Bài giảng Giải tích II - Chương 6: Tích phân mặt - Nguyễn Văn Quang

ương tự như đối với tích phân 
 đường loại 2. 
 푃 + 푄 + 푅 = − 푃 + 푄 + 푅 
 푆+ 푆−
 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 53 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Cách tính 
 Nếu 퐅 = 푃( , , )퐢 + 푄( , , )퐣 + 푅( , , )퐤 là trường vector liên tục 
 xác định trên mặt định hướng S, hướng dương của S trùng với vector 
 pháp đơn vị n, thì tích phân mặt của F trên S là: 
 Fd S F  n dS
 SS
 Nếu S được cho bởi hàm vector r(u, v), thì: 
 rr rr 
 F  uvdS F( r (u , v )) uv  r r dudv
 uv
 S rruv D(,) u v rruv 
 F( r (u , v ))  ( r r ) dudv
 uv
 D(,) u v
 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 54 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Cách tính 
Các hàm P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) xác định trên mặt định hướng S : z z ( x , y ).
Vector pháp tuyến đơn vị hướng về phía dương của mặt S: n cos ,cos  ,cos  .
 z z 1
cos x ,cos  y ,cos  
 22 2 2 2 2
 1 z x z y 1 z x z y 1 z x z y 
 dxdy 2 2
 Mặt khác: dS 1. z xy z dxdy
 cos
 Do đó, I P cos Q  cos  R  cos  dS
 S
 P  zxy Q  z R ( 1) dxdy .
 Dxy
 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 55 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Cách tính 
 Cho 푆 là mặt định hướng có phương trình: = ( , ). 
 Hình chiếu của 푆 trên mp Oxy là miền . 
 ′ ′
 Vector pháp tuyến: 퐥 = , , = ±(− , − , 1). 
 Dấu (+) , (-) được chọn sao cho 퐥 hướng về phía dương của mặt S. 
 푃 + 푄 + 푅 = (푃 + 푄 + 푅 ) 
 +
 푆 
 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 56 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Cách tính 
 Cho 푆 là mặt định hướng có phương trình: = ( , ). 
 Hình chiếu của 푆 trên mp Oyz là miền . 
 ′ ′
 Vector pháp tuyến: 퐥 = , , = ±(1, − , − ). 
 Dấu (+) , (-) được chọn sao cho 퐥 hướng về phía dương của mặt S. 
 푃 + 푄 + 푅 = (푃 + 푄 + 푅 ) 
 +
 푆 
 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 57 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Cách tính 
 Cho 푆 là mặt định hướng có phương trình: = ( , ). 
 Hình chiếu của 푆 trên mp Oxz là miền . 
 ′ ′
 Vector pháp tuyến: 퐥 = , , = ±(− , 1, − ). 
 Dấu (+) , (-) được chọn sao cho 퐥 hướng về phía dương của mặt S. 
 푃 + 푄 + 푅 = (푃 + 푄 + 푅 ) 
 +
 푆 
 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 58 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Ví dụ 
 +
 Tính = 푺+ + + . Trong đó 푆 là phía ngoài 
 của mặt cầu: 2 + 2 + 2 = 푅2. 
 Tham số mặt S qua hệ tọa độ cầu: 
 = 푅 표푠휑푠𝑖푛휃
 = 푅푠𝑖푛휑푠𝑖푛휃 ; 0 ≤ 휃 ≤ , 0 ≤ 휑 ≤ 2 
 = 푅 표푠휃
 i j k
 rr  RRsin sin  cos sin  0
 RRRcos cos  sin cos  sin 
 RRR2cos sin 2 i 2 sin sin 2  j 2 sin  cos  k
 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 59 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Ví dụ 
 퐫휑 × 퐫휃 hướng vào trong mặt cầu, ngược hướng với phía ngoài của mặt cầu. 
 Do đó: 
 I F( r ( ,  ))  ( r r ) d d  
  
 D(,) 
 = 푅 표푠휑푠𝑖푛휃. 푅2 표푠휑푠𝑖푛2휃 + 푅푠𝑖푛휑푠𝑖푛휃. 푅2푠𝑖푛휑푠𝑖푛2휃
 휑휃
 + 푅 표푠휃. 푅2푠𝑖푛휃 표푠휃 휑 휃 = 
 2 
 = 푅3푠𝑖푛휃 휑 휃 = 푅3 휑 푠𝑖푛휃 휃 = 4 푅3 
 휑휃 0 0
 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 60 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Ví dụ 
 Tính = 푺+ + + . 
 Trong đó 푆+ là phía ngoài của vật thể được giới hạn bởi các mặt: 
 = 1 − 2 − 2, = 0. 
 = 푺+ + + = 
 = + + + + 
 푺 
 + + + + 
 푺 
 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 61 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
 2 2
푆1: = 1 − − . Do đó: 
 ′ ′
 = −2 , = −2 
Hình chiếu của 푆1 xuống mặt phẳng Oxy là miền: 
 2 2
 = { , : + ≤ 1} 
 + +
푆1 hướng ra ngoài nên vector pháp tuyến của mặt 푆1 : 
 ′ ′
 퐥 = (− , − , 1) 
 + + = + + (1 − 2 − 2) = 
 + +
푺 푺 
 ′ ′ 2 2 2 2
= − . − . + (1 − − ) = 1 + 4 − − 
 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 62 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Chuyển sang hệ tọa độ cực: = 표푠휑, = 푠𝑖푛휑. 
 휑 = { , 휑 : 0 ≤ ≤ 1,0 ≤ 휑 ≤ 2 } 
Do đó: 
 1 + 4 − 2 − 2 = 1 + 4 2 표푠휑푠𝑖푛휑 − 2 . . 휑 = 
 휑
 2 1 2 
 1 
= − 3 + 4 3 표푠휑푠𝑖푛휑 휑 = + 표푠휑푠𝑖푛휑 휑 = 
 4 2
 0 0 0
 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 63 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
푆2: = 0. Do đó: 
 ′ ′
 = = 0 
Hình chiếu của 푆2 xuống mặt phẳng Oxy là miền: 
 2 2
 = { , : + ≤ 1} 
 + + = + + 0. 
 + +
푺 푺 
= . 0 + . 0 + 0. −1 = 0. = 0 
 = + + = 
 2
 푺+
 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 64 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Ví dụ 
 Tính 푺+(2 + ) + (2 + ) + (2 + ) . 
 Trong đó 푆+ là phía phần của mặt phẳng + + = 3 nằm trong hình 
 trụ 2 + 2 = 2 , phía dương là phía dưới nhìn từ hướng dương của Oz. 
 푆: = 3 − − . Do đó: 
 ′ ′
 = = −1. 
 푆+ là phía dưới nhìn từ hướng dương của trục Oz. 
 ′ ′
 Vector pháp tuyến của mặt 푆 có dạng: 퐥 = ( , , −1). 
 2 2
 = , : + ≤ 2 
 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 65 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
 (2 + ) + (2 + ) + (2 + ) = 
푺+
= (2 + ) + (2 + 3 − − ) + (6 − 2 − 2 + ) 
 푺+
 ′ ′
= 2 + + − + 3 − 1. (6 − − 2 ) 
= −9 
= −9. 푆 = −9 
 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 66 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Ví dụ 
 Tính = 푆+ + 
 Trong đó 푆+ là phần của mặt phẳng = 2 − giới hạn bởi mặt 
 = 2 + 2, phía dương là phía dưới nhìn từ hướng dương của trục Oz. 
 푆: = 2 − . Do đó: 
 ′ ′
 = −1, = 0. 
 푆+ là phía dưới nhìn từ hướng dương của trục Oz. 
 ′ ′
 Vector pháp tuyến của mặt 푆 có dạng: 퐥 = ( , , −1). 
 1 9
 = , : 2 + 2 ≤ 2 − = { , : ( + )2+ 2 ≤ } 
 2 4
 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 67 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
 = + = + (2 − ) = 2 =
 푆+ 푆+ 푆+
 2
 3 9 
 = 2. −1. = −2. 푆 = −2 = − 
 2 2
23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 68 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Ví dụ 
 +
 Tính I = 푆+ , trong đó 푆 là phía ngoài của vật thể: 
 Ω: 2 + 2 ≤ 푅2; ≥ 0, ≥ 0, 0 ≤ ≤ ℎ 
 Mặt 푆 được chia thành 5 mặt gồm: 
 • Hai mặt đáy 푆1, 푆2. 
 • Hai mặt bên 푆3, 푆4 nằm trong mp: = 0, = 0. 
 • Mặt trụ cong 푆5. 
 = + = + + 
 푆 푺 
 + + + + + 
 푺 푺 
 + + + + . 
 푺ퟒ 푺 
 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 69 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
푆3: = 0 nên + = (0.0 + 0. −1 + . 0) = 0. 
 푺 
푆4: = 0 nên + = (0. −1 + 0.0 + . 0) = 0. 
 푺ퟒ 
 2 2 ,
푆5: = 푅 − nên + = (0.1 + 0. − + . 0) = 0. 
 푺 
푆1: = 0 nên + = (0.0 + 0.0 + . 0. −1) = 0. 
 푺 
 ′ ′
푆2: = ℎ → = = 0. Vector pháp tuyến của mặt 푆2: 퐥 = (0,0,1) 
 = { , : 2 + 2 ≤ 푅2, ≥ 0, ≥ 0} 
 = + = ℎ 
 푺 
23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 70 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Chuyển sang hệ tọa độ cực: = 표푠휑, = 푠𝑖푛휑. 
 휑 = { , 휑 : 0 ≤ ≤ 푅, 0 ≤ 휑 ≤ /2} 
 = = ℎ 푠𝑖푛휑. . 휑 = 
 +
 푺 휑
 /2 푅
= ℎ 푠𝑖푛휑 휑 2 = 
 0 0
 푅3
= ℎ 
 3
23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 71 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Công thức Stokes 
 Giả sử mặt cong 푆 trơn, định hướng, có biên là đường cong . Hàm số 
 푃, 푄, 푅, và các đạo hàm riêng cấp 1 của chúng liên tục trên mặt 푆 thì: 
 휕푅 휕푄 휕푃 휕푅 휕푄 휕푃
 푃 + 푄 + 푅 = − + − + − 
 휕 휕 휕 휕 휕 휕 
 + 푆+
 Sự phụ hợp về chiều lấy tích phân trên 
 đường cong C và phía dương của mặt S: 
 • Đi theo chiều lấy tích phân trên 
 đường cong C, mặt S nằm ở bên tay 
 trái. 
 • Hướng từ chân lên đầu là hướng của 
 vecto pháp tuyến của mặt S. 
 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 72 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Công thức Stokes 
 Dạng vector: Cho trường vector 퐅 = 푃퐢 + 푄퐣 + 푅퐤, và mặt định hướng 
 S có biên C. 
 퐅 ∙ 퐫 = 푆 퐫퐨퐭퐅 ∙ 퐧 푆 
 Trong đó: 
 rr 
 n uv
 rruv 
 i j k
   
 rotF 
 x  y  z
 PQR
 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 73 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Ví dụ 
 2 2
 Tính = + − + + , trong đó là giao tuyến của 
 mặt 2 + 2 = 1 và mặt + = 2, chiều của như hình vẽ. 
 Ta có 푃 = − 2, 푄 = , 푅 = 2. Áp dụng 
 công thức Stokes: 
 2 2
 = − + + = 푆+ 1 + 2 
 +
 Trong đó 푆 là mặt định hướng, có vector pháp 
 tuyến hướng lên trên, nhìn từ phía dương của 
 trục Oz. 
 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 74 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Ví dụ 
 Do đó: 
 = 푆+ 1 + 2 = ( , ) 1 + 2 
 Chuyển sang hệ tọa độ cực: = 표푠휑, = 푠𝑖푛휑 
 , 휑 = { , 휑 : 0 ≤ 휑 ≤ 2 , 0 ≤ ≤ 1} 
 2 1
 = 1 + 2 푠𝑖푛휑 . . 휑 = 휑 1 + 2 푠𝑖푛휑 
 ( ,휑) 0 0
 2 
 1 2
 = + 푠𝑖푛휑 휑 = 
 2 3
 0
 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 75 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Ví dụ 
 2 2
 Tính = + − + + , trong đó là giao tuyến của 
 mặt 2 + 2 = 1 và mặt + = 2, chiều của như hình vẽ. 
 Cách 2: 
 Tham số đường cong C qua hệ tọa độ trụ: 
 = 표푠휑, = 푠𝑖푛휑, = 2 − 푠𝑖푛휑 
 0 ≤ 휑 ≤ 2 
 2 
 = 푠𝑖푛3휑 + 표푠2휑 − (2 − 푠𝑖푛휑)2 표푠휑 휑 = 
 0
 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 76 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Ví dụ 
 2 2 2
 Tính 3 − + 3 − + 3 − , trong đó C là giao 
 của mặt phẳng 2 + = 2 và mặt paraboloid = 2 + 2 ngược chiều 
 kim đồng hồ nhìn từ phía dương của trục Oz. 
 S là phần mặt 2 + = 2 nằm trong 
 paraboloid. 
 Mặt S có phương trình: = 2 − 2 . 
 S là mặt định hướng, phía trên của mặt S là 
 phía dương, nhìn từ phía dương của trục Oz. 
 Vector pháp tuyến của S là: 퐥 = (2,0,1). 
 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 77 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Ví dụ 
 Theo Stokes: 
 2 2 2
 I (3 xydx ) (3 yzdy ) (3 zxdz )
 C
 RQPRQP      
 dydz dzdx dxdy
 S y  z  z  x  x  y 
 2zdydz 2 xdzdx 2 ydxdy
 S
 2(2 2x )2 2 x .0 2 y dxdy
 Dxy
 2 2
 2  4 4x y dxdy 48 Dxy ( x , y ): x 1 y 3
 Dxy
 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 78 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Ví dụ 
 Tính + + 2 − + , trong đó C là giao của mặt 
 = 2 và mặt 2 + 2 = 1, chiều của ngược chiều kim đồng hồ nhìn 
 từ phía dương của trục Oz. 
 S là phần mặt = 2 nằm trong hình trụ 
 2 + 2 = 1. 
 S là mặt định hướng, phía trên của mặt S 
 là phía dương, nhìn từ phía dương của 
 trục Oz. 
 Vector pháp tuyến của S là: 퐥 = (0, −2 , 1). 
 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 79 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Ví dụ 
 Theo Stokes: 
 I ( x y ) dx (2 x z ) dy ydz
 C
 RQPRQP      
 dydz dzdx dxdy
 S y  z  z  x  x  y 
 2dydz 0 dzdx 1 dxdy
 S
 Vì hình chiếu S xuống Oyz có diện tích bằng 0, nên 2dydz 0 I 1 dxdy
 SS
 I 1 dxdy 
 xy22 1
 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 80 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Ví dụ 
 Tính = + + , trong đó là giao tuyến của mặt cầu: 
 2 + 2 + 2 = 푅2 và mặt phẳng + + = 0, chiều của ngược 
 chiều kim đồng hồ nhìn từ phía dương của trục Oz. 
 Cách 1: S là phần mặt + + = 0 nằm trên mặt cầu 2 + 2 + 2 = 푅2. 
 Ta có: 푃 = , 푄 = , 푅 = . Theo Stokes: 
 = − + + 
 푆
 S là mặt định hướng, phía trên của mặt S là phía 
 dương, nhìn từ phía dương của trục Oz. 
 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 81 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Ví dụ 
 Vector pháp tuyến của 푆: 퐥 = (1,1,1). 
 1 1 1
 Vector pháp tuyến đơn vị của 푆: 퐧 = ( , , ). 
 3 3 3
 = −3 = −3. 푡( ( , )) = −3. 푡 푆 . 표푠훾 
 ( , )
 1
 = −3. 푡 푆 . = − 3 푅2 
 3
 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 82 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Ví dụ 
 Cách 2: Tham số hóa đường cong . 
 Phương trình hình chiếu 1 của trên mp Oxy: 
 2 2 2
 1: + + = 푅 /2. 
 Đưa dạng toàn phương 휔 = 2 + 2 + về dạng chính tắc bằng phép 
 biến đổi trực giao. 
 1 1/2
 Ma trận của dạng toàn phương: = . 
 1/2 1
 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 83 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Ví dụ 
 1 3
 Trị riêng của : det − 휆 = 0 → 휆 = , 휆 = . 
 2 2
 Vector riêng của : det − 휆 = 0, = 1, 2 . 
 1
 휆 = : vector riêng = (−1,1). 
 2
 3
 휆 = : vector riêng = (1,1). 
 2
 1 1 1 1
 Hệ vector riêng trực chuẩn: , , − , . 
 2 2 2 2
 1 1
 −
 2 2
 Ma trận trực giao: 푃 = 1 1 . 
 2 2
 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 84 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Ví dụ 
 Phép đổi biến: = 푃 
 푣
 푣 
 = − = . 표푠 − 푣. 푠𝑖푛
 2 2 4 4
 푣 
 = + = . 푠𝑖푛 + 푣. 표푠
 2 2 4 4
 Phép quay hệ trục Oxy sang Ouv một góc 훼 = 4. 
 Do đó 1 có phương trình: 
 2 2 2
 3 2 1 2 푅 푣
 1: + 푣 = ↔ + = 1. 
 2 2 2 푅 2 푅2
 3
 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 85 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Ví dụ 
 Dùng phép đổi biến qua hệ tọa độ cực suy rộng, đưa Ellipse trên về 
 đường tròn: 
 푅
 = 표푠휑, 푣 = 푅푠𝑖푛휑. 
 3
 Do đó phép đổi biến đưa 1 về đường tròn: 
 푅 표푠휑 푅푠𝑖푛휑 푅 표푠휑 푅푠𝑖푛휑
 = − , = + . 
 6 2 6 2
 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 86 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Ví dụ 
 Vậy phương trình tham số đường cong : 
 푅 표푠휑 푅푠𝑖푛휑 푅 표푠휑 푅푠𝑖푛휑 −2푅 표푠휑
 = − , = + , = − + = 
 6 2 6 2 6
 0 ≤ 휑 ≤ 2 . 
 2 
 표푠휑 푠𝑖푛휑 푠𝑖푛휑 표푠휑 2푅2 표푠휑 표푠휑 푠𝑖푛휑
 = −푅2 + + − −
 6 2 6 2 6 2 6
 0
 2푅2푠𝑖푛휑 표푠휑 푠𝑖푛휑
 + − 휑 
 6 6 2
 = − 3 푅2. 
 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 87 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Công thức Gauss 
 Giả sử là khối đóng, giới nội trong 푅3 có biên là mặt trơn 푆. Nếu 
 các hàm số 푃, 푄, 푅 và các đạo hàm riêng cấp 1 của chúng liên tục trên 
 khối thì: 
 휕푃 휕푄 휕푅
 푃 + 푄 + 푅 = ± + + 
 휕 휕 휕 
 푆+ 
 Dấu + : khi phía dương của mặt S là phía ngoài của khối . 
 Dấu - : khi phía dương của mặt S là phía trong của khối . 
 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 88 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Công thức Gauss 
 Dạng vector: Cho trường vector 퐅 = 푃퐢 + 푄퐣 + 푅퐤 xác định trên mặt 
 định hướng 푆. Ký hiệu: 
 휕푃 휕푄 휕푅
 𝑖푣퐅 = + + 
 휕 휕 휕 
 Khi đó: 
 퐅 ∙ 퐒 = 퐅 ∙ 퐧 푆 = 𝑖푣퐅 
 푆 푆 
 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 89 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Ví dụ 
 +
 Tính = 푆+ + + , trong đó 푆 là phía 
 ngoài của các mặt: + + = 1, = 0, = 0, = 0. 
 Áp dụng công thức Gauss ta có: 
 = + + 
 푆+
 = + + 
 Trong đó khối có các mặt là S. 
 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 90 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Ví dụ 
 = + + 
 1 1− 1− − 
 = + + 
 0 0 0
 1 1− 
 1 1
 = 1 − ( + )2 = 
 2 8
 0 0
 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 91 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Ví dụ 
 3 3 3 +
 Tính = 푆+ + + , trong đó 푆 là phía 
 ngoài của mặt cầu: 2 + 2 + 2 = 푅2. 
 Theo công thức Gauss: 
 2 푅
 = 3 2 + 2 + 2 = 3 휑 휃 휌2휌2푠𝑖푛휃 휌 
 0 0 0
 12 푅5
 = 
 5
 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 92 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Ví dụ 
 2 +
 Tính = 푆+ + − , trong đó 푆 là mặt xung 
 quanh, phía dương là phía ngoài của vật thể được giới hạn bởi các 
 mặt: = 4 − 2, = 0, = 1, = 0. 
 z 
 Theo công thức Gauss: 
 2 
 = 0 + 0 − 1 z=4-y
 1 2 4− 2
= − = − 
 0 −2 0
 1 y 
= −32/3 x 
 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 93 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Ví dụ 
 2 2 2 +
 Tính = 푆+ + + , trong đó 푆 là phía dưới 
 của mặt: = 2 + 2, 0 ≤ ≤ 1 (nhìn từ phía dương trục Oz). 
 푆 chưa phải là mặt kín, nên ta bổ sung thêm mặt . Biên của khối là 
 훿 = 푆 ∪ . Trong đó D là miền hình tròn: 
 = 1, 2 + 2 ≤ 1 
 훿 + là phía ngoài của khối . Theo công thức Gauss ta có: 
 2 + 2 + 2 = 2 + + 
 훿 + 
 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 94 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Ví dụ 
 Chuyển sang hệ tọa độ trụ: = 표푠휑, = 푠𝑖푛휑, = 
 , 휑, = { , 휑, : 0 ≤ 휑 ≤ 2 , 0 ≤ ≤ 1, ≤ ≤ 1} 
 2 + + 
 2 1 1
 = 2 휑 표푠휑 + 푠𝑖푛휑 + = 
 2
 0 0 
 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 95 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Ví dụ 
 Do đó: 
 2 + 2 + 2 = = 
 훿 + 2
 2 2 2
 = 푆+ + + + 
 2 2 2
 + + + + 
 2 2 2
 Suy ra: = 푆+ + + = 
 = − 2 + 2 + 2 . 
 2 +
 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 96 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Ví dụ 
 Pt mặt định hướng : = 1. Phía dương của mặt D là phía trên, do đó 
 vector pháp tuyến của mặt : 퐥 = (0,0,1). Vậy: 
 = − 12. 1 = − = − 푆 = − . 
 2 2 2 2
 Do là đường tròn có 푅 = 1, nên 푆 = . 
 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 97 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Ví dụ 
 +
 Tính = 푆+ + + − + + 1 , trong đó 푆 
 là phía trên của nửa trên mặt cầu: 2 + 2 + 2 = 푅2 (nhìn từ phía 
 dương trục Oz). 
 2 2 2
 Gọi 푆1 là mặt: = 0, + ≤ 푅 , phía dương của 푆1 là phía dưới 
 (nhìn từ phía dương của trục Oz). Theo công thức Gaus: 
 + = 1. ; khối có biên là các mặt 푆 và 푆1. 
 푆 푆1 
 2 푅3 2 푅3
→ = − −1. (0 + 1) = + 
 3 2+ 2≤푅2 3 2+ 2≤푅2
 2 푅3
 = + 푅2 
 3
 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 98 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN