Bài giảng Giải tích II - Chương 3: Tích phân bội hai - Nguyễn Văn Quang

QGHN 
Ví dụ 
 01 y
 D : 
 yx 1
 01 x
 Thay đổi cận: D : 
 0 yx
 1 x 1 1 1
 2 2 x 2 112 e 
 I dx ex dy ex y dx xex dx x
 0 e
 00 0 0 220
 23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 25 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
 11
 3
 Tính tích phân kép I dysin( x 1) dx
 0 y
 1
 3
Tích phân sin( x 1) dx không tính được (qua các hàm sơ cấp). 
 y
 01 y
 D : 
 yx 1
Thay đổi cận: 
 01 x
 D :
 2
 0 yx
 2
 1 x 1 2
 3 sin(x3 1)  yx dx
I dxsin( x 1) dy 0
 00 0
 1
 23 cos(1) 1
 xsin( x 1) dx 
 0 3
23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 26 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Ví dụ 
 1 yy2 
 Thay đổi thứ tự lấy tích phân I dy f(,) x y dx
 00
 01 y
 D :
 2
 0 x y y
 Vẽ miền D: 
 Thay đổi cận: 
 02 x
 D : 1 1 4x
 y 1 21
 2 I dx f(,) x y dy
 0 1 1 4x
 2
 23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 27 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
 2
 3 24 y
 Thay đổi thứ tự lấy tích phân I dy f(,) x y dx
 3 12 y2
 33 y 
 D : D1 
 22
 12 y x 2 4 y
 Vẽ miền D: 
 Thay đổi cận: 
 D3 
 Phải chia D làm 3 miền: 
 3 x 2 3
D1 : 
 22
 12 x y 4 x x
 3 x 2 3 D2 
D2 : 
 4x x22 y 12 x
 2 3 x 4
 D3 : 
 I fdxdy fdxdy fdxdy 22
 44x x y x x
 DDD1 2 3
 23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 28 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Đổi biến tổng quát 
 Tổng quát, xét phép đổi biến T từ mặt Ouv sang mặt Oxy: 
 ( , 푣) = ( , ) 
 với x và y liên hệ với u và v bởi: 
 = , 푣 ; = ℎ( , 푣) 
 Có thể viết: = ( , 푣), = ( , 푣). 
 Giả sử T là một phép biến thỏa mãn: g và h có đạo hàm riêng bậc nhất liên 
 tục. 
 Nếu ( 1, 푣1) = ( 1, 1), thì ( 1, 1) được gọi là ảnh của điểm 
 ( 1, 푣1). 
 Nếu không có 2 điểm nào có cùng chung 1 ảnh và ngược lại, thì ta gọi 
 T là đổi biến 1-1. 
 23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 29 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Đổi biến tổng quát 
 Nếu T là đổi biến 1-1, nó sẽ có một phép biến đổi ngược −1 từ mặt Oxy 
 sang mặt Ouv. 
 Do đó, ta có thể tìm u và v theo x và y : 
 = ( , ), 푣 = ( , ) 
 23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 30 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Đổi biến tổng quát 
 Xét một hình chữ nhật nhỏ S trong mặt Ouv: ảnh của S là miền R trong mặt 
 Oxy. Một điểm trên cạnh biên của nó sẽ là: 
 ( 0, 0) = ( 0, 푣0) 
 23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 31 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Đổi biến tổng quát 
 Ta có vector vị trí của điểm (u, v): 
 풓( , 푣) = 풊 + 풋 = ( , 푣) 풊 + ℎ( , 푣) 풋 
 Phương trình của cạnh dưới của S là: 푣 = 푣0 
 Ảnh của nó được cho bởi hàm vector 풓( , 푣0). 
 23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 32 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Đổi biến tổng quát 
 Nếu một đường cong trong mặt phẳng cho bởi hàm vector: 
 풓(푡) = (푡) 풊 + (푡) 풋 
 với 푡 là tham số thì vector tiếp tuyến tại 푡0 đối với đường cong không gian 
 này sẽ là: x y
 r x i y j i j
 t t0 t0 t t
 23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 33 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Đổi biến tổng quát 
 Do đó vector tiếp tuyến tại ( 0, 0) đối với đường cong ảnh này sẽ là: 
 xy
 r g(,)(,) u v i h u v j i j
 u u0 0 u 0 0 uu
 23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 34 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Đổi biến tổng quát 
 Tương tự, vector tiếp tuyến tại ( 0, 0) đối với đường cong ảnh của cạnh trái 
 của ( = 0) là: 
 xy
 r g(,)(,) u v i h u v j i j
 v v0 0 v 0 0 vv
 23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 35 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Đổi biến tổng quát 
 Ta có thể xấp xỉ miền ảnh 푅 = (푆) bởi một hình bình hành xác định 
 bởi các vector cát tuyến: 
 ar (,)u00 u v
 r(,)uv00
 br (,)u00 v v
 r(uv00 , ) 
 23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 36 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Đổi biến tổng quát 
 Tuy nhiên, 
 rr(,)(,)u0 u v 0 u 0 v 0
 ru lim
 u 0 u
 Nên, r(,)(,).u0 u v 0 r u 0 v 0 u ru
 Tương tự, r(,)(,).u0 v 0 v r u 0 v 0 v rv
 23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 37 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Đổi biến tổng quát 
 Điều này có nghĩa là ta có thể xấp xỉ R bởi một hình bình hành xác định 
 bởi 2 vector ∆ . 풓 và ∆푣. 풓푣 . 
 23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 38 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Đổi biến tổng quát 
 Vậy, có thể xấp xỉ diện tích của R bởi diện tích của hình bình hành này: 
 |(∆ 풓 ) × (∆푣 풓푣)| = |풓 × 풓푣| ∆ ∆푣 
 Tích có hướng của 2 vector: 
 i j k x  y  x  x
 xy u  u  u  v
 r r 0 k k
 uv uu x  y  y  y
 xy v  v  u  v
 0
 vv
 23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 39 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Đổi biến tổng quát 
 Jacobian của biến đổi T cho bởi = ( , 푣) và = ℎ( , 푣) là: 
 xx
 (,)x yuv  x  y  x  y
 (,)u vyy  u  v  v  u
 uv
 Với ký hiệu này ta có thể xấp xỉ một diện tích ∆A của R: 
 (,)xy ở đây Jacobian được 
 A u v
 (,)uv tính tại (u0, v0). 
 23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 40 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Đổi biến tổng quát 
 Tiếp theo, ta chia miền S trong mặt Ouv thành các hình chữ nhật nhỏ 푆푖푗 
 và gọi ảnh của nó trong mặt Oxy là 푅푖푗. 
 23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 41 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Đổi biến tổng quát 
 Áp dụng công thức xấp xỉ đối với 푅푖푗 ở trên, ta có xấp xỉ của tích phân 
 2 lớp của f trên miền R như sau. 
 f(,) x y dxdy
 R
  f(,) xij y A
 (,)xy ở đây Jacobian được 
 f( g ( u , v ), h ( u , v )) u v
  i j i j tính tại ( , 푣 ). 
 (,)uv 푖 푗
 Chú ý đây chính là tổng Riemann của tích phân: 
 (,)xy
 f( g ( u , v ), h ( u , v )) du dv
 S (,)uv
 23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 42 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Đổi biến tổng quát 
 Định lý: 
 Giả sử có phép đổi biến: = , 푣 , = , 푣 ; sao cho phép đổi biến 
 này là 1-1 (có thể trừ trên biên), và 퐽 ≠ 0 (có thể 퐽 = 0 tại một số điểm 
 hữu hạn), khi đó: 
 ( , ) = ( ( , 푣), ( , 푣)). 퐽 . 푣 
 푣
 Trong đó: 
 ′ ′
 휕( , ) 푣
 퐽 = = ′ ′ 
 휕( , 푣) 푣
 23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 43 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Định nghĩa 
 Mối liên hệ giữa tọa độ cực và y 
 tọa độ Descartes: 
 xr cos 
 , 0 2 M(,) x y
 yr sin y 
 r 
 2 2 2
 Chú ý: x y r 
 x x 
 Ví dụ. Phương trình đường tròn tâm 0, bán kính bằng 2: xy22 4
 Phương trình đường tròn này trong tọa độ cực là: r 2.
 23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 44 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Ví dụ 
 • Phương trình đường tròn tâm (1,0), bán kính bằng 1: x22 y2 x
 Phương trình đường tròn này trong tọa độ cực là: r2 2 r cos r 2cos
 • Phương trình đường tròn tâm (0,1), bán kính bằng 1: x22 y2 y
 Phương trình đường tròn này trong tọa độ cực là: r2 2 r sin r 2sin
 • Phương trình đường thẳng x = 2 
 2
 Phương trình đường thẳng này trong tọa độ cực là: rrcos 2 
 cos 
 23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 45 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Ví dụ 
 23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 46 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
 I f(,) x y dxdy
 R
 Qua phép đổi biến: 
 xr cos 
 yr sin 
 Chia [a,b] thành m phần. 
 Chia [,]  thành n phần. 
23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 47 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
 rii 1 r r
Miền Rij : 
 jj 1  
 **
Trên Rij lấy một điểm (,)rij
 11
 r** ( r r ); (   )
 i22 i 11 i i i i
Diện tích miền Rij là: 
 11
 A r22   r  ; 
 ij22 i i 1
  () jj  1
 1 1
 A   r22 r   r r  r r rr*   
 ij2 i i 1 2 i i 11 i i i
 23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 48 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
 ****
Tọa độ cực của điểm Rij là: (rri cos j , i sin j )
 mn
 ****
Tổng Riemann: Vmn  f( r i  cos j , r i  sin j )  A ij
 ij 11
 mn
 *****
  f( ri  cos j , r i  sin  j )  r i  r  
 ij 11
 mn
 **
Đặt g( r , ) r  f ( r  cos  , r  sin  ) Vmn  g(,) r i j  r  
 ij 11
 mn
 *****
 f( x , y ) dxdy lim  f ( ri  cos j , r i  sin j )  r i  A ij
R mn, ij 11
 mn  b
 **
 lim g ( rij , )  r  g(,) r drd
 mn, ij 11 a
  b
 f( x , y ) dxdy d f ( r  cos  , r  sin  ) r  dr
 Ra 
23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 49 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Ví dụ 
 Tính tích phân kép I () x y dxdy , trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi: 
 D
 x2 y 2 1, x 2 y 2 4, y 0, y x 
 xr cos 
 yr sin 
 0 
 Dr : 4
 12 r
 23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 50 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Ví dụ 
 I () x y dxdy
 D
 / 4 2 / 4 2
 2
 I d rcos r sin r  dr d cos sin  r  dr
 01 01
 2
 /4 r3
 Id cos sin  
 3
 0 1
 /4 81
 Id cos sin  
 0 33
 7
 I 
 3
 23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 51 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
 22
 Tính I 4 x y dxdy , trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi 
 D
 x22 y 4, y x , y x 3 (y x)
 xr cos 
 yr sin 
 Dr : 43
 02 r
 /3 2
 2
I d 4 r r  dr
 /4 0
 2 
 I 
 9
 23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 52 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
 22
 Tính I x y dxdy , trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi: 
 D
 x22 y 2 x , y x .
 xr cos 
 yr sin 
Dr : 24
 0 r 2cos 
 /4 2cos 
Id r r  dr
 / 2 0
 /4
 8 3 16 10 2
 Id cos 
 /2 3 9
23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 53 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
 Tính I ( x 1) dxdy , trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi: 
 D
 x2 y 2 2 x ; x 2 y 2 4 x ; y x ; y x 3
 xr cos 
 yr sin 
Dr : 43
 2cos r 4cos
 /3 4cos 
 I d ( r cos 1) r  dr
 / 4 2cos
 37 35 67 3
 6 24
 23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 54 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
 Tính I () x y dxdy , trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi 
 D x2 y 2 2 x ; x 2 y 2 2 y .
 xr cos 0 
 D : 2
 yr sin 
 0 r ?
 0 
D1 : 4
 0 r 2sin D 
 2 D1 
D2 : 42
 0 r 2cos 
 11 
 I 
 DD12 4 2 4 2 
 23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 55 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Tọa độ cực suy rộng 
 2 2 2
 Trường hợp 1. Miền phẳng D là hình tròn: ()()x x00 y y a
 Dùng phép đổi biến: 
 x x0 r cos 
 y y0 r sin 
 Khi đó định thức Jacobi: 
 xxr cos r .sin
 J r
 yyr sin r .cos
 Khi lấy cận của r , ta coi như gốc tọa độ dời về tâm hình tròn. 
 23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 56 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Tọa độ cực suy rộng 
 xy22
 Trường hợp 2. Miền phẳng D là Ellipse: 1;ab 0, 0
 ab22
 x
 Dùng phép đổi biến: r cos 
 a
 y
 r sin 
 b
 Khi đó định thức Jacobi: 
 xxr a.cos ar .sin
 J a.. b r
 yyr b.sin br .cos
 02 
 Khi đó cận của r,: 
 01 r
 23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 57 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
 Tính I (2 x y ) dxdy, trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi 
 D
 (x 1)22 ( y 2) 4; x 1.
 Gốc tọa độ dời về đây 
 xr 1 cos 
 yr 2 sin 
 Dr : 22
 0 r 2
 / 2 2
I d 2(1 r cos ) (2 r sin )  r  dr
 / 2 0 32
 8 
 3
23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 58 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
 Tính I ( x 1) dxdy , trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi 
 D xy22
 1;yx 0; 0
 94
 x
 r cos 
 3
 y
 r sin 
 2
 0 
 Dr : 2
 01 r
 /2 1 3 
I d 3 rcos 1  3 2 r  dr 6
 00 2
23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 59 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
 Tính I xdxdy , trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi 
 D x2
 y2 1; y 0; y x
 3
 x 0 
 r cos 3
 Dr : 
 3 
 01 r
 yr sin 
 sin yr/
 tg 
 cos xr/( 3)
Vì đường y = x nên tg 3
 3
 /3 1 3
I d 3  rcos 31 r  dr 
 00 2
23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 60 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
 Diện tích miền D: SD dxdy
 Dxy
Tính diện tích miền D giới hạn bởi: x2 y 2 2 y ; x 2 y 2 6 y ; y x 3; x 0
 Diện tích miền D là: 
 /2 6sin 
SD dxdy d rdr
 D /3 2sin
 6sin 
 /2 2 /2
 r 2
SdD 16sin d
 2
 /3 2sin /3
 4
S 23
 D 3
 23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 61 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Tính thể tích 
 Để tính thể tích khối  :
 1) Xác định mặt giới hạn bên trên: z z2 (,) x y
 2) Xác định mặt giới hạn bên dưới: z z1(,) x y
 3) Xác định hình chiếu của  xuống Oxy: D xy Pr Oxy
 V z x,, y z x y dxdy
  21 
 Dxy
 Chú ý: 1) Có thể chiếu Ω xuống Oxz, hoặc Oyz. Khi đó mặt phía trên, mặt 
 phía dưới phải theo hướng chiếu xuống. 
 2) Để tìm hình chiếu của Ω xuống Oxy, ta khử z trong các phương trình 
 của Ω. 
 23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 62 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
 Tính thể tích vật thể giới hạn bởi: z ( x 1)22 y ; 2 x z 2
Mặt phía trên: z z2 ( x , y ) 2 2 x
 22
Mặt phía dưới: z z1( x , y ) ( x 1) y
Hình chiếu: khử z trong 2 phương trình: 
(x 1)22 y 2 2 x xy22 1
 Hình chiếu 
 D:1 x22 y 
 V z21 z dxdy
 xy22 1
 23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 63 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Ví dụ 
 22 
 V ()(22 x xx 21 y ) dxdy
 xy22 1
 22
 V 1 x y dxdy
 xy22 1
 xr cos 
 Đổi sang tọa độ cực: 
 yr sin 
 1
 21 2 24
 2 rr
 V d 1 r  r  dr d 
 00 0 24
 0
 V 
 2
 23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 64 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Tính thể tích vật thể giới hạn bởi: z x2 y 2; y x 2 ; y 1; z 0
 Mặt trên: z x22 y
 Mặt phía dưới: z 0
 Hình chiếu: D 
 D 
 23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 65 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
 22
V x y 0 dxdy
 D
 11 x 
D :
 2
 xy 1
 11
 22
V dx x y dy
 1 x2
 1
 1 3
 2 y
V xy dx
 1 3
 x2
 1 6
 241 x 88
V x x dx 
 1 33 105
23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 66 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Tính thể tích vật thể giới hạn bởi: z 2 x 22 y 1, x y 1 và các mặt tọa độ. 
Mặt phía trên: z 21 x22 y 
Mặt phía dưới: z 0
Hình chiếu: là tam giác màu đỏ. 
 A 
 0 B
 22 3 Mặt dưới 
 V 2 x y 1 0 dxdy 
 OAB 4
 23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 67 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Tính thể tích vật thể giới hạn bởi: z 4 y22 ; z y 2; x 1; x 2.
 z 
Có thể chiếu xuống Oxy tương tự các ví 
dụ trước. 
Chiếu vật thể xuống Oyz: 
Mặt phía trên: x 2
Mặt phía dưới: x 1
 y 
 x 
 23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 68 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Thể tích vật thể cần tính: z 
 V  x21(,)(,) y z x y z dydz
 Dyz
 D 
 1 4 y2
 V dy2 ( 1) dz
 1 2 y2
 1 2
 V 3 z4 y dy
 2 y2
 1
 y 
 1
 22
 V 3 4 y 2 y dy
 1
 V 8.
 23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 69 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Diện tích mặt cong 
 Mặt S cho bởi phương trình = ( , ), D là hình chiếu của S xuống Oxy. 
 Chia miền D thành n miền con D1, D2, ..., Dn. Khi đó tương ứng, S được 
 chia thành các mặt con S1, S2, ..., Sn . 
 Diện tích tương ứng: ∆푆1, ∆푆2, ⋯ , ∆푆푛 . 
 Lấy điểm tùy ỳ Pi( x i , y i ,0) D i .
 Tương ứng với điểm M i(,,). x i y i z i S i
 Gọi Ti là mặt tiếp diện với Si tại Mi . 
 Và Ti là mảnh có hình chiếu xuống Oxy là Di 
 23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 70 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Diện tích mặt cong 
 Với Di nhỏ, ta coi diện tích của Ti là diện tích gần đúng của mảnh Si : 
 nn
 SSST  ii ()
 ii 11
 Gọi  i là góc giữa hai mảnh Di và Ti : SDST(i )  ( i ) cos i
 Ta có  i là góc giữa pháp tuyến tại Mi với mặt S và trục Oz. 
 Véctơ pháp của S tại Mi : n Mi z x( x i , y i ), z y ( x i , y i ),1 
 1
 cos i 
 2
 2 
 zx( x i , y i ) z y ( x i , y i ) 1
 23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 71 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
 nn 2
 2 
 S  ST()i  zxy x (,) i i zxy y (,)1() i i  SD i
 ii 11
 n 2 2
 S lim  z x z y 1  S ( D i )
 n i 1
Diện tích mặt cong có phương trình = ( , ), có hình chiếu xuống mặt 
phẳng Oxy là Dxy được tính bởi công thức: 
 2
 S 1 z 2 z dxdy
 xy 
 Dxy
 23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 72 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Tính diện tích phần mặt paraboloid z 1 x 22 y nằm trong hình trụ: 
 xy22 1
 Hình chiếu của S xuống Oxy: 
 D:1 x22 y
 Phương trình mặt S: z 1 x22 y
 z xy 2 x ; z 2 y
 Diện tích phần mặt paraboloid: 
 2 2
 S 1 z xy z dxdy
 D
 21 
 22 2 (5 5 1) 
S 1 4 x 4 y dxdy d 14 r  r  dr 
 xy22 1 00 6
 23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 73 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
23-Feb-21 74 
23-Feb-21 75 
23-Feb-21 76