2 + 2 + về dạng chính tắc bằng phép 
 biến đổi trực giao. 
 1 1/2
 Ma trận của dạng toàn phương: = . 
 1/2 1
 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 83 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Ví dụ 
 1 3
 Trị riêng của : det − 휆 = 0 → 휆 = , 휆 = . 
 2 2
 Vector riêng của : det − 휆 = 0, = 1, 2 . 
 1
 휆 = : vector riêng = (−1,1). 
 2
 3
 휆 = : vector riêng = (1,1). 
 2
 1 1 1 1
 Hệ vector riêng trực chuẩn: , , − , . 
 2 2 2 2
 1 1
 −
 2 2
 Ma trận trực giao: 푃 = 1 1 . 
 2 2
 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 84 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Ví dụ 
 Phép đổi biến: = 푃 
 푣
 푣 
 = − = . 표푠 − 푣. 푠𝑖푛
 2 2 4 4
 푣 
 = + = . 푠𝑖푛 + 푣. 표푠
 2 2 4 4
 Phép quay hệ trục Oxy sang Ouv một góc 훼 = 4. 
 Do đó 1 có phương trình: 
 2 2 2
 3 2 1 2 푅 푣
 1: + 푣 = ↔ + = 1. 
 2 2 2 푅 2 푅2
 3
 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 85 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Ví dụ 
 Dùng phép đổi biến qua hệ tọa độ cực suy rộng, đưa Ellipse trên về 
 đường tròn: 
 푅
 = 표푠휑, 푣 = 푅푠𝑖푛휑. 
 3
 Do đó phép đổi biến đưa 1 về đường tròn: 
 푅 표푠휑 푅푠𝑖푛휑 푅 표푠휑 푅푠𝑖푛휑
 = − , = + . 
 6 2 6 2
 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 86 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Ví dụ 
 Vậy phương trình tham số đường cong : 
 푅 표푠휑 푅푠𝑖푛휑 푅 표푠휑 푅푠𝑖푛휑 −2푅 표푠휑
 = − , = + , = − + = 
 6 2 6 2 6
 0 ≤ 휑 ≤ 2 . 
 2 
 표푠휑 푠𝑖푛휑 푠𝑖푛휑 표푠휑 2푅2 표푠휑 표푠휑 푠𝑖푛휑
 = −푅2 + + − −
 6 2 6 2 6 2 6
 0
 2푅2푠𝑖푛휑 표푠휑 푠𝑖푛휑
 + − 휑 
 6 6 2
 = − 3 푅2. 
 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 87 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Công thức Gauss 
 Giả sử là khối đóng, giới nội trong 푅3 có biên là mặt trơn 푆. Nếu 
 các hàm số 푃, 푄, 푅 và các đạo hàm riêng cấp 1 của chúng liên tục trên 
 khối thì: 
 휕푃 휕푄 휕푅
 푃 + 푄 + 푅 = ± + + 
 휕 휕 휕 
 푆+ 
 Dấu + : khi phía dương của mặt S là phía ngoài của khối . 
 Dấu - : khi phía dương của mặt S là phía trong của khối . 
 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 88 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Công thức Gauss 
 Dạng vector: Cho trường vector 퐅 = 푃퐢 + 푄퐣 + 푅퐤 xác định trên mặt 
 định hướng 푆. Ký hiệu: 
 휕푃 휕푄 휕푅
 𝑖푣퐅 = + + 
 휕 휕 휕 
 Khi đó: 
 퐅 ∙ 퐒 = 퐅 ∙ 퐧 푆 = 𝑖푣퐅 
 푆 푆 
 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 89 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Ví dụ 
 +
 Tính = 푆+ + + , trong đó 푆 là phía 
 ngoài của các mặt: + + = 1, = 0, = 0, = 0. 
 Áp dụng công thức Gauss ta có: 
 = + + 
 푆+
 = + + 
 Trong đó khối có các mặt là S. 
 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 90 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Ví dụ 
 = + + 
 1 1− 1− − 
 = + + 
 0 0 0
 1 1− 
 1 1
 = 1 − ( + )2 = 
 2 8
 0 0
 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 91 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Ví dụ 
 3 3 3 +
 Tính = 푆+ + + , trong đó 푆 là phía 
 ngoài của mặt cầu: 2 + 2 + 2 = 푅2. 
 Theo công thức Gauss: 
 2 푅
 = 3 2 + 2 + 2 = 3 휑 휃 휌2휌2푠𝑖푛휃 휌 
 0 0 0
 12 푅5
 = 
 5
 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 92 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Ví dụ 
 2 +
 Tính = 푆+ + − , trong đó 푆 là mặt xung 
 quanh, phía dương là phía ngoài của vật thể được giới hạn bởi các 
 mặt: = 4 − 2, = 0, = 1, = 0. 
 z 
 Theo công thức Gauss: 
 2 
 = 0 + 0 − 1 z=4-y
 1 2 4− 2
= − = − 
 0 −2 0
 1 y 
= −32/3 x 
 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 93 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Ví dụ 
 2 2 2 +
 Tính = 푆+ + + , trong đó 푆 là phía dưới 
 của mặt: = 2 + 2, 0 ≤ ≤ 1 (nhìn từ phía dương trục Oz). 
 푆 chưa phải là mặt kín, nên ta bổ sung thêm mặt . Biên của khối là 
 훿 = 푆 ∪ . Trong đó D là miền hình tròn: 
 = 1, 2 + 2 ≤ 1 
 훿 + là phía ngoài của khối . Theo công thức Gauss ta có: 
 2 + 2 + 2 = 2 + + 
 훿 + 
 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 94 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Ví dụ 
 Chuyển sang hệ tọa độ trụ: = 표푠휑, = 푠𝑖푛휑, = 
 , 휑, = { , 휑, : 0 ≤ 휑 ≤ 2 , 0 ≤ ≤ 1, ≤ ≤ 1} 
 2 + + 
 2 1 1
 = 2 휑 표푠휑 + 푠𝑖푛휑 + = 
 2
 0 0 
 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 95 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Ví dụ 
 Do đó: 
 2 + 2 + 2 = = 
 훿 + 2
 2 2 2
 = 푆+ + + + 
 2 2 2
 + + + + 
 2 2 2
 Suy ra: = 푆+ + + = 
 = − 2 + 2 + 2 . 
 2 +
 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 96 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Ví dụ 
 Pt mặt định hướng : = 1. Phía dương của mặt D là phía trên, do đó 
 vector pháp tuyến của mặt : 퐥 = (0,0,1). Vậy: 
 = − 12. 1 = − = − 푆 = − . 
 2 2 2 2
 Do là đường tròn có 푅 = 1, nên 푆 = . 
 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 97 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Ví dụ 
 +
 Tính = 푆+ + + − + + 1 , trong đó 푆 
 là phía trên của nửa trên mặt cầu: 2 + 2 + 2 = 푅2 (nhìn từ phía 
 dương trục Oz). 
 2 2 2
 Gọi 푆1 là mặt: = 0, + ≤ 푅 , phía dương của 푆1 là phía dưới 
 (nhìn từ phía dương của trục Oz). Theo công thức Gaus: 
 + = 1. ; khối có biên là các mặt 푆 và 푆1. 
 푆 푆1 
 2 푅3 2 푅3
→ = − −1. (0 + 1) = + 
 3 2+ 2≤푅2 3 2+ 2≤푅2
 2 푅3
 = + 푅2 
 3
 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 98 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 

File đính kèm:

  • pdfbai_giang_giai_tich_ii_chuong_6_tich_phan_mat_nguyen_van_qua.pdf