Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương V: Dạng song tuyến tính, tích vô hướng và không gian Euclide - Nguyễn Hải Sơn

 Trong không gian R3, với tích vô hướng 
thông thường, hãy xây dựng cơ sở trực chuẩn 
{e1,e2,e3} từ cơ sở 
 B={v1=(1;1;1),v2=(1;1;2);v3=(1;2;3)} 
VD2. Câu hỏi như VD1 với 
 B={v1=(1;1;1),v2=(1;1;0);v3=(1;0;0)} 
VD3. Câu hỏi như VD1 với tích vô hướng. 
 (,,),(,,)xxx123 yyy 123 xy 11 2 xy 22 3 xy 33
 3.4. Trực chuẩn hóa Gram-Smith

VD4. Trong không gian P2[x], với tích vô hướng 
 1
 p,()() q p x q x dx
 1
hãy xây dựng cơ sở trực chuẩn {e1,e2,e3} từ cơ sở 
 E={1; x; x2} 
 §3: KHÔNG GIAN EUCLIDE
 
3.5.Công thức tọa độ đối với cơ sở trực chuẩn
Trong kg Euclide (E, ), cho cơ sở trực chuẩn 
B={e1, e2,, en }. Khi đó, với mọi vectơ x và y 
thuộc E, ta có 
 (ix ) xee ,1 1 xee , 2 2 ... xee , n n
 tức là ()xB ( x , e1 , x , e 2 ,..., x , e n )
 n
 t
(ii ) < x , y [x]B .[y]= x i y i
 i 1
 ở đó ()xB ( x1 , x 2 ,..., x n ),() y B ( y 1 , y 2 ,..., y n )
 §3: KHÔNG GIAN EUCLIDE
 
Ví dụ. Xét không R3 với tích vô hướng Euclide thông 
thường, có một cơ sở trực chuẩn là 
 1 1 1 1 1 1 1 2 
 B e1 ; ; , e 2 ; ;0 ; e 3 ; ; 
 3 3 3 2 2 6 6 6 
Cho v=(1;2;-3). Tìm tọa độ của v đối với cơ sở B. 
 §3: KHÔNG GIAN EUCLIDE
 
3.6. Phép chiếu trực giao lên một kg vecto
 v PrW ( v )  W
 §3: KHÔNG GIAN EUCLIDE
 
ĐL. Trong kg Euclide (E, ), cho kg con W và 
vectơ x. G/s B={e1, e2,, em} là cơ sở trực chuẩn 
của W. Khi đó, hình chiếu của vecto v lên kg W là: 
 chvW( ) vee , 1 1 vee , 2 2 ... vee , m m
 §3: KHÔNG GIAN EUCLIDE
 
VD1. Xét không R3 với tích vô hướng thông thường. 
 Giả sử H là không gian các nghiệm của phương 
 trình x1+x2-x3=0. Tìm một cơ sở trực chuẩn của H. 
 Tìm tọa độ của vectơ u=(1;2;3) thuộc H đối với cơ 
 sở vừa tìm được ở trên. ( Đề I-K56)
VD2. Xét không R3 với tích vô hướng thông thường. 
 Giả sử H là không gian các nghiệm của phương 
 trình x1 -x2-x3=0. Tìm một cơ sở trực chuẩn của H. 
 Tìm tọa độ của vectơ u=(4;1;3) thuộc H đối với cơ 
 sở vừa tìm được ở trên. (Đề II-K56)
 §3: KHÔNG GIAN EUCLIDE
 
VD3. Xét không R3 với tích vô hướng Euclide thông 
 thường. Cho các vecto u1=(1;2;3), u2=(-4;5;1), 
 u3=(-2;9;7), u =(4;-1;-3). Đặt H=span{u1,u2,u3}. 
 Tìm hình chiếu vuông góc của vectơ u lên không 
 gian con H. ( Đề III-K55)
VD4. Xét không R3 với tích vô hướng Euclide thông 
 thường. Cho các vecto v1=(1;-2;3), v2=(3;-7;10), 
 v3=(-1;3;-4), v =(1;3;1). Đặt H=span{v1,v2,v3}. Tìm 
 hình chiếu vuông góc của vectơ v lên không gian 
 con H. ( Đề IV-K55)
 §3: KHÔNG GIAN EUCLIDE

 (xxx123 ; ; ),( yyy 123 ; ; ) 2 xyxy 11 22 xy 33
 w 45
 (Đề III-K55)
 Đ/s: w1 (2;1;6),w 2 ( 2; 1; 6)
 §3: KHÔNG GIAN EUCLIDE
 
VD6. Trong không gian R3 với tích vô hướng
 (xxx123 ; ; ),( yyy 123 ; ; ) xyxy 11 22 2 xy 33
cho B là không gian nghiệm của phương trình 
 2x1+x2-2x3=0 và vecto v =(2;2;1). 
 1) Tìm một cơ sở trực chuẩn của B. 
 2) Tìm vectơ wB sao cho w⊥v và w 3 3
 (Đề IV-K55)
 Đ/s:
 §3: KHÔNG GIAN EUCLIDE

 (xxx123 ; ; ),( yyy 123 ; ; ) xy 11 2 xy 22 xy 33
 B {e1 =(1;-1;1),e 2 =(1;1;1)} x (2;1; 1)
 (Đề I-K53)
 1 1 3 3 
 Đ/s: u ;1; , v ;0; 
 2 2 2 2 

 §4: PHÉP BIẾN ĐỔI 
 TRỰC GIAO
 §4: PHÉP BIẾN ĐỔI TRỰC GIAO 
 
4.1 Định nghĩa. Toán tử tuyến tính f trên kg Euclide 
E được gọi là phép biến đổi trực giao nếu: 
 f( x ), f ( y ) x , y ,  x , y E
Tính chất.
 (i ) f ( x ) x
 ()ii ( f (), x f ()) y (, x y )
 §4: PHÉP BIẾN ĐỔI TRỰC GIAO 
 
4.2.ĐL. Toán tử tuyến tính f là trực giao khi và chỉ khi 
nó biến một cơ sở trực chuẩn thành một cơ sở trực 
chuẩn.
4.3.Đ/n Ma trận A được gọi là ma trận trực giao nếu 
 At = A-1 hay AtA=E
4.4. ĐL Toán tử tuyến tính f trên kg Euclide E là phép 
biến đổ trực giao nếu ma trận của nó theo một cơ sở 
trực chuẩn nào đó là ma trận trực giao. 
 §4: PHÉP BIẾN ĐỔI TRỰC GIAO 
 
Hệ quả. Ma trận chuyển cơ sở từ một cơ sở trực 
chuẩn sang một cơ sở trực chuẩn khác là một ma trận 
trực giao. Ngược lại, mọi ma trận trực giao đều có thể 
xem là ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở trực chuẩn này 
sang cơ sở trực chuẩn khác. 
 cos sin 
VD. A 
 sin cos 

 §5: TOÁN TỬ ĐỐI XỨNG 
 §5: TOÁN TỬ ĐỐI XỨNG 
 
5.1 Đn. Toán tử tuyến tính f trên kg Euclide E gọi là 
toán tử đối xứng nếu 
 f( x ), y x , f ( y ) 
5.2 ĐL. Toán tử tuyến tính f trên kg Euclide E là 
toán tử đối xứng nếu ma trận của nó đối với một cơ 
sở trực chuẩn là đối xứng. 
 §5. TOÁN TỬ ĐỐI XỨNG
 
5.3 ĐL. Nếu A là ma trận đối xứng thì A có các tính 
 chất dưới đây.
(i) Mọi giá trị riêng của A đều là thực 
(ii) Pt đặc trưng có đủ n nghiệm (kể cả bội)
(iii) Các vecto riêng ứng với các trị riêng khác nhau 
 trực giao với nhau.
(iv) A chéo hóa được. 
 §5. TOÁN TỬ ĐỐI XỨNG
 
5.3 Đ/n. Mtr A gọi là chéo hóa trực giao được nếu 
 tồn tại mtr trực giao T sao cho TtAT là mtr chéo. 
5.4 ĐL. Mtr A chéo hóa trực giao được khi và chỉ 
 khi A là mtr đối xứng.
 §5. TOÁN TỬ ĐỐI XỨNG
 
5.5. Thuật toán chéo hóa trực giao mtr đối xứng A
Bc 1. Tìm các trị riêng λ1, λ2,, λk của A tương ứng 
 có các bội d1, d2,, dk với d1+d2++ dk=n. 
Bc2. Với mỗi trị riêng λi, ta tìm một cơ sở trực chuẩn 
 của kg riêng PA () bằng thuật toán Gram-Smith. 
 i
 Khi đó, ta sẽ có một cơ sở trực chuẩn là các vectơ 
 riêng của A. 
Bc3. Lập ma trận T có các cột là các VTR của A, ta 
 được T là mtr trực giao, làm chéo hóa A. 
 §5. TOÁN TỬ ĐỐI XỨNG
 
VD 1. Tìm mtr trực giao T làm chéo hóa các mtr sau
 5 2 
 a) A 
 2 8 
 3 1 1 
 b) A 1 3 1 
 (Đề IV-K49)
 1 1 3 
 §5. TOÁN TỬ ĐỐI XỨNG
 
 0 1 2 
VD 2. Cho ma trận A 1 0 2 
 2 2 3 
i) Tìm mtr trực giao P và ma trận chéo D sao cho 
 P 1 AP D
 10
ii) Tính A (Đề IV-K54)
 Đ/s: Các GTR là -5, 1, 1
 §5. TOÁN TỬ ĐỐI XỨNG
 
5.6. Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc 
 bằng phương pháp chéo hóa trực giao
 G/s A, A’ tương ứng là mtr của dạng toàn 
 phương φ với cơ sở trực chuẩn E và B. Nếu T là 
 ma trận chuyển cơ sở từ E sang B thì T là ma trận 
 trực giao và A’=TtAT. 
 Nếu A’ có dạng chéo thì với cơ sở B, φ có 
 dạng chính tắc.
 §5. TOÁN TỬ ĐỐI XỨNG

Đưa các dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng 
phương pháp chéo hóa trực giao 
 2
 (i) q 5 x3 4 x 1 x 2 6 x 1 x 3 6 x 2 x 3 (Đề I-K55)
 2
 (ii) q 4 x3 2 x 1 x 2 6 x 1 x 3 6 x 2 x 3 (Đề I-K55)
 2 2 2
 (iii) q 3 x1 3 x 2 6 x 3 4 x 1 x 2 2 x 1 x 3 2 x 2 x 3
 (Đề III-K56)
 2 2 2
 (iv) q 2 x1 2 x 2 3 x 3 2 x 1 x 2 4 x 1 x 3 4 x 2 x 3
 (Đề IV-K56)

 §6: KHÔNG GIAN 
 HÌNH HỌC EUCLIDE 
 §6: KG HÌNH HỌC EUCLIDE 
 
 6.1 Định nghĩa.
G/s E là một kg Euclide n- chiều trên trường số thực.
 Đ/n. Tập U được gọi là không gian hình học Euclide 
n chiều tựa trên E nếu mỗi cặp (M,  N) UxU tương 
ứng với một véctơ của E, kí hiệu là MN thỏa mãn 2 
tiên đề sau: 
    
 (i) MN NP MP ,  M,N,P U
 (ii) Với mỗi M  U và a E tồn tại duy nhất 
 N U để MN a 
 §6: KG HÌNH HỌC EUCLIDE 

Khi U là không gian hình học Euclide thì các phần 
tử của U được gọi là các điểm. 
VD1. - Mặt phẳng hình học thông thường là một 
 không gian hình học Euclide hai chiều.
 - Không gian hình học thông thường là một 
 không gian hình học Euclide ba chiều.
VD2. Với mỗi M(x ;x ;;x ), N(y ;y ;;y ) Rn ta 
 1 2  n 1 2 n
 n
cho tương ứng với vectơ MN ( y 1 x 1 , y 2 x 2 ,..., y n x n ) 
Khi đó, Rn là một kg hình học Euclide. 
 §6: KG HÌNH HỌC EUCLIDE 
 
Đ/n 2. U là một kg hình học Euclide tựa trên E, G là 
một điểm của U; {f1, f2,,fn} là một cơ sở trực chuẩn 
của E thì bộ [G,(f1, f2,,fn)] được gọi là hệ tọa độ 
trực chuẩn của U với gốc tọa độ G.
  Khi đó, với mỗi điểm M của U, tọa độ của véc 
tơ GM đối với cơ sở trực chuẩn trên gọi là tọa độ của 
M theo hệ tọa độ [G,(f1, f2,,fn)] . 
 §6: KG HÌNH HỌC EUCLIDE 
 
Ví dụ.
 1.Hệ tọa độ Đề các Oxy trong mặt phẳng.
 2. Hệ tọa độ Đề các Oxyz trong không gian.
 §6: KG HÌNH HỌC EUCLIDE 
 
6.2 Siêu phẳng và đường thẳng.
 Đ/n 1. Cho kg Euclide U tựa trên E. Tập con
 P {(,,...,) Mxx1 2 xn Uaxax | 1 1 2 2 ... axb n n }
 với ( a 1 , a 2 ,..., a n ) (0;0;...;0) gọi là một siêu phẳng 
 của U. 
 Khi đó, a 1 x 1 a 2 x 2 ... a n x n b gọi là phương 
 trình của P. 
 Ví dụ. Đường thẳng trong mặt phẳng, mặt phẳng 
 trong không gian. 
 §6: KG HÌNH HỌC EUCLIDE 
 
Đn 2.
Đường thẳng D của không gian Euclide U là tập 
con của U có dạng 
 x x0 a t 
 1 1 1 
 0
 x2 x 2 a 2 t 
 D M(x1 ,x 2 ,...,xn ) 
 ... 
 x x0 a t 
 n n n 
với (a1 , a 2 ,..., an ) (0;0;...;0)
 §6: KG HÌNH HỌC EUCLIDE 
 
6.3 Mặt bậc hai.
Đ/n 1. Tập con S trong kg hình học Euclide n chiều 
U tựa trên E được gọi là một mặt bậc hai, nếu với 
mỗi hệ tọa độ trực chuẩn [G,(f1, f2,,fn)] của U thì 
 n n 
S Mxx(,,...,)1 2 xn U | axx ' ij i j  bxc i i 0 
 i, j 1 i 1 
trong đó a 'ij không đồng thời bằng 0 và b1, b2, , 
bn, c là các hằng số xác định. 
 §6: KG HÌNH HỌC EUCLIDE 
 
VD1.Trong mặt phẳng Oxy, đường tròn, các đường 
 cônic là một mặt bậc 2: 
 (C) (x-a)2 + (y-b)2 = R2
 x2 y 2 x 2 y 2
 ()E 1, () H 1, () P y ax2
 a2 b 2 a 2 b 2
VD2.Trong không gian Oxyz, mặt cầu là một mặt 
 bậc 2: 
 (C) (x-a)2 + (y-b)2 +(z-c)2 = R2
 §6: KG HÌNH HỌC EUCLIDE 

 1
NX. Nếu đặt a ('') a a thì A=[a ] là một
 ij2 ij ji ij
 ma trận đối xứng và 
 n n n
 t
 axx'ij i j  bxc i i [x] Ax [ ]  bxc i i 
 i, j 1 i 1 i 1
 §6: KG HÌNH HỌC EUCLIDE 
 
Bài toán đặt ra.
Cho S là một mặt bậc hai trong kg Euclide n chiều U 
tựa trên E. G/s trong một hệ tọa độ trực chuẩn 
[G,(f1,f2,,fn)], S có pt: 
 n
 t
 [x]A [ x ]  bi x i c 0
 i 1
 Ta cần tìm một hệ tọa độ mới trong U để trong 
hệ tọa độ đó pt của S là 
 r n
 2
 ix i  c i x i d 0
 i 1 i r 1
 được gọi là dạng chính tắc của S. 

 §7:ĐƯA MẶT BẬC HAI VỀ DẠNG 
 CHÍNH TẮC TRONG KHÔNG GIAN 
 HÌNH HỌC EUCLIDE.
 §7: ĐƯA MẶT BẬC HAI VỀ DẠNG CHÍNH TẮC 
 
7.1.Đưa phương trình bậc hai về dạng chính tắc.
Bài toán: G/s S là mặt bậc hai trong kg hình học 
Euclide U, có phương trình
 [x]tA [ x ] c ( A t A )
trong hệ tọa độ trực chuẩn [G,(e1,e2,,en)].
Cần tìm một hệ tọa độ trực chuẩn mới gốc G để 
trong hệ đó S có phương trình dạng chính tắc
 r
 2
 ix i c
 i 1
 §7: ĐƯA MẶT BẬC HAI VỀ DẠNG CHÍNH TẮC
 
Lời giải cho bài toán.
G/s T là mtr trực giao làm chéo hóa A. Khi đó 
 1 0 0 
 0  0 
 Tt AT 2 
     
 0 0 ... n 
 §7: ĐƯA MẶT BẬC HAI VỀ DẠNG CHÍNH TẮC
 
 Đặt [x ]=T[ y ] thì S có pt: 
 [][][][]xt A x y t T t AT y
 1 0  0 
 0  0 n
 t 2 2
 [y ] [ y ]  i x i
     i 1
 0 0 ... n 
Hệ tọa độ trực chuẩn mới của U để S có dạng chính 
tắc là [G,(f1;f2;;fn)] với [f1 f2  fn]=[e1 e2  en]T 
 §7: ĐƯA MẶT BẬC HAI VỀ DẠNG CHÍNH TẮC

 Ví dụ. Trong không gian tọa độ trực chuẩn 
 [O,(e1;e2;e3)], đường cong S có phương trình 
 2 2 2
 (S ) 2 x1 2 x 2 2 x 3 2 x 1 x 2 2 x 2 x 3 2 x 3 x 1 5
 Hãy tìm một hệ tọa độ trực chuẩn gốc O để 
 trong hệ tọa độ đó, S có pt ở dạng chính tắc.
 §7: ĐƯA MẶT BẬC HAI VỀ DẠNG CHÍNH TẮC
 
Nhận xét. Nếu chỉ để nhận dạng mặt bậc hai thì chỉ 
việc dùng các phép biến đổi không suy biến, chẳng 
hạn phương pháp Lagrange và Jacobi. Nhưng như 
thế, thực chất nó đã bị biến dạng (elip thành đường 
tròn, hình cầu thành elipsoid,). Trong thực tế đôi 
khi người ta không chỉ quan tâm đến dạng của mặt 
mà còn kích cỡ của nó, nên người ta phải dùng đến 
phép biến đổi trực giao để đưa nó về dạng chính tắc. 
 §7: ĐƯA MẶT BẬC HAI VỀ DẠNG CHÍNH TẮC 
 
7.2.Đưa mặt bậc hai về dạng chính tắc trong không 
gian hình học Euclide.
Bài toán: G/s S là mặt bậc hai trong kg hình học 
Euclide U, có phương trình
 n
 t
 [x ] A [ x ]  bi x i c 0 
 i 1
trong hệ tọa độ trực chuẩn [G,(e1,e2,,en)].
Cần tìm một hệ tọa độ trực chuẩn mới để trong hệ 
đó S có dạng chính tắc. 
 §7: ĐƯA MẶT BẬC HAI VỀ DẠNG CHÍNH TẮC 
 
Bước 1: Tìm mtr trực giao T làm chéo hóa A. Tìm hệ 
tọa độ [G;(f1;f2;;fn)] tương ứng với T và phép biến 
đổi [ x ]=T[ y ] như trong mục 7.1
 Khi đó, pt của (S) sẽ là 
 r n
 2
 iy i 2  c i y i c 0 (  i 0,  i 1,) r
 i 1 i 1
Bước 2: Rút gọn 
 2
 r n r 2
 ci c i
 i y i 2  c i y i c  0 
 i 1 i i r 1 i 1  i
 §7: ĐƯA MẶT BẬC HAI VỀ DẠNG CHÍNH TẮC 
 
Bước 3: Chọn điểm IU có tọa độ là 
 c1 c 2 cr 
 , ,..., ,0,...,0 
 1  2 r 
trong hệ tọa độ [G,(f1;f2;;fn)]. Khi đó, trong hệ tọa 
độ [I,(f1;f2;;fn)], S co pt chính tắc 
 r n r 2
 2 ci
 iy' i 2  c i y ' i c  0 
 i 1 i r 1 i 1 i
 §7: ĐƯA MẶT BẬC HAI VỀ DẠNG CHÍNH TẮC

 Ví dụ. Trong không gian tọa độ trực chuẩn 
 [O,(e1;e2;e3)], đường cong S có phương trình 
 2 2 2
 (S ) 2 x1 2 x 2 2 x 3 2 x 1 x 2 2 x 2 x 3 2 x 3 x 1 
 3x1 x 2 2 x 3 5
 Hãy tìm một hệ tọa độ trực chuẩn gốc O để 
 trong hệ tọa độ đó, S có pt ở dạng chính tắc.

 §8: PHÂN LOẠI ĐƯỜNG BẬC HAI 
 TRONG MẶT PHẲNG
 §8: PHÂN LOẠI MẶT BẬC HAI
Bằng việc biến đổi hệ trục tọa độ, ta luôn đưa một 
đường bậc 2 (C) về dạng chính tắc, bao gồm các 
dạng sau đây: 
 x2 y 2
Dạng 1. (elip) 1
 a2 b 2
 x2 y 2
 Dạng 2. (hypecbol) 1
 a2 b 2
 Dạng 3. (parabol) x2 2 py
 §8: PHÂN LOẠI MẶT BẬC HAI
 x2 y 2
Dạng 4. (cặp đường thẳng cắt nhau) 0
 a2 b 2
 x2 y 2
 Dạng 5. (một điểm) 0
 a2 b 2
 x2
 Dạng 6. (cặp đường thẳng song song) 1
 a2
 x2
 Dạng 7. (cặp đường thẳng trùng nhau) 0
 a2
 x2 y 2
 Dạng 8. (elip ảo) 1
 a2 b 2
 x2
 Dạng 9. (cặp đường thẳng ảo song song) 1
 a2

 §9: PHÂN LOẠI MẶT BẬC HAI 
 TRONG KHÔNG GIAN
 §9: PHÂN LOẠI MẶT BẬC HAI 

Bằng việc biến đổi hệ trục tọa độ, ta luôn đưa một 
mặt bậc 2 (S) về dạng chính tắc, bao gồm các 
dạng sau đây: 
 x2 y 2 z 2
Dạng 1. (elipsoid) 1
 a2 b 2 c 2
 §9: PHÂN LOẠI MẶT BẬC HAI 

 x2 y 2 z 2
 Dạng 2. (hypecboloid- một tầng) 1
 a2 b 2 c 2
 §9: PHÂN LOẠI MẶT BẬC HAI 

 x2 y 2 z 2
 Dạng 3. (hypecboloid- hai tầng) 1
 a2 b 2 c 2
 §9: PHÂN LOẠI MẶT BẬC HAI 

 x2 y 2
Dạng 4. (Paraboloid- eliptic) z 
 a2 b 2
 §9: PHÂN LOẠI MẶT BẬC HAI 

 x2 y 2
Dạng 5. (Paraboloid- hypecbolic) z 
 a2 b 2
 Mặt yên ngựa
 §9: PHÂN LOẠI MẶT BẬC HAI 

Dạng 6. (các mặt trụ)
 x2 y 2
- Trụ eliptic 1
 a2 b 2
 x2 y 2
- Trụ hypecbolic 1
 a2 b 2
 x2
- Trụ parabolic py 0
 a2
 x2 y 2
- Nhị diện 0
 a2 b 2
 §9: PHÂN LOẠI MẶT BẬC HAI 

 x2 y 2 z 2
Dạng 7. (Mặt nón) 0
 a2 b 2 c 2
 §9: PHÂN LOẠI MẶT BẬC HAI 

 x2
Dạng 8. (cặp mặt phẳng song song) 1
 a2
 x2
Dạng 9. (cặp mặt phẳng trùng nhau) 0
 a2
 §9: PHÂN LOẠI MẶT BẬC HAI 

Dạng 10. (Các dạng ảo)
 x2 y 2 z 2
a) Elipsoid ảo 1
 a2 b 2 c 2
 x2 y 2
b) Trụ elipsoid ảo 1
 a2 b 2
 x2
c) Các mặt phẳng ảo song song 1
 a2
 §9: PHÂN LOẠI MẶT BẬC HAI 

Ví dụ 1. Nhận dạng các đường bậc hai sau
 2 2
 a) x1 x 2 x 1 x 2 x 1 1
 2
 b) 2x1 3 x 1 x 2 x 2 0
Ví dụ 2. Nhận dạng các mặt bậc hai sau
 2 2 2
a) x1 2 x 2 3 x 3 x 1 x 2 x 2 x 3 x 3 x 1 10
 2 2
b) x1 2 x 2 x 1 3 x 2 4 x 3 x 1 x 2 0
 §9: PHÂN LOẠI MẶT BẬC HAI 

VD3. Trong 3 xét tích vô hướng thông thường, 
cho dạng toàn phương 
 2 2 2
 (x1 ; x 2 ; x 3 ) x 1 4 x 1 x 2 x 2 3 x 3
i) Tìm một cơ sở trực chuẩn của 3 để dạng 
 toàn phương có dạng chính tắc. 
ii) Xác định tên của mặt bậc hai sau
 (x1 ; x 2 ; x 3 ) 1
 (Đề 3-K52)